特级教师工作室之变式题组：九(上)3.4.2圆心角定理的推论
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆心角的关系优秀教学案例
4.教师对学生的作业完成情况进行评价，关注学生的知识掌握程度、实践能力和创新思维。
五、案例亮点
1.生活情境的创设：本案例通过生活中的圆形物体导入新课，使学生能够直观地感受到数学与生活的紧密联系，提高了学生的学习兴趣和积极性。
4.强调圆周角和圆心角在几何图形中的重要性，及其在实际生活中的应用。
（三）学生小组讨论
1.教师提出讨论话题：“圆周角和圆心角之间的关系有什么应用？你们能想到哪些实际问题需要用到这一关系？”
2.学生分组进行讨论，分享自己的观点和发现。
3.教师巡回指导，针对不同小组的特点给予个性化的指导和建议。
（四）总结归纳
北师大版数学九年级下册3.4.2圆周角和圆ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ角的关系优秀教学案例
一、案例背景
北师大版数学九年级下册3.4.2“圆周角和圆心角的关系”这一节内容，是在学生已经掌握了圆的基本概念、圆的周长和面积等知识的基础上进行讲解的。本节内容主要让学生了解圆周角和圆心角之间的关系，即圆周角是圆心角的两倍。这一节内容对于学生来说，既是对圆的相关知识的一个巩固，又是为后续学习圆的更复杂性质和应用打下基础。
4.结合现实问题，如圆形场地、圆形路径等，让学生思考圆周角和圆心角在实际中的应用，提高学生解决实际问题的能力。
（二）问题导向
1.引导学生提出问题：圆周角和圆心角之间有什么关系？它们在几何图形中有什么特殊性质？
2.设计具有启发性的问题，如：为什么圆周角是圆心角的两倍？这个结论在实际生活中有哪些应用？
3.鼓励学生自主探索，引导学生通过对圆的性质的观察和推理，发现圆周角和圆心角之间的关系。
2.培养学生运用圆周角和圆心角的关系解决实际问题的能力，如计算未知角度等。
九年级数学上册第3章圆的基本性质3.4圆心角第2课时圆心角定理的推论练习浙教版(2021年整理)
2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.4 圆心角第2课时圆心角定理的推论同步练习（新版）浙教版编辑整理：尊敬的读者朋友们：这里是精品文档编辑中心，本文档内容是由我和我的同事精心编辑整理后发布的，发布之前我们对文中内容进行仔细校对，但是难免会有疏漏的地方，但是任然希望（2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.4 圆心角第2课时圆心角定理的推论同步练习（新版）浙教版）的内容能够给您的工作和学习带来便利。
同时也真诚的希望收到您的建议和反馈，这将是我们进步的源泉，前进的动力。
本文可编辑可修改，如果觉得对您有帮助请收藏以便随时查阅，最后祝您生活愉快业绩进步，以下为2018年秋九年级数学上册第3章圆的基本性质3.4 圆心角第2课时圆心角定理的推论同步练习（新版）浙教版的全部内容。
第3章圆的基本性质3。
4 圆心角第2课时圆心角定理的推论知识点圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系1．如图3－4－14，AB,CD是⊙O的两条弦，OM⊥AB，ON⊥CD，则:(1）如果AB＝CD，那么________，________，________；（2)如果错误!＝错误!,那么________，________，________；(3）如果∠AOB＝∠COD，那么________，________，________；(4)如果OM＝ON，那么________,________，________。
3－4－143－4－152．如图3－4－15所示,在⊙O中，错误!＝错误!，∠A＝30°，则∠B的度数是( )A．150° B．75° C．60° D．15°3．如图3－4－16，已知点A，B，C均在⊙O上，并且四边形OABC是菱形，那么∠AOC与2∠AOB之间的大小关系是（)A．∠AOC＞2∠AOB B．∠AOC＝2∠AOBC．∠AOC＜2∠AOB D．不能确定3－4－163－4－174．如图3－4－17，已知AB是⊙O的直径，C，D是错误!上的三等分点，∠AOE＝60°，则∠COE的度数为( ）A．40° B．60° C．80° D．120°5．如图3－4－18,圆心角∠AOB＝20°，将错误!旋转n°得到错误!，则错误!的度数是________．3－4－183－4－196．如图3－4－19,在⊙O中,C是弧AB的中点,∠A＝50°，则∠BOC＝________°.图3－4－207．如图3－4－20, O是圆心,且PO平分∠BPD，OE⊥AB，OF⊥CD，则下列结论：①AB＝CD;②错误!＝错误!；③PO＝PE；④错误!＝错误!;⑤PB＝PD，其中正确的是________（填写序号)．8．课本课内练习第2题变式如图3－4－21所示,在⊙O中，弦AB与弦CD相等．求证：错误!＝错误!.图3－4－219．2017·牡丹江如图3－4－22，在⊙O中，错误!＝错误!，CD⊥OA于点D，CE⊥OB于点E。
圆心角定理及其推论
圆心角定理及其推论
1.圆心角定理：
圆心角定理是一个数学定理，最早由欧几里得提出。
它的定义是：在一个平面或曲面内，给定任意不相等的两条弦，其对边分别能做出一个内角和一个外角，这两个角的总和
等于圆心的角的两倍。
2.推论：
圆心角定理的推论有很多，下面我们就来简单介绍一些：
（1）紧缩补定理：两个内角加上两条弦中夹角的一半，等于圆心角的两倍；
（2）扩展补定理：两个外角减去两条弦中夹角的一半，等于圆心角的两倍；
（3）弦背补定理：一条弦的两个内角加上另一条弦的两个外角，等于圆心角的两倍；
（4）内凹补定理：一条弦的两个外角减去另一条弦的两个内角，等于圆心角的两倍；
（5）外圆补定理：两条弦的两个内角中，任一个和两条弦夹角的一半，加上另一内
角减去夹角的另一半，等于圆心角的两倍；
（6）内圆补定理：两条弦的两个外角中，任一个和两条弦夹角的一半，减去另一外
角加上夹角的另一半，等于圆心角的两倍。
3.实际应用：
圆心角定理在几何中有广泛的应用，如：
（1）寻找多边形的三角型内切圆；
（2）确定两个相距远的圆的位置关系；
（3）确定多条弧线的位置关系；
（4）定位三角形的内心。
二、总结
圆心角定理是一个经典的几何定理，它解释了在一定条件下，任意两条无关的弦所对
应的角度和总和与圆心角相等这一规律。
它的推论可帮助我们在几何形状的构建和计算中，更快捷、更准确地求解出想要的结果。
圆心角定理在工程实际中也有着重要使用，能帮助
专家们准确精准地完成计算任务和构建工程图纸。
九年级数学上册《圆心角》教案、教学设计
3.拓展提高题：
-选择一道具有一定难度的题目，涉及圆心角与圆周角的综合应用。
-例如：已知一个圆的半径为5cm，求圆内接正六边形的边长和面积。
-学生通过思考和探索，培养几何直观和逻辑思维能力。
4.小组合作题：
-以小组为单位，共同完成一道较复杂的几何题目，要求小组成员共同讨论、分析，共同解决问题。
九年级数学上册《圆心角》教案、教学设计
一、教学目标
（一）知识与技能
1.理解圆心角的定义，掌握圆心角的度量和计算方法。
-掌握圆心角与圆周角的概念及其关系。
-学会使用量角器、圆规等工具测量圆心角。
-掌握圆心角与弧度的互换计算。
2.能够运用圆心角定理解决实际问题，如圆中弧长、圆周长、圆面积的计算。
-掌握圆心角定理及其推论。
1.学生需按时完成作业，字迹工整，表述清晰。
2.家长要关注学生的学习情况，协助学生检查作业，签字确认。
3.教师要及时批改作业，给予反馈，针对学生的薄弱环节进行有针对性的辅导。
-例如：已知圆的直径为10cm，圆内有一条弦长为8cm，求这条弦所对的圆心角的度数。
-通过合作交流，培养学生的团队协作能力和沟通能力。
5.思维导图总结：
-要求学生利用课后时间，绘制一张关于圆心角的思维导图，梳理所学知识点及其相互关系。
-学生可以通过思维导图，加深对圆心角知识的理解和记忆。
作业布置要求：
-通过实际生活中的例子，如自行车轮子、风扇等，引入圆心角的概念。
-设计有趣的问题和练习，引导学生主动发现圆心角的性质和计算方法。
2.采用直观演示、动手操作、合作交流等教学策略，帮助学生掌握圆心角的知识。
人教版九年级数学上册优秀教学案例：圆周角定理及推论(习题课)
（五）作业小结
1.布置具有针对性的作业，让学生巩固所学知识。设计一些与圆周角定理及其推论相关的习题，让学生在课后进行练习，巩固所学知识。
2.鼓励学生进行自总结，发现自己的不足，调整学习策略。让学生对自己的学习过程进行总结，反思自己在学习中的优点和不足，为下一步学习做好准备。
3.及时反馈，指导学生改进。对学生的作业进行及时批改，指出他们的错误，并给予有针对性的指导，帮助他们改进学习方法。
3.及时反馈，指导学生改进。对学生的学习情况进行实时监控，及时发现并指出他们的错误，指导他们改进学习方法。
4.组织学生进行互评、他评。鼓励学生相互评价，发现他人的优点，学习他人的长处，提高自己的学习能力。同时，教师也要积极参与评价，为学生提供宝贵的意见和建议。
四、教学内容与过程
（一）导入新课
1.利用多媒体展示一段关于圆周角定理发现历程的动画，让学生了解圆周角定理的起源和发展。通过生动形象的动画演示，引导学生进入学习状态，激发他们的学习兴趣。
1.利用多媒体展示圆周角定理的发现过程，让学生身临其境地感受圆周角定理的产生背景。通过生动形象的动画演示，引导学生理解圆周角定理及其推论的意义。
2.创设实际问题情境，让学生运用圆周角定理及其推论解决实际问题。例如，设计一些与圆相关的几何题目，让学生在解答过程中，自然地运用所学知识。
3.设计具有挑战性的探究活动，激发学生的好奇心。例如，让学生探讨圆周角定理在复杂几何图形中的应用，引导学生深入研究，提高他们的问题解决能力。
九上 圆心角 知识点+例题+练习 5种题型 (分类全面)
知识点、圆心角、弧、弦之间的关系定理：在同圆或等圆中，相等的圆心角所，所对的弦相等。
推论：在同圆或等圆中，如果两个圆心角、两条弧、两条弦中有一组量相等，那么他们所对应的其余各组量都分别相等。
题型1：圆心角性质和推论例1、如图，在△ABC中，∠A=70°，☉O截△ABC的三边所得的弦长相等，则∠BOC的度数为题型2：圆心角性质和推论与综合证明例1、如图，点O在∠MPN 的平分线上，☉O 分别交P N、PM 于点A、B 和点C、D．求证：∠PCO=∠NAO．E D C B A O 题型 1：圆周角性质的综合应用例 1、将量角器按如图所示的方式放置在三角形纸板上，使顶点 C 在半圆上， 点 A 、B 的读数分别为 100°、150°，则∠ACB 的大小为 度．例 2 、如图，量角器的直径与直角三角板 ABC 的斜边 AB 重合，其中量角器 0 刻度线的端点 N 与点 A 重合，射线 CP 从 CA 处出发沿顺时针方向以每秒 3 度的速度旋转，CP 与量角器 的半圆弧交于点 E ，第 24 秒，点 E 在量角器上对应的读数是 °．例3.如图,AB 是半圆O 的直径,AC=AD,OC=2,∠CAB= 30 °, 则点O 到CD 的距离OE=______.例4、如图，AD 是∆ABC 的高，AE 是∆ABC 的外接圆的直径．试说明弧BE=弧CFDF例5、已知：如图，P 是∠AOB 的角平分线OC 上的一点，⊙P 与OA 相交于E ，F 点，与OB 相交于G ，H 点，试确定线段EF 与GH 之间的大小关系，并证明你的结论．例6、已知：⊙O 的半径OA =1，弦AB 、AC 的长分别为2，3，求∠BAC 的度数．例7、已知：如图，为的直径，交于点，交于点．（1）求的度数；（2）求证：．AB O ⊙AB AC BC =，O ⊙D AC O ⊙45E BAC ∠=，°EBC ∠BD CD =，BF与AD 例8、已知：如图，BC是⊙O的直径，AD⊥BC，垂足为D，BA AF 交于E，•求证：AE=BE．例9．已知：如图，∠AOB=90°，C、D是AB的三等分点，AB分别交OC、•OD•于点E、F．求证：AE=BF=CD．题型2：圆中截长补短证线段间数量关系例 1、如图，△ABC 是等边三角形，D 是 B C 上任一点，请判断 BD、CD 和DA 间的关系．题型5：90O的圆周角所对的弦是直径应用例1、下列格点图中都给出了圆，只用直尺就能确定圆心的是( )A B C D例 2 、如图，A、B、E、C 四点都在圆O上，AD 是△ABC 的高，∠EAB＝∠DAC，问：AE 是⊙O 的直径吗？为什么？。
人教版数学九年级圆心角和圆周角关系定理的理解和解题运用
人教版数学九年级圆心角与圆周角关系定理的理解与解题运用一、知识解读1、圆周角与圆心角的关系：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对圆心角的一半。
在理解关系定理的内涵时，要理清如下几点：①定理的使用范围：必须在同圆中，这是一种情况；第二是必须在等圆中。
否则，不能乱用定理。
②理解好两种等量关系一是同弧所对的圆周角相等，二是等弧所对的圆周角相等。
这是寻找角相等的基本方向。
③确定准圆周角的度数大小一是同弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。
二是等弧所对的圆周角相等，且等于这条弧所对圆心角的一半。
④理解好“一半”的意义在这里，有两层意义：一是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数不知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1，所对的圆心角是∠2，则∠1=21∠2，或∠2=2∠1， 二是当同弧或等弧所对的圆周角与圆心角度数知道时，满足如下等量关系： 设所对的圆周角是∠1=x °，所对的圆心角是∠2=y °，则x=21 y °，或y=2 x °， 2、推论在同圆或等圆中，半圆所对的圆周角是直角；直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
二、考点剖析考点1、直接用定理例1、如图1所示，⊙O 中，弦AB DC ，的延长线相交于点P ，如果120AOD ∠=o ，25BDC ∠=o ，那么P ∠= ．方法解读：∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，根据定理就能求∠ABD 的度数； ∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ；这样，就把所求与已知联系起来了。
解：因为，∠AOD 、∠ABD 是同一条弧，AD 弧上的圆心角和圆周角，所以，∠ABD=21∠AOD=21×120°=60°， 因为，∠ABD 是三角形PBD 的一个外角，所以，∠ABD=∠BDC+∠P ，因为，∠BDC=25°，所以，∠P=60°-25°=35°。
【浙教版】2017年秋九上数学：3.4.2-圆心角定理的推论-讲练课件(含答案)
图3－4－11
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
变 式 跟 进
3 如图 3－4－12 所示， A， B， C 为⊙O 上 的 三 点
，
︵ ︵ ︵ 且有AB＝BC＝CA，连结 AB，BC，CA. ( 1 ) 试 确 定 △ABC 的 形 状 ； ( 2 ) 若 AB＝a，求⊙O 的 半 径 ．
全效学习 学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
变式跟进 2 如图 3－4－11 所示，已知 ⊙O 中的弦 AB＝CD. ︵ ︵ 求证：(1)AC＝BD； (2)∠AOC＝∠BOD.
︵ ︵ 证明： (1) ∵ AB＝ CD，∴AB＝ CD. ︵ ︵ ︵ ︵ ∴AB－BC＝CD－ BC. ︵ ︵ 即AC＝BD. ︵ ︵ (2) 由 (1) 知AC＝BD， ∴∠ AOC ＝∠ BOD .
或所对的圆心角是否相等入手；要解决弦相等的问题，可
以从它们所对的弧、所对的圆心角或弦心距是否相等入 手．
全效学习 学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
探要点·究所然
类型之一 行计算
例 1 [2014· 贵港]如图 3－4－8，AB 是 ︵ ︵ ︵ ⊙O 的直径，BC＝CD＝DE，∠COD ＝34°，则∠AEO 的度数是( A A．51° B．56° C．68° D．78° )
【点悟】 在同圆或等圆中，弦相等，则它们所对的圆心
角也相等．
全效学习 学案导学设计
填要点 ·记疑点
探要点 ·究所然
当堂测 ·查遗缺
变式跟进 1 如图 3－4－12，AB 是⊙O 的直径，E 是⊙O ︵ 上的一点，BE的度数为 40°，过点 O 作 OC∥BE 交⊙O 于 点 C，求∠BCO 的度数．
北师大版九年级下册数学3.4.2圆周角与圆心角的关系(教案)
举例：如给出一个圆形花园，要求计算某段弧的长度或某块区域的面积。学生需要将实际问题抽象为数学模型，运用圆的相关知识解决问题。
（4）几何语言的准确表达：在解答几何问题时，学生需学会使用准确的几何语言描述问题和解答过程。
五、教学反思
在今天的课堂中，我们探讨了圆周角与圆心角的关系，我发现学生们对这个定理的理解和应用还存在一些困难。首先，圆周角定理的应用是学生们的一个弱点，他们在实际操作中往往难以把握如何将理论应用到具体的几何问题中。我意识到，我需要提供更多的例题和练习，让学生们通过不断的实践来加深理解。
此外，我也注意到，在小组讨论环节，有些学生并不是很积极，可能是因为他们对这个话题还不够自信。我应该在以后的课程中，更加注重鼓励学生发表自己的观点，哪怕这些观点并不完全正确，也要让他们感受到讨论的乐趣和成就感。
3.成果分享：每个小组将选择一名代表来分享他们的讨论成果。这些成果将被记录在黑板上或投影仪上，以便全班都能看到。，我们了解了圆周角与圆心角的基本概念、重要性和应用。同时，我们也通过实践活动和小组讨论加深了对这一知识点的理解。我希望大家能够掌握这些知识点，并在解决几何问题时灵活运用。最后，如果有任何疑问或不明白的地方，请随时向我提问。
还有一个值得注意的问题是，学生们在将几何语言应用到解答过程中时，表达还不够准确。这可能是因为他们对几何术语的记忆不够牢固，或者是对如何使用这些术语描述几何关系还不够清晰。我计划在接下来的课程中，专门安排一些时间来强化这一点，例如通过填空题或简答题的形式来训练学生们的几何语言表达能力。
（2）圆心角、弧、弦的关系：掌握在同圆或等圆中，这三者之间的相等关系及其推论。
举例：通过具体图形，展示当圆心角相等时，所对的弧和弦也相等；反之，当弧和弦相等时，所对的圆心角也相等。
北师大版九年级数学下册3.4.2圆周角定理的推论教案
三：
开放
训练
体现
应用
【应用举例】
例1如图3－4－81，四边形ABCD是圆内接四边形，∠BAD＝108°，E是BC延长线上一点，若CF平分∠DCE，则∠DCF的大小是()
A．52°B．54°图3－4－81
C．56°D．60°
九年级的学生已经具有独立思考的能力，因此，只要相信学生，给学生足够的时间去分析、思考，一定能够顺利解决问题.
处理方式：联系生活，思考实际问题，引入新课．
利用情景引入，吸引了学生学习时的注意力，激发了他们的求知欲望，使他们急于想知道答案，同时也在提出的问题中了解了本节课所要探究的内容，一举两得．
活动
二：
实践
探究
交流
新知
【探究1】自主探究圆周角定理的推论
如图3－4－72，BC是⊙O的直径，它所对的圆周角有什么特点？
【拓展提升】
例2如图3－4－82所示，AB是⊙O的直径，BD是⊙O的弦，延长BD到C，使AC＝AB，BD与CD的大小有什么关系？为什么？(先由学生分析讨论，然后师生共同分析)
图3－4－82
有助于巩固所学知识，提高学生的思维能力，培养学生综合运用知识的能力，并有助于拓展学生思维，激发学生学习兴趣，从而使学生的学习积极性和主动性都得到提高.
学生观察后，直接回答：∠BAD＋∠BCD＝180°.并说明理由：∵AC为⊙O的直径，∴∠ADC＝∠ABC＝90°，∴∠BAD＋∠BCD＝180°.
教师通过组织、点拨、引导，促进学生主动探索、积极思考、总结规律，充分发挥学生的主体作用.
活动
二：
实践
探究
交流
新知
变式训练：如图3－4－78，点C的位置发生了变化，∠BAD与∠BCD之间的关系还成立吗？
特级教师工作室之变式题组：九(上)3.4.1圆心角定理
一、精题精练
例题（九上数学P85第2题）：已知：如图，，，，是⊙上的点，∠1=∠2.求证：.
变式1：已知：在⊙中，∠=∠.求证：.
变式2：如图，是⊙的弦，，为弦上的两点，且，延长，分别交⊙于点，.求证：.
变式3：已知：在⊙中，∠∠.求证：.
二、问鼎巅峰
变式4：已知：在⊙中，，，.求⊙的半径.
1
2
本课题研究圆心角定理（在同圆或等圆钟中，相等的圆心角所对的弧相等，所对的弦相等）问题，这类问题的核心是圆心角相等.借助于圆心角相等，得到弧相等，或者得到弦相等.在很多问题中，弦相等为两个三角形全等提供边相等的条件.
例题：
即 变式1：
即
变式2：
变式3：在
上取点 ，使得 四、参考答案
三、回味展望
3
变式4：（解法1）延长 交 于点 ，连接 是直径
所以⊙ 的半径是5.
（解法2）过点 作 ⊥ ， ⊥ ，则 ， ，然后证明△ ≌△ ， ，所以 .。
九年级数学下册3.4.2圆周角和圆心角的关系教案1北师大版
课题：3。
4.2圆周角和圆心角的关系教学目标：1. 掌握圆周角定理的2个推论的内容.2。
会熟练运用推论解决问题.教学重点与难点：重点：圆周角定理的几个推论的应用。
难点：理解2个推论的“题设"和“结论".课前准备:教师准备多媒体课件。
教学过程：一、创设情境导入新课活动内容：前面，我们学习了圆周角定理及推论，请完成下列问题.1。
求图中∠x的度数：第1题第2题2.求图中∠x的度数:∠ABF=20°，∠FDE=30°处理方式：引导学生自行探究，然后集体交流，根据学生回答情况,设问：还有哪些推论？下面我们共同探究.设计意图：通过两个简单的练习，复习第一课时学习的圆周角和圆心角的关系.练习1是复习定理：圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半;练习2是复习定理的推论：同弧或等弧所对的圆周角相等.二、自主学习合作探究活动内容1：（1）观察图,BC 是⊙O 的直径,它所对的圆周角有什么特点？你能证明吗？处理方式:首先，让学生明确，“它所对的圆周角"指的是哪个角？（∠BAC ）然后，让学生猜想，这个角的特点,并拿量角器实际测量,看看猜测是否准确。
(∠BAC 是一个直角）最后，让学生自行考虑进行证明的方法。
引导应用圆周角和圆心角关系定理进行证明。
（多媒体展示）解：直径BC 所对的圆周角∠BAC =90°． 证明：∵BC 为直径， ∴∠BOC =180°．∴12BAC BOC ∠=∠．(圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半) （2)观察图，圆周角∠BAC =90°，弦BC 是直径吗?为什么？处理方式：首先,让学生猜想结果；然后,再让学生尝试进行证明.（多媒体展示） 解:弦BC 是直径. 连接OC 、OB ． ∵∠BAC =90°，∴∠BOC=2∠BAC =180°．（圆周角的度数等于它所对弧上的圆心角的度数的一半） ∴B 、O 、C 三点在同一直线上． ∴BC 是⊙O 的一条直径．（3)从上面的两个议一议，得出什么推论？处理方式：引导学生结合上面两题归纳,并用多媒体展示.直径所对的圆周角是直角；90°的圆周角所对的弦是直径。
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例题：已知弧AB 和弧CD 是⊙O 的两条劣弧，且弧AB =2×弧CD ，则弦AB 和CD 的大 小关系是（ ）
A ．A
B =2CD B ．AB ＞2CD
C ．AB ＜2C
D D ．以上答案都不对
变式一：在⊙O 中，弦AB 所对的劣弧为圆的，有以下结论：①
为60°，②∠AOB =60°，③∠AOB ==60°，④△ABO 为等边三角形，⑤弦AB 的长等于这个圆的半径．其中正确的是_____________________
变式二：如图，PO 是直径所在的直线，且PO 平分∠BPD ，OE 垂直AB ，OF 垂直CD ， 则：①AB =CD ；②弧AB 等于弧CD ；③PO =PE ；④弧BG 等于弧DG ；⑤PB =PD ；其中结论正确的是 （填序号）,并说明理由。
变式三：如图，AB 为⊙O 的一固定直径，它把⊙O 分成上，下两个半圆，自上半圆上一点C 作弦CD ⊥AB ，∠OCD 的平分线交⊙O 于点P ，当点C 在上半圆（不包括A ，B 两点）上移动时，点P （ ）
A ．到CD 的距离保持不变
B ．位置不变
C ．等分
D ．随C 点移动而移动
如图，CD 是⊙O 的直径，点A 是半圆上的三等分点，B 是弧AD 的中点，P 点为直线CD 上的一个动点，当CD =4时，
二、问鼎巅峰
一、精题精练
求：（1）AP+BP的最小值．（2）AP﹣BP的最大值．
三、回味展望
通过此课的学习，你对圆心角、弧、弦、弦心距之间的关系有深刻的了解了吗？
四、参考答案
例题：解：C变式一：①②④⑤变式二：①②④⑤变式三：B
问鼎巅峰：
解：（1）作点A关于CD的对称点A′，连接A′B，交CD于点P，则P A+PB最小，
连接OA′，AA′．
∵点A与A′关于CD对称，点A是半圆上的一个三等分点，
∴∠A′OD=∠AOD=60°，P A=P A′，
∵点B是弧AD的中点，
∴∠BOD=30°，
∴∠A′OB=∠A′OD+∠BOD=90°，
又∵OA=OA′=2，
∴A′B=2．
∴P A+PB=P A′+PB=A′B=2．
（2）连接AO，BO，AB，过点A作AN⊥OB，
∵CD是⊙O的直径，点A是半圆上的三等分点，B是弧AD的中点，CD=4，
∴∠AOB=30°，AN=AO=1，
∴ON=，BN=2﹣，
∴AP﹣BP最大值=AB==2．。