第一讲 一元二次不等式
新高一数学衔接课专题三 一元二次不等式(教案)
专题三 不等式第一讲 一元二次不等式及其解法【学习目标】（1）掌握一元二次不等式的解法；（2）通过利用二次函数的图象来求解一元二次不等式的解集，培养学生数形结合的数学思想；（3）通过研究函数、方程与不等式之间的内在联系，使学生认识到事物是相互联系、相互转化的，树立辨证的世界观．【学习重点】一元二次不等式的解法；【学习难点】弄清一元二次不等式与一元二次方程、二次函数的关系． 【教学方法】启发法，观察法，讨论法 【学法指导】类比归纳，数形结合 【教具】多媒体 【教学过程】探究一：①解方程023=+x ；②作函数23+=x y 的图像；③解不等式023>+x思考：在解决上述三问题的基础上分析，一元一次函数、一元一次方程、一元一次不等式之间的关系。
能通过观探究二：如何解不等式062>--x x ？【知识要点】一元二次不等式、一元二次方程、一元二次函数之间的关系：对一般的一元二次不等式02>++c bx ax 与02<++c bx ax 来进行讨论。
为简便起见，暂只考虑0>a 的情形。
请同学们思考下列问题：有两相等实根【实战演练】例1 解下列不等式：（1）02732<+-x x （2）0262≤+--x x （3）01442<++x x （4）0532>+-x x1211,22--+34332R ∞⋃∞答案：（）（）（）（，）（，）（）无解（）例2 (1)例若＜＜，则不等式－－＜的解是1 0a 1(x a)(x )01a_____1a x a <<________________例3 (1) 若ax 2＋bx －1＜0的解集为{x|－1＜x ＜2}，则a ＝___12_____，b ＝__12-______． (2)例有意义，则的取值范围是．2 x x 2--x 6(3)若代数式262-+x x 的值恒取非负实数，则实数x 的取值范围是 123x x ≥≤或 。
一元二次不等式教案5篇
一元二次不等式教案一元二次不等式教案5篇作为一名优秀的教育工作者，总不可避免地需要编写教案，借助教案可以更好地组织教学活动。
那么教案应该怎么写才合适呢？以下是小编整理的一元二次不等式教案，仅供参考，希望能够帮助到大家。
一元二次不等式教案1教学内容3.2一元二次不等式及其解法三维目标一、知识与技能1.巩固一元二次不等式的解法和解法与二次函数的关系、一元二次不等式解法的步骤、解法与二次函数的关系两者之间的区别与联系；2.能熟练地将分式不等式转化为整式不等式(组)，正确地求出分式不等式的解集；3.会用列表法,进一步用数轴标根法求解分式及高次不等式；4.会利用一元二次不等式，对给定的与一元二次不等式有关的问题，尝试用一元二次不等式解法与二次函数的有关知识解题.二、过程与方法1.采用探究法，按照思考、交流、实验、观察、分析得出结论的方法进行启发式教学；2.发挥学生的主体作用，作好探究性教学；3.理论联系实际，激发学生的学习积极性.三、情感态度与价值观1.进一步提高学生的运算能力和思维能力；2.培养学生分析问题和解决问题的能力；3.强化学生应用转化的数学思想和分类讨论的数学思想.教学重点1.从实际问题中抽象出一元二次不等式模型.2.围绕一元二次不等式的解法展开，突出体现数形结合的思想.教学难点1.深入理解二次函数、一元二次方程与一元二次不等式的关系.教学方法启发、探究式教学教学过程复习引入师：上一节课我们通过具体的问题情景，体会到现实世界存在大量的不等量关系，并且研究了用不等式或不等式组来表示实际问题中的不等关系。
回顾下等比数列的性质。
生：略师：某同学要把自己的计算机接入因特网，现有两种ISP公司可供选择，公司A每小时收费1.5元（不足1小时按1小时计算），公司B的收费原则是第1小时内（含恰好1小时，下同）收费1.7元，第2小时内收费1.6元以后每小时减少0.1元（若用户一次上网时间超过17小时，按17小时计算）那么，一次上网在多少时间以内能够保证选择公司A的上网费用小于等于选择公司B所需费用。
一元二次不等式解法步骤
一元二次不等式解法步骤摘要：一、一元二次不等式的基本概念1.一元二次不等式的定义2.一元二次不等式的基本形式二、一元二次不等式的解法步骤1.移项2.配方3.求解不等式三、一元二次不等式的应用1.实际问题中的应用2.数学问题中的应用正文：一、一元二次不等式的基本概念一元二次不等式是指形如ax+bx+c>0 或ax+bx+c<0 的数学表达式，其中a、b、c 是已知实数，且a≠0。
一元二次不等式在数学和实际问题中都有广泛的应用。
1.一元二次不等式的定义：对于一元二次不等式ax+bx+c>0 或ax+bx+c<0，我们称a、b、c 为不等式的系数，x 为未知数。
2.一元二次不等式的基本形式：一元二次不等式有三种基本形式，分别是：（1）ax+bx+c>0，称为严格不等式；（2）ax+bx+c=0，称为等式；（3）ax+bx+c<0，称为严格不等式。
二、一元二次不等式的解法步骤求解一元二次不等式通常采用以下步骤：1.移项：将不等式中的常数项移到不等式的另一边，使不等式变为ax+bx>-c 或ax+bx<-c 的形式。
2.配方：将不等式左边的二次项进行配方，使不等式变为(ax+b)>c或(ax+b)<c的形式。
3.求解不等式：根据(ax+b)>c或(ax+b)<c的形式，可以得到x 的解集。
三、一元二次不等式的应用一元二次不等式在实际问题和数学问题中都有广泛的应用，例如在物理、化学、经济等领域的问题中，以及在求解二次函数的顶点、最值等问题中。
1.实际问题中的应用：一元二次不等式常常用来描述实际问题中的数量关系，例如在经济学中，价格与需求量之间的关系可以表示为二次不等式。
2.数学问题中的应用：一元二次不等式在数学问题中也有很多应用，例如求解二次函数的顶点、最值等问题，通常需要先求解一元二次不等式。
新高一衔接班讲义(数学)[1]
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第一讲 一元二次不等式的解法（要求：本次课在学生学有余力的情况下，教师可以补充以下内容：1.可以将解一元二次不等式与解分式不等式合起来讲，并补充根式不等式、高次不等式、含一个绝对值符号的不等式的解法；2.一定要讲授立方和、立方差的分解公式；3.二次根式的化简。
） 【学习目标】1.复习因式分解（十字交差法，公式法）、解一元二次方程、画二次函数的图像 2通过图象, 理解并掌握一元二次不等式、二次函数及一元二次方程之间的关系 3学会解一元二次不等式、学会不等式解集的表示方法 【知识要点】1.二次函数与一元二次方程的性质如下表：2.(1)集合表示法：{}{}等。
或 b x a x b x a x x <<><|,|（2）区间表示法：设a 、b 是两个实数，且a <b ，则： {|}[,]x a x b a b ≤≤=叫 区间； {|}(,)x a x b a b <<=叫 区间； {|}[,)x a x b a b ≤<=，{|}(,]x a x b a b <≤=都叫半开半闭区间．实数集R 用区间(,)-∞+∞表示，其中“∞”读“ ”；“－∞”读“负无穷大”；“+∞”读“正无穷大”. 【合作交流】例1.分解因式：（1）x 2－3x ＋2= 2(2)53x x -+=训练1.．分解因式：（1）x 2＋4x －12= 2(2)21x x +-例2.作出二次函数（1）2(1)y x =-- （2）223y x x =--的图像；训练2.函数y ＝2x 2＋4x －5中，当－3≤x ＜2时，则y 值的取值范围是 （ ） （A ）－3≤y ≤1 （B ）－7≤y ≤1 （C ）－7≤y ≤11 （D ）－7≤y ＜11 例3. 解不等式：01282>+-x x训练3.（2012.湖南）不等式x 2-5x+6≤0的解集为______.例4.设不等式210ax bx ++>的解集为13{|1}x x -<<，求a b训练 4.已知二次不等式20ax bx c ++<的解集为1132{|}x x x <>或，求关于x 的不等式20cx bx a -+>【过关检测】1.多项式22215x xy y --的一个因式为 （ ）（A ）25x y - （B ）3x y - （C ）3x y + （D ）5x y - 2.分解因式（1）x 2＋6x ＋8； （2）x 2－2x －1；3.解方程：(1).x 2－14x +13=0 (2)1949x 2－1999x +50=0 (3).x 2－(4+)x +3+=0 (4).x 2－2000x +1999=04.求函数y=-3x 2-6x+2的顶点坐标，对称轴，最值5.解不等式（1）241290x x -+< （2）2440x x ++≥（3）23520x x +-≤ （4）2210x x --≤6.函数m x x y -+-=62的值恒小于0，那么实数m 的值满足（ ） >9 =92 <9 >927.如果关于x 的不等式5x 2－a ≤0的正整数解是1,2,3,4，那么实数a 的取值范围是( )． A ．80≤a ＜125 B ．80＜a ＜125C ．a ＜80D ．a ＞1258.已知函数y ＝x 2+2x －3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：（1）x ≤－2； （2）x ≤2； （3）－3≤x ≤－1；9.已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是( )．A ．(2,3)B ．(－∞，2)∪(3，＋∞)∪⎝ ⎛⎭⎪⎫12，＋∞【高考精典】(2011·广东)不等式2x 2－x －1＞0的解集是( )．B ．(1，＋∞)C ．(－∞，1)∪(2，＋∞) ∪(1，＋∞)【家庭作业】 1.分解因式（1）652+-x x （2）8224--x x2.解不等式（1）23720x x -+> （2）2223x x ->--.（3）0322>-+-x x . （4）0)1)(4(<-+x x3.不等式9x 2＋6x ＋1≤0的解集是( )．D ．R为 何值时，抛物线24321m m y xx m --=++-的顶点在x 轴下方（ ）A. m=5B. m=－1C. m=5,或m=－1D. m=15.在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为( )． A ．(0,2)B ．(－2,1)C ．(－∞，－2)∪(1，＋∞)D ．(－1,2)6.不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是( )． A ．－4≤a ≤4 B ．－4＜a ＜4 C ．a ≥4或a ≤－4 D ．a ＜－4或a ＞47.已知函数y ＝x 2+2x －3，当自变量x 在下列取值范围内时，分别求函数的最大值或最小值，并求当函数取最大（小）值时所对应的自变量x 的值：(1)－3≤x ≤0； (2)-3≤x≤1； (3)-3≤x≤28.不等式ax 2＋(ab ＋1)x ＋b ＞0的解集为{x |1＜x ＜2}，则a ＋b ＝________.9.已知)2)(1(222234++++=+++nx x mx x x x x ，那么n m +的值为（ ） （A ）1 （B ）2 （C ）1- （D ）2-第二讲《1.1.1集合的含义与表示》（要求：在课堂作业后，可以补充下面的习题：1.若y=1322++-x x x ∈ Z,且x ∈Z,求y 所有可能的取值； 2.若333++x x 是一个整数，且x 是正整数，求所有符合要求的x 的取值。
第1讲 一元二次方程与一元二次不等式解法
ax b k(k 0, a 0)， 即ax b k或ax b k(k 0, a 0)
按一元一次方程求解
（2）提公因式：形如ax2 bx 0(a 0) 提公因式得
x(ax b) 0(a 0)Leabharlann x 0，x b (a 0) a
（3）求根公式法：
1.方程ax2 bx c 0(a 0)的判别式 b2 4ac
2.三个一元二次之间的关系：
判别△=b2-4ac
△> 0
△= 0
ax2+bx+c =0
有两相异实 有两相等实根
(a>0)根 y =ax2+bx+c
根x1,x2 (x1<x2) x1=x2=
b
2a
y
y
(a>0)的图象
x1 O x2 x
△< 0 没有实根
y
ax2+bx+c >0(a>0)
的解集
{x|x<x1,x>x2}
2.方程ax2 bx c 0(a 0)有无实数根判定方法
（1）当 0时，方程有两个不相等的实数根。
（2）当 0时，方程有两个相等的实数根。
（3）当 0时，方程没有实数根。
3.方程ax2
bx c
0(a
0)的求根公式x1
b 2a
， x2
b 2a
4.韦达定理（根与系数的关系）：
方程ax2
Ox
x
{x|x≠ 1
b 2a
}
x
O
R
ax2+bx+c <0(a>0) 的解集
{x|x1<x<x2}
【例2】解下列不等式：
高中数学 第七章 第1讲 一元二次不等式及其解法
第七章 不等式第1讲 一元二次不等式及其解法分层训练A 级 基础达标演练(时间：30分钟 满分：60分)一、填空题(每小题5分，共30分)1．已知不等式ax 2－bx －1≥0的解集是⎣⎢⎡⎦⎥⎤－12，－13，则不等式x 2－bx －a ＜0的解集是________．解析 由题意知－12，－13是方程ax 2－bx －1＝0的根，所以由根与系数的关系得－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝b a ，－12×⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝－1a.解得a ＝－6，b ＝5，不等式x 2－bx －a ＜0即为x 2－5x ＋6＜0，解集为(2,3)．答案 (2,3)2．已知不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，则实数a 的取值范围是________． 解析 不等式x 2＋ax ＋4＜0的解集不是空集，只需Δ＝a 2－16＞0，∴a ＜－4或a ＞4.答案 (－∞，－4)∪(4，＋∞)3．(2012·南京二模)在R 上定义运算⊙：a ⊙b ＝ab ＋2a ＋b ，则满足x ⊙(x －2)＜0的实数x 的取值范围为________．解析 根据给出的定义得x ⊙(x －2)＝x (x －2)＋2x ＋(x －2)＝x 2＋x －2＝(x ＋2)(x －1)，又x ⊙(x －2)＜0，则(x ＋2)·(x －1)＜0，故这个不等式的解集是(－2,1)． 答案 (－2,1)4．(2012·南京师大附中调研)已知实数x ，y 满足1≤x 3y ≤4，2≤x 2y 2≤3，则xy 的取值范围是________．解析 xy ＝x 3y ·y 2x 2，∵1≤x 3y ≤4，13≤y 2x 2≤12，∴13≤xy ≤2.答案 ⎣⎢⎡⎦⎥⎤13，2 5．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧x 2，x ≤0，x ＋1，x ＞0，则f (x )＞x 的解集为________． 解析 由题意知⎩⎨⎧ x ≤0，x 2＞x 或⎩⎨⎧ x ＞0，x ＋1＞x ， 解得x ＜0或x ＞0，即x ≠0.答案 {x |x ≠0}6．(2013·苏中六校联考)已知函数f (x )＝x 2－|x |，若f (－m 2－1)<f (2)，则实数m 的取值范围是________．解析 因为f (－x )＝(－x )2－|－x |＝x 2－|x |＝f (x )，所以函数f (x )为偶函数．所以f (－m 2－1)＝f (m 2＋1)，因为m 2＋1≥1,2>1且f (x )在[1，＋∞)上为增函数，所以m 2＋1<2，解得－1<m <1.答案 (－1,1)二、解答题(每小题15分，共30分)7．已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立，求实数a 的取值范围． 解 原不等式等价于(a ＋2)x 2＋4x ＋a －1＞0对一切实数恒成立，显然a ＝－2时，解集不是R ，因此a ≠－2，从而有⎩⎨⎧ a ＋2＞0，Δ＝42－4(a ＋2)(a －1)＜0，整理得⎩⎨⎧ a ＞－2，(a －2)(a ＋3)＞0，所以⎩⎨⎧ a ＞－2，a ＜－3，或a ＞2，所以a ＞2.故a 的取值范围是(2，＋∞)．8．(2012·宿迁联考)已知集合A ＝{x |x 2－(3a ＋3)x ＋2(3a ＋1)＜0，x ∈R }，集合B＝⎩⎨⎧⎭⎬⎫x ⎪⎪⎪x －a x －(a 2＋1)＜0，x ∈R .(1)当4∉B 时，求实数a 的取值范围；(2)求使B ⊆A 的实数a 的取值范围．解 (1)若4∈B ，则4－a 3－a 2＜0⇔a ＜－3或3＜a ＜4. ∴当4∉B 时，实数a 的取值范围为[－3，3]∪[4，＋∞)．(2)∵A ＝{x |(x －2)(x －3a －1)＜0}，B ＝{x |a ＜x ＜a 2＋1}．①当a ＜13时，A ＝(3a ＋1,2)，要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧ a ≥3a ＋1，a 2＋1≤2，此时－1≤a ≤－12. ②当a ＝13时，A ＝∅，使B ⊆A 的a 不存在．③当a ＞13时，A ＝(2,3a ＋1)，要使B ⊆A ，必须⎩⎨⎧a ≥2，a 2＋1≤3a ＋1，此时2≤a ≤3.综上可知，使B ⊆A 的实数a 的取值范围是[2,3]∪⎣⎢⎡⎦⎥⎤－1，－12. 分层训练B 级 创新能力提升1．(2012·南京外国语学校检测)若不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，则a 的取值范围为________．解析 不等式ax 2＋ax ＋(a －1)＜0的解集是全体实数，所以a ＝0时满足题意，当a ＜0时，判别式Δ＜0，得a ＜0，故a ∈(－∞，0]．答案 (－∞，0]2．已知函数f (x )＝⎩⎨⎧－x ＋1，x ＜0，x －1，x ≥0，则不等式x ＋(x ＋1)f (x ＋1)≤1的解集是________．解析 若x ＜－1，则f (x ＋1)＝－x ，于是由x －x (x ＋1)≤1，得x 2≥－1，所以x ＜－1.若x ≥－1，则f (x ＋1)＝x ，于是由x ＋x (x ＋1)≤1，得x 2＋2x －1≤0，解得－1－2≤x ≤－1＋2，所以－1≤x ≤2－1.综上得x ≤ 2－1.答案 (－∞，2－1]3．设函数f (x )＝x －1x ，对任意x ∈[1，＋∞)，f (mx )＋mf (x )<0恒成立，则实数m的取值范围是________．解析 由题意，得f (mx )＋mf (x )<0可化为2mx 2<m ＋1m ， ①①当m >0时，不等式可化为x 2<12＋12m 2，∴∀x ∈[1，＋∞)，上述不等式不成立，这样的m 不存在；②当m <0时，不等式①可化为x 2>12＋12m 2.∵∀x ∈[1，＋∞)，x 2有最小值1.∴12＋12m 2<1，解得m ∈(－∞，－1)∪(1，＋∞)．∴m <－1，即m 的取值范围为(－∞，－1)．答案 (－∞，－1)4．(2012·济南模拟)若关于x 的不等式x 2＋12x －⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≥0，对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立，则实数λ的取值范围是________．解析 由已知得x 2＋12x ≥⎝ ⎛⎭⎪⎫12n 对任意n ∈N *在x ∈(－∞，λ]上恒成立． ∵⎝ ⎛⎭⎪⎫12n ≤12，n ∈N *； ∴x 2＋12x ≥12在x ∈(－∞，λ]上恒成立．解不等式x 2＋12x ≥12，得x ≤－1或x ≥12，∴当λ≤－1时，x 2＋12x ≥12在(－∞，λ]恒成立．答案 (－∞，－1]5．已知f (x )＝－3x 2＋a (6－a )x ＋b .(1)解关于a 的不等式f (1)＞0；(2)若不等式f (x )＞0的解集为(－1,3)，求实数a ，b 的值．解 (1)由f (1)＞0，得－3＋a (6－a )＋b ＞0，即a 2－6a ＋3－b ＜0.Δ＝(－6)2－4(3－b )＝24＋4b .①当Δ≤0，即b ≤－6时，原不等式解集为∅.②当Δ＞0时，即b ＞－6时，方程有两根x 1＝3－6＋b ，x 2＝3＋6＋b ，所以不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．综上所述：b ≤－6时，原不等式解集为∅；b ＞－6时，原不等式解集为(3－6＋b ，3＋6＋b )．(2)由f (x )＞0，得－3x 2＋a (6－a )x ＋b ＞0，即3x 2－a (6－a )x －b ＜0.因为它的解集为(－1,3)，所以－1与3是方程3x 2－a (6－a )x －b ＝0的两根，所以⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋3＝a (6－a )3，－1×3＝－b 3，解得⎩⎨⎧ a ＝3－3，b ＝9或⎩⎨⎧a ＝3＋3，b ＝9. 6．(2012·泰州模拟)设函数f (x )＝x 2＋ax ＋3.(1)当x ∈R 时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围；(2)当x ∈[－2,2]时，f (x )≥a 恒成立，求a 的范围．解 (1)x ∈R 时，有x 2＋ax ＋3－a ≥0恒成立，须Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即a 2＋4a －12≤0，所以－6≤a ≤2.所以a 的取值范围是[－6,2]．(2)当x ∈[－2,2]时，设g (x )＝x 2＋ax ＋3－a ≥0，分以下三种情况讨论(如图所示)：①如图(1)，当g (x )的图象恒在x 轴上方时，有Δ＝a 2－4(3－a )≤0，即－6≤a ≤2. ②如图(2)，g (x )的图象与x 轴有交点，在x ∈[－2，＋∞)时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2<－2，g (－2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )≥0，－a 2<－2，4－2a ＋3－a ≥0⇔ ⎩⎪⎨⎪⎧ a ≥2或a ≤－6，a >4，a ≤73.此不等式组无解．③如图(3)，g (x )的图象与x 轴有交点，在x ∈(－∞，2]时，g (x )≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ Δ≥0，x ＝－a 2>2，g (2)≥0，即⎩⎪⎨⎪⎧ a 2－4(3－a )≥0，－a 2>2，4＋2a ＋3－a ≥0⇔⎩⎨⎧ a ≥2或a ≤－6，a <－4，a ≥－7⇔－7≤a ≤－6.综合①②③得a ∈[－7,2].。
二次函数与一元二次方程、不等式
第1课时 二次函数与一元二次方程、 不等式
1.一元二次不等式的概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是2的不等 式,称为一元二次不等式. 一元二次不等式的一般形式是: ax2+bx+c>0(a≠0)或ax2+bx+c<0(a≠0).
【思考】 (1)不等式x2+ 2 >0是一元二次不等式吗?
【解析】原不等式转化为(x-2a)(x+a)<0. 对应的一元二次方程的根为x1=2a,x2=-a. ①当a>0时,x1>x2, 不等式的解集为{x|-a<x<2a}; ②当a=0时,原不等式化为x2<0,无解;
③当a<0时,x1<x2,不等式的解集为{x|2a<x<-a}. 综上,当a>0时,原不等式的解集为{x|-a<x<2a}; 当a=0时,原不等式的解集为∅; 当a<0时,原不等式的解集为{x|2a<x<-a}.
(2)当Δ =0时,不等式ax2+bx+c≥0(a>0)与ax2+bx+c≤0 (a>0)的解集分别是什么? 提示:R,{x|x=x1}
【素养小测】
1.思维辨析(对的打“√”,错的打“×”) (1)mx2-5x<0是一元二次不等式. ( ) (2)若方程ax2+bx+c=0(a<0)没有实数根,则不等式ax2+ bx+c>0的解集为R. ( )
(3)设二次方程f(x)=0的两解为x1,x2,则一元二次不等 式f(x)>0的解集不可能为{x|x1<x<x2}. ( ) (4)不等式ax2+bx+c≤0(a≠0)或ax2+bx+c≥0(a≠0)的 解集为空集,则函数f(x)=ax2+bx+c无零点. ( )
知识讲解一元二次不等式及其解法基础 (1)
一元二次不等式及其解法 编稿：张林娟 审稿：孙永钊【学习目标】1. 了解一元二次不等式与相应函数、方程的联系，能借助函数图象解一元二次不等式及一些简单的高次不等式；2. 对给定的一元二次不等式，能设计求解的程序框图；3. 应用一元二次不等式解简单的分式不等式. 【要点梳理】要点一：一元二次不等式的概念一元二次不等式：只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式. 一元二次不等式的解：使某个一元二次不等式成立的x 的值.一元二次不等式的解集：一元二次不等式的所有解组成的集合.一般写为集合或区间形式. 一元二次不等式的一般形式：20ax bx c ++>(0)a ≠或20ax bx c ++<(0)a ≠. 要点诠释：一元二次不等式的解集一般借助相应的方程及图象（抛物线）来研究. 要点二：一元二次不等式与相应函数、方程之间的联系设()2f x ax bx c =++(0)a >，判别式24b ac ∆=-，按照0∆>，0∆=，0∆<该函数图象(抛物线)与x函数()y f x = 的图象方程()=0f x的解 有两相异实根 有两相等实根 无实根不等式()0f x >的解集不等式()0f x <的解集要点诠释：（1）一元二次方程20(0)ax bx c a ++=≠的两根12x x 、是相应的不等式的解集的端点的取值，是抛物线y =2ax bx c ++与x 轴的交点的横坐标；（2）表中不等式的二次系数均为正，如果不等式的二次项系数为负，应先利用不等式的性质转化为二次项系数为正的形式，然后讨论解决；（3）解集分0,0,0∆>∆=∆<三种情况，得到一元二次不等式20ax bx c ++>与20ax bx c ++<的解集.要点三：解一元二次不等式1. 解一元二次不等式()2ax +bx+c a ≠>00的步骤（1）先看二次项系数是否为正，若为负，则将二次项系数化为正数； （2）写出相应的方程20ax bx c ++=(0)a >，计算判别式∆：①0∆>时，求出两根12x x 、，且12x x <（注意灵活运用因式分解和配方法）； ②0∆=时，求根122bx x a==-； ③0∆<时，方程无解 （3）根据不等式，写出解集.2. 一元二次不等式2ax +bx+c >0的求解框图要点诠释：1．解一元二次不等式首先要看二次项系数a 是否为正；若为负，则将其变为正数； 2．若相应方程有实数根，求根时注意灵活运用因式分解和配方法；3．写不等式的解集时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论；4．根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系；5．若所给不等式最高项系数含有字母，还需要讨论最高项的系数. 要点四：高次不等式1. 一元高次不等式概念解不等式是初等数学重要内容之一，高中数学常出现高次不等式，其类型通常为一元高次不等式. 常用的解法有化为不等式组法、列表法和穿针引线（根轴法）来求解.2. 一元高次不等式的解法 列表法① 等价转化：将不等式化为()()()()1200n x x x x x x --⋯-><形式（各项x 的符号为正）； ② 找分界点：令()()()120=n a x x x x x x --⋯-，求出根()1212,,,n n x x x x x x <<<，不妨称之为分开始结束将原不等式化成一般形式20ax bx c ++>求20=ax bx c ++的两根x 1、x 2 方程ax 2+bx+c=0没有实数根原不等式解集为R原不等式解集为{|}2b x x a ≠-原不等式解集为{x|x<x 1，或x>x 2}Δ≥0?x 1=x 2?否是是否界点. 一个分界点把（实数）数轴分成两部分，n 个分界点把数轴分成1n +部分；② 列出表格：按各根把实数分成的1n +部分，由小到大横向排列，相应各因式纵向排列（由对应较小根的因式开始依次自上而下排列）；③ 计算各区间内各因式的符号，下面是乘积的符号； ④看下面积的符号写出不等式的解集.在下列空白处填上因式的符号，完成下表：区间…- + + … + - - + … +- - - … + … - - - … +---…+各因式积要点诠释：一般地，表格中最后一行各因式积为正的，即为()()()120n x x x x x x --⋯->的解集，反之亦然.穿针引线法① 等价转化：将不等式化为()()()()1200n x x x x x x --⋯-><的形式（各因式x 的系数化“+ ”）； ② 求根，比方设12n x x x <<<，并在数轴上将i x 表示出来；③ 由数轴最右端n x 的右上方出发，画出曲线依次经过表示各根的点；④ 若不等式（x 的系数化“+”后）是“>0”，则找“线”在x 轴上方的区间；若不等式是“<0”，则找“线”在x 轴下方的区间.要点诠释：（1）如果出现某个因式的高次形式（次数≥2），注意一个原则：奇穿偶不穿；（2）不等式()()00f x ≥≤中，注意等于号 “=”. 不等式组法利用符号法则，转化为一元一次不等式与一元二次不等式的形式求解. 此种方法的本质是分类讨论，强化了“或”与“且”，进一步渗透了“交”与“并”的思想方法.要点五：分式不等式 1. 分式不等式的概念形如0()()f x x ϕ>或0()()f x x ϕ<（其中(),()f x x ϕ为整式，且()0x ϕ≠），分子分母还未知数的不等式叫分式不等式，2. 分式不等式的解法对这种分式不等式，先把不等式的右边化为0，再通过符号法则，把它转化成整式不等式来解，从而化繁为简.（1）整理：移项保证不等式右边为零，整理成一般形式；（2）等价转化：转化为整式不等式；（3）穿针引线法：借助数轴，把对应整式的根从右上方起标出；（4）看不等号：大于零看数轴上方的部分，小于零看数轴下方部分的区域； （5）注意关键点. 一般形式：要点诠释：分式不等式一定要注意转化的等价性. 【典型例题】类型一：一元二次不等式的解法 例1. 解下列一元二次不等式（1）250x x -<； （2）2440x x -+>； （3）2450x x -+-> 【思路点拨】转化为相应的函数，数形结合解决，或利用符号法则解答.【解析】 （1）方法一：因为2(5)410250∆=--⨯⨯=>所以方程250x x -=的两个实数根为：10x =，25x =函数25y x x =-的简图为：因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<.方法二：250(5)0x x x x -<⇔-<050x x >⎧⇔⎨-<⎩ 或050x x <⎧⎨->⎩解得05x x >⎧⎨<⎩ 或5x x <⎧⎨>⎩，即05x <<或x ∈∅. 因而不等式250x x -<的解集是{|05}x x <<. （2）方法一： 因为0∆=，方程2440x x -+=的解为122x x ==.函数244y x x =-+的简图为： 所以，原不等式的解集是{|2}x x ≠方法二：2244(2)0x x x -+=-≥（当2x =时，2(2)0x -=） 所以原不等式的解集是{|2}x x ≠ （3）方法一：原不等式整理得2450x x -+<.因为0∆<，方程2450x x -+=无实数解， 函数245y x x =-+的简图为： 所以不等式2450x x -+<的解集是∅. 所以原不等式的解集是∅.方法二：∵2245(2)110x x x -+-=---≤-< ∴原不等式的解集是∅. 【总结升华】1. 初学二次不等式的解法应尽量结合二次函数图象来解决，培养并提高数形结合的分析能力；2. 当0∆≤时，用配方法，结合符号法则解答比较简洁（如第2、3小题）；当0∆>且是一个完全平方数时，利用因式分解和符号法则比较快捷，（如第1小题）.3. 当二次项的系数小于0时，一般都转化为大于0后，再解答. 举一反三：【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型一 一元二次不等式的解法】【变式1】已知函数222,0,()2,0x x x f x x x x ⎧+≥⎪=⎨-+<⎪⎩ 解不等式f (x )＞3.【答案】由题意知20,23x x x ≥⎧⎨+>⎩或20,23,x x x <⎧⎨-+>⎩解得：x ＞1.故原不等式的解集为{x |x ＞1}． 【变式2】解不等式2230x x -+-> 【答案】整理，得2230x x -+<.因为0∆<，方程2230x x -+=无实数解， 所以不等式2230x x -+<的解集是∅. 从而，原不等式的解集是∅.类型二：含字母系数的一元二次不等式的解法例2．解下列关于x 的不等式 （1）x 2-2ax≤-a 2+1； （2）x 2-ax+1>0； （3）x 2-(a+1)x+a<0； 【思路点拨】解不等式时首先应判断两根的大小，若不能判断两根的大小应分类讨论； 【解析】(1) 22210[()1][()1]011x ax a x a x a a x a -+-≤⇒---+≤⇒-≤≤+ ∴原不等式的解集为{|11}x a x a -≤≤+. (2) Δ=a 2-4当Δ>0，即a>2或a<-2时，原不等式的解集为}2424|{22--<-+>a a x a a x x 或 当Δ=0，即a=2或-2时，原不等式的解集为{|}2ax x ≠. 当Δ<0，即-2<a<2时，原不等式的解集为R. （3）(x-1)(x-a)<0当a>1时，原不等式的解集为{x|1<x<a} 当a<1时，原不等式的解集为{x|a<x<1} 当a=1时，原不等式的解集为Φ.【总结升华】对含字母的二元一次不等式，一般有这样几步：①定号：对二次项系数大于零和小于零分类，确定了二次曲线的开口方向；②求根：求相应方程的根.当无法判断判别式与0的关系时，要引入讨论，分类求解； ③定解：根据根的情况写出不等式的解集；当无法判断两根的大小时，引入讨论. 举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：)0(01)1(2≠<++-a x aa x 【答案】原不等式化为0)1)((<--ax a x ①a=1或a=-1时，解集为∅；②当0<a<1 或a<-1时，a a 1<，解集为：1{|}x a x a <<； ③当a>1或 -1<a<0时，a a 1>，解集为：1{|}x x a a<<.【变式2】解关于x 的不等式：223()0x a a x a -++>（a R ∈） 【答案】2232()0()()0x a a x a x a x a -++>⇒-->当a ＜0或a ＞1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=0时，解集为{|0}x x ≠；当0＜a ＜1时，解集为2{|}x x a x a <>或； 当a=1时，解集为{|1}x x ≠；例3．解关于x 的不等式：ax 2－(a+1)x+1＜0. 【解析】若a=0，原不等式⇔－x+1＜0⇔x ＞1；若a ＜0，原不等式⇔211(1)0x x a a -++>11()(1)0x x x a a ⇔-->⇔<或x ＞1；若a ＞0，原不等式⇔2111(1)0()(1)0x x x x a a a-++<⇔--<，其解的情况应由1a与1的大小关系决定，故（1）当a=1时，原不等式⇔x ∈∅；（2）当a ＞1时，原不等式⇔11x a<<； （3）当0＜a ＜1时，原不等式⇔11x a<<综上所述：当a ＜0，解集为1{|1}x x x a<>或； 当a=0时，解集为{x|x ＞1}；当0＜a ＜1时，解集为1{|1}x x a<<； 当a=1时，解集为∅； 当a ＞1时，解集为1{|1}x x a<<. 【总结升华】熟练掌握一元二次不等式的解法是解不等式的基础，对最高项含有字母系数的不等式，要注意按字母的取值情况进行分类讨论，分类时要“不重不漏”.举一反三：【变式1】解关于x 的不等式：(ax-1)(x-2)≥0； 【答案】当a=0时，x ∈(-∞,2]. 当a≠0时，方程(ax-1)(x-2)=0两根为2,121==x ax ①当a>0时，若210>>a a ，， 即210<<a 时，),1[]2,(+∞-∞∈ax ；若210＝，a a >， 即21=a 时，x ∈R ；若210<>aa ，， 即21>a 时，),2[]1,(+∞-∞∈ a x .②当a<0时，则有：21<a ， ∴ ]21[，ax ∈.【变式2】解关于x 的不等式：ax 2＋2x-1<0； 【答案】当a=0时，)21,(-∞∈x . 当a≠0时，Δ=4+4a=4(a+1)， ①a>0时，则Δ>0，)11,11(aaa a x ++-+--∈.②a<0时，若a<0，△<0， 即a<-1时，x ∈R ； 若a<0，△=0， 即a=-1时，x ∈R 且x≠1； 若a<0，△>0， 即 -1<a<0时， ),11()11,(+∞+--++--∞∈aaa a x . 【高清课堂：一元二次不等式及其解法 387159 题型二 含参数的一元二次不等式的解法】 【变式3】求不等式12x 2－ax ＞a 2(a ∈R )的解集． 【答案】当a ＞0时，不等式的解集为{|-}43a ax x x <>或；当a ＝0时，不等式的解集为{x |x ∈R 且x ≠0}；当a ＜0时，不等式的解集为{|-}34a a x x x <>或. 类型三：一元二次不等式的应用例4. 不等式20x mx n +-<的解集为(4,5)x ∈，求关于x 的不等式210nx mx +->的解集. 【思路点拨】由二次不等式的解集为(4,5)可知：4、5是方程20x mx n +-=的二根，故由韦达定理可求出m 、n 的值，从而解得.【解析】由题意可知方程20x mx n +-=的两根为4x =和5x = 由韦达定理有45m +=-，45n ⨯=- ∴9m =-，20n =-∴210nx mx +->化为220910x x --->，即220910x x ++<(41)(51)0x x ++<，解得1145x -<<-，故不等式210nx mx +->的解集为11(,)45--.【总结升华】二次方程的根是二次函数的零点，也是相应的不等式的解集的端点.根据不等式的解集的端点恰为相应的方程的根，我们可以利用韦达定理，找到不等式的解集与其系数之间的关系，这一点是解此类题的关键.举一反三：【变式1】不等式ax 2+bx+12>0的解集为{x|-3<x<2}，则a=_______, b=________. 【答案】由不等式的解集为{x|-3<x<2}知a<0，且方程ax 2+bx+12=0的两根为-3，2.由根与系数关系得⎪⎪⎩⎪⎪⎨⎧-=⋅-=-=+-=-62)3(a12123ab解得a=-2, b=-2.【变式2】已知220ax x c ++>的解为1132x -<<,试求a 、c ,并解不等式220cx x a -+->. 【答案】由韦达定理有：11232a -+=-，1132ca-⋅=，∴12a =-,2c =.∴代入不等式220cx x a -+->得222120x x -++>， 即260x x --<，(3)(2)0x x -+<，解得23x -<<， 故不等式220cx x a -+->的解集为：(2,3)-.【变式3】已知关于x 的不等式20x ax b ++<的解集为(1,2)，求关于x 的不等式210bx ax ++>的解集.【答案】由韦达定理有：1212a b -=+⎧⎨=⨯⎩，解得32a b =-⎧⎨=⎩, 代入不等式210bx ax ++>得22310x x -+>，即(21)(1)0x x -->，解得12x <或1x >. ∴210bx ax ++>的解集为：1(,)(1,)2-∞+∞.【高清课堂：一元二次不等式及其解法387159题型三 不等式恒成立的问题】 例5.已知不等式ax 2＋4x ＋a ＞1－2x 2对一切实数x 恒成立， 求实数a 的取值范围． 【思路点拨】不等式对一切实数恒成立，即不等式的解集为R ，要解决这个问题还需要讨论二次项的系数。
一元二次不等式的概念与解法
一元二次不等式的概念与解法一元二次不等式是数学中的重要内容，它在实际问题中有着广泛的应用。
本文将介绍一元二次不等式的概念和解法，帮助读者更好地理解和应用这一知识点。
一、一元二次不等式的概念一元二次不等式是形如ax^2 + bx + c > 0（或< 0）的不等式，其中a、b、c为实数，且a ≠ 0。
与一元二次方程相似，一元二次不等式也由三个系数决定，其解集是使不等式成立的实数解的集合。
二、一元二次不等式的解法对于一元二次不等式，我们可以通过以下几个步骤来求解：1. 将不等式转化为一元二次方程首先，将不等式中的不等号改为等号，得到ax^2 + bx + c = 0。
这样，我们就可以通过求解一元二次方程的方法来求解不等式。
2. 确定一元二次方程的根确定一元二次方程的根，即求解方程ax^2 + bx + c = 0的解。
一元二次方程的解可以是实数根或复数根。
通过这一步骤，我们可以得到方程的根的情况，从而确定不等式的解的情况。
3. 根据一元二次方程的性质进行分类讨论根据一元二次方程的根的情况，我们可以进行分类讨论，从而确定不等式解的情况。
a) 实数根的情况：- 当方程有两个不相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间。
- 当方程有两个相等的实数根时，解集为使不等式成立的实数区间中除去相等根的点。
b) 复数根的情况：- 当方程没有实数根，即有两个虚根时，表明不等式无解。
4. 绘制解集的数轴图根据分类讨论的结果，我们可以在数轴上绘制出解集，以便更直观地表示不等式的解的范围。
通过以上步骤，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
需要注意的是，在解不等式的过程中，我们要充分考虑到一元二次方程的性质，尤其是判别式和因式分解等关键概念，以确保得到正确的解集。
总结：一元二次不等式是一元二次方程的一种推广形式，它具有重要的理论和实际应用价值。
通过将不等式转化为一元二次方程，确定方程的根，并根据根的情况进行分类讨论，我们可以求解一元二次不等式，得到其解的范围。
一元二次不等式
一元二次不等式一元二次不等式是指带有二次项的一元方程不等式，其形式可以描述为ax²+bx+c>0，ax²+bx+c<0，ax²+bx+c≥0或ax²+bx+c≤0等，其中a、b、c为实数且a≠0。
解一元二次不等式的过程与解一元二次方程类似，但要考虑不等号的影响。
1. 一元二次不等式的解集表示解一元二次不等式可以得到它的解集，解集可以表示为一个区间或者多个区间的并集。
例如，对于二次不等式x²-4x+3>0，可以通过求解二次方程x²-4x+3=0的根得到x的取值范围，在x的数轴上标出根的位置，并根据不等号的要求将数轴划分成不同的区间，得到解集。
2. 一元二次不等式的求解方法常用的解一元二次不等式的方法有图像法和代数法。
图像法是将二次不等式转化为对应的二次函数的图像来进行分析。
以一元二次不等式ax²+bx+c>0为例，可以画出函数y=ax²+bx+c的图像，然后根据不等式的要求找到函数图像位于y轴上方的部分，从而确定解集。
代数法是通过运用一些性质和方式来求解一元二次不等式。
例如，可以通过配方法将二次不等式转化为完全平方式，然后利用平方根性质得到解集。
3. 一元二次不等式的常见性质解一元二次不等式时，可以利用一些常见的性质来辅助求解。
（1）一元二次不等式的解具有对称性。
即，如果x是不等式的一个解，那么2a-x也是不等式的解。
（2）一元二次不等式的解具有平移性。
即，对于一元二次不等式ax²+bx+c>0，如果在不等式中同时增加或减小某个数d，那么不等式的解集也分别增加或减小该数d。
（3）一元二次不等式的解具有合并性。
即，如果一个区间内存在不等式的解，那么这个区间内所有的数都是不等式的解。
4. 一元二次不等式的应用一元二次不等式在数学、物理、经济等领域中具有广泛的应用。
例如，在最优化问题中，需要对一些条件进行限制，而这些限制往往可以通过一元二次不等式来表达。
一元二次不等式及其解法
拓展提升 三个“二次”之间的关系
(1)三个“二次”中，二次函数是主体，讨论二次函数 主要是将问题转化为一元二次方程和一元二次不等式的形 式来研究．
(2)讨论一元二次方程和一元二次不等式又要将其与相 应的二次函数相联系，通过二次函数的图象及性质来解决问 题，关系如下：
数的关系可得－21＋2＝－ba， －21×2＝2a，
∴a＝－2，b＝3， 故 ax2＋bx－1>0 可变为－2x2＋3x－1>0， 即 2x2－3x＋1<0，解得12<x<1.
[规律小结] 1.对一元二次不等式概念的三点说明
(1)“只含一个未知数”，并不是说在代数式中不能含 有其他字母类的量，只要明确指出这些字母所代表的量，即 哪一个是变量“未知数”，哪一个是“参数”即可．
xx＝94
.
(5)原不等式可化为 x2－6x＋10<0，因为 Δ＝62－40＝－
4<0，所以原不等式的解集为∅.
(6)原不等式可化为 2x2－3x＋2>0，因为 Δ＝9－4×2×2
＝－7<0，所以原不等式的解集为 R.
拓展提升 解不含参数的一元二次不等式的一般步骤
(1)通过对不等式的变形，使不等式右侧为 0，使二次项 系数为正．
∈R}；
(2)当2a>2，即
0<a<1
时，原不等式的解集为xx>
2或 a
x<2；
(3)当2a<2，即 a<0 或 a>1 时，
原不等式的解集为xx<2a
或x>2.
综上所述，当 a＝0 时，原不等式的解集为{x|x<2}；
一元二次不等式及其解法
3．2 一元二次不等式及其解法第1课时一元二次不等式及其解法1．掌握一元二次不等式的解法．(重点)2．能根据“三个二次”之间的关系解决简单问题．(难点)[基础·初探]教材整理1一元二次不等式的概念阅读教材P76第一行～P76倒数第四行，完成下列问题．1．一元二次不等式的概念只含有一个未知数，并且未知数的最高次数是2的不等式，称为一元二次不等式．2．一元二次不等式的一般形式(1)ax2＋bx＋c＞0(a≠0)．(2)ax2＋bx＋c≥0(a≠0)．(3)ax2＋bx＋c＜0(a≠0)．(4)ax2＋bx＋c≤0(a≠0)．3．一元二次不等式的解与解集使一元二次不等式成立的未知数的值，叫做这个一元二次不等式的解，其解的集合，称为这个一元二次不等式的解集．判断(正确的打“√”，错误的打“×”)(1)mx2－5x<0是一元二次不等式．()(2)若a>0，则一元二次不等式ax2＋1>0无解．()(3)x2－x >0为一元二次不等式．()【解析】(1)×.当m＝0时，是一元一次不等式；当m≠0时，它是一元二次不等式．(2)×.因为a>0，所以不等式ax2＋1>0恒成立，即原不等式的解集为R.(3)×.因为一元二次不等式是整式不等式，而不等式中含有x，故该说法错误．【答案】(1)×(2)×(3)×教材整理2一元二次不等式、二次函数、二次方程间的关系阅读教材P76倒数第三行～P78例2，完成下列问题．三个“二次”的关系：设f(x)＝ax2＋bx＋c(a＞0)，方程ax2＋bx＋c＝0的判别式Δ＝b2－4ac判别式Δ＞0Δ＝0Δ＜0解不等式f(x)＞0或f(x)＜0的步骤求方程f(x)＝0的解有两个不等的实数解x1，x2有两个相等的实数解x1＝x2没有实数解画函数y＝f(x)的示意图得等的集不式解f(x)＞0{x|x＜x1_或x＞x2}⎩⎨⎧x⎪⎪⎪⎭⎬⎫x≠－b2a R f(x)＜0{x|x1＜x＜x2} ∅∅1．不等式x2≤1的解集为________．【解析】令x2－1＝0，其两根分别为－1,1，故x2≤1的解集为{x|－1≤x≤1}．【答案】{x|－1≤x≤1}2．不等式2x≤x2＋1的解集为________．【解析】2x≤x2＋1⇔x2－2x＋1≥0⇔(x－1)2≥0，∴x∈R.【答案】R3．设集合M＝{x|x2－x<0}，N＝{x|x2<4}，则M与N的关系为________．【解析】因为M＝{x|x2－x<0}＝{x|0<x<1}，N＝{x|x2<4}＝{x|－2<x<2}，所以M N.【答案】M N4．二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)的部分对应值如下表：x －3－2－10123 4 y 60－4－6－6－40 6 则不等式ax2＋bx＋c＞0的解集是________．【解析】可根据图表求得两个零点为x1＝－2，x2＝3，结合二次函数的图象(略)求解．【答案】{x|x＜－2或x＞3}[小组合作型]解一元二次不等式求下列一元二次不等式的解集．(1)x2－5x>6；(2)4x2－4x＋1≤0；(3)－x2＋7x>6.【精彩点拨】【自主解答】 (1)由x 2－5x >6，得 x 2－5x －6>0.∵x 2－5x －6＝0的两根是x ＝－1或6， ∴原不等式的解集为 {x |x <－1或x >6}．(2)4x 2－4x ＋1≤0，即(2x －1)2≤0， 方程(2x －1)2＝0的根为x ＝12， ∴4x 2－4x ＋1≤0的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ＝12. (3)由－x 2＋7x >6，得x 2－7x ＋6<0， 而x 2－7x ＋6＝0的两个根是x ＝1或6， ∴不等式x 2－7x ＋6<0的解集为 {x |1<x <6}．解不含参数的一元二次不等式的一般步骤(1)化标准．通过对不等式的变形，使不等式右侧为0，使二次项系数为正． (2)判别式．对不等式左侧因式分解，若不易分解，则计算对应方程的判别式．(3)求实根．求出相应的一元二次方程的根或根据判别式说明方程有无实根． (4)画草图．根据一元二次方程根的情况画出对应的二次函数的草图． (5)写解集．根据图象写出不等式的解集．[再练一题]1．解下列不等式：(1)2x2－x＋6>0；(2)(5－x)(x＋1)≥0.【解】(1)∵方程2x2－x＋6＝0的判别式Δ＝(－1)2－4×2×6<0，∴函数y＝2x2－x＋6的图象开口向上，与x轴无交点，∴原不等式的解集为R.(2)原不等式可化为(x－5)(x＋1)≤0，∴原不等式的解集为{x|－1≤x≤5}．解含参数的一元二次不等式解关于x的不等式x2－ax－2a2<0(a∈R)．【精彩点拨】【自主解答】原不等式转化为(x－2a)(x＋a)<0.对应的一元二次方程的根为x1＝2a，x2＝－a.(1)当a>0时，x1>x2，不等式的解集为{x|－a<x<2a}；(2)当a＝0时，原不等式化为x2<0，无解；(3)当a<0时，x1<x2，不等式的解集为{x|2a<x<－a}．综上所述，原不等式的解集为： a >0时，{x |－a <x <2a }； a ＝0时，x ∈∅； a <0时，{x |2a <x <－a }．解含参数的一元二次不等式的一般步骤注：对参数分类讨论的每一种情况是相互独立的一元二次不等式的解集，不能合并．[再练一题]2．解关于x 的不等式：ax 2－2≥2x －ax (a <0). 【解】 原不等式移项得ax 2＋(a －2)x －2≥0， 化简为(x ＋1)(ax －2)≥0. ∵a <0，∴(x ＋1)⎝ ⎛⎭⎪⎫x －2a ≤0.当－2<a <0时，2a ≤x ≤－1； 当a ＝－2时，x ＝－1； 当a <－2时，－1≤x ≤2a . 综上所述， 当－2<a <0时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪2a ≤x ≤－1；当a ＝－2时，解集为{x |x ＝－1}； 当a <－2时，解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－1≤x ≤2a. [探究共研型]一元二次不等式、二次方程、二次函数的关系探究1 利用函数y ＝x 2－2x －3的图象说明当y >0、y <0、y ＝0时x 的取值集合分别是什么？这说明二次函数与二次方程、二次不等式有何关系？【提示】 y ＝x 2－2x －3的图象如图所示．函数y ＝x 2－2x －3的值满足y >0时自变量x 组成的集合，亦即二次函数y ＝x 2－2x －3的图象在x 轴上方时点的横坐标x 的集合{x |x <－1或x >3}；同理，满足y <0时x 的取值集合为{x |－1<x <3}，满足y ＝0时x 的取值集合，亦即y ＝x 2－2x －3图象与x 轴交点横坐标组成的集合{－1,3}．这说明：方程ax 2＋bx ＋c ＝0(a ≠0)和不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)或ax 2＋bx ＋c <0(a >0)是函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)的一种特殊情况，它们之间是一种包含关系，也就是当y ＝0时，函数y ＝ax 2＋bx ＋c (a ≠0)就转化为方程，当y >0或y <0时，就转化为一元二次不等式．探究2 方程x 2－2x －3＝0与不等式x 2－2x －3>0的解集分别是什么？观察结果你发现什么问题？这又说明什么？【提示】 方程x 2－2x －3＝0的解集为{－1,3}．不等式x 2－2x －3>0的解集为{x |x <－1或x >3}，观察发现不等式x 2－2x －3>0解集的端点值恰好是方程x 2－2x －3＝0的根．这说明：一元二次不等式ax 2＋bx ＋c >0(a >0)和ax 2＋bx ＋c <0(a >0)的解集分别为{x |x <x 1或x >x 2}，{x |x 1<x <x 2}(x 1<x 2)，则⎩⎪⎨⎪⎧x 1＋x 2＝－ba，x 1x 2＝ca ，即不等式的解集的端点值是相应方程的根．若不等式ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－13≤x ≤2，求不等式cx 2＋bx ＋a <0的解集．【精彩点拨】 一元二次不等式解集的两个端点值是一元二次方程的两个根．【自主解答】 法一：由ax 2＋bx ＋c ≥0的解集是⎩⎨⎧ x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－13≤x ≤2，知a ＜0, 又⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ＜0，则c ＞0.又－13，2为方程ax 2＋bx ＋c ＝0的两个根， ∴－b a ＝53， ∴b a ＝－53. 又c a ＝－23，∴b ＝－53a ，c ＝－23a ，∴不等式变为⎝ ⎛⎭⎪⎫－23a x 2＋⎝ ⎛⎭⎪⎫－53a x ＋a ＜0，即2ax 2＋5ax －3a ＞0. 又∵a ＜0，∴2x 2＋5x －3＜0，所求不等式的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.法二：由已知得a ＜0 且⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2＝－b a ，⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝c a ，知c ＞0， 设方程cx 2＋bx ＋a ＝0的两根分别为x 1，x 2， 则x 1＋x 2＝－b c ，x 1·x 2＝ac ， 其中a c ＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2，－b c ＝－bac a ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋2⎝ ⎛⎭⎪⎫－13×2＝1⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＋12，∴x 1＝－3，x 2＝12.∴不等式cx 2＋bx ＋a ＜0(c ＞0)的解集为⎩⎨⎧x ⎪⎪⎪⎭⎬⎫－3＜x ＜12.已知以a ，b ，c 为参数的不等式(如ax 2＋bx ＋c ＞0)的解集，求解其他不等式的解集时，一般遵循：(1)根据解集来判断二次项系数的符号；(2)根据根与系数的关系把b ，c 用a 表示出来并代入所要解的不等式； (3)约去 a, 将不等式化为具体的一元二次不等式求解． [再练一题]3．已知不等式ax 2＋bx ＋c >0的解集为{x |2<x <3}，求不等式cx 2－bx ＋a >0的解集．【解】 由题意知⎩⎪⎨⎪⎧2＋3＝－b a ，2×3＝ca，a <0，即⎩⎪⎨⎪⎧b ＝－5a ，c ＝6a ，a <0，代入不等式cx 2－bx ＋a >0， 得6ax 2＋5ax ＋a >0(a <0)， 即6x 2＋5x ＋1<0， 解得－12<x <－13， 所以所求不等式的解集为⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－12<x <－13.1．不等式6x 2＋x －2≤0的解集为( )A.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪－23≤x ≤12 B.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23或x ≥12 C.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≥12 D.⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪x ≤－23 【解析】 因为6x 2＋x －2≤0⇔(2x －1)·(3x ＋2)≤0，所以原不等式的解集为11 ⎩⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪ －23≤x ≤12. 【答案】 A2．设集合S ＝{x |x ＞－2}，T ＝{x |x 2＋3x －4≤0}，则(∁R S )∪T ＝( )A ．(－2,1]B ．(－∞，－4]C ．(－∞，1]D ．[1，＋∞)【解析】 T ＝{x |－4≤x ≤1}，根据补集定义，∁R S ＝{x |x ≤－2}，所以(∁R S )∪T ＝{x |x ≤1}，选C.【答案】 C3．二次函数y ＝x 2－4x ＋3在y <0时x 的取值范围是________.【解析】 由y <0，得x 2－4x ＋3<0，∴1<x <3.【答案】 (1,3)4．若不等式ax 2＋bx ＋2>0的解集为{x |－1<x <2}，则实数a ＝________，实数b ＝________.【解析】 由题意可知－1,2是方程ax 2＋bx ＋2＝0的两个根．由根与系数的关系得⎩⎪⎨⎪⎧ －1＋2＝－b a ，－1×2＝2a ，解得a ＝－1，b ＝1.【答案】 －1 15．解下列不等式：(1)x (7－x )≥12；(2)x 2>2(x －1)．【解】 (1)原不等式可化为x 2－7x ＋12≤0，因为方程x 2－7x ＋12＝0的两根为x 1＝3，x 2＝4，。
一元二次不等式的解法
一元二次不等式的解法
一元二次不等式是数学中一类复杂计算的不等式，一般其形式为：ax^2+bx+c>0或ax^2+bx+c<0，中文可以称之为一元二次方程式不等式。
一元二次不等式的求解基本思想就是将一元二次不等式转换为一元二次方程式以方便解法，接下来就让我们详细来看一下一元二次不等式的求解步骤。
首先，我们可以将一元二次不等式化成一元二次方程式，比如说ax^2+bx+c>0，可以化为ax^2+bx+c-0=0；ax^2+bx+c<0则化为 ax^2+bx+c+0=0，进行转换后的一元二次方程式的系数a、b和c的取值可根据一元二次不等式中的系数来确定；
其次，我们可以根据求根公式来求出一元二次方程式的解，公式为：x= - b ±
√(b^2-4ac) / 2a，根据求根公式，首先要搞清楚一元二次方程式的系数值，以及虽求根公式的正负号的取值；
最后，我们需要判断出一元二次方程式的解是否符合原来的一元二次不等式的条件。
这里有两种情况，当一元二次不等式形式为 ax^2+bx+c>0时，解需满足x>0；当一元二次不等式形式为 ax^2+bx+c<0时，解需满足x<0。
3.2 第一课时 一元二次不等式及其解法
Δ =b2-4ac
Δ >0
Δ =0
Δ <0
y=ax2+bx+c(a>0)的图象
ax2+bx+c=0(a>0) 的解
ax2+bx+c>0(a>0) 的解集 ax2+bx+c<0(a>0) 的解集
有两个相异实根 x1,2=
b b2 4ac (x1<x2) 2a
{x|x<x1 或 x>x2}(即 “大于取两边”) {x|x1<x<x2}(即“小于 取中间”)
答案:(3)(-∞,-3)∪(-3,1)∪(2,+∞)
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即时训练 3-1:(1)不等式 x 1 ≤3 的解集是
;
x
解析:(1)原不等式等价于 x 1 -3≤0⇔ 1 2x ≤0⇔ 2x 1 ≥0⇔x(2x-1)≥0,且 x
x
x
x
≠0,解得 x≥ 1 或 x<0. 2
答案:(1){x|x≥ 1 或 x<0} 2
(2)不等式 2x 1 >1 的解集是
3.2 一元二次不等式及其解法 第一课时 一元二次不等式及其解法
课标要求:1.理解一元二次方程、一元二次不等式与二次函数的关系.2.掌 握图象法解一元二次不等式.3.会用分类讨论法解含参数的一元二次不等 式.4.会解可化为一元二次不等式(组)的简单分式不等式.
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知识探究
1.一元二次不等式的相关概念 只含有一个未知数,并且未知数的最高次数是 2 的不等式,称为一元二次不 等式.一元二次不等式的一般形式是ax2+bx+c>0(≥0)或ax2+bx+c<0(≤0), 其中a≠0,且a,b,c为常数. 使某个一元二次不等式成立的x的值叫这个一元二次不等式的 解 ,一元二次 不等式的所有解组成的集合,叫做这个一元二次不等式的 解集 .
一元二次不等式及其解法第一课时
(1)写出本年度预计的年利润 y 与投入成本增加的比例 x 之 间的关系式； (2)为使本年度的利润比上年度有所增加，则投入成本增加 的比例 x 应在什么范围内？
某单位在对一个长 800 m、宽 600 m 的草坪进行绿化时， 是这样想的：中间为矩形绿草坪，四周是等宽的花坛，如图 3 －2－1 所示， 若要保证绿草坪的面积不小于总面积的二分之一， 试确定花坛宽度的取值范围．
小结 1. 解一元二次不等式的步骤 （1）化成标准形式 ax2+bx+c>0 (a>0) ax2+bx+c<0 (a>0) （2）判定△与0的关系，并求出方程 ax2+bx+c=0的实根; （3）根据图象写出不等式的解集. 注：画出二次函数的图象，根据图象写出解集，注意 数形结合
2.解题过程中注意一元二次不等式的解集与相应一元 二次方程的根及二次函数图象之间的关系。 思想方法: 1.数形结合 2.分类讨论
(2)x2>2x－1；
(3)x2<2x－2.
变式：
(1)x2－x－6>0；
(2)25x2－10x＋1≤0； (3)－x2＋x<4； (4)－2x2＋x＋1<0
运用二：转化为一元二次不等式
[例 2] 解下列不等式． 2x－1 2－x (1) ≥0；(2) >0. 3x＋1 x＋3
变式：
2－x 若将(2)变为 >1 则应如何解呢？ x＋3
运用三：一元二次不等式与二次函数、二次方 程的关系
例题 3 已知不等式 ax ＋bx＋2>0 的解集
2
1 1 2 为{x|－ <x< }，求 2x ＋bx＋a<0 的解集． 2 3
一元二次不等式的概念及解集
一元二次不等式在数学建模中有着广泛的应用，未来将会在更多的实际领域 中发挥作用。
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一元二次不等式与一元二次方程的关系
一元二次不等式与一元二次方程具有密切的关系。
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对于一元二次方程$ax^{2} + bx + c = 0$。当 $\Delta = b^{2} - 4ac > 0$时。方程有两个不相等的 实数根
02
一元二次不等式的解法
图像法
总结词：快速直观
详细描述：通过绘制一元二次函数的图像，可以快速直观地确定不等式的解集。 根据图像，可以观察到抛物线的开口方向、顶点坐标和与坐标轴的交点，从而直 接得到不等式的解集。
对于一元二次不等式$ax^{2} + bx + c < 0$，当$a > 0$时，解集为$\left\{ x \middle| |\frac{- b \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} < x < \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \right.\}$
它与一元二次方程具有相同的系数，但不等式中的等号通常 不成立。
一元二次不等式的表达式
对于一元二次不等式$ax^{2} + bx + c > 0$，当$a > 0$时，解集为$\left\{ x \middle| |x < \frac{- b \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a}或x > \frac{- b + \sqrt{b^{2} - 4ac}}{2a} \right.\}$
不等式的优化
对于一个不等式，往往可以通过一些技巧和方法对其进行优化。例如，利用 等价变换、放缩、构造等技巧可以使得不等式更加简洁、易于计算或理解。
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类型一：解一元二次不等式
1．解下列一元二次不等式
（1）；（2）
类型二：已知一元二次不等式的解集求待定系数
2．不等式的解集为，求关于的不等式
的解集。
练：
1、不等式ax2+bx+12＞0的解集为{x|-3＜x＜2}，则a=_______, b=________。
2、已知的解为,试求、,并解不等式.
类型三：二次项系数含有字母的不等式恒成立恒不成立问题
3．已知关于x的不等式(m2+4m-5)x2-4(m-1)x+3＞0对一切实数x恒成立，求实数m的取值范围。
练1、若关于的不等式的解集为空集，求的取值范围.
2、若关于的不等式的解为一切实数，求的取值范围.
类型四：含字母系数的一元二次不等式的解法
4．解下列关于x的不等式
（1）x2-2ax≤-a2+1；（2）x2-ax+1＞0；练：解关于x的不等式：
5．解关于x的不等式：ax2－(a+1)x+1＜0。
练：
1、解关于x的不等式：(ax-1)(x-2)≥0；
2、解关于x的不等式：ax2＋2x-1＜0；。