4.1_不等式_
高中数学知识点精讲精析 不等式的基本性质
4.1不等式的基本性质1．不等式的基本性质： ①对称性：a>b b<a; ②传递性：a>b,b>c a>c; ③可加性：a>b a+c>b+c; ④加法法则：a>b,c>d a+c>b+d; ⑤可乘性：a>b,c>0 ac>bc; a>b,c<0 ac<bc; ⑥乘法法则：a>b>0,c>d>0 ac>bd;⑦倒数法则：a>b,ab>0 ; ⑧乘方法则：a>b>0 an>bn;⑨开方法则：a>b>0 ;⑩绝对值不等式的性质： |a|-|b|≤|a+b|≤|a|+|b| 2．基本不等式（以下√表示根号，＾表示指数）如果a 、b 都为实数，那么a 平方+b 平方≥2ab，当且仅当a=b 时等号成立 证明如下： ∵（a-b)^2≥0 ∴a^2+b^2-2ab≥0 ∴a^2+b^2≥2ab如果a 、b 、c 都是正数，那么a+b+c≥3*3√abc,当且仅当a=b=c 时等号成立 如果a 、b 都是正数，那么（a+b ）/2 ≥√ab ，当且仅当a=b 时等号成立。
（这个不等式也可理解为两个正数的算数平均数大于或等于它们的几何平均数，当且仅当a=b 时等号成立。
）和定积最大：当a+b=S 时，ab≤S^2/4（a=b 取等） 积定和最小：当ab=P 是，a+b≥2√P（a=b 取等）ba 11<⇒nn b a >⇒均值不等式：如果a,b 都为正数，那么√(( a 平方+b 平方)/2)≥（a+b ）/2 ≥√ab≥2/（1/a+1/b)（当且仅当a=b 时等号成立。
）( 其中√(( a 平方+b 平方)/2)叫正数a,b 的平方平均数也叫正数a,b 的加权平均数；（a+b ）/2叫正数a,b 的算数平均数；√ab 正数a,b 的几何平均数；2/（1/a+1/b)叫正数a,b 的调和平均数。
北京课改版数学七年级下册4.1《不等式》教学设计
北京课改版数学七年级下册4.1《不等式》教学设计一. 教材分析《不等式》是北京课改版数学七年级下册4.1的内容，主要介绍了不等式的概念、性质和简单的运算。
本节内容是在学生已经掌握了有理数的基础上进行的，是学生进一步学习函数、方程等数学知识的基础。
教材通过简单的例子引入不等式的概念，然后介绍了不等式的性质，最后进行了简单的运算练习。
二. 学情分析七年级的学生已经具备了一定的逻辑思维能力和抽象思维能力，对于有理数的概念和运算已经有了一定的了解。
但是，对于不等式的概念和性质可能还比较陌生，需要通过具体的例子和练习来理解和掌握。
此外，学生可能对于不等式的运算规则和技巧还不够熟悉，需要通过大量的练习来巩固和提高。
三. 教学目标1.了解不等式的概念，能够正确地阅读和理解不等式。
2.掌握不等式的性质，能够运用不等式的性质进行简单的证明和推理。
3.熟练掌握不等式的运算规则，能够进行不等式的加减乘除运算。
4.能够运用不等式解决实际问题，提高解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和性质的理解。
2.不等式的运算规则和技巧的掌握。
五. 教学方法1.采用问题驱动的教学方法，通过提问和讨论的方式引导学生思考和探索不等式的概念和性质。
2.采用案例教学法，通过具体的例子和练习来讲解和巩固不等式的运算规则和技巧。
3.采用小组合作学习的方式，让学生在小组内进行讨论和交流，提高学生的合作能力和解决问题的能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作PPT课件，包括不等式的概念、性质和运算的讲解和练习。
2.练习题：准备一些不等式的练习题，包括填空题、选择题和解答题。
3.小组讨论材料：准备一些关于不等式应用的问题，供学生在小组内进行讨论和交流。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，通过提问和讨论的方式引导学生思考和探索不等式的概念和性质。
2.呈现（15分钟）利用PPT课件，讲解不等式的概念和性质，通过具体的例子来帮助学生理解和掌握。
湘教版八年级数学上册《4.1不等式》同步测试题及答案
湘教版八年级数学上册《4.1不等式》同步测试题及答案学校:___________班级：___________姓名：___________考号：___________【基础达标】1下列各式中，是不等式的是() A.x=3 B.x-1C.x+y=1D.4x+5>02下面各数中，是不等式x≥-3的解的是()A.-6B.-5C.-4D.-23用适当的不等号填空(填“<”或“>”):(1)-280;(2)-1.3-2024.4有理数a与b在数轴上的位置如图所示，用“>”或“<”填空:(1)a0;(2)a b;(3)a+b0;(4)a-b0.5如果|x-2|=x-2，那么x的取值范围是.6用不等式表示“a与b的和小于2”.7用不等式表示下列数量关系:(1)a的3倍比a与2的和小;(2)y的一半与4的差是非负数;(3)a的相反数与1的和不是正数;(4)x、y两数的平方差不大于0;(5)x的2倍与1的和小于x的3倍与5的差.8某次数学测验，共有16道选择题，评分方法是:答对一题得6分，不答或答错一题扣2分.某同学要想得分为60分以上，他至少应答对多少道题?(只列关系式)【能力巩固】9在数轴上与原点的距离小于2的点对应的a满足()A.-2<a<2B.a<2C.a>2D.a>2或a<-210若m<n<0，则在式子①m+1<n+2;①mn >1;①m+n<mn;①1m<1n中，正确的有()A.1个B.2个C.3个D.4个11|a|+a的值一定()A.大于零B.小于零C.不大于零D.不小于零12如果a<0，b>0，a+b<0，那么下列关系式中正确的是()A.a>b>-b>-aB.a>-a>b>-bC .b>a>-b> -aD .-a>b>-b>a13当x<a<0时，x 2与ax 的大小关系是 .14某市5月1日的气温T 是(23±3)℃，用不等式表示该市5月1日的气温T 的范围是 .15在实数范围内，定义|a b d c |=ac -bd ，已知|12x 4|<3，则可列出不等式为 . 16商店为了对某种商品促销，将定价为6元的商品，以下列方式优惠销售:若购买不超过5件，按原价付款;若一次性购买5件以上，超过5 件的部分打8折.若小明用了54元，则他最多可以购买该商品多少件?(只列关系式)【素养拓展】17用a ，b ，c 表示三种不同的物体，现放在天平上比较两次的情况如图所示，那么a ，b ，c 这三种物体按质量从大到小的顺序排列是什么?参考答案基础达标作业1.D2.D3.< >4.(1)<(2)<(3)>(4)<5.x≥26.a+b<2.y-4≥0;(3)-a+1≤0;(4)x2-y2≤0;(5)2x+1<3x-5.7.解:(1)3a<a+2;(2)128.解:设该同学至少应答对x道题，依题意有6x-2(16-x)>60能力巩固作业9.A10.C11.D12.D13.x2>ax14.20 ℃≤T≤26 ℃15.4-2x<316.解:设最多可以购买该商品x件，依题意有6×5+6×0.8(x-5)≤54.素养拓展作业17.解:依据第二个图得到a+c=b+c，可得a=b，依图1得到a+c+c<a+b+c，可得b>c，则a=b>c.。
完整版的不等式知识点和基本题型
完整版的不等式知识点和基本题型不等式是数学中一种重要的关系符号，它用来描述数值之间的大小关系。
以下是不等式的基本知识点和常见题型：1. 不等式基本概念- 不等式是指在两个数之间用不同的关系符号来表示大小关系，比如大于（>）、小于（<）、大于等于（≥）、小于等于（≤）等。
- 不等式的解集是使不等式成立的所有实数的集合。
2. 不等式的性质- 若 a > b，则 b < a。
- 若 a > b 且 b > c，则 a > c。
- 若 a > b 且 a > 0，则 ac > bc（c > 0）。
- 若 a > b 且 c < 0，则 ac < bc（c < 0）。
- 若 a > b 且c ≠ 0，则 ac > bc。
3. 不等式的解法- 在不等式两边同时加（减）相同的数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）正数，不等式的方向不变。
- 在不等式两边同时乘（除）负数，不等式的方向反向。
- 若不等式两边有平方根，应考虑正负情况。
4. 不等式的常见题型4.1. 一元一次不等式- 形如 ax + b > c 或 ax + b < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 解法类似一元一次方程，通过移项和化简来求解。
4.2. 一元一次绝对值不等式- 形如 |ax + b| > c 或 |ax + b| < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
- 需要根据绝对值的定义来分情况讨论和求解。
4.3. 二元一次不等式- 形如 ax + by > c 或 ax + by < c 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x、y 为变量。
- 解法类似于解一元一次不等式，通过移项和化简来求解。
4.4. 二次不等式- 形如 ax^2 + bx + c > 0 或 ax^2 + bx + c < 0 的不等式，其中 a、b、c 为常数，x 为变量。
湘教版数学八年级上册4.1《不等式》教学设计1
湘教版数学八年级上册4.1《不等式》教学设计1一. 教材分析《不等式》是湘教版数学八年级上册4.1节的内容，主要包括不等式的概念、不等式的性质以及不等式的解法。
这部分内容是学生继初中一年级学习等式后的进一步拓展，对于培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力具有重要意义。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握不等式的基本概念和性质，并能够运用不等式解决一些实际问题。
二. 学情分析八年级的学生已经具备了一定的数学基础，对等式有一定的了解，但可能对不等式的概念和性质还不够熟悉。
学生在学习不等式时，可能存在以下困难：1. 不等式的概念理解不深，容易与等式混淆；2. 不等式的性质不易记忆和理解；3. 不等式的解法需要一定的逻辑推理能力。
因此，在教学过程中，需要注重引导学生理解和掌握不等式的基本概念和性质，并通过适量的练习，提高学生的逻辑推理能力。
三. 教学目标1.理解不等式的概念，掌握不等式的基本性质；2. 学会解一元一次不等式；3. 能够运用不等式解决一些实际问题；4. 培养学生的逻辑思维能力和解决实际问题的能力。
四. 教学重难点1.不等式的概念和性质；2. 不等式的解法；3. 运用不等式解决实际问题。
五. 教学方法1.情境教学法：通过生活实例引入不等式概念，激发学生的学习兴趣；2. 引导发现法：引导学生发现不等式的性质，培养学生的探究能力；3. 练习法：通过适量的练习题，巩固所学知识，提高学生的解题能力；4. 小组合作学习：鼓励学生相互讨论，共同解决问题，培养学生的合作能力。
六. 教学准备1.PPT课件：制作课件，展示不等式的概念、性质和解法；2. 练习题：准备适量的练习题，用于巩固所学知识；3. 小组合作学习材料：准备一些实际问题，供小组合作学习时讨论。
七. 教学过程1.导入（5分钟）利用PPT课件，展示一些生活实例，如温度、身高等，引导学生发现这些实例中存在一种比较关系，进而引入不等式的概念。
4.1《不等式》典型例题
《不等式》典型例题例题1 小林到水果摊上称了24橘子，摊主称了几只橘子说：“你看秤，高高的．”这个“高高的”，是什么意思？你能用不等式把它表示出来吗？例题2 用不等式表示：（1）a 是正数； （2）x 与5的和是负数；（3）m 的一半不大于10； （4）x 的21与1的差是非负数．例题3 判断下列式子哪些是不等式?哪些不是?为什么?①32>-, ②12-≤x ,③12-x ,④vt s =,⑤28m m <-⑥1235-=-x x ,⑦042≥+x ⑧222c b a ≠+例题4 用不等式表示：（1）a 的绝对值是非负数；（2） x 的3倍与2的差是负数；（3）m 与n 的平方和不小于m 与n 的积的2倍；（4） 老师的年龄比你的年龄的2倍还大.例题5 根据题意列不等式：（1）a 与34的和小于－2； （2）x 的相反数与1的差不小于2；（3）y 的一半比y 的2倍大；（4）a 与b 的和是负数．例题6 小明和小华都在看同本长篇小说，到今天为止，小明看到第28页，小华看到第83页，如果从现在起，小明每天看16页，小华每天看10页，问至少几天后小明看的比小华看的页数多？请你根据题意列出不等式，并用列表的方法找出不等式的解．同伴之间交流、讨论．例题7用甲、乙两种原料配制成某种饮料，已知这两种原料的维生素C含量如下表：原料甲种原料乙种原料维生素C（单位/千克）600 100现用这两种原料共10千克配制这种饮料，要求至少含有4200单位的维生素C，试写出所需甲种原料的质量x（千克）应满足的不等式．例题8设“●”、“▲”、“■”表示三种不同的物体，现用天平称了两次，情况如图所示，那么●、▲、■这三种物体按质量从大到小的顺序排列应为（）A．■、●、▲ B．■、▲、● C．▲、●、■ D．▲、■、●参考答案例题1 解答 设水果的实际质量为x kg ，“高高的”意思是：2>x ．说明 生活中有许多不等关系的例子，教学中可以根据学生的实际情况选取一些让学生用不等式来表达，但问题不易过难，只要能让学生感受不等式在生活中的存在性即可。
湘教版数学八年级上册4.1《不等式》说课稿2
湘教版数学八年级上册4.1《不等式》说课稿2一. 教材分析《不等式》是湘教版数学八年级上册4.1节的内容，本节内容是在学生已经掌握了有理数的概念和运算法则的基础上进行讲授的。
不等式是数学中基本的数学概念之一，它在实际生活和工作中有着广泛的应用。
本节内容主要介绍了不等式的概念、性质和简单的运算规则。
教材通过丰富的例题和练习题，帮助学生理解和掌握不等式的相关知识。
二. 学情分析学生在学习本节内容之前，已经掌握了有理数的概念和运算法则，具备了一定的数学基础。
但是，对于不等式的概念和性质，学生可能初次接触，需要通过实例和练习来理解和掌握。
此外，学生可能对于不等式的运算规则感到困惑，需要教师的耐心引导和讲解。
三. 说教学目标1.知识与技能目标：学生能够理解不等式的概念，掌握不等式的性质和简单的运算规则。
2.过程与方法目标：通过实例和练习，学生能够运用不等式的知识解决实际问题，培养学生的数学应用能力。
3.情感态度与价值观目标：学生能够感受到数学在实际生活中的重要作用，培养学生对数学的兴趣和好奇心。
四. 说教学重难点1.教学重点：不等式的概念、性质和简单的运算规则。
2.教学难点：不等式的运算规则，特别是涉及到符号的变换和计算。
五. 说教学方法与手段1.教学方法：采用问题驱动法、实例教学法和小组合作学习法。
2.教学手段：利用多媒体课件进行辅助教学，通过动画和实例来形象地展示不等式的概念和性质。
同时，利用练习题进行巩固和拓展。
六. 说教学过程1.引入新课：通过一个实际问题引入不等式的概念，激发学生的兴趣和好奇心。
2.讲解不等式的概念：通过讲解和示例，让学生理解不等式的定义和表示方法。
3.讲解不等式的性质：通过示例和练习，让学生掌握不等式的性质，如传递性、同向性等。
4.讲解不等式的运算规则：通过示例和练习，让学生理解不等式的加减乘除运算规则，并能够熟练运用。
5.练习与巩固：通过练习题，让学生巩固所学的不等式知识，并能够灵活运用。
湘教版八年级数学第4章《不等式》知识清单
一元一次不等式（组）知识点汇总4.1 不等式知识点1 不等式的有关概念1、定义：用不等号（“＜”、“≤”、“＞”、“≥”、“≠”）连接而成的式子，叫做不等式。
这5个用来连接的符号统称不等号。
特别解读1.判断一个式子是否为不等式，关键是看所给式子是否含不等号；2.不等号具有方向性，不等号两边的数(或式子)不能随意交换.2.基本的表达形式：（1）常见的不等号：(2)常见的不等式基本语言与符号表示:①a是正数表示为 a>0, a是负数表示为 a<0;②a是非负数表示为 a≥0, a是非正数表示为 a≤0③ a, b同号表示为 ab> o, a, b异号表示为 ab< o.知识点2 列不等式：一般步骤如下（1）第1步:找出问题中要对比的量,并用代数式表示出来；（2）第2步:找出表示不等关系的关键词,正确理解题目中的关键词语，如：多、少、快、慢、增加了、减少了、不足、不到、不大于、不小于、不超过等确切的含义，用相应的不等号表示出来。
（3）第3步:将代数式表示的量→用不等号连接起来。
特别解读列不等式的关键是要领会具体问题中内在的数量关系，特别是一些关键词、句的含义.4.2 不等式的基本性质知识点1不等式的基本性质1.不等式基本性质1:不等式的两边都加上(或减去)同一个数(或式),不等号的方向不变，即，如果a>b,那么a+c>b+c,a-c>b-c.2.不等式基本性质2:不等式的两边都乘(或除以)同一个正数，不等号的方向不变.即，如果a>b,>0,那么ac＞bc, ac >b c.3.不等式基本性质3:不等式的两边都乘(或除以)同一个负数，不等号的方向改变：即，如果a>b,c＜0,那么ac＜bc, ac ＜bc.4.不等式的基本性质与等式的基本性质的关系:知识点2 利用不等式的基本性质化简不等式1.解不等式就是将不等式化为x>a(x≥a)或x<a(x≤a)(a为常数)的形式.对于不等式两边多余的项用不等式基本性质1消去，而不等式基本性质2、基本性质3可将不等式中未知数的系数化为1.2.用不等式的基本性质化简不等式的步骤：(1)用不等式基本性质1将不等式变成ax>b(ax≥b或ax<b(ax≤b)的形式；(2)用不等式基本性质2、基本性质3将不等式变成x＞ba (x≥ba）或x＜ba (x≤ba)的形式.4.3 一元一次不等式的解法知识点 1 一元一次不等式1.定义:含有一个未知数，且含未知数的项的次数是1的不等式称为一元一次不等式.一元一次不等式的“三要素”:(1)不等式的两边都是整式；(2)只含一个未知数；(3)未知数的次数是1.2.一元一次不等式与一元一次方程间的关系：知识点2 不等式的解与解集1.不等式的解:满足一个不等式的未知数的每一个值,称为这个不等式的一个解。
高中数学公式大全不等式与绝对值函数的性质与运算
高中数学公式大全不等式与绝对值函数的性质与运算在数学学科中，公式是解决问题的重要工具之一。
针对高中数学中的不等式与绝对值函数的性质与运算，本文将为大家提供一个全面的数学公式大全。
通过了解和掌握这些公式，同学们可以更好地应对数学学习和解题过程。
1、不等式的性质：1.1 传递性：若a>b且b>c，则a>c。
1.2 加减性：若a>b，则a+c>b+c；若a>b且c>0，则ac>bc。
1.3 乘法性：若a>b且c>0，则ac>bc；若a>b且c<0，则ac<bc。
1.4 分数的加减性与乘法性：若a>b且c>d>0，则a/c>b/d；若a>b 且c>d<0，则a/c<b/d。
2、绝对值函数的性质：2.1 非负性：|a|≥0。
2.2 正整性：若a≠0，则|a|>0。
2.3 反对称性：若a≠b，则|a|≠|b|。
2.4 三角不等式：|a+b|≤|a|+|b|。
3、绝对值函数的运算：3.1 绝对值的复合性：|f(x)|=|x|，其中f(x)为定义域中的任意一次函数。
3.2 绝对值的加减性：|a+b|≤|a|+|b|。
3.3 绝对值的乘法性：|ab|=|a|·|b|。
4、一次不等式：4.1 加减法不等式：若a<x<b，则a±m<x±m。
4.2 乘法不等式：若a<x<b，且m>0，则am<xm<bm；若a<x<b，且m<0，则am>xm>bm。
5、二次不等式：5.1 完全平方式：若a<x<b，则(x-a)(x-b)<0；若x>a或x<b，则(x-a)(x-b)>0。
5.2 关于零点对称性：若f(x)是二次函数，在其开口方向上，对于足够大的正数k，若x>k或x<-k，则f(x)同号。
§4 4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表： 例 4 一工厂生产甲、乙两种产品，生产每吨产品的资源需求如下表：
品种 甲 乙 电力/kW·h 电力/kW·h 2 8 煤/t 3 5 工人/ 工人/人 5 2
的用电额度， 该厂有工人 200 人，每天只能保证 160kW ⋅ h 的用电额度，每天用煤 150t,请在直角坐标系中画出每天甲、 不得超过 150t,请在直角坐标系中画出每天甲、乙两种产品允许的 产量范围。 产量范围。
每月用餐费最低标准240元 每月用餐费最低标准240元； 240 其他费用最少支出180元 其他费用最少支出180元． 180 可用来支配的资金为500元 可用来支配的资金为500元， 500 如何使用这些钱呢？ 如何使用这些钱呢？
设用餐费为 x 元，其他费用为 y 元， 由题意 x 不小于 240， y 不小于 180， x 与 y 之和不超过 500， ， ，
因为对在直线 Ax+By+ 同一侧的所有点( 因为对在直线 Ax+By+C=0 同一侧的所有点( x, y )，把它的坐标 Ax+By+ 所得到实数的符号都相同。 （ x, y ) 代入 Ax+By+C，所得到实数的符号都相同。
所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（x0,y0)，从 Ax0+By0+C 所以只需在此直线的某一侧取一特殊点（ Ax+By+ (<0)表示直线哪一侧的平面区域 表示直线哪一侧的平面区域. 的正负即可判断 Ax+By+C＞0(<0)表示直线哪一侧的平面区域.
l : x + 2y −3 = 0
， 在 l 上方的平面区域内的任一点的坐标（ x y ）满足不等式
《§4.1 二元一次不等式与平面区域》课件
A. a<-7
或 a>24
B．-7 < a <24
D．以上都不对
C． a=-7 或 a= 24
解：由于点（3，1）和（-4，6）在直线3x-2y+a =0 的两侧，
将点（3，1）和（-4，6）代入 3x-2y+a 所得的值异号，
所以有 （3×3-2×1+a）[3×（-4）-2×6+a]<0
即：（a+7）（a-24）<0 解得 –7<a<24
即有：2x+y-100<2x0 +y0-100=0
l
例题分析
【例1】画出不等式 x+y<6表示的平面区域。 变式：画出不等式 x+y≥6表示的平面区域。
y
6
解： 作出直线x+y=6(画成虚线),
6
y
x+y=6 取点（0，0）代入x+y-6 因为0+0-6<0
o
6
o x x 所以不等式x+y<6表示 6
y
6
( x y 6)( x y 6) 0
-6
o
y
6
x
-6
o
y
6
x
6 x-y+6<0
x-y+6 >0
6
-6
o
6
x
-6
o
6
x
探究拓展
x y6 0 表示的平面区域。 【变式】画出不等式 x y6
y
6
-6
o
6
x
探究拓展
点(3,1)和(-4,6)在直线3x-2y+a=0的两侧， 则（ B ）
2015届高考数学(文)二轮专题课件：4.1不等式的解法 (nxpowerlite)
考点1
不等式的基本性质
1．对称性：a＞b⇔________ b＜a ．
2．传递性：a＞b，b＞c⇒________ a＞c ． 3．加法性质：a＞b⇔________ ． a＋c＞b＋ c ac＞bc ； a ＞ b ， c ＜ 4 ．乘法性质： a ＞ b ， c ＞ 0 ⇒ ________
栏 目 链 接
随堂讲义· 第一部分
知识复习专题
专题四
第一讲
不
等
式
不等式的解法
根据近几年广东高考可预测，2015年高考中可能在小题 中直接考解不等式题，并且在大题中涉及解不等式的问
题．解不等式作为考查学生运算能力的重要载体，是高
考中小题大题都会涉及到的．因此一定要认真掌握好解 不等式这部分内容．
栏 目 链 接
主干考 点梳理
f(x)＜g(x)． (2)当 0＜a＜1 时，af(x)＞ag(x)⇔________
g（x）≠0
栏 目 链 接
主干考 点梳理
3．简单对数不等式的解法． 时 ， logaf(x) ＞ logag(x) ⇔ __________________________________________________ g（x）＞0， __________________ f（x）＞g（x） (1) 当 a 0＞ f（ x）＞ ， 1 ________________________________________. (2) 当 0 ＜ a ＜ 1 时 ， logaf(x) ＞ logag(x) ⇔ ____________________ f（x）＞0，
例1解不等式(x＋a)(ax－3a)≤0. 解析： 原不等式可化为：a(x＋a)(x－3)≤0， ①当a＝0时，其解集为R； ②当a＞0时，其解集为{x|－a≤x≤3}；
北师大版八年级上册数学第四章教案
北师大版八年级上册数学第四章教案一、教学内容本节课我们将要学习北师大版八年级上册数学第四章《一元一次不等式与不等式组》的内容，具体包括：4.1不等式及其解集，4.2不等式的性质，4.3一元一次不等式的求解，4.4一元一次不等式组及其解集。
二、教学目标1. 理解不等式的概念，掌握不等式的表示方法及其解集。
2. 掌握不等式的性质，并能运用性质解决实际问题。
3. 学会一元一次不等式的求解方法，并能解决实际问题。
三、教学难点与重点教学难点：一元一次不等式的求解方法，不等式组的解集。
教学重点：不等式的概念，不等式的性质，一元一次不等式的求解。
四、教具与学具准备1. 教具：PPT，黑板，粉笔。
2. 学具：练习本，笔。
五、教学过程1. 实践情景引入：通过生活中的实例，如温度、身高、体重等，引出大于、小于、大于等于、小于等于等概念，从而引出不等式的概念。
2. 教学内容讲解：（1）4.1不等式及其解集a. 不等式的定义及表示方法b. 不等式的解集（2）4.2不等式的性质a. 性质1：若a>b，则a+c>b+cb. 性质2：若a>b，c>d，则a+c>b+dc. 性质3：若a>b，且c>0，则ac>bc（3）4.3一元一次不等式的求解a. 不等式的移项b. 不等式的合并同类项c. 不等式的系数化（4）4.4一元一次不等式组及其解集a. 不等式组的定义b. 不等式组的解集3. 例题讲解：结合上述知识点，讲解相关例题，如不等式的求解，不等式组的解集等。
4. 随堂练习：让学生进行课堂练习，巩固所学知识。
六、板书设计1. 不等式及其解集2. 不等式的性质3. 一元一次不等式的求解4. 一元一次不等式组及其解集七、作业设计1. 作业题目：\[\begin{cases}2x3>5 \\3x+4<7\end{cases}\]2. 答案：（1）x>4（2）不等式组无解八、课后反思及拓展延伸1. 反思：通过本节课的学习，让学生掌握不等式的概念、性质及求解方法，培养他们解决问题的能力。
4.1二元一次不等式(组)与平面区域
-1-
4.1 二元一次不等式(组)与平面区域
-2-
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
IANLITOUXI
S随堂演练 UITANGYANLIAN
1.能从实际情境中抽象出二元一次不等式组,了解二元一次不等 式的几何意义.
2.能用平面区域表示二元一次不等式组,并能利用二元一次不等 式(组)所表示的平面区域解决简单的实际问题.
(2)将y≤-2x+3变形为2x+y-3≤0, 画出直线2x+y-3=0(画成实线),
取点(0,0),代入2x+y-3,得2×0+0-3=-3<0,
故y≤-2x+3表示的区域是直线2x+y-3=0及其左下方的平面区域,
如图②阴影部分所示.
-22-
目标导航
Z D 知识梳理 HISHISHULI
典例透析
S随堂演练 UITANGYANLIAN
题型一 画二元一次不等式表示的平面区域 【例1】 (1)画出不等式3x-4y-12≥0表示的平面区域; (2)画出不等式3x+2y<0表示的平面区域. 分析:(1)先画直线,再取原点分析;(2)先画直线,再取点(1,0)分析. 解:(1)先画直线3x-4y-12=0,取原点(0,0),代入3x-4y-12,得-12<0, 所以原点不在3x-4y-12≥0表示的平面区域内,
另外，还有x 0, y 0. 综上所述，x, y应满足以下不等式组
3x 5y 150 5x 2y 200
2x 8y 160，
3x 5y 150， 5x 2 y 200，
2x 8y 160
§4.1__二元一次不等式(组)与平面区域
§4.1 二元一次不等式（组）与平面区域（1）宜黄县安石中学 万 杰教学目标：1.了解二元一次不等式表示平面区域，会用(0,0)，(1,0)或(0,1)特殊点去检验不等式0Ax By c ++>（0<）表示的平面区域；2.会画出二元一次不等式（组）表示的平面区域.教学重、难点：怎样用二元一次不等式（组）表示平面区域；怎样确定不等式0Ax By c ++> （0<）表示直线0Ax By c ++=的哪一侧区域.教学过程：问题提出:一名刚参加工作的大学生为自己制定的每月用餐费的最低标准是240元,又知其他费用最少需支出180元，而每月用来支配的资金为500元，这名新员工可以如何使用这些钱？设用餐费为x 元，其他费用为y 元，由题意知x 不小于240，y 不小于180，x 与y 之和不超过500，用不等式组可表示为⎪⎩⎪⎨⎧≥≥≤+180240500y x y x 如果将上述不等式组的一个解),(y x 看作平面直角坐标系上的一个点，那么使问题转化为：确定平面直角坐标系中不等式组的解集区域（一）引入：点集{(,)|10}x y x y +-=是以二元一次方程10x y +-=的解为坐标的集合，它是一条直线，经过(1,0)和(0,1)，那么点集{(,)|10}x y x y +->在平面直角坐标系中表示什么图形呢？（二）新课讲解：1．尝试、猜想、证明在平面直角坐标系中，所有的点被直线10x y +-=分成三类：一类是在直线10x y +-=上；二类是在直线10x y +-=的右上方的平面区域内；三类是在直线10x y +-=的左下方的平面区域内.对于任意一个点(,)x y ，把它的坐标代入1x y +-，可得到一个实数，或等于0，或大于0，或小于0，此时，可引导学生尝试在什么情况下，点(,)x y 在直线上、在直线右上方、在直线左下方？ 猜想结论：对直线10x y +-=右上方的点(,)x y ，10x y +->；对直线10x y +-=左下方的点(,)x y ，10x y +-<．证明结论：如图，在直线10x y +-=上任取一点00(,)P x y ，过P 作平行于x 轴的直线0y y =，在此直线上点P 右侧的任意一点(,)x y ，都有0x x >，0y y =，所以，00x y x y +>+，00110x y x y +->+-=，因为点00(,)P x y 为直线10x y +-=上任意一点，所以，对于直线10x y +-=右上方任意点(,)x y ，都有10x y +->，同理对于直线10x y +-=左下方任意点(,)x y ，都有10x y +-<，所以，结论得证.2．得出结论一般地，二元一次不等式0Ax By C ++>在平面直角坐标系中表示0Ax By C ++=某一侧所有点组成的平面区域。
不等式的性质与解集
不等式的性质与解集不等式是数学中的一种基本关系，用于描述数值之间的大小关系。
与等式不同，不等式存在多种形式和性质。
本文将探讨不等式的性质和解集，并分析其应用。
一、不等式的基本性质1.1 不等式的传递性在不等式a < b和b < c成立的前提下，根据数学的传递性，可推导出a < c。
这意味着如果一个不等式关系成立，那么经过有限次传递，可以得到更多的大小关系。
1.2 不等式的加减性质对于不等式a < b，若两边同时加上（或减去）一个正数或负数，不等式的关系不会改变。
即a + c < b + c对于任意正数或负数c成立。
1.3 不等式的乘除性质对于不等式a < b，若两边同乘以一个正数，或同除以一个正数（负数），不等式的关系不会改变。
即a * c < b * c，若c > 0；a * c > b * c，若c < 0。
二、一元不等式的解集表示一元不等式是指只含有一个未知数的不等式，通常用x表示。
它的解集表示了不等式中使得不等式成立的所有实数值。
2.1 严格不等式的解集表示对于形如a < x < b的严格不等式，解集表示为(a, b)，即大于a且小于b的一切实数值构成了解集。
2.2 非严格不等式的解集表示对于形如a ≤ x ≤ b的非严格不等式，解集表示为[a, b]，即大于等于a且小于等于b的一切实数值构成了解集。
三、二元不等式的解集表示二元不等式是指含有两个未知数的不等式，通常用x和y表示。
解集表示了使得不等式成立的所有实数对。
3.1 不等式的图解法可以通过将二元不等式转化为平面直角坐标系上的区域来直观地表示解集。
通常在坐标系上绘制不等式相关的线条，然后确定位于线条上或线条所构成的区域内的点为解集的一部分。
3.2 不等式的符号法表示对于形如ax + by < c的二元不等式，符号法表示解集是平面上位于不等式所确定的曲线或区域的一侧的所有点的集合。
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
③ 3x ≠ 4y 是
④ 6﹥2 是
⑤ 2x － 3 不是 ⑥ 2m ﹤ n 是
不等式可含有未知数，也可以没有未知数.
关键词语
第一类——明显的不等关系 注意“不”字哦！
不等号
>
<
≤
≥
比…小 超过
不超过
小于 不大于 大于 不低于
比明…确大表明了低数于量的至不少等关至系多 不小于
注意“非”字哦！
第二类——隐含的不等关系
义务教育教科书（湘教版）数学八年级上册
4.1 不等式
看一看 比一比
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
看一看 比一比
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
通过上面的图片，咱们知道，在现 实生活中存在着相等与不相等的关系. 仅仅学习等量关系是远远不够的，我 们还需要认识并了解不相等关系.
a+1≤0
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
难点引导 列不等式表示不等关系的步骤：
①找出问题中要对比的量，
并用代数式表示出来； 如：两数m与n的差大于5.
②找出表示不等关系的关键词 , 用相应的不等号表示出来；
m-n > 5
③将①中的量和②中的不等号连接起来；
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
湘教版初中数学八年级上册. 不等式 课件 ppt课件
生活中的数学
已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠笔相比每支贵2 元.小华想要买x支圆珠笔和10支签字笔，若付50元仍找 回若干元，则如何用含x的不等式来表示小华所需支付的 金额与50元之间的关系？
初中数学湘教版八年级上册教学课件 4.1不等式
猜一猜：
老师的年龄是多少周岁？
（1）老师的年龄不超过32周岁；
（2）老师现在年龄的一半比同学们2年后的年龄要大； （3）老师的年龄不等于31周岁；
一、不等式的概念
用不等号连接而成的数学式子叫不等式。 与方程一样，不等式也是解决现实问题的数 学模型．
＞ ＜ 试一试：
≥
≤
≠
判断下列式子哪些是不等式？ (1)3＞ 2 (2)a2+1＞ 0 (3)3x2+2x (4)x＜ 2x+1 (5)x=2x-5 (6)a+b≠c
常用的表示不等关系的词语及对应的不等号:
第一类：明确的不等关系 第二类：隐含的不等关系 非 正 数 非 负 数
关 键 ①不大于 ①不小于 词 ①大 于 ①小 于 ②不超过 ②不低于 正数 语 ②比…大 ②比…小 ③至 多 ③至 少 不 等 号
负数
三、用不等式表示不等关系
试一试：
某地某天的最高气温为10℃，最低气温为1℃，试 用不等式表示当天气温的取值范围。
课堂小结
通过这节课的学习，你有什么体会和收获？
1、方程是刻画数量之间相等关系的数学模型， 不等式是刻画数量之间不等关系的数学模型. 2、本章的知识结构及可以类比一元一次方程进行学习.
小明和小华在探究数学问题. 小明说：“ 4y＞3y ”
小华认为小明说错了．
聪明的你，觉得呢？
哈里奥特
布 盖
二、本章内容介绍及学法指导
问题1：我们是怎样学习一元一次方程的？
实际问题 建立方程 一元一次方程 等式的基本性质 解一元一次方程
问题2：类比研究一元一次方程的过程，不等式这一章我 们将学习哪些内容呢？
二、本章内容介绍及学法指导
- 1、下载文档前请自行甄别文档内容的完整性，平台不提供额外的编辑、内容补充、找答案等附加服务。
- 2、"仅部分预览"的文档,不可在线预览部分如存在完整性等问题,可反馈申请退款(可完整预览的文档不适用该条件!)。
- 3、如文档侵犯您的权益，请联系客服反馈,我们会尽快为您处理(人工客服工作时间：9:00-18:30)。
（1）如图所示，处于平衡状态的托盘天平的右盘 上放上一质量为50g的砝码，左盘上放上一个圆球 后向左倾斜，问圆球的质量xg与质量为50g的砝码 之间具有怎样的关系？
(2) 一辆轿车在一条规定车速不低于 60km/h,且不高于100mk/h的高速公路上 行驶，如何用式子来表示轿车在该高速 公路上行驶的路程s(km)与行驶时间t(h) 之间的关系呢？
成功≠成就 相识≠相知
1.5x+10(1.5+2) <50
1.用不等式表示下列关系:
（1）a是非负数
（2）x比-3小
（3）两数m与n的差大于5 2.奥运射箭比赛，每一箭 满分10分，某选手在参加 比赛时，前十箭中最低得 分为7分，求该选手前十 箭总得分x的范围
作业：
课本P132 习题4.1
人生不等式：
向往≠追求 自负≠自信
小于边长为acm的正方形的面积.
解： 5x> -7 (1)
(2)
< -1
(3) xy <
用不等式表示不等关系是研究不 等式的基础，在表示时一定要抓住 关键词语，弄清不等关系。
第一类——明显的不等关系 关键 词语
不等号 大于 超过 小于 低于 不大于 不超过 至多 不小于 不低于 至少 大于或
比…大 比…小
①抓住关键词 ②选准不等号
a＞0
|y|-8< 0
(a-b)2≥0
第二类——隐含的不等关系
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ
正数
负数
非负数 ≥0
非正数 ≤0
>0
<0
已知一支圆珠笔1.5元，签字笔与圆珠 笔相比每支贵2元。小华想要买支10签字 笔和x支圆珠笔，若付50元仍找回若干元， 则如何用含x的不等式来表示小华所需支付 的金额与50元之间的关系？
对于（1），我们很容易知道圆球的质量大于 砝码的质量，即x>50 对于 （2），根据路程、速度、时间之间的关 系可得：s ≥60x,s ≤100x
不等式：
像 156>155 ， 155<156 ， x>50 ， s ≥ 60x,s ≤100x这样，我们把 用不等号（＜、＞、≤、 ≥、≠）连接而成的式子叫作不等式。
数学（八年级上）
4.1 不等式
汩罗镇中学 235班
现实生活中，数量之间存在着相等 关系与不等关系。对于不等关系问题， 我们如何用式子来表示它们呢？
例如，小明的身高为155cm,小聪的 身高为156cm，则我们可以用不等号 “〈”或“〉”来表示它们的高度之间的 关系，如果156>155或155<156
小于
>
<
≤
≥
≠
注意“不”字哦！
注：
“不大于” 指的是 “ 等于或小于 通常用 符号 “ ”， ” 表示。
≤
例如，x 不大于10 可以表示为 x≤10（读作：“x小于或等于10”）。 类似地，“不小于”指的是“等于或大于”。
通常用符号“≥”表示。（读作：“大于或等于”）。
例2 、用不等式表示下列关系: (1) a是正数; (2) y的绝对值与-8的和为负数; (3) a与b的差的平方是非负数；
开启智慧之门
判断下列式子哪些是不等式？ (1)0>2 是 (2)a2+1＞ 0 是 (3)3x2+2x 不是 (4)x＜ 2x+1 是 (5)x=2x-5 不是 (6)a+b≠c 是
例1 用不等式表示下列数量关系： （1）x的5倍大于-7； （2）a与b 的和的一半小于-1 ； （3）长、宽分别为xcm,ycm的长方形的面积