2.5 洛必达法则[共4页]
洛必达法则公式数学
洛必达法则公式数学洛必达法则公式可是数学里一个相当神奇的工具呢！在咱们探索微积分的奇妙世界时，它就像一把神奇的钥匙，能帮我们打开很多难题的大门。
先来说说啥是洛必达法则公式。
简单来讲，就是在一定条件下，对于形如“分子分母都趋于零或者无穷大”的极限问题，可以通过对分子分母分别求导来计算极限。
这就好比你在爬山，找不到直接上去的路，但是通过巧妙地换个方向、换个方式，就有可能轻松登顶。
我记得有一次给学生们讲这个知识点的时候，有个学生一脸迷茫地看着我，说：“老师，这也太抽象了，感觉没啥用啊。
”我笑了笑，给他出了一道题：求当 x 趋近于 0 时，(sin x)/x 的极限。
他一开始想用常规方法，抓耳挠腮半天也没做出来。
然后我就引导他用洛必达法则，对分子分母分别求导，一下子就得出了答案是 1。
他那惊讶的表情，我到现在都还记得，眼睛瞪得大大的，嘴里直说：“哇，这也太厉害了！”洛必达法则公式的应用场景那可多了去了。
比如说在求解函数的渐近线问题上，它就能大显身手。
还有在一些复杂的物理问题中，涉及到速度、加速度等的计算，也常常能用到它。
咱们来具体看看它的公式形式：如果当 x 趋近于某个值 a 时，函数f(x)和 g(x)都趋近于 0 或者无穷大，那么极限lim(x→a) f(x)/g(x) 就等于lim(x→a) f'(x)/g'(x) ，只要这个右边的极限存在或者为无穷大。
这里的f'(x) 和 g'(x) 分别是 f(x) 和 g(x) 的导数。
可别小看这个公式，虽然看起来简单，但用的时候得小心。
得先判断是不是满足使用条件，要是不满足就乱用，那可就得出错误答案啦。
再比如说，有一次考试出了一道这样的题：求当x 趋近于无穷大时，(x^2 + 2x + 1)/(2x^2 - 3x + 1) 的极限。
有些同学没判断条件就直接用洛必达法则，结果算错了。
其实这道题先把分子分母同时除以 x^2 ，然后再求极限会更简单。
洛必达法则
00∞∞)(x f )(x F )()(lim )(x F x f x a x ∞→→00∞∞x x x tan lim 0→00bx ax x sin ln sin ln lim 0+→∞∞)(x f )(x F a)(x f ')(x F '0)(≠'x F )()(lim x F x f a x ''→)()(lim )()(lim x F x f x F x f a x a x ''=→→)()(x F x f ''00∞∞)(x f ')(x F '.)()(lim )()(lim )()(lim =''''=''=→→→x F x f x F x f x F x f a x a x a x .)()(lim )()(lim x F x f x F x f x x ''=∞→∞→∞∞x x x tan lim 0→第二节 洛必达法则一、 型及 型未定式解法：洛必达法则定义：如果当（或）时，两个函数 和 都趋于零或都趋于无穷 大，那么极限 可能存在、也可能不存在。
通常把这种极限称为 型及型未定式。
例如： 型 型定理1：设：（1）当时，函数 及 都趋于零；（2）在 点的某去心邻域内， 及 都存在，且 ； （3） 存在（或为无穷大）； 那么这种在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式的值的方法称为洛必达法则。
注：（1）如果 仍属 型及 型，且 及 满足定理条件，可以继续使用法则，即（2）当时，该法则仍然成立。
（定理2）（3）当，时的未定式 也有相应的法则。
a x →∞→x a x →∞→x a x →∞→x)()(tan lim 0''=→x x x 原式1sec lim 20x x →=123lim 2331+--+-→x x x x x x 求12333lim 221---=→x x x x 266lim 1-=→x x x 23=266lim 1-→x x x bxax x sin ln sin ln lim 0+→求22111lim xx x -+-=+∞→原式221lim x x x +=+∞→xx x 3tan tan lim 2π→求x x x 3sec 3sec lim 222π→=原式x x x 222cos 3cos lim 31π→=x x x x x sin cos 23sin 3cos 6lim 312--→πx x x 2sin 6sin lim 2π→=x x x 2cos 26cos 6lim 2π→=)0 ( lim >+∞→λλ为正整数，求n e xx n x x n x x n x e nx e x λλλ1lim lim -+∞→+∞→=xn x e x n λλ0!lim ⋅==+∞→ )0( ln lim >+∞→n x x n x 求例1：求解： =1例2： 解：原式注意：（1）上式中 不是未定式，不能使用洛必达法则，否则导致错误的结果。
洛必达法则
洛必达法则简介洛必达法则（L’Hôpital’s rule），又称洛必达法则（L’Hospital’s rule），是微积分中的一条重要定理，用于求解某些形式的极限。
这一定理由法国数学家洛必达（Guillaume-Roger-François, Marquis de L’Hôpital）在18世纪提出，被认为是微积分学中的重要工具之一。
洛必达法则主要用于解决形如f(x) / g(x)形式的函数极限问题，其中f(x)和g(x)是两个可导函数，并且极限结果存在不定型。
通过洛必达法则，我们可以将其转化为求f’(x) / g’(x)的极限，从而得到准确的结果。
洛必达法则的条件洛必达法则适用于以下情况：1.极限形式为f(x) / g(x)；2.函数f(x)和g(x)在极限点的附近均连续；3.函数g’(x)不为零，除了可能在极限点上。
洛必达法则的表述洛必达法则的一般形式可表示为：若函数f(x)和g(x)满足洛必达法则的条件，并且极限：存在或为无穷大时，那么：其中，f’(x) 和g’(x) 分别表示函数f(x)和g(x)的导数。
洛必达法则的应用步骤使用洛必达法则解决极限问题的步骤如下：1.将函数f(x)和g(x)分别求导，得到f’(x)和g’(x)；2.计算f’(x) / g’(x)的极限值。
若结果存在或为无穷大，则该极限值就是原始极限的结果；3.若求导后的函数又出现不定型，可以继续应用洛必达法则，依次求导，直到结果不再出现不定型。
示例让我们通过一个简单的例子来说明洛必达法则的应用。
假设我们需要求解如下极限问题：可以看到，分母g(x)在极限点0的附近为零，因此我们可以尝试使用洛必达法则来求解。
首先，我们计算函数f(x)和g(x)的导数：然后，我们计算f’(x) / g’(x)的极限：因此，根据洛必达法则，原始极限的结果为1。
总结洛必达法则是微积分中解决某些形式的极限问题的重要工具。
洛必达法则
求
lim
x0
(1
3x cos
sin 3x x)ln(1
2
x
)
.
解
当 x 0 时,
1
cos
x
~
1 2
x2,
ln(1
2x)
~
2
x,
故
lim
x0
(1
3x cos
x
sin 3x )ln(1
2
x
)
lim
x0
3
x
sin x3
3
x
lim
x0
3
3cos 3x2
3
x
lim
x0
3
sin 3 2x
x
9. 2
完
1
ln cot x
解 lim (cot x)ln x lim e ln x
x0
x0
e lim x0
ln cot ln x
x
e lim x0
tan
xcsc2 1
x
x
e lim x0
cos1xsinx
x
e1.
完
例22 求 lim (e3x 5 x)1x.(0 ) x
解
lim (e3x
1
5x) x
洛必达法则
取何值无关,故可补充定义 f (a) g(a) 0.
根据定理的条件,知函数 f ( x)与 g( x)在以 a与 x
为端点的区间上满足柯西中值定理的条件, 于是
f (x) g( x)
f (x) g(x)
f (a) g(a)
f '( ) g'( )
( 在
x 与 a
洛必达法则公式表
洛必达法则公式表德国物理学家恩斯特·洛必达（Ernst Mach）在19世纪末提出了洛必达法则，它被认为是科学中关于物体运动的最基本的定律之一、洛必达法则描述了物体受力时的运动状况，是牛顿第二定律的一种特殊形式。
下面是洛必达法则的公式表及其详细解释。
F=m*a解释：F：物体所受合力的大小，单位为牛顿（N）m：物体的质量，单位为千克（kg）a：物体的加速度，单位为米每秒的平方（m/s²）根据洛必达法则，物体所受合力的大小与加速度之间存在直接的关系。
当物体受到的合力增大时，加速度也会相应增大；反之，当物体受到的合力减小时，加速度也会相应减小。
同时，物体的质量也会影响其加速度，质量越大，物体相同力量作用下加速度越小。
a=F/m这个公式表明，物体受到的合力除以其质量，等于物体的加速度。
这意味着我们可以通过测量物体的质量和给定物体所受的合力来计算其加速度。
另外，根据洛必达法则公式的变形，可以得到以下公式：F=m*Δv/Δt这个公式表明，物体所受合力等于质量乘以速度变化的比率（加速度）。
速度变化可以通过将物体的初始速度与最终速度相减得到，时间变化可以通过将物体的初始时间与最终时间相减得到。
总结：洛必达法则的公式表为F=m*a，其中F为物体所受合力的大小，m为物体的质量，a为物体的加速度。
根据洛必达法则，合力与加速度之间存在直接的关系，质量也会影响加速度。
公式也可以重写为a=F/m或F=m*Δv/Δt，这些公式可以帮助我们计算物体在受力作用下的运动情况。
洛必达法则公式表在物理学中是非常基础和重要的一个概念。
洛必达法则详解
洛必达法则详解洛必达法则（Lotka's law）是由美国图书馆学家洛思会(Losethere A. Guadognini)在1926年首次提出的。
该定律描述了科学研究者的成果发表数量与其发表文章数量之间的关系。
洛必达法则的核心理论依据是假设文章发表数量与研究者的科研能力和资源有关。
在科研领域，存在着很大的不平等性和差异性，少数顶尖研究者拥有更多的资源和机会，因此他们可以发表更多的文章。
而大多数研究者则受限于多种因素，如时间、经费、实验设备等，因此他们的发表数量相对较少。
洛必达法则对科研界具有重要的启示意义。
首先，它提醒我们少数顶尖研究者的重要作用。
即使在科研活动中，存在着“20/80原则”，即20%的人贡献了80%的成果。
其次，洛必达法则也指出了科研资源的分配不平等问题。
少数研究者能够获得更多的资源和机会，使得他们能够取得更多的发表成果。
这也意味着大多数研究者应该寻求更好的资源分配和机会，以提高自己的发表数量。
然而，洛必达法则也存在一些争议。
一些学者指出，洛必达法则忽略了一些重要的因素，如学术背景、经验和个体能力等。
他们认为科研成果的发表数量受到多种因素的影响，而不仅仅是发表文章的数量。
此外，洛必达法则假设发表数量与排名存在的确定关系，忽视了研究者之间的差异性和复杂性。
总的来说，洛必达法则是科研领域的一个重要理论，揭示了科研发表数量的分布规律。
它提醒我们发现并重视那些少数取得多数成果的顶尖研究者，同时也需要关注并提供更多的资源和机会给大多数研究者，以推动整个科研领域的发展。
然而，洛必达法则也需要进一步的研究和探讨，以更好地理解科研成果发表数量的形成机制。
洛必达法则原理推导
洛必达法则原理推导洛必达法则原理推导洛必达法则是微积分学中的一种重要理论，它描述了函数在逼近某个点时的极限趋近问题。
这个原理是由法国数学家洛必达在18世纪发明的。
在本文中，我们将通过推导的方式来理解洛必达法则的原理。
在微积分中，洛必达法则的表述是：当函数$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处都可导，且$g'(a)$不等于$0$时，如果$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$且$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$，则$\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)}$存在，且有$\lim_{x\rightarrowa}\frac{f(x)}{g(x)}=\frac{f'(a)}{g'(a)}$。
我们可以通过导数的定义来理解洛必达法则。
考虑$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处的导数，假设都存在，我们可以将它们展开为下面的形式：$$f'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\frac{f(x)-f(a)}{x-a}$$$$g'(a) = \lim_{x\rightarrow a}\frac{g(x)-g(a)}{x-a}$$由于$\lim_{x\rightarrow a}f(x)=0$和$\lim_{x\rightarrow a}g(x)=0$，我们可以将$f(x)$和$g(x)$展开为泰勒级数：$$f(x)=f(a)+f'(a)(x-a)+\frac{f''(a)}{2}(x-a)^2+...$$$$g(x)=g(a)+g'(a)(x-a)+\frac{g''(a)}{2}(x-a)^2+...$$因为$f(x)$和$g(x)$在$x=a$处可导，所以它们的一阶导数存在，而一阶导数在$x=a$处的值分别是$f'(a)$和$g'(a)$。
洛必达法则的内容
洛必达法则
一、洛必达法则的基本形式
洛必达法则是微积分中的一个重要定理，用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
其基本形式为：如果函数f(x)和g(x)满足以下条件：
1. f(x)和g(x)在某点a的某个邻域内可导；
2. g'(x)不等于0；
3. 存在一个实数点b，使得f(b)=0；
4. 存在一个实数点c，使得g(c)=0。
那么，当x趋近于a时，f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
二、洛必达法则的推导过程
洛必达法则的推导过程涉及到极限、导数和微分的知识。
其证明过程为：根据泰勒公式，f(x)和g(x)都可以展开为泰勒级数，然后通过比较系数，可以证明f'(x)/g'(x)的极限等于f(a)/g(a)。
三、洛必达法则的应用范围
洛必达法则可以应用于解决0/0或无穷/无穷的极限问题。
具体来说，当分母或分子为无穷大时，可以通过求导数的方法来解决极限问题。
此外，洛必达法则还可以应用于一些其他类型的极限问题，例如求定积分、不定积分等。
四、洛必达法则的局限性
虽然洛必达法则是微积分中的一个重要定理，但是它也存在一些局限性。
首先，洛必达法则只适用于0/0或无穷/无穷的极限问题，对于其他类型的极限问题无法应用。
其次，在使用洛必达法则时需要注意满足其前提条件，否则可能导致错误的结果。
此外，洛必达法则也无法应用于一些复杂的极限问题，例如涉及到多个变量或多个函数的极限问题。
因此，在使用洛必达法则时需要结合其他方法来解决复杂的极限问题。
导数洛必达法则
导数洛必达法则
洛必达法则（L'Hôpital'srule）是一种求解极限的方法，特别适用于某些情况下无法直接求解的不定型极限。
它的核心思想是通过对被除函数和除数函数同时求导，将原极限转化为一个更容易求解的形式。
洛必达法则的一般形式可以描述如下：假设有两个函数f(x)和g(x)，满足以下条件：
1.当x趋近某个数值时，f(x)和g(x)同时趋近于零或无穷大；
2.g'(x)≠0，即g(x)的导函数在给定区间内不为零。
如果满足上述条件，那么可以将极限lim(x->a)[f(x)/g(x)]转化为极限lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]。
这样，原本求解困难的极限可以通过对两个函数同时求导来简化。
具体的导数洛必达法则的表述如下：
设函数f(x)和g(x)在某个区间内可导，并满足条件：
1.lim(x->a)[f(x)/g(x)]是一个不定型，即当x趋近a时，f(x)和g(x)同时趋近零或无穷大；
2.lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]存在或为无穷大。
如果满足上述条件，那么可以得到以下结论：
lim(x->a)[f(x)/g(x)]=lim(x->a)[f'(x)/g'(x)]
使用洛必达法则，可以解决一些常见的不定型极限，例如0/0、∞/∞、0*∞、∞-∞等情况。
需要注意的是，洛必达法则只适用于某些特定的情况，而且在应用时需要符合一定的条件。
此外，使用洛必达法则求解极限时应当谨慎，需要在每一步转换中仔细检查条件的满足性，以确保结果的准确
性。
洛必达法则洛必达法则
洛必达法则洛必达法则洛必达法则洛必达法则(L'Hospital法则)，是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
设(1)当x→a时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)在点a的去心邻域内，f'(x)及F'(x)都存在且F'(x)≠0；(3)当x→a时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→a时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
再设(1)当x→∞时，函数f(x)及F(x)都趋于零；(2)当|x|>N时f'(x)及F'(x)都存在，且F'(x)≠0；(3)当x→∞时lim f'(x)/F'(x)存在(或为无穷大)，那么x→∞时 lim f(x)/F(x)=lim f'(x)/F'(x)。
利用洛必达法则求未定式的极限是微分学中的重点之一，在解题中应注意：①在着手求极限以前，首先要检查是否满足0/0或∞/∞型未定式，否则滥用洛必达法则会出错。
当不存在时（不包括∞情形），就不能用洛必达法则，这时称洛必达法则不适用，应从另外途径求极限。
比如利用泰勒公式求解。
②若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
③洛必达法则是求未定式极限的有效工具，但是如果仅用洛必达法则，往往计算会十分繁琐，因此一定要与其他方法相结合，比如及时将非零极限的乘积因子分离出来以简化计算、乘积因子用等价量替换等等. 泰勒公式（T aylor's formula）泰勒中值定理：若函数f(x)在开区间（a，b）有直到n+1阶的导数，则当函数在此区间内时，可以展开为一个关于（x-x.)多项式和一个余项的和：f(x)=f(x.)+f'(x.)(x-x.)+f''(x.)/2!*(x-x.)^2,+f'''(x.)/3!*(x-x.)^3+……+f(n)(x.) /n!*(x-x.)^n+Rn其中Rn=f(n+1)(ξ)/(n+1)!*(x-x.)^(n+1),这里ξ在x和x.之间，该余项称为拉格朗日型的余项。
导数洛必达法则公式
导数洛必达法则公式
x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
在点a的某去心邻域内f（x）与f（x）都可导，且f（x）的导数不等于0；
x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存有或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
洛必达（l＇hopital）法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未
定式值的方法。
洛必达法则（定理）设立函数f（x）和f（x）满足用户以下条件
⑴x→a时，limf（x）＝0，limf（x）＝0；
⑵在点a的某回去心邻域内f（x）与f（x）都可微，且f（x）的导数不等同于0；
⑶x→a时，lim（f＇（x）／f＇（x））存在或为无穷大则x→a时，lim（f（x）／f （x））＝lim（f＇（x）／f＇（x））
注意事项：
求极限是高等数学中最重要的内容之一，也是高等数学的基础部分，因此熟练掌握求
极限的方法对学好高等数学具有重要的意义。
洛比达法则用于求分子分母同趋于零的分式
极限。
⑴ 在著手谋音速以前，首先必须检查与否满足用户或型构型，否则误用洛必达法则
可以失效（其实形式分子并不需要为无穷大，只需分母为无穷大即可）。
当不存有时（不
包含情形），就无法用洛必达法则，这时表示洛必达法则不适用于，需从另外途径谋音速。
比如说利用泰勒公式解。
⑵ 若条件符合，洛必达法则可连续多次使用，直到求出极限为止。
洛比达法则
2
2
x→
2
6 cos 6 x = 3. = lim π x → 2 cos 2 x
2
0 二、 ⋅ ∞, ∞ − ∞,0 ,1 , ∞ 型未定式
0 0
∞
关键: 关键: 将其它类型未定式化为洛必达法
1.决的类型： 或 型. 0 ∞
1 1 步骤: 步骤 0 ⋅ ∞ ⇒ ⋅ ∞, 或 0 ⋅ ∞ ⇒ 0 ⋅ . 0 ∞ −2 x 例9 求 lim x e . ( 0 ⋅ ∞ )
ln(1 + x ) 例3 . (0) 求 lim 2 x →0 x 0 1 解 1 1 + x = lim 原式 = lim =∞ x →0 2 x x → 0 2(1 + x ) x
f ′( x ) 0 ∞ 如果 仍属 、 型，且 f ′( x )、 g ′( x ) 满 g' ( x ) 0 ∞ 足定理的条件， 续使用洛必达法则， 足定理的条件，可以继 续使用洛必达法则，即
6x 6x lim 注意： 注意： 式 中 的 x →1 6 x − 2 已不是未定式，不能 已不是未定式， 上
再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果． 再对它应用洛必塔法则，否则会导致错误结果．
注意:在多次使用洛必塔法则时， 注意 在多次使用洛必塔法则时，一定要注 在多次使用洛必塔法则时 意验证是否满足条件． 意验证是否满足条件
1 tan x 6. lim ( ) ； x → +0 x
5. lim
x → +0
x
sin x
；
7. lim (
x → +∞
2
π
arctan x) x .
练习题答案
1.
1 ； 8
洛必达法则的基本形式
洛必达法则的基本形式洛必达法则是微积分中非常重要的概念，它可以帮助人们求得在某一点附近的函数极限值。
起初，洛必达法则可能会让人感到困惑，因为它涉及到许多复杂的公式和概念。
但实际上，如果掌握了它的基本形式，就能轻松地理解和运用。
基本形式：0/0在洛必达法则中，一个重要的概念是不定式。
不定式是一个数学式子，它具有形式“函数f(x)除以函数g(x)”。
不定式的值可以是一个具体的数字，也可以是无穷大、无穷小或无极限。
在洛必达法则中，我们通常关注的是不定式的极限值。
在探究洛必达法则的基本形式之前，先来看一下不定式的一些例子。
例如：f(x) = x² - x，g(x) = x - 1，则不定式为f(x)/g(x) = (x² - x) / (x - 1)。
如果我们想求不定式在x = 1处的极限，即lim[x→1](x² - x) / (x - 1)，这个问题根本无法回答。
因为当x趋近于1时，分母趋近于0，分子也趋近于0，我们无法得出确切的答案。
这个时候，洛必达法则就派上用场了。
洛必达法则的基本形式为0/0。
当不定式的分子和分母在某一点附近同时趋近于0时，就可以使用洛必达法则来求得不定式的极限。
举个例子，如果让f(x) = sin(x)和g(x) = x，那么不定式为f(x)/g(x) = sin(x) / x。
我们可以发现，当x趋近于0时，分子和分母都趋近于0。
而此时，不定式的极限值就可以通过洛必达法则求得：lim[x→0]sin(x)/x = lim[x→0]cos(x)/1 = cos(0)/1 = 1在这个例子中，我们使用了洛必达法则来求解不定式的极限。
由于不定式的极限是0/0型的，所以我们对分子和分母同时求导数，并将所得的结果代入原式重新求解。
在这里，我们得到了不定式的导数为cos(x)/1，再求导一次就得到了极限值。
需要注意的是，只有当不定式满足基本形式0/0时，我们才可以采用这样的方法进行求解。
高等数学洛必达法则
分析: 原式
～
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分析:
3. 原式
～
～
机动 目录 上页 下页 返回 结束
4.求
解: 令
1
则
2
原式
机动 目录 上页 下页 返回 结束
作业
P137
0
(6)，(7)，(9)，(12)，(13)，(16),
1
0
4
2
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
求下列极限 :
解: 备用题
机动 目录 上页 下页 返回 结束
原式 =
01
令
02
则
03
解:
04
(用洛必达 法则)
05
(继续用洛 必达法则)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
解:
原式 =
第三节 目录 上页 下页 返回 结束
型未定式 定理 1.
一、
存在 (或为 )
01 单击此处添加标题
02 单击此处添加标题
(洛必达法则)
机动 目录 上页 下页 返回 结束
证: 无妨假设 则
西定理条件, 故
存在 (或为
定理条件:
)
( 在 x , a 之间)
在指出的邻域内任取
在以 x, a 为端01 点单的击此区处间添加上标题满足柯
02 单击此处添加标题
第二节
CONTENTS
01 其他未定式 02 03 型未定式 04 05 型未定式 06 洛必达法则
机动 目录 上页 下页 返回 结束
本节研究:
导数的函性态数 的 性 态
微分中值定理
函数之商的极限
01( 或 型) 单击此处添加标题
洛必达法则及其推论
洛必达法则及其推论洛必达法则，又称为热力学第二定律，是热力学中的一条基本原理。
它可以用来描述自然界中不可逆过程的方向性，即热量从高温物体流向低温物体的趋势。
洛必达法则的重要性在于它揭示了自然界中的一种普遍规律，对于理解和应用热力学有着重要的指导作用。
洛必达法则可以通过几种不同的形式来表述，其中最常见的是热力学温度的定义。
根据洛必达法则，两个物体之间的热量传递方向取决于它们的温度差异。
当两个物体之间存在温度差时，热量会从高温物体流向低温物体，直到两者达到热平衡为止。
这种流动的趋势是不可逆的，即热量不会自发地从低温物体流向高温物体。
洛必达法则的推论之一是热机效率的限制。
热机是一种将热能转化为其他形式能量的装置，如蒸汽机、汽车发动机等。
根据洛必达法则，任何热机的效率都受到限制，即不能达到100%。
这是因为热机的工作过程中必然存在热量损失，一部分热量会以无法转化为有用能量的形式散失。
热机效率的计算公式为：效率= 1 - (Qc/Qh)，其中Qc表示热机排出的热量，Qh表示热机吸收的热量。
根据洛必达法则，热机效率永远不可能达到100%，这是自然界中的一个普遍规律。
洛必达法则还可以应用于其他领域，如化学反应、电路等。
在化学反应中，洛必达法则可以用来预测反应的进行方向。
当反应物与生成物之间的自由能差为负时，反应会自发进行；当自由能差为正时，反应则不会自发进行。
洛必达法则可以帮助我们理解化学反应的驱动力和平衡态的形成。
在电路中，洛必达法则可以用来分析电流的流动方向和电压的分布。
根据洛必达法则，电流会沿着电势降低的方向流动，这是由于电荷在电势差作用下的驱动。
洛必达法则及其推论是热力学中的重要原理，揭示了自然界中不可逆过程的方向性。
它对于理解和应用热力学、化学和电学等学科具有重要的指导作用。
洛必达法则的应用范围广泛，涉及到许多领域，如能源转化、化学反应和电路分析等。
通过深入理解和应用洛必达法则，人们可以更好地理解自然界的规律，并在科学研究和工程实践中发挥重要作用。
洛必达法则(课堂PPT)
xa
使 f(x)F ,(x)在 xa点连 . 续
任取点x, axa(不妨 xa)设 .
f(x),F(x)满足
1)在[a,x]上连续 ; 2 )在 (a ,x )内,且 可 F (x ) 导 0 .
(2)f(x)F , (x)在a点 的邻域 (点 内 a处 可 除 )导 , 外
lim f (x) 称为0 或
xa F( x)
( x)
0
如, lim tan x ( 0 )
x0 x 0
型未定式.
lns lim
inax(
)
x0 lns inbx
未定 意味着关于它的极限不能确定出一般的
结论, 而并不是在确定的情况下关于它的极限 不能确定.
在第一章中看到, 两个无穷小之商或两个 无穷大之商, 其极限都不能直接利用极限运算
x
1 x2
co
s1 x
1
10
洛必达法则
用洛必达法则应注意的事项
(1)只有 0或的未定 ,才式 可能用 ,只要法 是 则
0
0 或 , 则可一直用下去; 0 (2) 在用法则之前,式子是否能先化简; (3) 每用完一次法则,要将式子整理化简; (4) 为简化运算经常将法则与等价无穷小及极限 的其它性质结合使用.
则 limf(x) limf(x)A(或). xaF(x) xaF(x)
4
洛必达法则
(1)limf(x)0, limF(x)0;
证 (仅对0型给出证)明 xa
xa
若 f(0x),F(x)在a点 连,续 则由条件(1),
必有 f(a)F(a)0.
若f(x),F(x)在点 a不连,由 续l于 imf(x)0, x a
洛必达法则
sin 2 x (二） 原式 lim 2 x 0 2 x
sin 2 x 2 lim x 0 2 x
2 1 2
5
2 1 2
求极限
sin 2 x (1) lim x 0 x
0 分析 ： 原式为 型 0
cos 2 x 2 原式 lim 2 cos 0 x 0 1
ቤተ መጻሕፍቲ ባይዱ洛必达法则
1
函数在点x0处导数
定义：设函数y=f(x)在点x0的某个邻域内有定义,当 自变量x在点x0处有增量Δx时，相应的函数y有增量
im Δy=f(x0+Δx)-f(x0).如果 Δl x
Δy Δx 存在，则称函数f(x)
在点x0处可导，并称这个极限为函数y=f(x)在点x0处的导 数，记作:
x24 lim 2 x2 x 2 2
0 分析 ： 原式为 型 0
1 1 1 lim x2 2 x 2 2 4
12
2 1 2
6
x sin x ( 2) lim x 0 x
0 分析 ： 原式为 型 0
1 cos x 原式 lim 1 cos 0 x 0 1
1 1 0
7
1 cos x (3) lim 2 x 0 x
0 分析 ： 原式为 型 0
sin x 1 sin x 原式 lim lim x 0 2 x 2 x 0 x
f ( x) f ( x0 ) x x0 f ' ( x) lim lim x x0 g ( x ) g ( x ) x x0 g ' ( x ) 0 x x0
3
洛必达法则
若f ( x)与g ( x)在x0邻域内可导 ， 且f ( x0 ) 0，g ( x0 ) 0
洛必达法则课件
lim
sin x
0.
x0 2cos x x sin x
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【阐明】 上式中 lim x sin x 可结合等价无穷小 x0 x sin x
代换更简朴。先代换，再用洛必达法则
sin x ~ x ( x 0)
lim
x0
x sin x x sin x
lim
x0
二、0·∞,∞－∞,00,1∞,∞0 型未定式解法
【关键】将以上其他类型未定式化为洛必达法则可 处理旳类型 ( 0 ), ( )
0
1. 【0·∞】型
注：下列写法仅是记号
【环节】 0 1 , 或 0 0 1 0 .
00
【例8】 求 lim x2e x . x
( 0 )
【解】
显然
lim
x
f ( x) g( x)
lim 1
x
cos 1
x
极限不存在．
但
lim
x
f (x) g( x)
x sin x
lim
1
x
x
极限存在．
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x
x
极限振荡不存在
【解】 原式 lim 1 sin x lim(1 sin x).
x 1
x
故洛必达法则失效。但
原式 lim(1 1 cos x) 1.
x
x
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三、小结
洛必达法则
型
f
g1
g1
f
0 ()
1 g1 f 0
0型 0 型
00 ,1 , 0 型
取对数 uv evlnu
洛必达法则公式及条件
洛必达法则公式及条件
洛必达法则是在一定条件下通过分子分母分别求导再求极限来确定未定式值的方法。
众所周知，两个无穷小之比或两个无穷大之比的极限可能存在，也可能不存在。
因此，求这类极限时往往需要适当的变形，转化成可利用极限运算法则或重要极限的形式进行计算。
1洛必达法则计算公式
注意：不能在数列形式下直接用洛必达法则，因为对于离散变量n∈N+是无法求导数的。
但此时有形式类近的斯托尔兹－切萨罗定理作为替代。
2洛必达法则应用条件
在运用洛必达法则之前，首先要完成两项任务：一是分子分母的极限是否都等于零(或者无穷大)；二是分子分母在限定的区域内是否分别可导。
如果这两个条件都满足，接着求导并判断求导之后的极限是否存在：如果存在，直接得到答案；如果不存在，则说明此种未定式不可用洛必达法则来解决；如果不确定，即结果仍然为未定式，再在验证的基础上继续使用洛必达法则。
3洛必达法则3大陷阱
1.要求右侧极限存在
洛必达使用逻辑是有点诡异的，右侧极限存在，回推原极限存在，注意这里的存在包括无穷。
那么不存在的情况，我们目前接触的应该是震荡的情况，需要找其他方法，通常比洛必达还要简单。
2.时刻检查是否满足0/0或无穷/无穷
通常用洛必达法则，第一步大家使用的时候，应该都会check 是否满足条件，但是多次使用洛必达的时候一定注意别忘了检查。
3.求导后函数要简化
有些函数求导后会更加复杂，或者我们在选取分子分母的时候要比较细心，如果发现很难算，一定记得回头，调换分子分母试一下或者另谋它法。