不等式与等式的类比
2.1等式性质与不等式性质说课课件(人教版)
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
（六）布置作业 必做题：P42复习巩固与综合运用 选做题：P43拓广探索 设计意图：
必做题安排学生易于处理的问题，用意在于让学生注意对数学知识和方法的应用。 选做题是比较难的，发展尖子生思维，分层教学。
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
（三） 例题讲解 1. 证明性质 6 如果 a b 0 ， c d 0 ， 那么 ac bd ． 证明： a b 0 ， c d 0那么 ac bc ，
a b 0 ， c d 0那么 bc bd ，所以 ac bd
性质 5：如果 a b ， c 0 ， 那么 a b ；（可除性） cc
设计意图：引导学生用同 样的方法去发现不等式的 性质。
教学流程
情景引入
探究新知
例题讲授
课堂练习
小结与作业
说教学过程
说教材 说教法 说学法 说过程 说板书
模块3：等式性质1 模块4：等式性质2 模块5：等式性质3 模块6：等式性质4
说教材
说课内容 教材分析 学情分析 教学目标 教学重难
点
认知基础
学生是某一重点中学的 普通班，学生处于中上 层次。在初中阶段学生 会灵活运用不等式的基 本性质；会解一元一次 不等式与一元一次不等 式组；掌握利用相等关 系、不等关系构建方程、 不等式（组）解决数学 内的应用问题。
情感基础
学生大多来自广州市市区， 接触面较广，个性较活跃， 数学基础的差异不大，所 以可以采用启示、讨论、 参与的教学方式和自主、 合作、探究的学习方式。 但学生缺乏自主合作探究 的经验，学生学习的自主 性、主动性不够，学习有 依赖性，自主研究学习的 信心不足。
【高中数学】等式性质与不等式性质课件 2023-2024学年高一数学人教A版(2019)必修第一册
；
如果 > ， < ，那么 <
不等式两边同时乘上一个负数，要变号
.
.
如果 > ， > ,那么 + > +
如果
≥ ， > ,那么 + > +
如果 > ， ≥ ,那么 + > +
问题6：不等式有什么性质
0是正数与负数的分界点，它
为实数比较大小提供了“标杆”
比较大小的基本方法【作差法】
比较 + + 和 + + 的大小.
【解】运用作差法：
+ + − + +
= + + − + +
=
因为2＞0，
所以 + + ＞ + + .
所以 + ≥
因此，由两个实数大小关系的基本事实，我们得到：
+ ≥ ，当且仅当 = 时，等号成立.
问题5：等式有什么性质
思考
请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的共性．你能归纳一下
发现等式基本性质的方法吗？
★性质1【对称性】
如果 = ，那么 =
★性质2【传递性】
2
2
2
( x 1) ( y 1) 1 0,
2
2
所以x 2 y 2 1 2( x y 1)
2
问题4：一个重要不等式
如图是根据第24届国际数学家大会的会标设计的，会标
灵感来源于中国古代数学家赵爽的弦图，图中有什么不等关
人教版高中数学必修第一册第二章2.1.2等式性质与不等式性质(2)【课件】
【活动4】初步了解不等式的性质的应用
【问题5】“若a>b，则ac2>bc2”，此命题是否正确？
【问题6】已知a>b，c>d，要使① a＋c>b＋d；② ac>bd成立，a，
b，c，d需满足的条件是否一致？
【问题7】若a>b，c>d，则a＋c>b＋d成立吗？a－c>b－d呢？
【问题8】若a>b，c>d，则ac>bd成立吗？
【证明】 (1) 由bc-ad≥0可得bc≥ad,又bd>0,两边同除以bd
+ +
+ +
可得 ≥ ,即 ≥ .两边同时加1可得 ≥ ,即 ≤ .
+ + +
++ ++ ++
(2) 由 < < ,各式同时加1可得
<
<
,由
运用不等式的性质解决有关问题
学科核心素养
通过对不等式性质的研究，提升
数学抽象、数学运算及逻辑推理
素养
运用不等式的性质解决问题，培
养数学抽象及数学运算素养
情境导学
在日常生活中，我们知道对于糖水来说，如果再往糖水中加入
一些糖，糖水会变得更甜．设糖水为b g，含糖a g，再加入c g糖.
你能用不等式表示出糖水变甜这一现象吗？
(2)
已知a<b<0，求证： < .
【证明】
(1) 因为a>b,c>0,所以ac>bc,即-ac<-bc.又e>f,即f<e,所以f-ac<e-bc.
高中数学必修一 (教案)等式性质与不等式性质
【教学重难点】1．将不等关系用不等式表示出来，用作差法比较两个式子大小；2．在实际情景中建立不等式（组），准确用作差法比较大小；【教学准备】多媒体【教学过程】第一课时教学设计一、情景引入，温故知新（一）情境导学1．购买火车票有一项规定：随同成人旅行，身高超过1.1 m（含1.1 m）而不超过1.5 m的儿童，享受半价客票、加快票和空调票（简称儿童票），超1.5 m时应买全价票。
每一成人旅客可免费携带一名身高不足1.1米的儿童，超过一名时，超过的人数应买儿童票。
从数学的角度，应如何理解和表示“不超过”“超过”呢？2．展示新闻报道：明天白天广州的最低温度为18℃，白天最高温度为30℃。
师：明天白天广州的温度t℃满足怎样的不等关系？生：t大于或等于18小于或等于30老师引出课题板书：不等关系与不等式师：常见的不等号有？生：大于（>），小于（<），大于或等于（≥），小于或等于（≤），不等于（≠）。
老师总结板书：不等式的定义：用不等号（<，>，≥，≤，≠）表示不等关系的式子叫做不等式。
1．师：你能用数学表达式表示情景中的不等关系吗？2．师：两个指示标志分别表示什么意思？通过生活中熟悉的情景，引导学生发现不等关系，并学会运用不等式（组）表示不等关系；培养学生数学建模的核心素养；生：速度大于或等于80，高度小于或等于4．5 3．师：在这两则报道中，同学们都准确的描述出蕴含的不等关系。
师：你能举出生活中含有不等关系的例子吗？ 生：师：不等关系用什么表示？ 生：不等式 （二）探索新知探究一 用不等式表示不等关系例1．某钢铁厂要把长度为4 000 mm 的钢管截成500 mm 和600 mm 两种，按照生产的要求，600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管的3倍。
试写出满足上述所有不等关系的不等式。
教师引导学生共同：[分析]应先设出相应变量，找出其中的不等关系，即①两种钢管的总长度不能超过4 000 mm ；②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍；③两种钢管的数量都不能为负。
高中数学必修第一册人教A版(2019)《等式性质与不等式性质》教材分析
高中数学必修第一册人教A版（2019）《等式性质与不等式性质》教材分析2.1等式性质与不等式性质一、本节知识结构框图二、重点、难点重点：不等式的基本性质，等式与不等式的共性与差异.难点：类比等式的基本性质及其蕴含的思想方法，研究不等式的基本性质；等式与不等式的共性与差异.三、教科书编写意图及教学建议在初中，学生学习了用含有未知数的等式（方程）表示问题中的相等关系，为了解方程研究了等式的一些基本性质，本节在初中等式学习的基础上，类比等式的学习内容和方法，展开不等式的研究，首先类比用等式表示相等关系，用不等式表示问题中的不等关系；然后在对等式的基本性质进行梳理，归纳其中蕴含的数学思想方法的基础上，研究不等式的性质，并用不等式的性质证明简单命题，通过本节的学习，掌握不等式的性质，提高对等式和不等式的共性与差异的理解，加深对“代数性质”的认识，提高提出问题和解决问题的能力.1.相等关系与不等关系教科书从现实世界和日常生活中存在的相等关系、不等关系讲起，类比用等式表示相等关系，用问题1的4个例题说明了如何用不等式或不等式组表示实际问题或数学问题中蕴含的不等关系.与用等式表示相等关系类似，用不等式表示不等关系的关键也是确定问题中涉及的量及其满足的不等关系，然后用未知数表示量，把不等关系“翻译”成不等式.与用等式表示相等关系不同的是，有时用自然语言表达的不等关系不够明确，例如“不少于”“不低于”“至多”“至少”等，需要先把它们翻译成大于或小于的关系，再用不等式表示.关于问题2，要解决这个问题，需要用不等式表示其中的不等关系，还需要求不等式的解集.而如何解这个不等式呢，教科书提出“与解方程要用等式的性质一样，解不等式要用不等式的性质”，这就引出了对不等式性质的研究.接下来，教科书没有立即开始研究不等式的性质，而是先讨论了确定两个实数大小关系的方法.在初中，学生学过了实数的大小关系是由这两个实数在数轴上的点的位置关系规定的，这可以看成确定实数之间大小关系的几何规则.这个规则尽管直观，但在比较两个实数的大小关系时并不实用，因此这里介绍了一种代数方法——两个实数大小关系的基本事实.这个基本事实把两个实数的大小关系转化为它们的差与0的大小关系，实际上就是两个实数差的符号，从而使实数的运算能够参与到实数的大小比较中，为不等式的论证提供了运算工具，也为研究不等式的性质奠定了基础.在本部分内容的最后，作为对相等关系和不等关系的总结，也为了引出基本不等式，教科书设计了一个探究栏目，让学生在第24届国际数学家大会的会标中发现相等关系和不等关系.这个会标实际上就是“赵爽弦图”——由4个全等的直角三角形围成一个大正方形，中空的部分是一个小正方形，由于大正方形的面积大于4个直角三角形的面积和，即（设直角三角形的两条直角边的长为，（）），而当直角三角形变为等腰直角三角形，即时，中空部分缩为一个点，这时有相等关系.这样，就引出了基本不等式的一种变形形式.在上述过程中，学生的困难在于想不到从面积的角度发现不等关系，教学中应加强引导.接下来，教科书利用完全平方公式和两个实数大小关系的基本事实证明了上述不等式，这既体现了数学知识之间的联系，又再一次说明了两个实数大小关系的基本事实在解决不等式问题中的应用价值.2，等式性质与不等式性质教科书类比等式的基本性质，研究了不等式的基本性质及其证明和应用.为了帮助学生从等式的性质及其研究方法中获得启发，去研究不等式的性质，教科书设计了两个问题（教科书第40页的思考栏目和探究栏目）.通过这两个问题，让学生在梳理并观察等式的基本性质的基础上认识到，这些性质包括在数学推理和运算中经常用到的“对称性”和“传递性”，还包括解方程所需要的等式对四则运算的不变性，而这两个方面反映了“式的大小关系”的本质属性，这些基本属性为探究不等式的基本性质指明了方向.学生在猜想不等式的基本性质的过程中会发现，不等式的基本性质与等式的基本性质存在差异：就不等式自身的特性而言，不等式不具有“对称性”，而是具有“相反性”，即，；就不等式与四则运算的关系而言，当乘一个负数时，不等号要调换方向，即，.不等式的这种特殊性是由实数的基本性质决定的，在对不等式进行论证时，除了要用到实数大小关系的基本事实，还需要用到关于实数的其他一些基本事实，例如：（1）正数大于0，也大于一切负数；负数小于0，也小于一切正数.（2）正数的相反数是负数，负数的相反数是正数.（3）两个正数的和仍是正数，两个负数的和仍是负数.（4）同号两数相乘，其积为正数；异号两数相乘，其积为负数.利用这些基本事实，可以对猜想出的不等式的基本性质进行证明.在表述不等式的基本性质时，教科书也做了一些改变.不等式的性质3是类比等式的性质3得到的，性质4是类比等式的性质4，5得到的，在表述它们时，教科书把加法和减法合并为“加法”，把乘法和除法合并为“乘法”，这也表明高中数学对运算的认识更趋于一般性.此外，考虑到对于同一个数学对象的多元联系表示，有利于加深学生对它的理解，教科书从不同角度表述了不等式的性质，例如对于性质3和性质4使用了自然语言叙述，对于性质3还用数轴上的实数点展现了不等式包含的动态过程及结果.教学中可以让学生用自然语言或图形语言表述其他不等式的性质.在得到并证明了不等式的基本性质之后，教科书用这些基本性质，推导出了其他一些常用的不等式的性质（性质5~7），这些性质可以作为结论在今后的推理中使用.另外，证明这些性质的过程可以看作不等式的性质在代数证明中的初步应用.证明的关键是利用不等式的基本性质，对给定的不等式进行结构上的变形，例如“不等式两边同加一个数”“不等式两边同乘一个数”等，逐步把给定的不等式变形为要证明的不等式.正确地运用不等式的性质对不等式进行变形对学生来说有一定的难度，教学中可以通过让学生多练习、纠正其典型错误等方式逐步帮助学生掌握正确的方法.在本部分内容的最后，教科书安排了一道例题（例2），向学生示范了应用不等式的性质证明命题的一般思路，这个命题的证明比不等式的性质5~7的证明要复杂一些，因为已知条件与结论之间的联系不够明显，证明中需要对已知不等式做什么变形不太明确，对于这样的问题，教科书在“分析”中给出了证明的一般思路：从结论出发，结合已知条件，寻求使当前命题成立的充分条件，而这个充分条件是容易由已知条件证明的，这实际上是综合运用“综合法”和“分析法”证明命题的思路，但因为教科书没有专门介绍证明方法，所以本例的证明过程采用了学生更熟悉的“综合法”的格式，教师在教学中可以补充一些典型题目，引导学生领会这种“发展条件、转化结论、寻求联系”的证明较复杂命题的一般思路.。
等式性质和不等式性质(第2课时)高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
a b 0，ab 0
ab 0，即 1
0
ab
又由a b 得 a 1 b 1 ，即 1 1
ab
ab
ab
c 0， c c
ab
思考1：若a b 0， 1 与 1 的大小关系如何？ ab
ab0 , 1 0 ab
a 1 b 1
ab
ab
11 ba
11 ab
结论：同号的两实数，它们倒数的大小与原实数的大小相反。
ab cd
ac bc cbdb
a
c
b
d
注意：性质5可以推广到n个同向不等式两边同时相加. 即：几个同向不等式的两边分别相加，所得的不等式与原不等式同向.
练习:若-1<x<2,1<y<10,则 x+y 的范围是__(_0_,_1__2_).
拓展:你还能求出 x-y 的范围吗？
性质5： 辨析思考
课堂小结
等式的性质 a＝b⇔b＝a a＝b，b＝c⇒a＝c a＝b⇔a＋c＝b＋c
a＝b⇒ac＝bc
不等式的性质 性质1：a>b⇔b<a 性质2：a>b，b>c⇒a>c 性质3：a>b⇔a＋c>b＋c
性质4：a>b，c>0⇒ac>bc；a>b，c<0⇒ac<bc
a＝b，c＝d⇒a＋c＝b＋d
a＝b，c＝d⇒ac＝bd a＝b≥0⇒an＝bn
(a
b)
(b
c)
0
ac0 a c
类比“(3)若a b，则a c b c”得
性质3：如果a>b，那么a+c>b+c. 即 a b a c b c 可 加 性
最新人教A版高中数学必修一 第二章 第1节等式性质与不等式性质 第1课时不等关系与不等式
2．1 等式性质与不等式性质第1课时 不等关系与不等式教材要点要点一 不等式与不等关系1．不等式的定义所含的两个要点(1)不等符号________________或________． (2)所表示的关系是________________．(1)不等式a ≥b 含义是指“a ＞b, 或者a ＝b\”，等价于“a 不小于b\”，即若a ＞b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≥b 正确．(2)不等式a ≤b 含义是指“a ＜b ，或者a ＝b\”，等价于“a 不大于b\”，即若a ＜b 或a ＝b 中有一个正确，则a ≤b 正确．要点二 比较两个实数a ，b 大小的依据 1．文字叙述如果a －b 是________，那么a ＞b ； 如果a －b ________，那么a ＝b ；如果a －b 是________，那么a ＜b ，反之也成立． 2．符号表示a －b ＞0⇔a ________b ； a －b ＝0⇔a ________b ； a －b ＜0⇔a ________b .状元随笔 比较两实数a ，b 的大小，只需确定它们的差a －b 与0的大小关系，与差的具体数值无关．因此，比较两实数a ，b 的大小，其关键在于经过适当变形，能够确认差a －b 的符号，变形的常用方法有配方、分解因式、通分等．要点三重要不等式∀a，b∈R，有a2＋b2________2ab，当且仅当a＝b时，等号成立．基础自测1．思考辨析(正确的画“√”，错误的画“×”)(1)两个实数a，b之间，有且只有a＞b，a＝b，a＜b三种关系中的一种．()(2)若ab ＞1，则a＞b.()(3)a与b的差是非负实数，可表示为a－b＞0.()(4)因为∀a，b∈R，(a－b)2≥0，所以a2＋b2≥2ab.()2．某路段竖立的的警示牌，是指示司机通过该路段时，车速v km/h应满足的关系式为()A．v＜60 B．v＞60C．v≤60 D．v≥363．设M＝x2，N＝－x－1，则M与N的大小关系是()A．M＞N B．M＝NC．M＜N D．与x有关4．已知x＜1，则x2＋2与3x的大小关系是________．题型1用不等式(组)表示不等关系例1(1)某车工计划在15天里加工零件408个，最初三天中，每天加工24个，则以后平均每天至少需加工多少个，才能在规定的时间内超额完成任务？求解此问题需要构建的不等关系为________．(2)某钢铁厂要把长度为4 000 mm的钢管截成500 mm和600 mm的两种钢管．按照生产的要求，600 mm的钢管数量不能超过500 mm钢管的3倍．怎样写出满足上述所有不等关系的不等式组呢？方法归纳用不等式(组)表示不等关系的步骤(1)审清题意，明确表示不等关系的关键词语：至多、至少、大于等．(2)适当的设未知数表示变量．(3)用不等号表示关键词语，并连接变量得不等式．此类问题的难点是如何正确地找出题中的隐性不等关系，如由变量的实际意义限制的范围．跟踪训练1(1) 中国“神舟七号\”宇宙飞船的飞行速度v不小于第一宇宙速度7.9 km/s，且小于第二宇宙速度11.2 km/s.表示为____________．(2)已知甲、乙两种食物的维生素A，B含量如下表：56 000单位维生素A 和63 000单位维生素B.试用不等式表示x ，y 所满足的不等关系．题型2 实数(式)的比较大小例2 已知a ＞0，试比较a 与1a 的大小．方法归纳用作差法比较两个实数大小的四步曲跟踪训练2 (1)已知a ∈R ，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p 与q 的大小关系为( ) A ．p ＞q B ．p ≥q C ．p ＜q D ．p ≤q(2)已知b ＞a ＞0，m ＞0，比较b+ma+m 与ba 的大小．题型3比较大小在实际问题中的应用例32021年5月1日某单位职工去瞻仰毛泽东纪念馆需包车前往．甲车队说：“如果领队买全票一张，其余人可享受7.5折优惠\”，乙车队说：“你们属团体票，按原价的8折优惠．”这两车队的原价、车型都是一样的，试根据单位的人数，比较两车队的收费哪家更优惠．方法归纳现实生活中的许多问题能够用不等式解决，其解题思路是将解决的问题转化成不等关系，利用作差法比较大小，进而解决实际问题．跟踪训练3甲、乙两家饭馆的老板一同去超市购买两次大米，这两次大米的价格不同，两家饭馆老板购买的方式也不同，其中甲每次购进100千克大米，而乙每次用去100元钱．问：谁的购买方式更合算？课堂十分钟1．(多选)下列说法正确的是()A．某人月收入x不高于2 000元可表示为“x＜2 000\”B．小明的身高x cm，小华的身高y cm，则小明比小华矮表示为“x＞y\”C．某变量x至少为a可表示为“x≥a”D．某变量y不超过a可表示为“y≤a”2．若m＝x2－1，n＝2(x＋1)2－4(x＋1)＋1，则m与n的大小关系是()A．m＜n B．m＞nC．m≥n D．m≤n3．某学校为高一3班男生分配宿舍，如果每个宿舍安排3人，就会有6名男生没有宿舍住，如果每个宿舍安排5人，有一间宿舍不到5名男生，那么该学校高一3班的男生宿舍可能的房间数量是()A. 3或4B. 4或5C. 3或5D. 4或64．若x＝(a＋3)(a－5)，y＝(a＋2)(a－4)，则x与y的大小关系是____________．5．糖水在日常生活中经常见到，可以说大部分人都喝过糖水．下列关于糖水浓度的问题，能提炼出一个怎样的不等式呢？(1)如果向一杯糖水里加点糖，糖水变甜了；(2)把原来的糖水(淡)与加糖后的糖水(浓)混合到一起，得到的糖水一定比淡的浓、比浓的淡．2．1等式性质与不等式性质第1课时不等关系与不等式要点一1．(1)＜、≤、＞、≥≠(2)不等关系要点二1．正数等于0负数2．>＝<要点三≥[基础自测]1．(1)√(2)×(3)×(4)√2．答案：C3．答案：A4．答案：x2＋2＞3x题型探究·课堂解透例1 解析：(1)设该车工3天后平均每天需加工x 个零件，加工(15－3)天共加工12x 个零件，15天里共加工(3×24＋12x )个零件，则3×24＋12x ＞408.故不等关系表示为72＋12x ＞408.(2)设截得500 mm 的钢管x 根，截得600 mm 的钢管y 根．根据题意，应有如下的不等关系：①截得两种钢管的总长度不超过4 000mm.②截得600 mm 钢管的数量不能超过500 mm 钢管数量的3倍．③截得两种钢管的数量都不能为负．要同时满足上述的三个不等关系，可以用下面的不等式组来表示：{500x +600y ≤4 000，3x ≥y ，x ≥0，y ≥0，x ∈N +，y ∈N +.答案：(1)72＋12x ＞408 (2)见解析跟踪训练1 解析：(1)“不小于”即大于或等于，故用不等式表示为：7.9≤v ＜11.2. (2)x kg 甲种食物含有维生素A 600x 单位，含有维生素B 800x 单位，y kg 乙种食物含有维生素A 700y 单位，含有维生素B 400y 单位，则x kg 甲种食物与y kg 乙种食物配成的混合食物总共含有维生素A(600x ＋700y )单位，含有维生素B(800x ＋400y )单位，则有{600x +700y ≥56 000，800x +400y ≥63 000，x ≥0，y ≥0，即{6x +7y ≥560，4x +2y ≥315，x ≥0，y ≥0.答案：(1)7.9≤v ＜11.2 (2)见解析 例2 解析：因为a －1a ＝a 2−1a＝(a−1)(a+1)a ，a ＞0所以当a ＞1时，(a−1)(a+1)a＞0，有a ＞1a ； 当a ＝1时，(a−1)(a+1)a＝0，有a ＝1a ； 当a ＜a ＜1时，(a−1)(a+1)a＜0，有a ＜1a .综上，当a ＞1时，a ＞1a ； 当a ＝1时，a ＝1a ；当0＜a ＜1时，a ＜1a .跟踪训练2 解析：(1)由题意，p ＝(a －1)(a －3)，q ＝(a －2)2，则p －q ＝(a －1)(a －3)－(a －2)2＝a 2－4a ＋3－(a 2－4a ＋4)＝－1<0，所以p －q <0，即p <q .故选C.(2)作差：b+ma+m −ba ＝ab+am−ab−bm a (a+m )＝m (a−b )a (a+m ).∵b >a >0，m >0，∴a －b <0，a ＋m >0，∴m (a−b )a (a+m )＜0，∴b+m a+m ＜ba.答案：(1)C (2)见解析例3 解析：设该单位职工有n 人(n ∈N *)，全票价为x 元，坐甲车队的车需花y 1元，坐乙车队的车需花y 2元．由题意，得y 1＝x ＋34x ·(n －1)＝14x ＋34nx ，y 2＝45nx . 因为y 1－y 2＝14x ＋34nx －45nx ＝14x －120nx ＝14x (1−n5)， 当n ＝5时，y 1＝y 2； 当n ＞5时，y 1＜y 2； 当n ＜5时，y 1＞y 2，所以，当单位去的人数为5人时，两车队收费相同；多于5人时，选甲车队更优惠；少于5人时，选乙车队更优惠．跟踪训练3 解析：设两次大米的价格分别为a 元/千克，b 元/千克(a ＞0，b ＞0，a ≠b ，) 则甲两次购买大米的平均价格(元/千克)是：100(a+b )200＝a+b2.乙两次购买大米的平均价格(元/千克)是：200100a +100b＝21a +1b＝2aba+b ，因为a+b 2−2aba+b ＝(a+b )2−4ab 2(a+b )＝(a−b )22(a+b )＞0，所以a+b 2＞2aba+b .所以乙饭馆的老板购买大米的方式更合算．[课堂十分钟]1．答案：CD 2．答案：D 3．答案：B 4．答案：x <y5．解析：(1)设糖水b 克，含糖a 克，易知糖水浓度为a b ，加入m 克糖后的糖水浓度为a+mb+m，则提炼出的不等式为：若b ＞a ＞0，m ＞0，则a b ＜a+mb+m .(2)设淡糖水b 1，含糖a 1克，浓糖水b 2克，含糖a 2克， 易知淡糖水浓度为a 1b 1，浓糖水浓度为a2b 2，则混合后的糖水浓度为a 1+a 2b 1+b 2，则提炼出的不等式为：若b 1＞a 1＞0，b 2＞a 2＞0，且a1b 1＜a2b 2，则a1b 1＜a 1+a 2b 1+b 2＜a2b 2.。
不等式的基本性质[整理] [其它]
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第34课 不等式的基本性质【考点指津】1．不等式的概念用不等号（>、<或≠）联结而成的式子叫做不等式．2．两个实数大小的比较设a 、b ∈R ，则a>b 0>-⇔b a ，0<-⇔<b a b a ，这是比较两个实数大小和运用比较法的根据．3．不等式的性质性质1 a b b a <⇔> （对称性）性质2 a>b ，c a c b >⇒> （传递性）性质3 a>b ，c b c a +⇒+性质4 a>b ，bc ac c >⇒>0，a>b ，bc ac c <⇒<0以上是不等式的基本性质，以下是不等式的运算性质．性质5 a>b ，d b c a d c +>+⇒> （加法法则）性质6 a>b>0，bd ac d c >⇒>>0 （乘法法则）性质7 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （乘方法则）性质8 a>b>0，n n b a N n >⇒∈* （开方法则）不等式性质在证明不等式和解不等式中有广泛的应用，它也是高考的热点，通常是以客观题形式考查某些性质，有时在证不等式或解不等式过程中间接考查不等式性质． 在复习中，对不等式性质的条件与结论，要彻底弄清，特别是对不等式两边平方、开方或同乘上某个数（或式子）时，要注意所得不等式与原不等式是否同向，否则在解题时往往因忽略了某些条件而造成错误． 从知识的联系上看，不等式的性质与函数的单调性是相互联系的，因此比较一些实数大小的问题，从不等式性质与函数性质结合的角度去认识是必要的．【知识在线】1．下列命题中，正确的命题是（ ）①若a>b ，c>b ，则a>c ； ②a>b ，则0lg >ba ； ③若a>b ，c>d ，则ac>bd ； ④若a>b>0，则b a 11<；⑤若db c a >，则ad>bc ； ⑥若a>b ，c>d ，则a-d>b-c ． A ． ①② B ． ④⑥ C ． ③⑥ D ． ③④⑤2．下列命题中，正确的命题是（ ）A ．a 3>b 3，ab>0ba 11>⇒ B ． m>n>0，a>0a a n m >⇒ C ．b ac b c a >⇒> D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 3．下列命题中正确的是（ ）A ．若|a|>b ，则a 2>b 2B ． 若a>b>c ，则(a-b)c>(b-a)cC ． 若a>b ，c>d ，则a-b>c-dD ． 若a>b>0，c>d>0，即c bd a > 4．下列命题中，正确的命题是（ ）A ． 若ac>bc ，则a>bB ． 若a 2>b 2，则a>bC ． 若ba 11>，则a<b D ． 若b a <，则a<b 5．设命题甲：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<+<3042xy y x 命题乙：x 和y 满足⎩⎨⎧<<<<3210y x ，那么（ ）A ．甲是乙的充分条件，但不是乙的必要条件B ．甲是乙的必要条件，但不是乙的充分条件C ．甲是乙的充要条件D ．甲是乙的充分条件，也不是乙的必要条件【讲练平台】例1（2000年全国卷） 若a>b>1，P=b a lg lg ⋅，)lg (lg 21b a Q +=，)2lg(b a R +=，则（ ）．A ． R<P<QB ． p<Q<RC ． Q<P<RD ． P<Q<R分析一 借助对数函数单调性用基本不等式求解．解法一 ∵ a>b>1，∴ lga>lgb>0． ∴2lg lg lg lg b a b a +<⋅，即P<Q ．又∵2b a ab +<， ∴ 2lg lg b a ab +<． ∴ )2lg()lg (lg 21b a b a +<+，即Q<R ． ∴ P<Q<R ，故选B ．分析二 用特殊值法解解法二 取a=10000，b=100，则lga=4，lgb=2．∴ P=22，Q=3，R=lg5050．显然P<Q ，R=lg5050>lg1000=3=Q ．∴可排除A 、C 、D ． 故选B ．点评 不等式性质的考查常与幂函数、指数函数和对数函数的性质的考查结合起来，一般多以选择题的形式出现． 此类题目要求考生有较好、较全面的基础知识，一般难度不大．例2 若函数f(x)，g(x)的定义域和值域为R ，则f(x)>g(x)（x ∈R ）成立的充要条件是（ ）．A ． 有1个x ∈R ，使得f(x)>g(x)B ． 有无穷多个x ∈R ，使得f(x)>g(x)C ． 对R 中任意的x ，都有f(x)>g(x)+1D ． R 中不存在x ，使得f(x)≤g(x)分析 4个命题的关系在证明问题过程中经常使用． 原命题：若A 成立，则B 成立，逆命题：若B 成立，则A 成立；否命题：若A 成立则B 成立；逆否命题：若B 成立，则A 成立． 其中A ⇒B 与A B ⇒互为充要条件．由于对任意x ∈R ，f(x)>g(x)成立的逆否命题为：在R 中不存在x ，使f(x)≤g(x)成立． 答 选D ．点评 本题也可通过构造特殊函数，采用排除法解决． 值得强调的是：不等式的性质的考查方向将更加注重基础性、全面性． 题型灵活多变．例3 已知1≤a+b ≤5，-1≤a-b ≤3，求3a-2b 的取值范围．分析 本题应视a+b 与a-b 为两个整体．解 设a+b=u ，a-b=v ，则2v u a +=，2v u b -=． ∴v u b a 252123+=-． 由已知1≤u ≤5，-1≤v ≤3，易得-2≤3a-2b ≤10．点评 本题常见的错误解法是：由已知，得0≤a ≤4，-1≤b ≤3．进一步，得0≤3a ≤12，-6≤-2b ≤2．从而，得-6≤3a-2b ≤14．由解题过程知，u 与v 各自独立地在区间[1，5]与[-1，3]内取值，从而知v u 2521+可取[-2，10]内的一切值．在错误解法中，得到的0≤a ≤4，-1≤b ≤3已不表明a 与b 可各自独立地在区间[0，4]与[-1，3]内取值了． 如a=4，b=3，a+b=7已不满足1≤a+b ≤5． 得到的区间[0，4]与[-1，3]应这样理解：对于任意给定的p ∈[1，5]与q ∈[-1，3]，存在a ∈[0，4]，b ∈[-1，3]，使得a+b=p ，a-b=q ．不等式的性质与等式的性质不一样，一般不具有可逆性． 掌握不等式性质时要谨防与等式性质做简单类比而致错．【知能集成】1．对不等式性质，关键是正确理解和运用，要弄清每一性质的条件和结论、注意条件的放宽和加强，以及条件与结论之间的相互联系；不等式性质包括“单向性”和“双向性”两个方面． 单向性主要用于证明不等式，双向性是解不等式的基础． 因为解不等式要求的是同解变形．2．高考试题中，对不等式性质的考查主要是：(1) 根据给定的条件，利用不等式的性质、判断不等式或与之有关的结论是否成立．(2) 利用不等式的性质与实数的性质、函数性质的结合，进行数值大小的比较．(3) 判断不等式中条件与结论之间的关系，是充分条件或必要条件或充分必要条件．3．要注意不等式性质成立的条件，例如：在应用“a>b ，ab>0b a 11<⇒”这一性质时． 有些同学要么是弱化了条件得a>b b a b 1<⇒． 要么是强化了条件而得ba b a 110<⇒>>． 【训练反馈】1．（2001年上海春招卷）若a 、b 是实数，则a>b>0是a 2>b 2的（ ）A ． 充分不必要条件B ． 必要不充分条件C ． 充要条件D ． 既非充分条件也非必要条件2．若a>b ，c>d ，则下列不等关系中不一定成立的是（ ）A ． a-d>b-cB ． a+d>b+cC ． a-c>b-cD ． a-c<a-d3．已知a 、b 、c ∈R ，则下面推理中正确的是（ ）A ． a>b ⇒am 2>bm 2B ．b ac b c a >⇒> C ． a 3>b 3，ab>0b a 11<⇒ D ． a 2>b 2，ab>0ba 11<⇒ 4．（1999年上海卷）若a<b<0，则下列结论中正确的是（ ）A ．不等式b a 11>和||1||1b a >均不能成立 B ．不等式a b a 11>-和||1||1b a >均不能成立 C ．不等式a b a 11>-和22)1()1(ab b a +>+均不能成立 D ．不等式||1||1b a >和22)1()1(a b b a +>+均不能成立 5．当0<a<b<1时，下列不等式中正确的是（ ）A ． b b a a )1()1(1->-B ． (1+a)a >(1+b)bC ． a b a a )1()1(->-D ． b a b a )1()1(->-6．（2001年北京春招卷）若实数a 、b 满足a+b=2，则3a +3b 的最小值是（ ）A ． 18B ． 6C ． 32D ． 4327．a 、b 为不等的正数，k ∈N*，则(ab k +a k b)-(a k+1+b k+1)的符号为（ ）A ． 恒正B ． 恒负C ． 与a 、b 大小有关D ． 与k 是奇数或偶数有关8．不等式2>+xy y x 成立的充要条件是（ ） A ． x>y B ． x ≠y C ． x ≠y 或xy>0 D ． x ≠y 且xy>09．（2000年北京春招卷）已知函数f(x)=ax 3+bx 2+cx+d 的图象如图，则（ ）A ． )0,(-∞∈bB ． )1,0(∈bC ． )2,1(∈bD ． ),2(+∞∈b10．已知1≤a+b ≤4，-1≤a-b ≤2，则4a-2b 的取值范围为________．11．已知三个不等式：①ab>0，②bd a c ，③bc>ad ． 以其中两个作为条件，余下一个作为结论，则可以组成________个正确的命题，请用序号写出它们． 即_______． （把所有正确的命题都填上）12．已知f(x)=ax 2-c ，且-4≤f(1)≤-1，-1≤f(2)≤5，试求f(3)的最大值与最小值．。
数学教学中“类比法”的运用
数学教学中“类比法”的运用作者：梁晓辉来源：《现代教育科学·中学教师》2012年第02期在数学教学过程中，我们常常会有“似曾相识”的感觉，而且在不同分支、不同领域中会感到某种类似的成分。
如果我们把这些类似进行比较并加以联想的话，可能出现许多意想不到的结果和方法。
这种把类似进行比较、联想，由一个数学对象已知特殊性质迁移到另一个数学对象上去，从而获得另一个对象性质的方法就是类比法。
在数学教学中，根据教材特点运用类比的方法，既可以提高课堂教学的效果，又有助于培养学生类比的能力。
一、分式与分数的类比首先，要用与分数类比的方法导出分式概念、分式基本性质与分式的四则运算法则。
一个分数由分子、分母和分数线构成，分子、分母都是数，但分母不能是零。
为什么分母不能为零呢？因为零不能做除数，如果分子等于零，只要分母不是零，这个分数的值就是零。
再把分数的概念引申到代数式来，发现分式由分子、分母与分数线构成，分母中含有字母，这样就很自然地引入了分式的概念，接着指出分数与分式的区别所在：分数与分式形式相同，但分式中的分子、分母均为整式，且分母是含有字母的整式。
其次，在讲分式的基本性质时，先通过复习分数的基本性质来进行推想。
我们回忆如何做不同分母分数的加法，是先将异分母化为同分母，这是根据什么呢？根据分数的基本性质：分数的分子与分母都乘以(或除以)同一个不等于零的数，分数的值不变，分式是一般化了的分数，分式应该有，这里A、B、M是整式，根据分式的概念要求，由分数的基本性质应该想到。
因此，分式的基本性质是分式的分子与分母都乘以（或除以）同一个不等于零的整式，分式的值不变。
此外，当一个分数的分子分母有公因数时，我们就可以利用分数的基本性质，将分数中分子分母中的公因数约去，从而成为最简分数。
同理，由于分式也具有与分数相似的基本性质，所以我们也可以根据分式的基本性质将分式中分子分母中的公因式约去，化成最简分式。
（这个概念可由学生总结出）第三，两个分数相乘时，分子乘分子，分母乘分母；两个分式相乘时，也应该分子乘分子，分母乘分母，除去一个分数等于乘以这个分数的倒数。
一元一次不等式知识要点及典型题目讲解-
一元一次不等式知识要点及典型题目讲解一、全章教学内容及要求１、理解不等式的概念和基本性质２、会解一元一次不等式，并能在数轴上表示不等式的解集３、会解一元一次不等式组，并能在数轴上表示不等式组的解集二、技能要求1、会在数轴上表示不等式的解集。
2、会运用不等式的基本性质（或不等式的同解原理）解一元一次不等式。
3、掌握一元一次不等式组的解法，会运用数轴确定不等式组的解集。
三、重要的数学思想：1、通过一元一次不等式解法的学习，领会转化的数学思想。
2、通过在数轴上表示一元一次不等式的解集与运用数轴确定一元一次不等式组的解集，进一步领会数形结合的思想。
四、主要数学能力1、通过运用不等式基本性质对不等式进行变形训练，培养逻辑思维能力。
2、通过一元一次不等式解法的归纳及一元一次方程解法的类比，培养思维能力。
3、在一元一次不等式，一元一次不等式组解法的技能训练基础上，通过观察、分析、灵活运用不等式的基本性质，寻求合理、简捷的解法，培养运算能力。
五、类比思想：把两个（或两类）不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处。
这种数学思想通常称为“类比”，它体现了“不同事物之间存在内部联系”的唯物辩证观点，是发现数学真理和解题方法的重要手段之一，在数学中有着广泛的运用。
在本章中，类比思想的突出运用有：1、不等式与等式的性质类比。
对于等式（例如a=b）的性质，我们比较熟悉。
不等式（例如a>b或a<b）与等式虽然是不同的式子，表达的也是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似的地方，于是可推断在性质上两者也可能有某些相同或类似之处。
这就是“类比”思想的运用之一，它也是我们探索不等式性质的基本途径。
等式有两个基本性质：1、等式两边都加上（或减去）同一个数或同一个整式，等号不变。
（即两边仍然相等）。
2、等式两边都乘以（或除以）同一个不等于0的数，符号不变（即两边仍然相等）。
不等式及其基本性质
不等式及其基本性质教学容分析本节容主要有：不等式的概念、不等式的基本性质。
教材首先以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式的概念；然后类比等式的基本性质，对不等式的基本性质进行了讨论，得出不等式的五条基本性质，并运用他们解简单的不等式。
解不等式就是求出对其中未知数的大小的限制，有了这样的目标，再加上对不等式性质的认识，解不等式的方法就能很自然地产生。
教学中可以类比方程、等式的性质来讨论不等式及其性质。
教学环境分析利用多媒体技术可以方便地创设、改变和探索某种数学情境，在这种情境下，通过思考和操作活动，研究数学现象的本质和发现数学规律．根据如今我校实际教学环境及本节课的实际教学需要，我选择一体机多媒体教学系统辅助教学，另外借助一定的教学软件，如“几何画板”，“Powerpoint”等将有关教学容用动态的方式展示出来，让学生能够进行直观地观察，并留下清晰的印象，从而发现变化之中的不变．这样，吸引了学生的注意力，激发了学生学习数学的兴趣，有利于学生对知识点的理解和掌握。
课时分配1课时教学目标知识与技能目标1.了解不等式的概念，探索并掌握不等式的基本性质。
2.经历由具体实例建立不等式模型的过程，渗透数形结合思想、类比思想。
3.运用不等式的基本性质对不等式进行变形.过程与方法目标1.以实际问题为例，结合问题中的不等关系，引出不等式的概念。
2.对不等式的性质进行讨论，得出不等式的五条基本性质。
3.类比方程、等式的性质来讨论不等式、不等式的性质。
情感、态度与价值观目标1.引导学生经历“把实际问题抽象为不等式”的过程，能够“列出不等式表示问题中的不等关系”，体会不等式是刻画描写现实世界中不等关系的一种有效的数学模型。
2.通过具体情景的创设，使学生在生活中发现数学问题，感受数学在生活中的重要应用，激发学生对数学学习的热情。
3.引导学生探究不等式的性质，培养学生独立思考的学习习惯。
4.通过合作交流，强化学生的合作互助意识。
等式性质与不等式性质 2022-2023学年高一上学期数学人教A版(2019)必修第一册
bm b
5. 已知-1<x+y<4,2<x-y<3,求3x+2y的取值范围.
解:设 3x+2y=m(x+y)+n(x-y),
+ = ,
则
所以
- = ,
即
= ,
= .
3x+2y=(x+y)+(x-y).
因为-1<x+y<4,2<x-y<3,
所以-
所以-
思考:请你先梳理等式的基本性质，再观察它们的
共性.你能归纳一下发现等式基本性质的方法吗?
等式有下面的基本性质：
对称性
性质1 如果a=b，那么b=a;
性质2 如果a=b，b=c，那么a=c;
传递性
性质3 如果a=b，那么a±c=b±c； 可加性
性质4 如果a=b，那么ac=bc;
可积性
a b
性质5 如果a=b，c≠0，那么
C、a-c>b-d
D、a+c>b+d
2、下列命题中正确的是( C )
A、若a>b，则ac2>bc2
B、若a>b，c<d，则a+c>b+d
1 1
C、若ab 0, a b, 则
a b
a b
D、若a b, c d , 则
c d
3．设 2<a<3，-2<b<-1，则 2a-b 的范围是________．
练习： 已知 a>b>0，c<d<0，e<0，
e
等式性质与不等式性质
等式的基本性质
性质 1 如果 a b ，那么 b a ； 性质 2 如果 a b ， b c ，那么 a c ； 性质 3 如果 a b ，那么 a c b c ； 性质 4 如果 a b ，那么 ac bc ； 性质 5 如果 a b ， c 0 ，那么 a b ．
cc 以上性质中，性质 1,2 反映了相等关系自身的特性，性质 3,4,5 反 映了等式在运算中的不变性．
证明：因为 ab 0 则 1 0， ab
又因为 a b，
所以 a 1 b 1 ，
ab ab 即 11．
ab 此命题说明：同号两数取倒数，不等号方向改变．
课堂检测
1．用不等式或不等式组表示下面的不等关系： （1）某高速公路规定通过车辆的车货总高度 h（单位：m）从
地面起不超过 4 m； h≤4．
因此，不等式中任何一项可以改变符号后移到不等号的另一边．
不等式的基本性质
性质 4 如果 a b ， c 0 那么 ac bc ； 如果 a b ， c 0 那么 ac bc ． 即不等式两边同乘一个正数，所得不等式与原不等式同向； 不等式两边同乘一个负数，所得不等式与原不等式反向．
不等式的基本性质
（1）某路段限速 40 km/h；
设在该路段行驶的汽车的速度为 v km/h，“限速 40km/h”就是 v 的 大小不能超过 40，于是 0＜v≤40．
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于
2.5% ，蛋白质含量 p 应不少于 2.3% ；
由题意，得
f ≥2.5% p≥2.3%
问题 你能用不等式或不等式组表示下列问题中的不等关系吗？
（1）某路段限速 40 km/h；
（2）某品牌酸奶的质量检查规定，酸奶中脂肪的含量 f 应不少于 2.5% ，蛋白质含量 p 应不少于 2.3% ；
等式与不等式的关系
等式与不等式的关系在数学中，等式和不等式是两种常见的数学表达方式。
它们在代数、几何、函数等数学领域中都有广泛的应用。
本文将探讨等式与不等式的关系，解释它们之间的联系和区别，并探讨它们在数学问题中的应用。
一、等式的定义与特点等式是指两个数学表达式用“=”连接在一起的语句。
等式中的左右两边是相等的，表示同一个数或同一个数值表达式。
例如，2 + 3 = 5是一个等式，表示2 + 3和5相等。
在等式中，我们可以通过运算符的变换和移项来保持等式的成立性。
对于等式2 + 3 = 5，我们可以进行加法运算，将其变形成3 = 5 - 2，依然成立。
二、不等式的定义与特点不等式是指两个数学表达式用“<”、“>”、“≤”、“≥”等符号连接在一起的语句。
不等式中的左侧和右侧表示的是两个不同的数或数值表达式，并且两侧之间存在着大小关系。
例如，2 + 3 < 6是一个不等式，表示2 + 3小于6。
在不等式中，我们不能直接通过运算符的变换和移项来保持不等式的成立性，因为不等式的两侧存在大小关系。
对不等式进行运算时，需要保持不等式的方向性，并注意不等式运算的特性和规则。
三、等式与不等式的关系1. 换元法：等式可以转化为不等式，反之亦成立。
当两个表达式相等时，它们可以互相转化为等价的不等式形式。
例如，等式2 + 3 = 5可以转化为不等式2 + 3 ≤ 5或2 + 3 ≥ 5。
2. 近似值：等式可以变为近似不等式。
由于等式要求精确相等，而实际计算中常常存在误差和近似值，因此可以将等式转化为近似不等式，来反映近似的数值关系。
四、等式与不等式的应用等式和不等式在数学问题中都有广泛的应用。
下面以几个例子来说明它们的应用。
1. 方程求解：方程是一种等式，求解方程的过程就是寻找符合等式条件的数值。
通过求解方程，我们可以得到未知数的具体值，从而解决实际问题。
例如，解方程2x + 3 = 7可以求得x = 2，表示未知数x的值为2。
不等式的性质
不等式的性质目标：1. 类比等式的性质得到不等式的性质，理解不等式的性质及其证明；2. 掌握比较两个代数式大小的方法，理解其思维过程。
3. 培养学生灵活应变的解题能力和思考问题严谨周密的习惯。
重点：1. 类比的思想：2. 不等式的性质及其推论；难点：不等式的性质及其推论的证明内容：一、不等式的性质及其推论定理1：对称性(反身性)：a>b b<a；定理2：传递性：a>b,b>c a>c；c<b,b<a c<a；定理3：可加性：a>b a+c>b+c；推论：定理4：可乘性：a>b，c>0ac>bc；a>b，c<0ac<bc；推论1：推论2：可乘方：a>b>0a n>b n(n∈N，n>1)定理5：可开方：思考1：不等式性质中，容易错的有哪些？答：有条件限制的，如定理4及其推论、定理5，当缺少条件或条件不全时，即可产生假命题。
思考2：不等式性质中哪些条件对结论的成立是充要的？哪些条件对结论的成立是充分非必要的？答：充要的：定理1、定理3加一些条件作为大前提后是充要的：定理4：若c>0，则a>b ac>bc；若c<0，则a>b ac<bc；定理4的推论2：若a>0，b>0，则|a>b a n>b n(n∈N，n>1)定理5：若a>0，b>0，则充分非必要的：定理2、定理3推论、定理4推论1。
思考3：不等式中可以推广的性质：推广：在元素个数上。
(1)可加性(推论)：a1>b1,a2>b2,…，a n>b n,n∈N+，a1+a2+…+a n>b1+b2+…+b n；(2)可乘性(推论)：a1>b1>0，a2<b2<0，…,a n>b n>0a1a2…a n>b1b2…b n。
等式性质与不等式性质任务单
学习目标
（1）初步理解不等式的概念，能运用两个实数大小关系的基本事实比较式的大小关系，了解重要不等式的发现和证明的方法；
（2）类比等式的表达归纳用不等式表达不等关系的方法，体会数学知识的整体性和联系性；
（3）通过从实际问题的所蕴含的不等关系中抽象出不等阅读教科书第36至37页，了解本章的主要学习内容和学习方法，思考教科书第37页的问题1和问题2，初步写出答案（注：问题2只需要列出不等式，不需要解不等式）．
课上学习任务
【学习任务一】初步掌握从实际问题所蕴含的不等关系中抽象出不等式的方法．
【学习任务二】掌握两个实数大小关系的基本事实，能运用这个基本事实比较式的大小关系．
【学习任务三】了解重要不等式 及其发现和证明的方法.
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人教A版教材.
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不等式与等式的类比
一、不等式与等式的性质类比
初学不等式(例如a＞b或a＜b)时，我们对它的性质一无所知．但对于等式(例如a=b)的性质，我们倒比较熟悉．虽然不等式与等式是不同的式子，表达的是不同的数量关系，但它们在形式上显然有某些相同或类似之处，于是我们推断，在性质上，不等式与等式也可能有某些相同或类似之处．这就是“类比”思想的一种运用．它是探索不等式性质的基本途径．
我们知道，等式有如下性质：
等式基本性质1 等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，等号不变(即两边仍然相等)．
按“类比”思想考虑问题，我们自然会问：不等式是否具有与此相类似的性质呢？通过实例的反复检验，得到的回答是肯定的．即有
不等式基本性质1 不等式两边都加上(或减去)同一个数或同一个整式，不等号的方向不变(即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小)．
我们知道，等式还有如下性质：
等式基本性质2 等式两边都乘以(或除以)同一个不等于0的数，等号不变(即两边仍然相等)．
按“类比”思想考虑问题，我们自然又会问：不等式是否也具有与此相类似的性质呢？通过实例的反复检验，得到的回答也是肯定的．即有
不等式基本性质3 不等式两边都乘以(或除以)同一个正数，不等号的方向不变(即原来较大的一边仍然较大，原来较小的一边仍然较小)．
不等式基本性质4 不等式两边都乘以(或除以)同一个负数，不等号的方向改变(即原来较大的一边反而较小，原来较小的一边反而较大)．
我们知道，等式的基本性质是等式变形的根据．与此类似，不等式的基本性质是不等式变形的根据．
二、不等式与方程的解的类比
从形式上看，含有未知数的不等式与方程是类似的．按“类比”的思想考虑问题，我们可以仿效方程的解的意义，来明确不等式的解的意义．
我们知道，当x=2时，方程x＋3=5两边的值相等，2是方程x＋3=5的解；当x=3时，方程x＋3=5两边的值不相等，3不是方程x＋3=5的解．类似地，当x=1时，不等式x＋3＜5成立，我们说，1是不等式x＋3＜5的解；当x=2时，不等式x＋3＜5不成立，我们说，2不是不等式x＋3＜5的解．应当注意的是，不等式与方程的解的意义虽然非常类似，但它们的解的情况却有重大区别．一般地说，一元方程只有一个或几个解；而含有未知数的不等式，一般都有无数多个解．例如，方程
x＋3=5
只有一个解，就是x=2，在数轴上表示出来就是一个点，如下图：
而不等式
x＋3＜5
则有无数多个解——小于2的任何一个数都是它的解．它的解集是x＜2，在数轴上表示出来就是
三、不等式与方程的解法类比
从形式上看，一元一次不等式与一元一次方程是类似的．我们知道，利用等式的两条基本性质，可以求得一元一次方程的解．按“类比”的思想考虑问题，我们自然会推断：利用不等式的三条基本性质，采用与解一元一次方程相类似的步骤，便可以求得一元一次不等式的解集．
由于不等式与等式在形式上有相同或类似之处，它们在其他许多方面也就有相同或类似之处．因此，我们可以借鉴研究等式(包括方程)的思想方法，来考察不等式的有关问题．
一般地说，把两个(或两类)不同的数学对象进行比较，如果发现它们在某些方面有相同或类似之处，那么就推断它们在其他方面也可能有相同或类似之处．这就是“类比”思想，它是发现数学真理和解题方法的重要手段之一．我们应当深入领会，并自觉地运用到数学学习中去．。