2015年高考数学考前大题规范练(二) 数列综合题

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2015高考真题汇编【数列】

专题一：数列（文）考点一：等差、等比数列公式⎩⎨⎧项和公式前通项公式n1.【2015高考新课标1，文7】已知{}n a 是公差为1的等差数列，n S 为{}n a 的前n 项和，若484a S =，则=10a （） A.217 B.219C.10D.12 2.【2015高考安徽，文13】已知数列{}n a 中，21,111+==-n n a a a ，)2(≥n ，则数列{}n a 的前9项和等于 .3.【2015高考新课标1，文13】数列{}n a 中n n a a a 2,211==+，n S 为{}n a 的前n 项和，若126=n S ，则n = .4.【2015高考浙江，文10】已知{}n a 是等差数列，公差d 不为零．若732a a a 、、成等比数列，且1221=+a a则=1a ，=d ．5.【2015高考福建，文17】等差数列{}n a 中，15,4742=+=a a a （Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n b na n +=2，求nb b b b ++++Λ321的值考点二：等差、等比数列性质⎩⎨⎧部分和数列定理下标和定理1.【2015高考陕西，文13】中位数为1010的一组数构成等差数列，其末项为2015，则该数列的首项为2.【2015高考广东，文13】若三个正数a ，b ，c 成等比数列，其中526a =+，526c =-，则b = ．3.【2015高考福建，文16】若b a ,是函数)0,0()(2>>+-=q p q px x x f 的两个不同的零点，2-、、b a这三个数可适当排序后成等差数列，也可适当排序后成等比数列，则q p +的值等于________．考点三：通项公式（公式法、累加法、累乘法、构造法、作差法、作商法、倒数法）方法1：公式法1.【2015高考北京，文16】（本小题满分13分）已知等差数列{}n a 满足2,103421=-=+a a a a（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足7332,a b a b ==，问：6b 与数列{}n a 的第几项相等？方法2：构造法1.【2015高考广东，文19】（本小题满分14分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知45,23,1321===a a a ，且当2n ≥时，112854-+++=+n n n n S S S S （1）求4a 的值；（2）证明：⎭⎬⎫⎩⎨⎧-+n n a a 211为等比数列；（3）求数列{}n a 的通项公式．方法3：做差法1.【2015高考四川，文16】设数列{}n a )3,2,1(Λ=n 的前n 项和n S 满足32a a S n n -=，且321,1,a a a +成等差数列.(Ⅰ)求数列的通项公式；(Ⅱ)设数列⎭⎬⎫⎩⎨⎧n a 1的前n 项和为n T ，求n T考点四：前n 项和公式（分组求和法、裂项相消法、错位相减法）方法1：裂项相消法1.【2015高考安徽，文18】已知数列{}n a 是递增的等比数列，且8,93241==+a a a a（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11++=n n n n S S a b ，求数列{}n b 的前n 项和n T .方法2：错位相减法1.【2015高考湖北，文19】设等差数列{}n a 的公差为d ，前n 项和为n S ，等比数列{}n b 的公比为q ．已知100,,2,10211====S d q b a b （Ⅰ）求数列{}n a ，{}n b 的通项公式；（Ⅱ）当1>d 时，记nnn b a c =，求数列{}n c 的前n 项和n T ． 2.【2015高考山东，文19】已知数列{}n a 是首项为正数的等差数列，数列11+⋅n n a a 的前n 项和为12+n n（I ）求数列{}n a 的通项公式；（II ）设na n n ab 2)1(⋅+=，求数列{}n b 的前n 项和n T .考点五：综合问题之“奇偶项”1.【2015高考湖南，文19】（本小题满分13分）设数列{}n a 的前n 项和为n S ，已知2,121==a a ，且（I ）证明：n n a a 32=+ （II ）求n S考点六：数列与函数的综合1.【2015高考湖南，文21】（本小题满分13分）函数x ae x f cos )(2=，),0[+∞∈x ，记n x 为)(x f 的从小到大的第n 个极值点。

2015高考数列大题汇编

2015高考数列试题1.(2015新课标理1)S n为数列{a n}的前n项和.已知a n>0，(Ⅰ)求{a n}的通项公式：(Ⅱ)设，求数列}的前n项和2.(2015广东理) 数列{a}n 满足：* 12122......3,2n nna a na n N-+++=-∈.(1)求3a的值；(2)求数列{a}n 的前 n项和nT；3.(2015广东文) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．4.(2015北京文)已知等差数列{}满足+=10，-=2.（Ⅰ）求{}的通项公式；（Ⅱ）设等比数列{}满足，；问：与数列{}的第几项相等？已知数列{}n a 满足*212(q )n N ,1,2n n a qa a a +=≠∈==为实数，且q 1，，且233445,,a a a a a a +++成等差数列.(I)求q 的值和{}n a 的通项公式； (II)设*2221log ,nn n a b n N a -=∈，求数列n ｛b ｝的前n 项和.6.(2015天津文)18.已知{}n a 是各项均为正数的等比数列，{}n b 是等差数列，且112331,2a b b b a ==+=,5237a b -=.(1)求{}n a 和{}n b 的通项公式；(2)设*,n n n c a b n N =?,求数列{}n c 的前n 项和.等差数列{}n a 中，24a =，4715a a +=．（Ⅰ）求数列{}n a 的通项公式；（Ⅱ）设22n a n b n -=+，求12310b b b b +++⋅⋅⋅+的值．8(2015山东理）（18）（本小题满分12分）设数列{}n a 的前n 项和为n S .已知2n S =3n+3.（I ）求{}n a 的通项公式；（II ）若数列{}n b 满足23=log n n a b ，求{}n b 的前n 项和n T .9（2015重庆文）、(本小题满分12分，（I ）小问7分，（II ）小问6分) 已知等差数列{}n a 满足3a =2，前3项和3S =92. （I ）求{}n a 的通项公式；（II ）设等比数列{}n b 满足1b =1a ，4b =15a ，求{}n b 前n 项和n T .10.（2015浙江文）已知数列{}n a 和{}n b 满足，*1112,1,2(n N ),n n a b a a +===∈*12311111(n N )23n n b b b b b n+++++=-∈ .（1）求n a 与n b ;（2）记数列{}n n a b 的前n 项和为n T ，求n T .11.（2015山东文）已知数列}{n a 是首项为正数的等差数列，数列11{}n n a a +∙的前n 项和为12+n n 。

【高考解码】(新课标)2015届高考数学二轮复习数列综合题2

【高考解码】（新课标）2015届高考数学二轮复习数列综合题2 四、数列综合题 13．(2014·某某高考)已知等差数列{a n }的公差d ＞0.设{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，S 2·S 3＝36.(1)求d 及S n ；(2)求m ，k (m ，k ∈N *)的值，使得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝65.【解】 (1)由题意知(2a 1＋d )(3a 1＋3d )＝36，将a 1＝1代入上式解得d ＝2或d ＝－5.因为d ＞0，所以d ＝2.从而a n ＝2n －1，S n ＝n 2(n ∈N *)．(2)由(1)得a m ＋a m ＋1＋a m ＋2＋…＋a m ＋k ＝(2m ＋k －1)(k ＋1)，所以(2m ＋k －1)(k ＋1)＝65.由m ，k ∈N *知2m ＋k －1≥k ＋1＞1，故错误!所以错误!14．(2014·某某某某市高考模拟卷)已知函数f (x )＝x 2＋bx 为偶函数，数列{a n }满足a n ＋1＝2f (a n －1)＋1，且a 1＝3，a n ＞1.(1)设b n ＝log 2(a n －1)，求证：数列{b n ＋1}为等比数列；(2)设＝nb n ，求数列{}的前n 项和S n .【解】 (1)证明 ∵函数f (x )＝x 2＋bx 为偶函数，∴b ＝0，∴f (x )＝x 2，∴a n ＋1＝2f (a n －1)＋1＝2(a n －1)2＋1，∴a n ＋1－1＝2(a n －1)2.又a 1＝3，a n ＞1，b n ＝log 2(a n －1)，∴b 1＝log 2(a 1－1)＝1，∴b n ＋1＋1b n ＋1＝log 2a n ＋1－1＋1log 2a n －1＋1＝log 2[2a n －12]＋1log 2a n －1＋1＝2＋2log 2a n －1log 2a n －1＋1＝2， ∴数列{b n ＋1}是首项为2，公比为2的等比数列．(2)由(1)得，b n ＋1＝2n ，∴b n ＝2n －1，∴＝nb n ＝n 2n －n ，设A n ＝1×2＋2×22＋3×23＋…＋n ×2n ，则2A n ＝1×22＋2×23＋3×24＋…＋n ×2n ＋1，∴－A n ＝2＋22＋23＋…＋2n －n ×2n ＋1＝21－2n 1－2－n ×2n ＋1＝2n ＋1－n ×2n ＋1－2， ∴A n ＝(n －1)2n ＋1＋2.设B n ＝1＋2＋3＋4＋…＋n ，则B n ＝n n ＋12. ∴S n ＝A n －B n ＝(n －1)2n ＋1＋2－n n ＋12. 15．(文)(2014·某某高考)数列{a n }满足a 1＝1，na n ＋1＝(n ＋1)a n ＋n (n ＋1)，n ∈N *.(1)证明：数列{a nn}是等差数列；(2)设b n ＝3n ·a n ，求数列{b n }的前n 项和S n .(1)证明由已知可得a n ＋1n ＋1＝a n n ＋1，即a n ＋1n ＋1－a n n＝1. 所以{a n n }是以a 11＝1为首项，1为公差的等差数列． (2)【解】由(1)得a n n＝1＋(n －1)·1＝n ，所以a n ＝n 2. 从而b n ＝n ·3n .S n ＝1·31＋2·32＋3·33＋…＋n ·3n ，①3S n ＝1·32＋2·33＋…＋(n －1)·3n ＋n ·3n ＋1.②①－②得－2S n ＝31＋32＋…＋3n －n ·3n ＋1 ＝3·1－3n 1－3－n ·3n ＋1＝1－2n ·3n ＋1－32. 所以S n ＝2n －1·3n ＋1＋34. (理)(2014·某某高考)设数列{a n }的前n 项和为S n ，满足S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，且S 3＝15.(1)求a 1，a 2，a 3的值；(2)求数列{a n }的通项公式．【解】 (1)由S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n ，n ∈N *，取n ＝1,2得错误!，①又S 3＝15，∴a 1＋a 2＋a 3＝15，∴a 3＝15－(a 1＋a 2)．② 联立①②解得a 1＝3，a 2＝5，a 3＝7.(2)当n >1时，由已知得 ⎩⎪⎨⎪⎧ S n ＝2na n ＋1－3n 2－4n S n －1＝2n －1a n －3n －12－4n －1，两式相减得2na n ＋1＝(2n －1)a n ＋6n ＋1，即2na n ＋1－4n 2－6n ＝(2n －1)a n －4n 2＋1，即2n [a n ＋1－(2n ＋3)]＝(2n －1)[a n －(2n －1)]，令b n ＝a n －(2n ＋1)，则2nb n ＋1＝(2n －1)b n ，③ 由(1)知b 1＝b 2＝0，则由③知b n ＝0，∴a n ＝2n ＋1，且n ＝1时也成立，故a n ＝2n ＋1，n ∈N *.16．(2014·某某某某调研)已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且满足4(n ＋1)(S n ＋1)＝(n ＋2)2a n (n ∈N *)．(1)求a 1，a 2的值；(2)求a n ；(3)设b n ＝n ＋1a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <34. 【解】 (1)当n ＝1时，有4×(1＋1)(a 1＋1)＝(1＋2)2a 1，解得a 1＝8.当n ＝2时，有4×(2＋1)(a 1＋a 2＋1)＝(2＋2)2a 2，解得a 2＝27.(2)当n ≥2时，有4(S n ＋1)＝n ＋22a n n ＋1，① 4(S n －1＋1)＝n ＋12a n －1n.② ①－②得：4a n ＝n ＋22a n n ＋1－n ＋12a n －1n ，即a n a n －1＝n ＋13n 3， ∴a n n ＋13＝a n －1n 3＝a n －2n －13＝…＝a 233＝1， ∴a n ＝(n ＋1)3(n ≥2)．另解：a n ＝a n a n －1.a n －1a n －2.....a 2a 1.a 1＝n ＋13n 3.n 3n －13.. (433)3·33＝(n ＋1)3(n ≥2)．又∵当n ＝1时，有a 1＝8，∴a n ＝(n ＋1)3.(3)∵b n ＝n ＋1a n ＝1n ＋12<1n n ＋1＝1n －1n ＋1， ∴T n ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b n －1＋b n＝122＋132＋142＋…＋1n 2＋1n ＋12<122＋12×3＋13×4＋…＋1n －1n ＋1n n ＋1 ＝14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n ＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1＝14＋12－1n ＋1<34.。

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2015高考数列试题1.(2015新课标理1)井4~ Sn为数列｛a n｝的前n项和.已知a n>0,(I )求｛a n｝的通项公式：(n )设1，求数列｛划｝的前n项和2.( 2015广东理)数列｛a n｝满足：a12a2nN(1)求a3的值;⑵求数列｛a n｝的前n项和T n；3 5 3.( 2015广东文)设数列a n的前n项和为S n, n .已知a i 1 , a2, a32 4 且当n 2时，45.2 5S n 8S n 1 S n 1.1求34的值；2证明：3. 1 ^a n为等比数列；23求数列a n的通项公式.4. ( 2015北京文)已知等差数列｛「｝满足二+ :=10,- -「=2.(I)求｛「.｝的通项公式；(U)设等比数列仇｝满足％=铅，旳=鼬；问：-一与数列P., ｝的第几项相等?5. ( 2015天津理)已知数列｛a n｝满足a n 2 qa n(q为实数，且q 1), n N ,& 2，且a?+a3,a3+a4,a4+a§成等差数列.(I) 求q的值和｛a n｝的通项公式；(II) 设b n lOg2a2n ,n N*，求数列｛b n｝的前n项和.a2n 16. ( 2015天津文)18•已知｛a n｝是各项均为正数的等比数列，｛b n｝是等差数列，且a1二b1 =1,b2 +b3 =2a3,a5 - 3b2 = 7 • (1)求｛a n｝和｛b n｝的通项公式;(2)设C n = a n b n ,n? N，求数列{C n} 的前n项和.7. （ 2015 福建文）等差数列a n中，a2 4 ，a4 a7 15 ．(i)求数列a n的通项公式；(n)设b n 2an 2 n，求b i b2 4 d。

的值.8(2015山东理)(18)(本小题满分12分)设数列｛a n｝的前n项和为S n.已知2S n=3n+3.(I)求｛a n｝的通项公式；(II)若数列｛b n｝满足a n b n=log 32，求｛b n｝的前n项和T n.9 （2015重庆文）、（本小题满分12分，（I）小问7分，（II）小问6分）9已知等差数列a n满足a3=2，前3项和&=.2（I）求a n的通项公式；（II）设等比数列b n满足b| = a i，b4 = a!5，求b n前n项和10.（2015浙江文）已知数列｛a n｝和｛0｝满足，a1 2力1,a n 1 2a n(n* N ),1 *-b n b n1 1(n N ). n C1）求a n 与b n；（2）记数列｛a n b n｝的前n项和为T n，求⑴求数列｛a n ｝的通项公式;a(II )设b n (a n 1) 2 n ，求数列｛b n ｝的前n 项和T n12.（2015安徽文）已知数列a n 是递增的等比数列，且 a 1 a 4 9,a 2a 3 8.（1）求数列 a n 的通项公式；a（2）设S n 为数列a n 的前n 项和，b n ——，求数列b n 的前n 项和T n 。

2015届高考数学(理)二轮练习：数列、不等式(含答案)

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.答案 ⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．等差数列的有关概念及性质(1)等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)． (2)等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . (3)等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d . (4)等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d 2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列．③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 答案 A3．等比数列的有关概念及性质(1)等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.(2)等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.(3)等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．(4)等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . (5)等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] (1)在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. (2)各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________. 答案 (1)512 (2)10 4．数列求和的方法(1)公式法：等差数列、等比数列求和公式； (2)分组求和法； (3)倒序相加法； (4)错位相减法； (5)裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .(6)并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．答案 925．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示．[问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________．答案 ⎝⎛⎭⎫23，16．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．答案充分不必要7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)(1)推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)． (2)用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件． [问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．答案 98．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．答案22易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．错解－1找准失分点当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1. 正解 ①当q ＝1时，S 3＋S 6＝9a 1，S 9＝9a 1， ∴S 3＋S 6＝S 9成立． ②当q ≠1时，由S 3＋S 6＝S 9 得a 1(1－q 3)1－q ＋a 1(1－q 6)1－q ＝a 1(1－q 9)1－q∴q 9－q 6－q 3＋1＝0，即(q 3－1)(q 6－1)＝0. ∵q ≠1，∴q 3－1≠0，∴q 6＝1，∴q ＝－1. 答案 1或－1易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 错解由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0.|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132 所以S k ＝2k 2－23k ＋132.找准失分点忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．正解由题意，知a n ＝21－4(n －1)＝25－4n ，因此由a n ≥0，解得n ≤254，即数列{a n }的前6项大于0，从第7项开始，以后各项均小于0. 当k ≤6时，S k ＝|a 1|＋|a 2|＋…＋|a k |＝a 1＋a 2＋…＋a k ＝－2k 2＋23k .当k ≥7时，|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k | ＝(a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 6)－(a 7＋a 8＋…＋a k )＝2(a 1＋a 2＋…＋a 6)－(a 1＋a 2＋…＋a 6＋a 7＋a 8＋…＋a k ) ＝2k 2－23k ＋132，所以S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7).易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________. 错解 150或－200找准失分点数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.正解记b 1＝S 10，b 2＝S 20－S 10，b 3＝S 30－S 20，b 4＝S 40－S 30， b 1，b 2，b 3，b 4是以公比为r ＝q 10>0的等比数列． ∴b 1＋b 2＋b 3＝10＋10r ＋10r 2＝S 30＝70， ∴r 2＋r －6＝0，∴r ＝2或r ＝－3(舍去)， ∴S 40＝b 1＋b 2＋b 3＋b 4＝10(1－24)1－2＝150.答案 150易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．错解由⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4 ≥2ab ＋2ab＋4≥4ab ·1ab＋4＝8，得⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是8. 找准失分点两次利用基本不等式，等号不能同时取到．正解 ⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2 ＝a 2＋b 2＋1a 2＋1b 2＋4＝(a 2＋b 2)＋⎝⎛⎭⎫1a 2＋1b 2＋4 ＝[(a ＋b )2－2ab ]＋⎣⎡⎦⎤⎝⎛⎭⎫1a ＋1b 2－2ab ＋4＝(1－2ab )⎝⎛⎭⎫1＋1a 2b 2＋4 由ab ≤⎝⎛⎭⎫a ＋b 22＝14，得1－2ab ≥1－12＝12，且1a 2b2≥16,1＋1a 2b2≥17.∴原式≥12×17＋4＝252(当且仅当a ＝b ＝12时，等号成立)，∴⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值是252.1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．28答案 C解析因为a 3＋a 8＝10，所以由等差数列的性质，得a 5＋a 6＝10，所以3a 5＋a 7＝2a 5＋2a 6＝20，选C.2．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个答案 B解析由1a <1b<0，得a <0，b <0，故a ＋b <0且ab >0，所以a ＋b <ab ，即①正确；由1a <1b<0，得⎪⎪⎪⎪1a >⎪⎪⎪⎪1b ，两边同乘|ab |，得|b |>|a |，故②错误；由①②知|b |>|a |，a <0，b <0，所以a >b ，即③错误，选B.3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e答案 A解析 x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，14ln x ·ln y ＝(14)2，即14＝ln x ·ln y ≤(ln x ＋ln y 2)2，ln x ＋ln y ≥1，ln xy ≥1，故xy ≥e.4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶3答案 A解析 ∵{a n }是等比数列，∴S 5，S 10－S 5，S 15－S 10也构成等比数列，记S 5＝2k (k ≠0)，则S 10＝k ，可得S 10－S 5＝－k ，进而得S 15－S 10＝12k ，于是S 15＝32k ，故S 15∶S 5＝32k ∶2k ＝3∶4.5．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．396答案 C解析将三个括号作为一组，则由50＝16×3＋2，知第50个括号应为第17组的第二个括号，即第50个括号中应是两个数．又因为每组中含有6个数，所以第48个括号的最末一个数为数列{2n －1}的第16×6＝96项，第50个括号的第一个数应为数列{2n －1}的第98项，即为2×98－1＝195，第二个数为2×99－1＝197，故第50个括号内各数之和为195＋197＝392.故选C.6．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．答案 2 2解析点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则m ＋2n ＝1；2m ＋4n ＝2m ＋22n ≥22m ·22n ＝22m＋2n＝2 2.7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．答案 4解析由x ，a ，b ，y 成等差数列知a ＋b ＝x ＋y ，① 由x ，c ，d ，y 成等比数列知cd ＝xy ，②把①②代入(a ＋b )2cd 得(a ＋b )2cd ＝(x ＋y )2xy ＝x 2＋y 2＋2xy xy ≥4，∴(a ＋b )2cd的最小值为4.8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．答案 4解析画出可行域D ，如图中阴影部分所示，而z ＝OM →·OA →＝2x ＋y ， ∴y ＝－2x ＋z ，令l 0：y ＝－2x ，将l 0平移到过点(2，2)时，截距z 有最大值，故z max ＝2×2＋2＝4.9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________．答案 (4,8)解析 ∵{a n }是单调递增数列，∴⎩⎪⎨⎪⎧4－a 2>0a >1(4－a 2)×6＋4<a2，⎩⎪⎨⎪⎧a <8a >1a <－7或a >4， ∴4<a <8.10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，①知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1，整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项．当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

数列题目精选（2015年各省高考数学数列大题精选）

数列题目精选（2015年各省高考数学数列大题精选）一．选择题（共10小题）1．等差数列{a n}的前m项和为30，前2m项和为100，则它的前3m项和为（项和为（）A．130 B．170 C．210 D．260 2．已知各项均为正数的等比数列{a n}，a1a2a3=5，a7a8a9=10，则a4a5a6=（）A．B．7C．6D．3．已知等差数列{a n}满足a2+a4=4，a3+a5=10，则它的前10项的和S10=（）A．138 B．135 C．95 D．23 4．设等差数列{a n}的前n项和为S n，若S m﹣1=﹣2，S m=0，S m+1=3，则m=（）A．3B．4C．5D．65．等差数列{a n}的公差为2，若a2，a4，a8成等比数列，则{a n}的前n项和S n=（）A．n（n+1）B．n（n﹣1）C．D．6．设等差数列{a n}满足a1=1，a n＞0（n∈N*），其前n项和为S n，若数列{}也为等差数列，则的最大值是（）A．310 B．212 C．180 D．121 7．设S n为等差数列{a n}的前n项和．若a4＜0，a5＞|a4|，则使S n＞0成立的最小正整数n为（为（）A．6B．7C．8D．98．设S n为公差不为零的等差数列{a n}的前n项和，若S9=3a8，则=（）A．15 B．17 C．19 D．21 9．观察数列；﹣4，0，4，1，﹣4，0，4，1，﹣4，0，4，1…，则a2014=（）A．﹣4 B．0C．4D．110．已知数列{a n}满足a1=3，a2=6，a n+2=a n+1﹣a n，则a2014=（）A．6B．﹣3 C．﹣6 D．3二．解答题（共12小题）11．已知等差数列{a n}的公差不为零，a1=25，且a1，a11，a13成等比数列．成等比数列．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）求a1+a4+a7+…+a3n﹣2．12．已知数列{a n}满足a1=1，a n+1=3a n+1．（Ⅰ）证明{a n+}是等比数列，并求{a n}的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）证明：++…+＜．13．（2015•山东）已知数列{a n}是首项为正数的等差数列，数列{}的前n项和为．（1）求数列{a n}的通项公式；的通项公式；（2）设b n=（a n+1）•2，求数列{b n}的前n项和T n．14．（2015•四川）设数列{a n}（n=1，2，3，…）的前n项和S n满足S n=2a n﹣a1，且a1，a2+1，a3成等差数列．成等差数列．（Ⅰ）求数列{a n}的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）记数列{}的前n项和为T n，求使得|T n﹣1|成立的n的最小值．的最小值．15．（2015•浙江）已知数列{a n}满足a1=且a n+1=a n﹣a n2（n∈N*）（1）证明：1≤≤2（n∈N*）；（2）设数列{an 2}的前n项和为S n，证明（n∈N*）．16．（2015•广东）设数列广东）设数列 {a n}的前n项和为S n，n∈N*．已知a1=1，a2=，a3=，且当a≥2时，4S n+2+5S n=8S n+1+S n．﹣1的值；（1）求a4的值；（2）证明：{a n+1﹣a n}为等比数列；为等比数列；（3）求数列{a n}的通项公式．的通项公式．17．（2015•湖南）设数列{a n}的前n项和为S n，已知a1=1，a2=2，a n+2=3S n﹣S n+1+3，n∈N*，（Ⅰ）证明a n+2=3a n；（Ⅱ）求S n．18．（2015•北京）已知等差数列{a n}满足a1+a2=10，a4﹣a3=2 （1）求{a n}的通项公式；的通项公式；（2）设等比数列{b n}满足b2=a3，b3=a7，问：b6与数列{a n}的第几项相等？的第几项相等？19．（2015•北京）已知数列{a n}满足：a1∈N*，a1≤36，且a n+1=（n=1，2，…），记集合M={a n|n∈N*}．（Ⅰ）若a1=6，写出集合M的所有元素；的所有元素；的倍数；（Ⅱ）如集合M存在一个元素是3的倍数，证明：M的所有元素都是3的倍数；的元素个数的最大值．（Ⅲ）求集合M的元素个数的最大值．20．（2015•山东）设数列{a n}的前n项和为S n，已知2S n=3n+3．（Ⅰ）求{a n}的通项公式；的通项公式；（Ⅱ）若数列{b n}，满足a n b n=log3a n，求{b n}的前n项和T n．（2）当d＞1时，记c n=，求数列{c n}的前n项和T n．（2）设S n为数列{a n}的前n项和，b n=，求数列{b n}的前n项和T n．。

广东省东莞市2015高考数学数列复习题理

2015届高三理科数学小综合专题练习——数列一．选择题：（在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.请把正确选项的代号填涂到答题卡上）1．数列1，－3，5，－7，9，……的一个通项公式为（）A 、12-=nan B、)21()1(na nn--=C 、)12()1(--=na nn D 、)12()1(+-=na nn2．在等差数列{}na中，621118+=aa，则数列{}na前9项的和9S等于（）A. 24B. 48C. 72D. 1083．已知等比数列{}na中，11=a，公比≠||q1，若54321aaaaaam=，则=m（）A. 9B. 10C. 11D. 124．等差数列{}na的公差不为零，首项11a=，2a是1a和5a的等比中项，则数列的前10项之和是（）A.90B.100C.145D.1905．各项为正数的等比数列{}na的公比1q≠，且2a，321a，1a成等差数列，则3445a aa a++值是（）A．B．C．D．或二．填空题（请将正确答案填在答卷上）6．设数列{an},{bn}都是等差数列，若711=+b a ，2133=+b a ，则=+55b a _________7．某住宅小区计划植树不少于100棵,若第一天植树2棵,以后每天植树的棵树是前一天的2倍,则需要的最少天数n(n ∈N*)等于_____________.8．数列{}n a 的通项公式，211+++=n n a n 其前n 项和，23=n S ，则n =_____.9．已知数列中，，，则数列通项__________10．已知数列{an}的前n 项和为Sn ，f(x)＝211x x -+，an ＝log2()()1f n f n +，则S2 013＝________.三、解答题(解答应写出文字说明，证明过程或演算步骤.)11． (1)等差数列{}n a 中，已知33,4,31521==+=n a a a a ，试求n 的值.(2)在等比数列{}n a 中，5162a =，公比3q =，前n 项和242n S =，求首项1a 和项数n ．12．已知{}n a 是等差数列，其中1425,16a a ==（1）求{}n a 的通项;（2）数列{}n a 从哪一项开始小于0?（3）求13519a a a a ++++值.13．已知数列an 的前n 项和公式为Sn=n2-23n-2(n ∈N*). (1)写出该数列的第3项; (2)判断74是否在该数列中;(3)确定Sn 何时取最小值,最小值是多少? 14．数列{}n a 中，，（1）证明：数列{}n a 是递增数列.（2）求数列{}n a 的最小项.15．已知等比数列{}n a 为正项递增数列，且482=a a ，32064=+a a ，数列={}n a 11=-11n n n n a a a a ++⋅=-22+-=n n a n*3log ()2nn a b n N =∈．（1）求数列{}n b 的通项公式；（2）211222n n T b b b b -=++++，求nT .16．等差数列{}n a 的各项均为正数，13a =，前n 项和为nS ，{}n b 为等比数列,11b =，且2264,b S =33960b S =．（Ⅰ）求na 与nb ；（Ⅱ）求和：12111n S S S +++．17．假设你正在某公司打工，根据表现，老板给你两个加薪的方案：（Ⅰ）每年年末加1000元；（Ⅱ）每半年结束时加300元.请你选择.（1）如果在该公司干10年，问两种方案各加薪多少元？（2）对于你而言，你会选择其中的哪一种？18．我们用部分自然数构造如下的数表：用aij(i ≥j)表示第i 行第j 个数(i 、j 为正整数)，使ail=aii=i ；每行中的其余各数分别等于其“肩膀”上的两个数之和(第一、二行除外，如图)，设第n(n 为正整数)行中各数之和为bn ．（1）试写出b2一2b1；，b3-2b2，b4-2b3,b5-2b4，并推测bn+1和bn 的关系(无需证明)；（2）证明数列{bn+2}是等比数列，并求数列{bn}的通项公式bn ；19．设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且*)(122N n n S a n n∈++=.（1）求321a a a ，，（2）求证：数列{}2+n a 是等比数列；（3）求数列{}n a n •的前n 项和n T .20.已知数列的前n 项和为，且（1）求数列的通项公式；（2）设数列满足：，且，求证：；（3）求证：.1(1)4,2,(2,2n n n n a S na n n -==+-≥∈N *n S }n a {}n b 14b =21(1)2,()n n n b b n b n +=---∈N *,(2,)n n b a n n >≥∈N *23344511111(1)(1)(1)(1)n n b b b b b b b b +++++<2015届高三数学小综合（数列）专题练习参考答案一、选择题：二、填空题： 6.35 7.6 8.30 9. 10.log240272015＋1三、解答题：11.解：（1）因为2554a a d +=+=111(a +d)+(a +4d)=2a ，13=1a所以23d =，121(1)33n a a n d n =+-=-由33n a =得：213333n -=，解得n=50（2）因为5162a =，公比3q =所以由451a a q =得：411623a =，解得12a =所以1(1)311n n n a q S q -==--因为242n S =，所以31242n n S =-=解得5n = 12.解：（1）4133a a d d =+∴=-283n a n∴=-（2） 1283093n n -<∴> ∴数列{}n a 从第10项开始小于0（3）13519a a a a ++++是首项为25，公差为6-的等差数列，共有10项其和1091025(6)202S ⨯=⨯+⨯-=-13.解: (1)a3=S3-S2=-18.(2)n=1时,a1=S1=-24,n ≥2时,an=Sn-Sn-1=2n-24,即⎩⎨⎧≥---,2,242,1,24n n n1n-由题设得2n-24=74(n ≥2),得n=49. ∴74在该数列中.(3)Sn=(n-223)2-4232-2,∴当n=11或n=12时,(Sn)min=-134.14.解，又，∴，数列{}n a 是递增数列∴数列{}n a 的最小项为.15.解：(1)∵{an}是正项等比数列，2285544,2a a a a ∴===由　得　又46203a a +=∴23110q q=+. ∴3q =或13q =，∵{}n a 为增数列∴1151232381n n n n a a q ---==⋅=⋅，3log 52nn a b n ∴==-.(2)n T =211222.......n b b b b -++++21(15)(25)(25)(25)n -=-+-+-++-＝1212n--5n -=2n51n --16.解:（Ⅰ）设{}n a 的公差为d ，{}n b 的公比为q ，则d 为正整数，3(1)n a n d =+-，1n n b q -= 依题意有23322(93)960(6)64S b d q S b d q ⎧=+=⎨=+=⎩解得2,8d q =⎧⎨=⎩或65403d q ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩(舍去) 故132(1)21,8n n n a n n b -=+-=+=（Ⅱ）35(21)(2)n S n n n =++++=+12)1(1222)(122221<++++++=+-++-+=+n n n n n n n n a n n 022<+-=n n a n 1+<n n a a 311-=∴121111111132435(2)n S S S n n +++=++++⨯⨯⨯+11111111(1)2324352n n =-+-+-++-+1111(1)2212n n =+--++32342(1)(2)n n n +=-++17.解：设方案一第n 年年末加薪an ，因为每年末加薪1000元，则an=1000n ；设方案二第n 个半年加薪bn ，因为每半年加薪300元，则bn=300n ；在该公司干10年(20个半年)，方案1共加薪S10=a1＋a2＋……＋a10=55000元.方案2共加薪T20=b1＋b2＋……＋b20=20×300＋3002)120(20⨯-⨯=63000元； (2)设在该公司干n 年，两种方案共加薪分别为：Sn=a1＋a2＋……＋an=1000×n ＋10002)1(⨯-n n =500n2＋500nT2n=b1＋b2＋……＋b2n=2n ×300＋3002)12(2⨯-⨯n n =600n2＋300n令T2n ≥Sn 即：600n2＋300n>500n2＋500n ，解得：n ≥2，当n=2时等号成立.∴如果干3年以上(包括3年)应选择第二方案；如果只干2年，随便选；如果只干1年，当然选择第一方案.18.解:（1）bl=1,；b2=4；b3=10；b4=22；b5=46：可见：b2-2 bl=2；b3-2 b2=2；b4-2 b3=2；b5-2 b4=2猜测：bn+1-2 bn=2 (或bn+1=2 bn+2或bn+1- bn=3×2n-1)（2）由（1）2221=+++n n b b所以{bn+2}，是以b1+2=3为首项，2为公比的等比数列， ∴ bn+2=3×2n-1 ,即bn =3×2n-1-2..-19.解：(1)由题意，当n=1时，得2a1=a1+3,解得a1=3 当n=2时，得2a2=(a1+a2)+5,解得a2=8当n=3时，得2a3=(a1+a2+a3)+7,解得a3=18 所以a1=3,a2=8,a3=18为所求.(2)因为2an=Sn+2n+1，所以有2an+1=Sn+1+2n+3成立两式相减得：2an+1-2an=an+1+2所以an+1=2an+2(n ∈N*)，即an+1+2=2(an+2)所以数列{an+2}是以a1+2=5为首项，公比为2的等比数列 (3)由(2)得：an+2=5×2n-1,即an=5×2n-1-2(n ∈N*) 则nan=5n ·2n-1-2n(n ∈N*)设数列{5n ·2n-1}的前n 项和为Pn,则Pn=5×1×20+5×2×21+5×3×22+…+5×(n-1)·2n-2+5×n ·2n-1,所以2Pn=5×2×21+5×3×22+5×3×23+…+5(n-1)·2n-1+5×n ·2n, 所以-Pn=5(1+21+22+…+2n-1)-5n ·2n, 即Pn=(5n-5)·2n+5(n ∈N*) 所以数列{n ·an}的前n 项和Tn=(5n-5)·2n+5-2×2)1(+n n ,整理得，Tn=(5n-5)·2n-n2-n+5(n ∈N*)20.解:（1）当时，，，可得：.可得，（2）当时，，不等式成立.假设当时，不等式成立，即那么，当时，所以当时，不等式也成立. 根据（），（）可知，当时，（3）设在上单调递减，∵当时，，111111ln(1)(1)(2)2n n n n b b n n n ++∴+<<=+++2334111)1(1)ln(1n n n b b ++++++11111341232n n n <-++-=-<+++32334111(1)(1)(1).n n e bb b b b b ++++<3≥(1)22n nn n S na -=+-11(1)(2)(1)22n n S n a ---=+-11(1)22n n n n a na n a --=---⨯11(3,)n n a a n n -∴-=≥∈N *122221,a a a +=+-2 3.∴=4,(1))n n a ⎧=⎨∈⎩N *n 2=22122143b b a =->=(2,)k k =≥∈N 1.k b k >+21(1)2(1)22(1)222,k k k k k k b k b b b k k k k +=---=-+-->+-=≥+1k +1︒2︒.n na 1()1(1),()111f x n x x f x x -'=+-=-=+()f x ∴(0,+∞()(0),1(1).x f n x x <∴+<2,n n ≥∈N 111,1n nb a n <=+。

【状元之路】2015版高考数学二轮复习数列求和及数列的综合应用专题训练(含解析)

【状元之路】2015版高考数学二轮复习数列求和及数列的综合应用专题训练（含解析）一、选择题1．(2014·广东惠州一模)设S n 是等差数列{a n }的前n 项和，a 1＝2，a 5＝3a 3，则S 9＝( ) A ．－72 B ．－54 C ．54D ．72解析 a 1＝2，a 5＝3a 3得a 1＋4d ＝3(a 1＋2d )，即d ＝－a 1＝－2，所以S 9＝9a 1＋9×82d ＝9×2－9×8＝－54，选B.答案 B2．(2014·全国大纲卷)等比数列{a n }中，a 4＝2，a 5＝5，则数列{lg a n }的前8项和等于( ) A ．6 B ．5 C ．4D ．3解析 S 8＝lg a 1＋lg a 2＋…＋lg a 8＝lg(a 1·a 2·…·a 8)＝lg(a 1·a 8)4＝lg(a 4·a 5)4＝lg(2×5)4＝4.答案 C3．(2014·北京卷)设{a n }是公比为q 的等比数列．则“q >1”是“{a n }为递增数列”的( ) A ．充分而不必要条件 B ．必要而不充分条件 C ．充分必要条件 D ．既不充分也不必要条件解析利用公比与等比数列的单调性的关系进行判断．{a n }为递增数列，则a 1>0时，q >1；a 1<0时，0<q <1.q >1时，若a 1<0，则{a n }为递减数列．故“q >1”是“{a n }为递增数列”的既不充分也不必要条件，故选D.答案 D4．已知数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，数列{b n }满足b n ＝1a n a n ＋1(n ∈N *)，T n 是数列{b n }的前n 项和，则T 9等于( )A.919B.1819C.2021D.940解析 ∵数列{a n }的前n 项和为S n ，且S n ＝n 2＋n ，∴n ＝1时，a 1＝2；n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝2n ，∴a n ＝2n (n ∈N *)，∴b n ＝1a n a n ＋1＝12n 2n ＋2 ＝14⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，T 9＝14⎣⎢⎡⎦⎥⎤⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫19－110＝14×⎝ ⎛⎭⎪⎫1－110＝940. 答案 D5．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2－6n ，则{|a n |}的前n 项和T n ＝( ) A ．6n －n 2B ．n 2－6n ＋18C.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3n 2－6n ＋18 n >3D.⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 2 1≤n ≤3 n 2－6n n >3解析由S n ＝n 2－6n 得{a n }是等差数列，且首项为－5，公差为2.∴a n ＝－5＋(n －1)×2＝2n －7.∴n ≤3时，a n <0；n >3时，a n >0.∴T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧6n －n 21≤n ≤3 ，n 2－6n ＋18 n >3 .答案 C6．已知曲线C ：y ＝1x(x >0)及两点A 1(x 1,0)和A 2(x 2,0)，其中x 2>x 1>0.过A 1，A 2分别作x 轴的垂线，交曲线C 于B 1，B 2两点，直线B 1B 2与x 轴交于点A 3(x 3,0)，那么( )A ．x 1，x 32，x 2成等差数列B ．x 1，x 32，x 2成等比数列C ．x 1，x 3，x 2成等差数列D ．x 1，x 3，x 2成等比数列解析由题意，B 1，B 2两点的坐标分别为⎝⎛⎭⎪⎫x 1，1x 1，⎝⎛⎭⎪⎫x 2，1x2，所以直线B 1B 2的方程为y ＝－1x 1x 2(x －x 1)＋1x 1，令y ＝0，得x ＝x 1＋x 2，∴x 3＝x 1＋x 2，因此，x 1，x 32，x 2成等差数列．答案 A 二、填空题7．若数列{a n }的前n 项和S n ＝23a n ＋13，则{a n }的通项公式是a n ＝________.解析 n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝23a n ＋13－23a n －1＋13，化简得：a n ＝－2a n －1，又a 1＝S 1＝23a 1＋13，得a 1＝1，故{a n }以1为首项，以－2为公比的等比数列，所以a n ＝(－2)n －1.答案 (－2)n －18．(2013·辽宁卷)已知等比数列{a n }是递增数列，S n 是{a n }的前n 项和．若a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两个根，则S 6＝________.解析 ∵a 1，a 3是方程x 2－5x ＋4＝0的两根，且q >1，∴a 1＝1，a 3＝4，则公比q ＝2，因此S 6＝1× 1－261－2＝63.答案 639．(2014·河南一模)已知对于任意的自然数n ，抛物线y ＝(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1与x 轴相交于A n ，B n 两点，则|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝________.解析令(n 2＋n )x 2－(2n ＋1)x ＋1＝0，则x 1＋x 2＝2n ＋1n 2＋n ，x 1x 2＝1n 2＋n，由题意得|A n B n |＝|x 2－x 1|，所以|A n B n |＝ x 1＋x 2 2－4x 1x 2＝⎝ ⎛⎭⎪⎫2n＋1n 2＋n 2－4·1n 2＋n ＝1n 2＋n ＝1n －1n ＋1，因此|A 1B 1|＋|A 2B 2|＋…＋|A 2 014B 2 014|＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1－12＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12 014－12 015＝1－12 015＝2 0142 015.答案2 0142 015三、解答题10．(2014·湖南卷)已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋n2，n ∈N *.(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2a n ＋(－1)na n ，求数列{b n }的前2n 项和．解 (1)当n ＝1时，a 1＝S 1＝1；当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝n 2＋n 2－n －1 2＋ n －12＝n .故数列{a n }的通项公式为a n ＝n . (2)由(1)知a n ＝n ，故b n ＝2n ＋(－1)nn . 记数列{b n }的前2n 项和为T 2n ，则T 2n ＝(21＋22＋ (22))＋(－1＋2－3＋4－…＋2n )．记A ＝21＋22＋ (22)，B ＝－1＋2－3＋4－…＋2n ，则A ＝2 1－22n1－2＝22n ＋1－2，B ＝(－1＋2)＋(－3＋4)＋…＋[－(2n －1)＋2n ]＝n ，故数列{b n }的前2n 项和T 2n ＝A ＋B ＝22n ＋1＋n －2.11．已知数列{a n }的前n 项和S n ＝a n ＋n 2－1，数列{b n }满足3n·b n ＋1＝(n ＋1)a n ＋1－na n ，且b 1＝3.(1)求a n ，b n ；(2)设T n 为数列{b n }的前n 项和，求T n ，并求满足T n <7时n 的最大值．解 (1)n ≥2时，S n ＝a n ＋n 2－1，S n －1＝a n －1＋(n －1)2－1，两式相减，得a n ＝a n －a n －1＋2n －1，∴a n －1＝2n －1. ∴a n ＝2n ＋1，∴3n·b n ＋1＝(n ＋1)(2n ＋3)－n (2n ＋1)＝4n ＋3， ∴b n ＋1＝4n ＋33n ，∴当n ≥2时，b n ＝4n －13n －1，又b 1＝3适合上式，∴b n ＝4n －13n －1.(2)由(1)知，b n ＝4n －13n －1，∴T n ＝31＋73＋1132＋…＋4n －53n －2＋4n －13n －1，①13T n ＝33＋73＋113＋…＋4n －53＋4n －13，② ①－②，得23T n ＝3＋43＋432＋…＋43n －1－4n －13n＝3＋4·13⎝ ⎛⎭⎪⎫1－131－13－4n －13n ＝5－4n ＋53n .∴T n ＝152－4n ＋52·3n －1.T n －T n ＋1＝4 n ＋1 ＋52·3n －4n ＋52·3n －1＝－ 4n ＋33n<0. ∴T n <T n ＋1，即{T n }为递增数列．又T 3＝599<7，T 4＝649>7，∴当T n <7时，n 的最大值为3.B 级——能力提高组1．(2014·上海虹口一模)已知函数f (n )＝n 2sin n π2，且a n ＝f (n )＋f (n ＋1)，则a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝________.解析考虑到sinn π2是呈周期性的数列，依次取值1,0，－1,0，…，故在求a 1＋a 2＋…＋a 2 014时要分组求和，又由a n 的定义，知a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2 014＝(a 1＋a 3＋…＋a 2 013)＋(a 2＋a 4＋…＋a 2 014)＝[f (1)＋f (3)＋…＋f (2 013)]＋[f (2)＋f (4)＋…＋f (2 014)]＝[(1－32)＋(52－72)＋…＋(2 0092－2 0112)＋2 0132]＋[(－32＋52)＋(－72＋92)＋…＋(－2 0112＋2 0132)－2 0152]＝－2×(4＋12＋20＋…＋4 020)＋2 0132＋2×(8＋16＋…＋4 024)－2 0152＝－2×503× 4＋4 0202＋2×503× 8＋4 024 2－2 0152＋2 0132＝503×8－2×4 028＝－4 032.答案－4 0322．(2014·上海长宁二模)定义函数f (x )＝{x ·{x }}，其中{x }表示不小于x 的最小整数，如{1.4}＝2，{－2.3}＝－2.当x ∈(0，n ](n ∈N *)时，函数f (x )的值域为A n ，记集合A n 中元素的个数为a n ，则1a 1＋1a 2＋…＋1a n＝________.解析由题意，a 1＝1，当x ∈(n ，n ＋1]时，{x }＝n ＋1，x ·{x }∈(n 2＋n ，n 2＋2n ＋1]，{x ·{x }}的取值依次为n 2＋n ＋1，n 2＋n ＋2，…，n 2＋2n ＋1共n ＋1个，即a n ＋1＝a n ＋n ＋1，由此可得a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n n ＋12，1a n＝2n n ＋1 ＝2⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1n ＋1，所以1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＝2－2n ＋1. 答案 2－2n ＋13．(2014·湖南卷)已知数列{a n }满足a 1＝1，|a n ＋1－a n |＝p n，n ∈N *. (1)若{a n }是递增数列，且a 1,2a 2,3a 3成等差数列，求p 的值；(2)若p ＝12，且{a 2n －1}是递增数列，{a 2n }是递减数列，求数列{a n }的通项公式．解 (1)因为{a n }是递增数列，所以a n ＋1－a n ＝|a n ＋1－a n |＝p n. 而a 1＝1，因此a 2＝p ＋1，a 3＝p 2＋p ＋1. 又a 1,2a 2,3a 3成等差数列，所以4a 2＝a 1＋3a 3，因而3p 2－p ＝0，解得p ＝13，p ＝0.当p ＝0时，a n ＋1＝a n ，这与{a n }是递增数列矛盾．故p ＝13.(2)由于{a 2n －1}是递增数列，因而a 2n ＋1－a 2n －1>0，于是(a 2n ＋1－a 2n )＋(a 2n －a 2n －1)>0.① 但122n <122n －1，所以|a 2n ＋1－a 2n |<|a 2n －a 2n －1|.② 由①②知，a 2n －a 2n －1>0，因此 a 2n －a 2n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫122n －1＝－1 2n22n －1.③因为{a 2n }是递减数列，同理可得a 2n ＋1－a 2n <0，故a 2n ＋1－a 2n ＝－⎝ ⎛⎭⎪⎫122n ＝－12n ＋122n④由③④即知，a n ＋1－a n ＝－1n ＋12n.于是a n ＝a 1＋(a 2－a 1)＋(a 3－a 2)＋…＋(a n －a n －1)＝1＋12－122＋…＋－1n2n －1＝1＋12·1－⎝ ⎛⎭⎪⎫－12n －11＋12＝43＋13· －1 n2n －1. 故数列{a n }的通项公式为a n ＝43＋13· －1 n2n －1.。

2015年高考数学数列真题汇编

2015年高考试卷数列题摘录1.(全国卷Ⅰ理科第17题，12分)n S 为数列{n a }的前n 项和.已知n a ＞0，2n n a a +=43n S +. （Ⅰ）求{n a }的通项公式：（Ⅱ）设b n =1an a n+1,求数列{b n }的前n 项和2.(全国卷Ⅰ文科第7题，5分)已知{a n }是公差为1的等差数列，S n 为{a n }的前n 项和。

则S 8=4S 4，a 10=（A ）172（B ）192（C ）10 （D ）123.(全国卷Ⅰ文科第13题，5分)在数列{a n }中， a 1=2,a n+1=2a n , S n 为{a n }的前n 项和,若S n =126，则n= .4.(全国卷Ⅱ理科第4题，5分)已知等比数列{}n a 满足a 1 = 3，a 1 + a 3 + a 5 = 21，则a 3 + a 5 + a 7 =A ．21B ．42C ．63D ．845.(全国卷Ⅱ理科第16题，5分)设S n 是数列{}n a 的前n 项和，且a 1 = -1，a n +1 = S n S n +1，则S n = __________.6.(全国卷Ⅱ文科第5题，5分)设S n 等差数列{}n a 的前n 项和。

若a 1 + a 3 + a 5 = 3，则S 5 =A ．5B ．7C ．9D ．117.(全国卷Ⅱ文科第9题，5分)已知等比数列{}n a 满足114a =，a 3a 5 = 44(1)a -，则a 2 = A ．2B ．1C ．12D ．188.(江苏卷第11题，5分)数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 前10项的和为 . 9.(江苏卷第20题，16分)设1234,,,a a a a 是各项为正数且公差为d (0)d ≠的等差数列（1）证明：31242,2,2,2a a a a依次构成等比数列；（2）是否存在1,a d ，使得2341234,,,a a a a 依次构成等比数列？并说明理由；（3）是否存在1,a d 及正整数,n k ，使得351234,,,n n k n kn k a a a a +++依次构成等比数列？并说明理由。

2015高考数学(江苏专用,理科)二轮专题整合：1-3-2数列的综合应用

第2讲数列的综合应用一、填空题1．数列{a n }的通项公式a n ＝1n ＋n ＋1，若{a n }的前n 项和为24，则n 为________．解析 a n ＝1n ＋n ＋1＝－( n －n ＋1)，前n 项和S n ＝－[(1－2)＋(2－3)＋…＋(n －n ＋1)]＝ n ＋1－1＝24，故n ＝624.答案 6242．在等差数列{a n }中，a 1＝142，d ＝－2，从第一项起，每隔两项取出一项，构成新的数列{b n }，则此数列的前n 项和S n 取得最大值时n 的值是________．解析因为从第一项起，每隔两项取出一项，构成数列{b n }，所以新数列的首项为b 1＝a 1＝142，公差为d ′＝－2×3＝－6，则b n ＝142＋(n －1)(－6)．令b n ≥0，解得n ≤2423，因为n ∈N *，所以数列{b n }的前24项都为正数项，从25项开始为负数项．因此新数列{b n }的前24项和取得最大值．答案 243．(2013·盐城模拟)已知各项都为正的等比数列{a n }满足a 7＝a 6＋2a 5，存在两项a m ，a n 使得 a m ·a n ＝4a 1，则1m ＋4n 的最小值为________．解析由a 7＝a 6＋2a 5，得a 1q 6＝a 1q 5＋2a 1q 4，整理有q 2－q －2＝0，解得q ＝2或q ＝－1(与条件中等比数列的各项都为正矛盾，舍去)，又由 a m ·a n ＝4a 1，得a m a n ＝16a 21，即a 212m ＋n －2＝16a 21，即有m ＋n －2＝4，亦即m ＋n ＝6，那么1m ＋4n ＝16(m ＋n )⎝ ⎛⎭⎪⎫1m ＋4n ＝16⎝ ⎛⎭⎪⎫4m n ＋n m ＋5≥16⎝ ⎛⎭⎪⎫24m n ·n m ＋5＝32，当且仅当4m n ＝n m ，m ＋n ＝6，即n ＝2m ＝4时取得最小值32.答案 324．在正项数列{a n }中，a 1＝2，a n ＋1＝2a n ＋3×5n ，则数列{a n }的通项公式为________．解析在递推公式a n ＋1＝2a n ＋3×5n 的两边同时除以5n ＋1，得a n ＋15n ＋1＝25×a n 5n ＋35，①令a n 5n ＝b n ，则①式变为b n ＋1＝25b n ＋35，即b n ＋1－1＝25(b n －1)，所以数列{b n －1}是等比数列，其首项为b 1－1＝a 15－1＝－35，公比为25.所以b n －1＝⎝ ⎛⎭⎪⎫－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n－1，即b n ＝1－35×⎝ ⎛⎭⎪⎫25n －1＝a n5n ，故a n ＝5n －3×2n －1.答案 a n ＝5n －3×2n －15．(2014·聊城模拟)已知首项为正数的等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 1 006和a 1 007是方程x 2－2 012x －2 011＝0的两根，则使S n >0成立的正整数n 的最大值是________．解析由题意知，a 1 006＋a 1 007＝2 012>0，a 1 006·a 1 007＝－2 011<0，又因首项为正等差数列，所以a 1 006>0，a 1 007<0,2a 1 006＝a 1＋a 2 011>0,2a 1 007＝a 1＋a 2 013<0，即S 2 011>0，S 2 013<0，又因S n ＝n (a 1＋a n )2.∴S 2 012＝2 012×(a 1＋a 2 012)2＝2 012×(a 1 006＋a 1 007)2＞0，∴所求n 的值是2 012.答案 2 0126．(2014·江苏五市联考)各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1.当a 3取最小值时，数列{a n }的通项公式a n ＝________. 解析根据题意，由于各项均为正数的等比数列{a n }中，a 2－a 1＝1，所以q ＞1.∵a 2a 1＝q ，∴a 1(q －1)＝1，a 1＝1q －1，∴a 3＝q 2q －1＝(q －1)2＋2(q －1)＋1q －1＝q －1＋1q －1＋2≥2(q －1)·1q －1＋2＝4，当且仅当q ＝2时取得等号，故可知数列{a n }的通项公式a n ＝2n －1.答案 2n －17．(2014·临沂模拟)设S n 为数列{a n }的前n 项和，若S 2nS n(n ∈N *)是非零常数，则称该数列为“和等比数列”；若数列{c n }是首项为2，公差为d (d ≠0)的等差数列，且数列{c n }是“和等比数列”，则d ＝________.解析由题意可知，数列{c n }的前n 项和为S n ＝n (c 1＋c n )2，前2n 项和为S 2n＝2n (c 1＋c 2n )2，所以S 2n S n ＝2n (c 1＋c 2n )2n (c 1＋c n )2＝2＋2nd 4＋nd －d ＝2＋21＋4－dnd.因为数列{c n }是“和等比数列”，即S 2nS n为非零常数，所以d ＝4.答案 48．(2014·盐城模拟)在等差数列{a n }中，a 2＝5，a 6＝21，记数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫1a n 的前n 项和为S n ，若S 2n ＋1－S n ≤m15对n ∈N *恒成立，则正整数m 的最小值为________．解析由题意可知a n ＝4n －3，且(S 2n ＋3－S n ＋1)－(S 2n ＋1－S n )＝1a 2n ＋3＋1a 2n ＋2－1a n ＋1＝18n ＋9＋18n ＋5－14n ＋1＜0，所以{S 2n ＋1－S n }是递减数列，故(S 2n ＋1－S n )max ＝S 3－S 1＝1a 2＋1a 3＝1445≤m 15，解得m ≥143，故正整数m 的最小值为5.答案 5二、解答题9．数列{a n }满足a n ＝2a n －1＋2n ＋1(n ∈N *，n ≥2)，a 3＝27. (1)求a 1，a 2的值；(2)是否存在一个实数t ，使得b n ＝12n (a n ＋t )(n ∈N *)，且数列{b n }为等差数列？若存在，求出实数t ；若不存在，请说明理由； (3)求数列{a n }的前n 项和S n .解 (1)由a 3＝27，得27＝2a 2＋23＋1，∴a 2＝9，∵9＝2a 1＋22＋1，∴a 1＝2.(2)假设存在实数t ，使得{b n }为等差数列，则2b n ＝b n －1＋b n ＋1，(n ≥2且n ∈N *)∴2×12n (a n ＋t )＝12n －1(a n －1＋t )＋12n ＋1(a n ＋1＋t )，∴4a n ＝4a n －1＋a n ＋1＋t ，∴4a n ＝4×a n －2n －12＋2a n ＋2n ＋1＋1＋t ，∴t ＝1. 即存在实数t ＝1，使得{b n }为等差数列．(3)由(1)，(2)得b 1＝32，b 2＝52，∴b n ＝n ＋12，∴a n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫n ＋12·2n －1＝(2n ＋1)2n －1－1，S n ＝(3×20－1)＋(5×21－1)＋(7×22－1)＋…＋[(2n ＋1)×2n －1－1]＝3＋5×2＋7×22＋…＋(2n ＋1)×2n －1－n ，①∴2S n ＝3×2＋5×22＋7×23＋…＋(2n ＋1)×2n －2n ，②由①－②得－S n ＝3＋2×2＋2×22＋2×23＋…＋2×2n －1－(2n ＋1)×2n ＋n ＝1＋2×1－2n1－2－(2n ＋1)×2n ＋n ＝(1－2n )×2n ＋n －1，∴S n ＝(2n －1)×2n －n ＋1.10．设函数f (x )＝2x ＋33x (x ＞0)，数列{a n }满足a 1＝1，a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1(n ∈N *，且n ≥2)．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设T n ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)n －1·a n a n ＋1，若T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，求实数t 的取值范围．解 (1)因为a n ＝f ⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n －1＝2×1a n －1＋33×1a n －1＝a n －1＋23(n ∈N *，且n ≥2)，所以a n －a n －1＝23.又因为a 1＝1，所以数列{a n }是以1为首项，公差为23的等差数列．所以a n ＝2n ＋13.(2)①当n ＝2m ，m ∈N *时，T n ＝T 2m ＝a 1a 2－a 2a 3＋a 3a 4－a 4a 5＋…＋(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝a 2(a 1－a 3)＋a 4(a 3－a 5)＋…＋a 2m (a 2m －1－a 2m ＋1)＝－43(a 2＋a 4＋…＋a 2m )＝－43×a 2＋a 2m2×m＝－19(8m 2＋12m )＝－19(2n 2＋6n )．②当n ＝2m －1，m ∈N *时， T n ＝T 2m －1＝T 2m －(－1)2m －1a 2m a 2m ＋1＝－19(8m 2＋12m )＋19(16m 2＋16m ＋3)＝19(8m 2＋4m ＋3)＝19(2n 2＋6n ＋7)．所以T n ＝⎩⎪⎨⎪⎧－19(2n 2＋6n )，n 为正偶数，19(2n 2＋6n ＋7)，n 为正奇数，要使T n ≥tn 2对n ∈N *恒成立，只要使－19(2n 2＋6n )≥tn 2，(n 为正偶数)恒成立．只要使－19⎝ ⎛⎭⎪⎫2＋6n ≥t ，对n ∈N *恒成立，故实数t 的取值范围为⎝ ⎛⎦⎥⎤－∞，－59. 11．(2014·南京、盐城模拟)已知数列{a n }满足a 1＝a (a ＞0，a ∈N *)，a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0(p ≠0，p ≠－1，n ∈N *)． (1)求数列{a n }的通项公式a n ；(2)若对每一个正整数k ，若将a k ＋1，a k ＋2，a k ＋3按从小到大的顺序排列后，此三项均能构成等差数列，且公差为d k .①求p 的值及对应的数列{d k }．②记S k 为数列{d k }的前k 项和，问是否存在a ，使得S k ＜30对任意正整数k 恒成立？若存在，求出a 的最大值；若不存在，请说明理由．解 (1)因为a 1＋a 2＋…＋a n －pa n ＋1＝0，所以n ≥2时，a 1＋a 2＋…＋a n －1－pa n ＝0，两式相减，得a n ＋1a n ＝p ＋1p (n ≥2)，故数列{a n }从第二项起是公比为p ＋1p 的等比数列，又当n ＝1时，a 1－pa 2＝0，解得a 2＝ap ，从而a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧a (n ＝1)，a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p n －2(n ≥2).(2)①由(1)得a k ＋1＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k －1，a k ＋2＝a p ⎝⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ，a k ＋3＝a p ⎝ ⎛⎭⎪⎫p ＋1p k ＋1，若a k ＋1为等差中项，则2a k ＋1＝a k ＋2＋a k ＋3，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－2，解得p ＝－13；此时a k ＋1＝－3a (－2)k －1，a k ＋2＝－3a (－2)k ，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋2|＝9a ·2k －1，若a k ＋2为等差中项，则2a k ＋2＝a k ＋1＋a k ＋3，即p ＋1p＝1，此时无解；若a k ＋3为等差中项，则2a k ＋3＝a k ＋1＋a k ＋2，即p ＋1p ＝1或p ＋1p ＝－12，解得p ＝－23，此时a k ＋1＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k －1，a k ＋3＝－3a 2⎝ ⎛⎭⎪⎫－12k ＋1，所以d k ＝|a k ＋1－a k ＋3|＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1，综上所述，p ＝－13，d k ＝9a ·2k －1或p ＝－23，d k ＝9a 8·⎝ ⎛⎭⎪⎫12k －1. ②当p ＝－13时，S k ＝9a (2k －1)．则由S k ＜30，得a ＜103(2k －1)，当k ≥3时，103(2k －1)＜1，所以必定有a ＜1，所以不存在这样的最大正整数．当p ＝－23时，S k ＝9a 4⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，则由S k ＜30，得a ＜403⎣⎢⎡1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k]，因为403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ＞403，所以a ＝13满足S k ＜30恒成立；但当a ＝14时，存在k ＝5，使得a ＞403⎣⎢⎡⎦⎥⎤1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12k ，即S k ＜30，所以此时满足题意的最大正整数a＝13.。

2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用

2015届高考数学一轮总复习 6-4数列的综合问题与数列的应用基础巩固强化一、选择题1．(文)若a 、b 、c 成等比数列，则函数f (x )＝ax 2＋bx ＋c 的图象与x 轴交点的个数是( ) A ．0 B ．1 C ．2 D ．不确定 [答案] A[解析] 由题意知，b 2＝ac >0，∴Δ＝b 2－4ac ＝－3ac <0，∴f (x )的图象与x 轴无交点． (理)已知数列{a n }，{b n }满足a 1＝1，且a n 、a n ＋1是函数f (x )＝x 2－b n x ＋2n 的两个零点，则b 10等于( )A ．24B ．32C ．48D ．64 [答案] D[解析] 依题意有a n a n ＋1＝2n ，所以a n ＋1a n ＋2＝2n ＋1，两式相除得a n ＋2a n＝2，所以a 1，a 3，a 5，…成等比数列，a 2，a 4，a 6，…成等比数列，而a 1＝1，a 2＝2，所以a 10＝2×24＝32，a 11＝1×25＝32.又因为a n ＋a n ＋1＝b n ，所以b 10＝a 10＋a 11＝64，故选D.2．(文)小正方形按照下图中的规律排列：每小图中的小正方形的个数就构成一个数列{a n }，有以下结论：①a 5＝15；②数列{a n }是一个等差数列；③数列{a n }是一个等比数列；④数列的递推公式为：a n＝a n －1＋n (n ∈N *)，其中正确的为( )A ．①②④B ．①③④C ．①②D ．①④[答案] D[解析] 观察图形可知a n ＝1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2.∴选D.(理)某同学在电脑中打出如下若干个圈：●○●○○●○○○●○○○○●○○○○○●……若将此若干个圈依此规律继续下去，得到一系列的圈，那么在前2014个圈中的●的个数是( ) A ．60 B ．61 C ．62 D ．63 [答案] C[解析] 第一次出现●在第1个位置；第二次出现●在第(1＋2)个位置；第三次出现●在第(1＋2＋3)个位置；…；第n 次出现●在第(1＋2＋3＋…＋n )个位置．∵1＋2＋3＋…＋n ＝n (n ＋1)2，当n ＝62时，n (n ＋1)2＝62×(62＋1)2＝1953,2014－1953＝61<63，∴在前2014个圈中的●的个数是62.3．(2012·沈阳市二模)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，若a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两个实数根，则S 5的值为( )A.52 B ．5 C ．－52 D ．－5 [答案] A[解析] ∵a 2、a 4是方程x 2－x －2＝0的两实根， ∴a 2＋a 4＝1，∴S 5＝5×(a 1＋a 5)2＝5(a 2＋a 4)2＝52.4．(文)已知{a n }为等差数列，{b n }为正项等比数列，公式q ≠1，若a 1＝b 1，a 11＝b 11，则( ) A ．a 6＝b 6 B ．a 6>b 6 C ．a 6<b 6 D ．以上都有可能[答案] B[解析] a 6＝a 1＋a 112，b 6＝b 1b 11＝a 1a 11，由q ≠1得，a 1≠a 11. 故a 6＝a 1＋a 112>a 1a 11＝b 6.(理)(2012·吉林省实验中学模拟)已知正数组成的等差数列{a n }的前20项的和是100，那么a 6·a 15的最大值是( )A ．25B ．50C ．100D ．不存在 [答案] A[解析] 由条件知，a 6＋a 15＝a 1＋a 20＝110S 20＝110×100＝10，a 6>0，a 15>0，∴a 6·a 15≤(a 6＋a 152)2＝25，等号在a 6＝a 15＝5时成立，即当a n ＝5(n ∈N *)时，a 6·a 15取最大值25.5．已知{a n }是等差数列，S n 为其前n 项和，若S 29＝S 4000，O 为坐标原点，点P (1，a n )，点Q (2015，a 2015)，则OP →·OQ →＝( )A ．2015B ．－2015C ．0D ．1[答案] A[解析] 由S 29＝S 4000得到S n 关于n ＝29＋40002＝2014.5对称，故S n 的最大(或最小)值为S 2014＝S 2015，故a 2015＝0，OP →·OQ →＝2015＋a n ·a 2015＝2015＋a n ×0＝2015，故选A.6．(2013·江南十校联考)已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A.2012－1B.2013－1C.2014－1D.2014＋1[答案] C[解析] 由f (4)＝2可得4a＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12 .∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1. 二、填空题7．(文)已知{a n }是公差不为0的等差数列，{b n }是等比数列，其中a 1＝2，b 1＝1，a 2＝b 2,2a 4＝b 3，且存在常数α、β，使得a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则αβ＝________.[答案] 4[解析] 设{a n }的公差为d ，{b n }的公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧ 2＋d ＝q ，2(2＋3d )＝q 2.解得⎩⎪⎨⎪⎧ q ＝2，d ＝0，(舍去)或⎩⎪⎨⎪⎧q ＝4，d ＝2.所以a n ＝2n ，b n ＝4n －1.若a n ＝log αb n ＋β对每一个正整数n 都成立，则满足2n ＝log α4n －1＋β，即2n ＝(n －1)log α4＋β，因此只有当α＝2，β＝2时上式恒成立，所以αβ＝4.(理)在等比数列{a n }中，首项a 1＝23，a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ，则公比q 为________．[答案] 3[解析] ∵a 4＝⎠⎛14(1＋2x )d x ＝(x ＋x 2)|41＝(4＋42)－(1＋12)＝18，∴q 3＝a 4a 1＝27， ∴q ＝3.8．小王每月除去所有日常开支，大约结余a 元．小王决定采用零存整取的方式把余钱积蓄起来，每月初存入银行a 元，存期1年(存12次)，到期取出本和息．假设一年期零存整取的月利率为r ，每期存款按单利计息．那么，小王存款到期利息为________元．[答案] 78ar[解析] 依题意得，小王存款到期利息为12ar ＋11ar ＋10ar ＋…＋3ar ＋2ar ＋ar ＝12(12＋1)2ar ＝78ar 元．9．(文)已知m 、n 、m ＋n 成等差数列，m 、n 、mn 成等比数列，则椭圆x 2m ＋y 2n ＝1的离心率为________．[答案]22[解析] 由2n ＝2m ＋n 和n 2＝m 2n 可得m ＝2，n ＝4，∴e ＝n －m n＝22. (理)已知双曲线a n －1y 2－a n x 2＝a n －1a n (n ≥2，n ∈N *)的焦点在y 轴上，一条渐近线方程是y ＝2x ，其中数列{a n }是以4为首项的正项数列，则数列{a n }的通项公式是________．[答案] a n ＝2n ＋1[解析] 双曲线方程为y 2a n －x 2a n －1＝1，∵焦点在y 轴上，又渐近线方程为y ＝2x ， ∴a na n －1＝2，又a 1＝4，∴a n ＝4×2n －1＝2n ＋1. 三、解答题10．(文)(2013·浙江萧山五校联考)已知二次函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数f ′(x )＝2x ＋2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)均在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝2n ·a n ，T n 是数列{b n }的前n 项和，求T n . [解析] (1)设f (x )＝ax 2＋bx ，f ′(x )＝2ax ＋b ＝2x ＋2， ∴a ＝1，b ＝2，f (x )＝x 2＋2x ， ∴S n ＝n 2＋2n ，∴当n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(n 2＋2n )－[(n －1)2＋2(n －1)]＝2n ＋1，又a 1＝S 1＝3，适合上式，∴a n ＝2n ＋1. (2)b n ＝(2n ＋1)·2n ，∴T n ＝3·21＋5·22＋7·23＋…＋(2n ＋1)·2n ， ∴2T n ＝3·22＋5·23＋7·24＋…＋(2n ＋1)·2n ＋1，相减得－T n ＝3·21＋2·(22＋23＋…＋2n )－(2n ＋1)·2n ＋1＝6＋2·4·(1－2n －1)1－2－(2n ＋1)·2n ＋1＝(1－2n )·2n ＋1－2，∴T n ＝(2n －1)·2n ＋1＋2.(理)已知函数y ＝f (x )的图象经过坐标原点，其导函数为f ′(x )＝6x －2，数列{a n }的前n 项和为S n ，点(n ，S n )(n ∈N *)在函数y ＝f (x )的图象上．(1)求数列{a n }的通项公式；(2)若数列{a n }和数列{b n }满足等式：a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n (n ∈N *)，求数列{b n }的前n 项和T n .[解析] (1)由题意可设f (x )＝ax 2＋bx ＋c ，则f ′(x )＝2ax ＋b ＝6x －2，∴a ＝3，b ＝－2，∵f (x )过原点，∴c ＝0，∴f (x )＝3x 2－2x .依题意得S n ＝3n 2－2n .n ≥2时，a n ＝S n －S n －1＝(3n 2－2n )－[3(n －1)2－2(n －1)]＝6n －5， n ＝1时，a 1＝S 1＝1适合上式． ∴a n ＝6n －5(n ∈N *)． (2)∵a n ＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n2n ，∴a n －1＝b 12＋b 222＋b 323＋…＋b n －12n 1(n ≥2)．相减得b n2n ＝6，∴b n ＝6·2n (n ≥2)．b 1＝2a 1＝2，∴b n ＝⎩⎪⎨⎪⎧2 (n ＝1)，6·2n (n ≥2).∴T n ＝2＋6(22＋23＋…＋2n )＝3·2n ＋2－22.能力拓展提升一、选择题11．椭圆x 24＋y 23＝1上有n 个不同的点P 1、P 2、…、P n ，椭圆的右焦点为F ，数列{|P n F |}是公差大于11000的等差数列，则n 的最大值为( )A ．2001B ．2000C ．1999D ．1998[答案] B[分析] 公差确定后，首项和末项之差越大，等差数列的项数就越多(即n 越大)，故P 1与P n 取长轴两端点时n 取最大值，可依据公差大于11000列不等式解． [解析] ∵|P n F |max ＝a ＋c ＝3，|P n F |min ＝a －c ＝1， d ＝a n －a 1n －1＝3－1n －1＞11000，n ∈N ，∴n max ＝2000，故选B.12．(文)数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，数列{b n }是等比数列，若a 1＝b 1，a 3＝b 3，a 7＝b 5，则b 11等于( )A ．a 63B ．a 36C ．a 31D ．a 13 [答案] A[解析] 设数列{b n }的首项为b 1，公比为q ，则⎩⎪⎨⎪⎧a 1＋2d ＝a 1q 2，a 1＋6d ＝a 1q 4.得d ＝a 14(q 4－q 2)．∴a 1＋a 12(q 4－q 2)＝a 1q 2，∵q ≠1，∴q 2＝2，d ＝a 12，于是b 11＝a 1q 10＝32a 1.设32a 1＝a 1＋(n －1)·a 12，则n ＝63，∴b 11＝a 63.(理)(2013·河北教学质量监测)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n ＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( )A ．λ>2B ．λ>3C ．λ<2D ．λ<3[答案] C[解析] 由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n －λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2.13．(文)如图，是一个算法的程序框图，该算法输出的结果是( )A.12B.23C.34D.45 [答案] C[解析] 循环过程为i ＝1<4→i ＝2，m ＝1，S ＝11×2； i ＝2<4→i ＝3，m ＝2，S ＝11×2＋12×3；i ＝3<4→i ＝4，m ＝3，S ＝11×2＋12×3＋13×4；i ＝4<4不成立，输出S 的值．故S ＝11×2＋12×3＋13×4＝⎝⎛⎭⎫1－12＋⎝⎛⎭⎫12－13＋⎝⎛⎭⎫13－14 ＝1－14＝34.(理)已知数列{a n }的各项均为正数，如图给出程序框图，当k ＝5时，输出的S ＝511，则数列{a n }的通项公式为( )A ．a n ＝2nB ．a n ＝2n －1C ．a n ＝2n ＋1D ．a n ＝2n －3[答案] B[解析] 由a i ＋1＝a i ＋2知数列{a n }是公差为2的等差数列，由M ＝1a i ai ＋1及S ＝S ＋M 知，S ＝1a 1a 2＋1a 2a 3＋…＋1a i a i ＋1，由条件i ≤k 不满足时输出S 及输入k ＝5，输出S ＝511知，1a 1a 2＋1a 2a 3＋…1a 5a 6＝12[(1a 1－1a 2)＋(1a 2－1a 3)＋…(1a 5－1a 6)]＝12(1a 1－1a 6)＝12(1a 1－1a 1＋10)＝5a 1(a 1＋10)＝511， ∵a 1>0，∴a 1＝1，∴a n ＝2n －1. 二、填空题14．(2013·广东佛山一模)我们可以利用数列{a n }的递推公式，求出这个数列各项的值，使得这个数列中的每一项都是奇数，则a 24＋a 25＝________；研究发现，该数列中的奇数都会重复出现，那么第8个5是该数列的第________项．[答案] 28 640[解析] a 24＋a 25＝a 12＋25＝a 6＋25＝a 3＋25＝3＋25＝28. 5＝a 5＝a 10＝a 20＝a 40＝a 80＝a 160＝a 320＝a 640.15．已知数列{a n }的通项公式为a n ＝2n (n ∈N *)，把数列{a n }的各项排列成如图所示的三角形数阵：2 22 23 24 25 26 27 28 29 210……记M (s ，t )表示该数阵中第s 行的第t 个数，则M (11,2)对应的数是________(用2n 的形式表示，n ∈N )．[答案] 257[解析] 由数阵的排列规律知，第m 行的最后一个数是数列{a n }的第1＋2＋3＋…＋m ＝m (m ＋1)2项，且该行有m 项，由此可知第11行的第2个数是数列{a n }的第10×112＋2＝57项，对应的数是257.三、解答题16．(文)已知数列{a n }是公差d ≠0的等差数列，记S n 为其前n 项和． (1)若a 2、a 3、a 6依次成等比数列，求其公比q .(2)若a 1＝1，证明点P 1⎝⎛⎭⎫1，S 11，P 2⎝⎛⎭⎫2，S 22，…，P n ⎝⎛⎭⎫n ，S nn (n ∈N *)在同一条直线上，并写出此直线方程．[解析] (1)∵a 2、a 3、a 6依次成等比数列， ∴q ＝a 3a 2＝a 6a 3＝a 6－a 3a 3－a 2＝3dd ＝3，即公比q ＝3.(2)证明：∵S n ＝na 1＋n (n －1)2d ，∴S nn ＝a 1＋n －12d ＝1＋n －12d . ∴点P n ⎝⎛⎭⎫n ，S n n 在直线y ＝1＋x －12d 上． ∴点P 1，P 2，…，P n (n ∈N *)都在过点(1,1)且斜率为d2的直线上．此直线方程为y －1＝d2(x －1)．即dx －2y ＋2－d ＝0.(理)在等差数列{a n }中，设S n 为它的前n 项和，若S 15>0，S 16<0，且点A (3，a 3)与B (5，a 5)都在斜率为－2的直线l 上，(1)求a 1的取值范围；(2)指出S 1a 1，S 2a 2，…，S 15a 15中哪个值最大，并说明理由．[解析] (1)由已知可得a 5－a 35－3＝－2，则公差d ＝－2，∴⎩⎨⎧S 15＝15a 1＋15×142×d ＝15(a 1－14)>0，S16＝16a 1＋16×152×d ＝16(a 1－15)<0.∴14<a 1<15. (2)最大的值是S 8a 8，∵S 15＝15a 8>0，S 16＝8(a 8＋a 9)<0， ∴a 8>0，a 9<0，即S 8最大．又当1≤i ≤8时，S i a i >0；当9≤i ≤15时，S ia i <0，∵数列{a n }递减，∴S 1a 1≤S 2a 2≤…≤S 8a 8，S 8a 8≥S 9a 9≥…≥S 15a 15⇒S 8a 8最大．考纲要求能在具体的问题情境中识别数列的等差关系或等比关系，并能用有关知识解决相应的问题．补充说明1．等比数列综合问题的解题思路在解答等差、等比数列综合问题时，经常采用“巧用性质、整体考虑、减少运算量”的方法．但用“基本量法”并树立“目标意识”，“需要什么，就求什么”，往往能取得与“巧用性质”相同的解题效果，既要掌握“通法”，又要注重“特法”．2．通过数列通项公式观察数列特点和规律，在分析数列通项的基础上，判断求和类型，寻找求和的方法，将数列拆为基本数列，或转化为基本数列求和．求和过程中同时要对项数作出准确判断．3．含有字母的数列求和，常伴随着分类讨论．4．数列的渗透力很强，它和函数、方程、三角形、不等式等知识相互联系，优化组合，无形中加大了综合的力度．解决此类题目，必须对蕴藏在数列概念和方法中的数学思想有所了解，深刻领悟它在解题中的重大作用，常用的数学思想方法有：“函数与方程”、“数形结合”、“分类讨论”、“等价转换”等．备选习题1．设正项等比数列{a n }的前n 项之积为T n ，且T 10＝32，则1a 5＋1a 6的最小值为( )A ．2 2 B. 2 C ．2 3 D. 3 [答案] B[解析] 由条件知，T 10＝a 1a 2…a 10＝(a 5a 6)5＝32，∵a n >0，∴a 5a 6＝2，∴1a 5＋1a 6＝12·a 5a 6·(1a 5＋1a 6)＝12(a 5＋a 6)≥12×2a 5a 6＝2，等号在a 5＝a 6＝2时成立． 2．设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，则a 6＋a 7>0是S 9≥S 3的( ) A ．充分但不必要条件 B ．必要但不充分条件 C ．充要条件 D ．既不充分也不必要条件[答案] A[解析] ∵S 9≥S 3⇔a 4＋a 5＋a 6＋a 7＋a 8＋a 9≥0⇔3(a 6＋a 7)≥0⇔a 6＋a 7≥0，∴a 6＋a 7>0⇒a 6＋a 7≥0，但a 6＋a 7≥0⇒/ a 6＋a 7>0，故选A.3．已知数列{a n }、{b n }满足a 1＝12，a n ＋b n ＝1，b n ＋1＝b n 1－a 2n ，则b 2014＝( )A.20132014B.20142013C.20142015D.20152014 [答案] C[解析] ∵a n ＋b n ＝1，a 1＝12，∴b 1＝12，∵b n ＋1＝b n 1－a 2n ，∴b 2＝b 11－a 21＝23， ∴a 2＝13，b 3＝b 21－a 22＝34，a 3＝14，b 4＝b 31－a 23＝45，a 4＝15，…，观察可见a n＝1n ＋1，b n ＝n n ＋1，∴b 2014＝20142015，故选C.4．(2013·武汉调研)在如图所示的数表中，第i 行第j 列的数记为a i ，j ，且满足a 1，j ＝2j －1，a i,1＝i ，a i ＋1，j ＋1＝a i ，j ＋a i ＋1，j (i ，j ∈N *)；又记第3行的3,5,8,13,22,39，…，为数列{b n }，则(1)(2)数列{b n }的通项公式为________． [答案] (1)129 (2)b n ＝2n －1＋n ＋1，n ∈N *5．已知f (x )＝a 1x ＋a 2x 2＋…＋a n x n (n 为正偶数)且{a n }为等差数列，f (1)＝n 2，f (－1)＝n ，试比较f ⎝⎛⎭⎫12与3的大小，并证明你的结论．[解析] 由f (1)＝n 2，f (－1)＝n 得，a 1＝1，d ＝2.11 ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫12＋3⎝⎛⎭⎫122＋5⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －1)· ⎝⎛⎭⎫12n ，两边同乘以12得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝⎝⎛⎭⎫122＋3⎝⎛⎭⎫123＋…＋(2n －3)⎝⎛⎭⎫12n ＋(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1，两式相减得，12f ⎝⎛⎭⎫12＝12＋2⎝⎛⎭⎫122＋2⎝⎛⎭⎫123＋…＋2⎝⎛⎭⎫12n －(2n －1)⎝⎛⎭⎫12n ＋1＝12＋12⎝⎛⎭⎫1－12n －11－12－(2n －1)12n ＋1. ∴f ⎝⎛⎭⎫12＝3－2n ＋32n<3.。

2015数列高考题精选

2015高考数列1.（15年新课标2理科）等比数列｛a n ｝满足a 1=3，135a a a ++ =21，则357a a a ++= ( )（A ）21 （B ）42 （C ）63 （D ）84【答案】B2.（15年新课标2理科）设n S 是数列{}n a 的前n 项和，且11a =-，11n n n a S S ++=，则n S =________．【答案】1n- 3.（15年新课标2文科）设n S 是等差数列{}n a 的前n 项和,若1353a a a ++=,则5S =（）A ．5B ．7C ．9D ．11【答案】A4.（15年新课标2文科）已知等比数列{}n a 满足114a =,()35441a a a =-,则2a =（） A.2 B.1 1C.2 1D.8【答案】C5.（15北京理科）设{}n a 是等差数列. 下列结论中正确的是A ．若120a a +>，则230a a +>B ．若130a a +<，则120a a +<C ．若120a a <<，则2a >D ．若10a <，则()()21230a a a a -->【答案】C6.（15年广东理科）在等差数列{}n a 中，若2576543=++++a a a a a ，则82a a +=【答案】10．7.（15年江苏）数列}{n a 满足11=a ，且11+=-+n a a n n （*N n ∈），则数列}1{na 的前10项和为【答案】20118.（15年广东理科）数列{}n a 满足1212242-+-=+⋅⋅⋅++n n n na a a , *N n ∈. (1) 求3a 的值； (2) 求数列{}n a 前n 项和n T ；【答案】（1）14；（2）1122n -⎛⎫- ⎪⎝⎭；9.(15年广东文科) 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，n *∈N ．已知11a =，232a =，354a =，且当2n ≥时，211458n n n n S S S S ++-+=+．()1求4a 的值；()2证明：112n n a a +⎧⎫-⎨⎬⎩⎭为等比数列； ()3求数列{}n a 的通项公式．【答案】（1）78；（3）()11212n n a n -⎛⎫=-⨯ ⎪⎝⎭．10.（15年安徽文科）已知数列{}n a 是递增的等比数列，且14239,8.a a a a +==（1）求数列{}n a 的通项公式；（2）设n S 为数列{}n a 的前n 项和，11n n n n a b S S ++=，求数列{}n b 的前n 项和n T 。

2015届高考数学总复习配套题型精练：常考题型强化练——数列(共27张PPT)

1 2
an＋1，
变形为an＋1－2＝
1 2
(an－2)，则数列{an－2}是以a1－2为首
项，12为公比的等比数列.又a1＝2－a1，即a1＝1.
则 an－2＝(－1)12n－1，所以 an＝2－12n－1.
第十页，编辑于星期五：十点十七分。
A组专项基础训练
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8
9 10
8.已知等比数列an中，各项都是正数，且 a1，12a3,2a2 成等差数列，则aa97＋＋aa180的值为_3_＋__2__2__.
可求得x1＝2，x2＝3，y1＝2，y2＝4，
∴P1(2,2)，P2(3,4).
∴ SOP1P2 ＝1.
第十八页，编辑于星期五：十点十七分。
B组专项能力提升
1
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1＋2a 3.已知数列{an}满足：a1＝1，an＝12＋2a
n，
2
n1 ，
2
n为偶数， n为奇数，
n＝2,3,4，…，设 bn＝ a2n1 ＋1，n＝1,2,3，…，则数列{bn}的通项
第十七页，编辑于星期五：十点十七分。
B组专项能力提升
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2.在直角坐标系中，O 是坐标原点，P1(x1，y1)，P2(x2，y2)是第一象限
的两个点，若 1，x1，x2,4 依次成等差数列，而 1，y1，y2,8 依次成等
比数列，则△OP1P2 的面积是
(A )
A.1
B.2
C.3
D.4
解析由等差、等比数列的性质，
为调和数列，已知数列
1

2015届高考数学(理)二轮专题配套练习：数列、不等式(含答案)

数列、不等式1．已知前n 项和S n ＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a n ，则a n ＝⎩⎪⎨⎪⎧S 1 (n ＝1)S n －S n －1 (n ≥2).由S n 求a n 时，易忽略n ＝1的情况．[问题1] 已知数列{a n }的前n 项和S n ＝n 2＋1，则a n ＝________.2．等差数列的有关概念及性质（1）等差数列的判断方法：定义法a n ＋1－a n ＝d (d 为常数)或a n ＋1－a n ＝a n －a n －1(n ≥2)．（2）等差数列的通项：a n ＝a 1＋(n －1)d 或a n ＝a m ＋(n －m )d . （3）等差数列的前n 项和：S n ＝n (a 1＋a n )2，S n ＝na 1＋n (n －1)2d .（4）等差数列的性质①当公差d ≠0时，等差数列的通项公式a n ＝a 1＋(n －1)·d ＝dn ＋a 1－d 是关于n 的一次函数，且斜率为公差d ；前n 项和S n ＝na 1＋n (n －1)2d ＝d 2n 2＋(a 1－d2)n 是关于n 的二次函数且常数项为0.②若公差d >0，则为递增等差数列；若公差d <0，则为递减等差数列；若公差d ＝0，则为常数列． ③当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ＋a n ＝a p ＋a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ＋a n ＝2a p . ④S n ，S 2n －S n ，S 3n －S 2n 成等差数列．[问题2] 已知等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 10＝12，S 20＝17，则S 30为( ) A ．15 B ．20 C ．25 D ．30 3．等比数列的有关概念及性质（1）等比数列的判断方法：定义法a n ＋1a n ＝q (q 为常数)，其中q ≠0，a n ≠0或a n ＋1a n ＝a na n －1(n ≥2)．如一个等比数列{a n }共有2n ＋1项，奇数项之积为100，偶数项之积为120，则a n ＋1＝56.（2）等比数列的通项：a n ＝a 1q n－1或a n ＝a m q n－m.（3）等比数列的前n 项和：当q ＝1时，S n ＝na 1；当q ≠1时，S n ＝a 1(1－q n )1－q ＝a 1－a n q1－q.易错警示：由于等比数列前n 项和公式有两种形式，为此在求等比数列前n 项和时，首先要判断公比q 是否为1，再由q 的情况选择求和公式的形式，当不能判断公比q 是否为1时，要对q 分q ＝1和q ≠1两种情形讨论求解．（4）等比中项：若a ，A ，b 成等比数列，那么A 叫做a 与b 的等比中项．值得注意的是，不是任何两数都有等比中项，只有同号两数才存在等比中项，且有两个，即为±ab .如已知两个正数a ，b (a ≠b )的等差中项为A ，等比中项为B ，则A 与B 的大小关系为A >B . （5）等比数列的性质当m ＋n ＝p ＋q 时，则有a m ·a n ＝a p ·a q ，特别地，当m ＋n ＝2p 时，则有a m ·a n ＝a 2p .[问题3] （1）在等比数列{a n }中，a 3＋a 8＝124，a 4a 7＝－512，公比q 是整数，则a 10＝________. （2）各项均为正数的等比数列{a n }中，若a 5·a 6＝9，则log 3a 1＋log 3a 2＋…＋log 3a 10＝________.4．数列求和的方法（1）公式法：等差数列、等比数列求和公式；（2）分组求和法；（3）倒序相加法；（4）错位相减法；（5）裂项法；如：1n (n ＋1)＝1n －1n ＋1；1n (n ＋k )＝1k ⎝⎛⎭⎫1n －1n ＋k .（6）并项法．数列求和时要明确：项数、通项，并注意根据通项的特点选取合适的方法．[问题4] 数列{a n }满足a n ＋a n ＋1＝12(n ∈N ，n ≥1)，若a 2＝1，S n 是{a n }的前n 项和，则S 21的值为________．5．在求不等式的解集、定义域及值域时，其结果一定要用集合或区间表示，不能直接用不等式表示． [问题5] 不等式－3x 2＋5x －2>0的解集为________．6．不等式两端同时乘以一个数或同时除以一个数，必须讨论这个数的正负．两个不等式相乘时，必须注意同向同正时才能进行．[问题6] 已知a ，b ，c ，d 为正实数，且c >d ，则“a >b ”是“ac >bd ”的________条件．7．基本不等式：a ＋b2≥ab (a ，b >0)（1）推广：a 2＋b 22≥a ＋b 2≥ab ≥21a ＋1b(a ，b >0)．（2）用法：已知x ，y 都是正数，则①若积xy 是定值p ，则当x ＝y 时，和x ＋y 有最小值2p ； ②若和x ＋y 是定值s ，则当x ＝y 时，积xy 有最大值14s 2.易错警示：利用基本不等式求最值时，要注意验证“一正、二定、三相等”的条件．[问题7] 已知a >0，b >0，a ＋b ＝1，则y ＝1a ＋4b 的最小值是________．8．解线性规划问题，要注意边界的虚实；注意目标函数中y 的系数的正负；注意最优整数解．[问题8] 设定点A (0,1)，动点P (x ，y )的坐标满足条件⎩⎪⎨⎪⎧x ≥0，y ≤x ，则|P A |的最小值是________．易错点1 忽视对等比数列中公比的分类讨论致误例1 设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 3＋S 6＝S 9，则数列的公比q 是________．找准失分点当q ＝1时，符合要求．很多考生在做本题时都想当然地认为q ≠1.易错点2 忽视分类讨论或讨论不当致误例2 若等差数列{a n }的首项a 1＝21，公差d ＝－4，求：S k ＝|a 1|＋|a 2|＋|a 3|＋…＋|a k |. 找准失分点忽视了k ≤6的情况，只给出了k ≥7的情况．易错点3 忽视等比数列中的隐含条件致误例3 各项均为实数的等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10＝10，S 30＝70，则S 40＝________.找准失分点数列S 10，S 20－S 10，S 30－S 20，S 40－S 30的公比q 10>0.忽略了此隐含条件，就产生了增解－200.易错点4 忽视基本不等式中等号成立的条件致误例4 已知：a >0，b >0，a ＋b ＝1，求⎝⎛⎭⎫a ＋1a 2＋⎝⎛⎭⎫b ＋1b 2的最小值．1．在等差数列{a n }中，已知a 3＋a 8＝10，则3a 5＋a 7等于( ) A ．10 B ．18 C ．20 D ．282．若1a <1b <0，则下列不等式：①a ＋b <ab ；②|a |>|b |；③a <b 中，正确的不等式有( )A ．0个B ．1个C ．2个D ．3个3．已知，x >1，y >1，且14ln x ，14，ln y 成等比数列，则xy 有( )A ．最小值eB ．最小值 eC ．最大值eD ．最大值 e4．设等比数列{a n }的前n 项和为S n ，若S 10∶S 5＝1∶2，则S 15∶S 5等于( ) A ．3∶4 B ．2∶3 C ．1∶2 D ．1∶35．把一数列依次按第一个括号内一个数，第二个括号内两个数，第三个括号内三个数，第四个括号内一个数，…循环分为(1)，(3,5)，(7,9,11)，(13)，(15,17)，(19,21,23)，(25)，…，则第50个括号内各数之和为( ) A ．195 B ．197 C ．392 D ．3966．已知点A (m ，n )在直线x ＋2y －1＝0上，则2m ＋4n 的最小值为________．7．已知x >0，y >0，x ，a ，b ，y 成等差数列，x ，c ，d ，y 成等比数列，则(a ＋b )2cd 的最小值是________．8．已知平面直角坐标系xOy 上的区域D 由不等式组⎩⎨⎧0≤x ≤2y ≤2x ≤2y给定．若M (x ，y )为D 上的动点，点A 的坐标为(2，1)，则z ＝OM →·OA →的最大值为________．9．已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(4－a 2)x ＋4(x ≤6)，a x －5(x >6)(a >0，a ≠1)．数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是单调递增数列，则实数a 的取值范围是________．10．已知正项数列{a n }，其前n 项和S n 满足8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，且a 2是a 1和a 7的等比中项．（1）求数列{a n }的通项公式；（2）符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数，记b n ＝[log 2(a n ＋34)]，求b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n .1．⎩⎪⎨⎪⎧2， n ＝12n －1， n ≥22．A 3．(1)512 (2)10 4．925．⎝⎛⎭⎫23，1 6．充分不必要 7．9 8．221．1或－1 2．S k ＝⎩⎪⎨⎪⎧－2k 2＋23k (k ≤6)2k 2－23k ＋132 (k ≥7)3．150 4．252CBAAC 6．22 7．4 8．4 9．(4,8) 10．解 (1)由8S n ＝a 2n ＋4a n ＋3，① 知8S n －1＝a 2n －1＋4a n －1＋3(n ≥2，n ∈N )．② 由①－②得8a n ＝(a n －a n －1)(a n ＋a n －1)＋4a n －4a n －1，整理得(a n －a n －1－4)(a n ＋a n －1)＝0(n ≥2，n ∈N )． ∵{a n }为正项数列， ∴a n ＋a n －1>0，∴a n －a n －1＝4(n ≥2，n ∈N )．∴{a n }为公差为4的等差数列，由8a 1＝a 21＋4a 1＋3，得a 1＝3或a 1＝1. 当a 1＝3时，a 2＝7，a 7＝27，不满足a 2是a 1和a 7的等比中项．当a 1＝1时，a 2＝5，a 7＝25，满足a 2是a 1和a 7的等比中项． ∴a n ＝1＋(n －1)4＝4n －3.(2)由a n ＝4n －3得b n ＝[log 2(a n ＋34)]＝[log 2n ]，由符号[x ]表示不超过实数x 的最大整数知，当2m ≤n <2m＋1时，[log 2n ]＝m ，所以令S ＝b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝[log 21]＋[log 22]＋[log 23]＋…＋[log 22n ] ＝0＋1＋1＋2＋…＋3＋…＋4＋…＋n －1＋…＋n . ∴S ＝1×21＋2×22＋3×23＋4×24＋(n －1)×2n －1＋n ，①2S ＝1×22＋2×23＋3×24＋4×25＋(n －1)×2n ＋2n .② ①－②得－S ＝2＋22＋23＋24＋…＋2n －1－(n －1)2n －n＝2(1－2n －1)1－2－(n －1)2n －n ＝(2－n )2n －n －2，∴S ＝(n －2)2n ＋n ＋2，即b 1＋b 2＋b 3＋…＋b 2n ＝(n －2)2n ＋n ＋2.。

2015年安徽省安庆二中高考数学专题训练数列

数列一．选择题：（每小题5分，计75分）1.数列{a n }的前n 项积为n 2，那么当n ≥2时，{a n }的通项公式为( ) A ．a n ＝2n －1 B ．a n ＝n 2C ．a n ＝(n ＋1)2n 2D ．a n ＝n 2(n －1)22.若等差数列{a n }的前5项和S 5＝25，且a 2＝3，则a 7＝( ) A. 12 B. 13 C. 14D. 153.已知各项均为正数的等比数列{a n }中，a 1a 2a 3＝5，a 7a 8a 9＝10，则a 4a 5a 6＝( ) A. 52 B. 7 C. 6D. 4 24.等比数列{a n }的各项均为正数，且，则log 3 a 1+log 3a 2+…+log 3 a l0=( ) A ．12 B ．10 C ．8 D ．2+log 3 55.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a n ＋1＝a n a n ＋2(n ∈N *)．若b n ＋1＝(n －λ)(1a n ＋1)(n ∈N *)，b 1＝－λ，且数列{b n }是单调递增数列，则实数λ的取值范围为( ) A. λ>2 B. λ>3 C. λ<2D. λ<36.化简S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n－1的结果是( )A ．2n ＋1－n B ．2n ＋1－n ＋2 C ．2n －n －2 D ．2n ＋1－n －27.已知函数f (x )＝x a 的图象过点(4,2)，令a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )，n ∈N *.记数列{a n }的前n 项和为S n ，则S 2013＝( )A. 2012－1B. 2013－1C. 2014－1D. 2014＋18.若数列满足：存在正整数，对于任意正整数都有成立，则称数列为周期数列，周期为. 已知¥数列满足，则下列结论中错误的是（） A. 若，则可以取3个不同的值 B. 若，则数列是周期为的数列 C.且，存在，是周期为的数列 D.且，数列是周期数列9.，数列的前项和为，数列的通项公式为，则的最小值为（）A ．Ｂ．Ｃ．Ｄ．10.各项均为正数的数列,满足：，那么（） A. B. C. D.11.等差数列的公差为1，若以上述数据为样本，则此样本的方差为 A ． B ． C ．60 D ．30 12.已知等比数列的前项和为, 且，，则（） A.B.C.D.13.已知是定义在上的不恒为零的函数，且对于任意实数满足考察下列结论：①；②为偶函数；③数列为等比数列；④数列为等差数列. 其中正确的结论是( )A ．①②③B ．②③④C ．①②④D ．①③④14.对任意x ∈R ，函数f (x )满足f (x ＋1)＝2f (x )－[f (x )]2＋1，设a n ＝2－2f (n )，数列{a n }的前2 013项的和为－1 003，则f (2 013)等于 ( ) A ．4 B ．3 C ．2D ．115.已知函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧(3－a )x －3，x ≤7，a x －6，x ＞7.若数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，且{a n }是递增数列，则实数a 的取值范围是 ( ) A.⎣⎡⎭⎫94，3 B.⎝⎛⎭⎫94，3 C ．(2,3) D ．(1,3)二．非选择题：（16--21每题5分，22 23 24每题15分，计75分）16.设S n 是数列{a n }的前n 项和，已知a 1＝1，a n ＝－S n ·S n －1(n ≥2)，则S n ＝________. 17.在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0，a 5＝3a 7，前n 项和为S n ，若S n 取得最大值，则n ＝________.18.在等比数列{a n }中，S n 为其前n 项和，已知a 5＝2S 4＋3，a 6＝2S 5＋3，则此数列的公比q ＝________.19.设数列是等差数列，数列是等比数列，记数列{}，{}的前n 项和分别为，. 若a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4（T 6－T 4），则＝____________.20.定义表示实数中的较大的. 已知数列满足，若记数列的前项和为，则的值为__________. 21.在等比数列中，, 若为等差数列，且, 则数列的前5项和等于___________.22.设{a n }是公比大于1的等比数列，S n 为数列{a n }的前n 项和．已知S 3＝7，且3a 2是a 1＋3和a 3＋4的等差中项． (1)求数列{a n }的通项公式；(2)设b n ＝a n (a n ＋1)(a n ＋1＋1)，数列{b n }的前n 项和为T n ，求证：T n <12.23.已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n (其中p为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .24.某个集团公司下属的甲、乙两个企业在2013年1月的产值都为a 万元，甲企业每个月的产值比前一个月的产值增加的数值相等，乙企业每个月的产值比前一个月的产值增加的百分数相等，到2014年1月两个企业的产值又相等．(1)到2013年7月，试比较甲、乙两个企业的产值的大小，并说明理由；(2)甲企业为了提高产能，决定用3.2万元买一台仪器，从2014年2月1日投放使用，从启用的第一天起连续使用，第n 天的维修保养费为n ＋4910元(n ∈N *)，求前n 天这台仪器的日平均耗资(含仪器的购置费)，并求日平均耗资最小时使用了多少天．1.解析：设数列{a n }的前n 项积为T n ，则T n ＝n 2，当n ≥2时，a n ＝T n T n －1＝n 2(n －1)2. 答案：D2.解析：由题意得S 5＝5(a 1＋a 5)2＝5a 3＝25，a 3＝5，公差d ＝a 3－a 2＝2，a 7＝a 2＋5d ＝3＋5×2＝13. 答案：B3.解析：由等比数列的性质知a 1a 2a 3＝(a 1a 3)·a 2＝a 32＝5，a 7a 8a 9＝(a 7a 9)·a 8＝a 38＝10，所以a 2a 8＝5013，所以a 4a 5a 6＝(a 4a 6)·a 5＝a 35＝(±a 2a 8)3＝(±5016)3＝±52，又数列各项均为正数，所以a 4a 5a 6＝5 2. 答案：A4. 由题意可知，又得，而．5.解析：由已知可得1a n ＋1＝2a n ＋1，1a n ＋1＋1＝2(1a n ＋1)，1a 1＋1＝2≠0，则1a n ＋1＝2n ，b n ＋1＝2n (n－λ)，b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ≥2，n ∈N *)，b 1＝－λ也适合上式，故b n ＝2n －1(n －1－λ)(n ∈N *)．由b n ＋1>b n ，得2n (n －λ)>2n －1(n －1－λ)，即λ<n ＋1恒成立，而n ＋1的最小值为2，故实数λ的取值范围为λ<2. 答案：C 6.解析：因为S n ＝n ＋(n －1)×2＋(n －2)×22＋…＋2×2n －2＋2n －1，2S n ＝2n ＋(n －1)×22＋(n －2)×23＋…＋2×2n －1＋2n ，两式作差，得到－S n ＝n －(2＋22＋…＋2n －1)－2n ，化简得到为选项D. 答案：D7.解析：由f (4)＝2可得4a ＝2，解得a ＝12，则f (x )＝x 12.∴a n ＝1f (n ＋1)＋f (n )＝1n ＋1＋n＝n ＋1－n ，S 2013＝a 1＋a 2＋a 3＋…＋a 2013＝(2－1)＋(3－2)＋(4－3)＋…＋(2014－2013)＝2014－1. 答案：C8. 对于A 项，若，则由得或；进而推出，或，或. 即或或，故A 项正确；对于B 项，若，即，则，…，故数列是周期为的数列. 故B 项正确；对于C 项，若且，是周期为的数列，则一定有满足，即，化简得，所以（舍去）. 此时，满足. 故C 项正确；对于D 项，假设且，数列是周期数列，则一定存在使得，那么，. 故其后一定有某一项为，且，则，化简得，所以. 因为不可能为有理数，故与假设矛盾. 所以D 项错误.9. ，所以，所以可得，所以（当且仅当n=2时等号成立）. 10. 易知数列比增加的要快，当时，恒成立，所以选B. 11.A 12. 3. ，，，，13. 令，则；令，则，，，故①正确；，，，是上的奇函数，故②不正确；，，由此类推，（共个），，数列为等比数列，故③正确，由，数列为等差数列，故④正确. 故正确的有①③④.14.解析：因为2＝2－2f (x ＋1)＋1＝2f (x )－2，所以有a n ＋1＋a n ＝－1.前2 013项和S 2 013＝1 006·(－1)＋a 2 013＝－1 003，由此可得a 2 013＝3，a 2 012＝－4. 因而f (2 013)＝－a 2 012＋1＝3，故选B. 答案：B15.解析：数列{a n }满足a n ＝f (n )(n ∈N *)，则函数f (n )为增函数，注意a 8－6＞(3－a )×7－3.所以⎩⎪⎨⎪⎧a ＞1，3－a ＞0，a 8－6＞(3－a )×7－3，解得2＜a ＜3. 答案：C16.解析：依题意得S n －1－S n ＝S n －1·S n (n ≥2)，整理得1S n －1S n －1＝1，又1S 1＝1a 1＝1，则数列{1S n }是以1为首项，1为公差的等差数列，因此1S n ＝1＋(n －1)×1＝n ，即S n ＝1n . 答案：1n17.解析：在等差数列{a n }中，a 1>0，公差d <0.∵a 5＝3a 7，∴a 1＋4d ＝3(a 1＋6d )， ∴a 1＝－7d ，∴S n ＝n (－7d )＋n (n －1)2d ＝d 2(n 2－15n )，∴n ＝7或8时，S n 取得最大值．答案：7或818.解析：因为a 6－a 5＝2(S 5－S 4)＝2a 5，所以a 6＝3a 5.所以q ＝3. 答案：319. 设等差数列的公差为，等比数列的公比为. 由a 5＝b 5，a 6＝b 6，且S 7－S 5＝4（T 6－T 4），得解得故20. ① 当时，数列为：，周期为5；所以, 故. 5235.②当时，数列为：，周期也是5. ，所以（舍）. .21. 由得 (舍) 或。

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2015年高考数学考前大题规范练(二) 数列综合题(限时：60分钟)1．(2013·高考山东卷)设等差数列{a n }的前n 项和为S n ，且S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1.(1) 求数列{a n }的通项公式；(2) 设数列{b n }的前n 项和为T n ，且T n ＋a n ＋12n＝λ(λ为常数)，令c n ＝b 2n (n ∈N *)，求数列{c n }的前n 项和R n .2．已知公比为q 的等比数列{a n }的前6项和S 6＝21，且4a 1、32a 2、a 2成等差数列．(1)求a n ；(2)设{b n }是首项为2，公差为－a 1的等差数列，其前n 项和为T n ，求不等式T n －b n ＞0的解集．3．(2014·济南市模拟)数列{a n }的前n 项和为S n ，a 1＝1，a n ＋1＝2S n ＋1(n ∈N *)，等差数列{b n }满足b 3＝3，b 5＝9.(1)分别求数列{a n }，{b n }的通项公式； (2)设c n ＝b n ＋2a n ＋2(n ∈N *)，求证：c n ＋1＜c n ≤13.4．已知数列{a n }中，a 1＝1，a n ＋1＝a na n ＋3(n ∈N *)．(1)求数列{a n }的通项a n ；(2)若数列{b n }满足b n ＝(3n－1)n2n a n ，数列{b n }的前n 项和为T n ，若不等式(－1)nλ＜T n对一切n ∈N *恒成立，求λ的取值范围．5．(2014·辽宁省五校联考)已知数列{a n }满足：a 1＝1，a 2＝a (a ≠0)，a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n (其中p为非零常数，n ∈N *)． (1)判断数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是不是等比数列； (2)求a n ；(3)当a ＝1时，令b n ＝na n ＋2a n，S n 为数列{b n }的前n 项和，求S n .6．(2013·高考广东卷)设数列{a n }的前n 项和为S n .已知a 1＝1，2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，n ∈N *.(1)求a 2的值；(2)求数列{a n}的通项公式；(3)证明：对一切正整数n，有1a1＋1a2＋…＋1a n＜74.大题规范练(三)1．解：(1)设等差数列{a n }的首项为a 1，公差为d . 由S 4＝4S 2，a 2n ＝2a n ＋1，得⎩⎪⎨⎪⎧4a 1＋6d ＝8a 1＋4d ，a 1＋（2n －1）d ＝2a 1＋2（n －1）d ＋1.① 解得⎩⎪⎨⎪⎧a 1＝1，d ＝2.因此a n ＝2n －1，n ∈N *.②(4分) (2)由题意知T n ＝λ－n2n －1，所以当n ≥2时，b n ＝T n －T n －1＝－n 2n －1＋n －12n －2＝n －22n －1.故c n ＝b 2n ＝2n －222n －1＝(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，n ∈N *.(6分)所以R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫140＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1，则14R n ＝0×⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋1×⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋(n －2)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1＋(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n .(8分)两式相减得34R n ＝⎝ ⎛⎭⎪⎫141＋⎝ ⎛⎭⎪⎫142＋⎝ ⎛⎭⎪⎫143＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫14n －1－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n＝14－⎝ ⎛⎭⎪⎫14n1－14－(n －1)×⎝ ⎛⎭⎪⎫14n ＝13－1＋3n 3⎝ ⎛⎭⎪⎫14n，整理得R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n ＋1.所以数列{c n }的前n 项和R n ＝19⎝ ⎛⎭⎪⎫4－3n ＋14n －1.(12分)2．解：(1)∵4a 1、32a 2、a 2成等差数列，∴4a 1＋a 2＝3a 2，即4a 1＝2a 2，∴q ＝2.(2分) 则S 6＝a 1（1－26）1－2＝21，解得a 1＝13，∴a n ＝2n －13.(5分)(2)由(1)得－a 1＝－13，∴b n ＝2＋(n －1)⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝7－n 3，T n ＝2n ＋n2(n －1)·⎝ ⎛⎭⎪⎫－13＝13n －n 26，(9分)∴T n －b n ＞0，即－（n －1）（n －14）6＞0，解得1＜n ＜14(n ∈N *)，故不等式T n －b n ＞0的解集为{n ∈N *|1＜n ＜14}．(12分) 3．解：(1)由a n ＋1＝2S n ＋1，① 得a n ＝2S n －1＋1(n ≥2，n ∈N *)，② ①－②得a n ＋1－a n ＝2(S n －S n －1)， ∴a n ＋1＝3a n (n ≥2，n ∈N *)，又a 2＝2S 1＋1＝3，∴a 2＝3a 1，∴a n ＝3n －1.(4分)∵b 5－b 3＝2d ＝6，∴d ＝3， ∴b n ＝3n －6.(6分) (2)∵a n ＋2＝3n ＋1，b n ＋2＝3n ，(8分)∴c n ＝3n 3n ＋1＝n3n ，(9分) ∴c n ＋1－c n ＝1－2n3n ＋1＜0，(10分) ∴c n ＋1＜c n ＜…＜c 1＝13，(11分)即c n ＋1＜c n ≤13.(12分)4．解：(1)由题知，1a n ＋1＝a n ＋3a n ＝3a n＋1， ∴1a n ＋1＋12＝3⎝ ⎛⎭⎪⎫1a n ＋12，∴1a n ＋12＝⎝ ⎛⎭⎪⎫1a 1＋12·3n －1＝3n2， ∴a n ＝23n－1.(4分) (2)由(1)知，b n ＝(3n－1)·n2n ·23n －1＝n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，T n ＝1×1＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫121＋3×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋n ·⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1，12T n ＝1×12＋2×⎝ ⎛⎭⎪⎫122＋…＋()n －1⎝ ⎛⎭⎪⎫12n －1＋n ⎝ ⎛⎭⎪⎫12n，(6分) 两式相减得，12T n ＝1＋12＋122＋…＋12n －1－n 2n ＝1－⎝ ⎛⎭⎪⎫12n1－12－n 2n ＝2－n ＋22n ，∴T n ＝4－n ＋22n －1.(8分) ∵T n ＋1－T n ＝⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋32n －⎝⎛⎭⎪⎫4－n ＋22n －1＝n ＋12n ＞0，∴{T n }为递增数列．①当n 为正奇数时，－λ＜T n 对一切正奇数成立， ∵(T n )min ＝T 1＝1，∴－λ＜1，∴λ＞－1； ②当n 为正偶数时，λ＜T n 对一切正偶数成立， ∵(T n )min ＝T 2＝2，∴λ＜2. 综合①②知，－1＜λ＜2.(12分)5．解：(1)由a n ＋2＝p ·a 2n ＋1a n ，得a n ＋2a n ＋1＝p ·a n ＋1a n.(1分)令c n ＝a n ＋1a n，则c 1＝a ，c n ＋1＝pc n . ∵a ≠0，∴c 1≠0，c n ＋1c n＝p (非零常数)， ∴数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n ＋1a n 是等比数列．(3分) (2)∵数列{c n }是首项为a ，公比为p 的等比数列， ∴c n ＝c 1·pn －1＝a ·pn －1，即a n ＋1a n＝ap n －1.(4分) 当n ≥2时，a n ＝a n a n －1·a n －1a n －2·…·a 2a 1·a 1＝(ap n －2)×(aq n －3)×…×(ap 0)×1＝a n －1p n 2－3n ＋22，(6分)∵a 1满足上式，∴a n ＝a n －1pn 2－3n ＋22，n ∈N *.(7分)(3)∵a n ＋2a n ＝a n ＋2a n ＋1·a n ＋1a n＝(ap n )×(ap n －1)＝a 2p 2n －1， ∴当a ＝1时，b n ＝na n ＋2a n＝np 2n －1.(8分) ∴S n ＝1×p 1＋2×p 3＋…＋np2n －1，①p 2S n ＝1×p 3＋…＋(n －1)p 2n －1＋np 2n ＋1.②∴当p 2≠1时，即p ≠±1时，①－②得： (1－p 2)S n ＝p 1＋p 3＋…＋p2n －1－np2n ＋1＝p （1－p 2n ）1－p2－np 2n ＋1，即S n ＝p （1－p 2n ）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p2；(11分)当p ＝1时，S n ＝1＋2＋…＋n ＝n （n ＋1）2；(12分)当p ＝－1时，S n ＝(－1)＋(－2)＋…＋(－n )＝－n （n ＋1）2.(13分)综上所述，S n＝⎩⎪⎨⎪⎧n （n ＋1）2，p ＝1，－n （n ＋1）2，p ＝－1，p （1－p 2n）（1－p 2）2－np 2n ＋11－p 2，p ≠±1.6．解：(1)依题意，2S 1＝a 2－13－1－23，又S 1＝a 1＝1，所以a 2＝4.(2分)(2)解法一：由题意2S n ＝na n ＋1－13n 3－n 2－23n ，所以当n ≥2时，2S n －1＝(n －1)a n －13(n －1)3－(n －1)2－23(n －1)，(4分)两式相减得2a n ＝na n ＋1－(n －1)a n －13(3n 2－3n ＋1)－(2n －1)－23，整理得na n ＋1－(n ＋1)a n ＝n (n ＋1)，即a n ＋1n ＋1－a nn＝1.(6分) 又当n ＝1时，a 22－a 11＝42－11＝1，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫a n n 是首项为a 11＝1，公差为1的等差数列，所以a nn＝1＋(n －1)×1＝n ，所以a n ＝n 2，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) 解法二：因为2S n n ＝a n ＋1－13n 2－n －23，所以2S nn ＝S n ＋1－S n －13n 2－n －23.(4分) 整理得n ＋2n S n ＝S n ＋1－13(n ＋1)(n ＋2)，所以S n ＋1（n ＋1）（n ＋2）－S n n （n ＋1）＝13，所以数列⎩⎨⎧⎭⎬⎫S n n （n ＋1）是首项为S 12，公差为13的等差数列，(6分)所以S n n （n ＋1）＝S 12＋13(n －1)＝2n ＋16，所以S n ＝n （n ＋1）（2n ＋1）6，所以S n －1＝（n －1）n （2n －1）6(n ≥2)，所以a n ＝S n －S n －1＝n 2(n ≥2)．因为a 1＝1符合上式，所以数列{a n }的通项公式为a n ＝n 2，n ∈N *.(8分) (3)证明：设T n ＝1a 1＋1a 2＋…＋1a n.当n ＝1时，T 1＝1a 1＝1＜74；当n ＝2时，T 2＝1a 1＋1a 2＝1＋14＝54＜74；当n ≥3时，1a n ＝1n2＜1（n －1）n ＝1n －1－1n，(10分)此时T n ＝1＋14＋132＋142＋…＋1n 2＜1＋14＋⎝ ⎛⎭⎪⎫12－13＋⎝ ⎛⎭⎪⎫13－14＋…＋⎝ ⎛⎭⎪⎫1n －1－1n＝1＋14＋12－1n ＝74－1n ＜74.综上，对一切正整数n ，有1a 1＋1a 2＋…＋1a n ＜74.(12分)。