第二章拉格朗日

xi ≠ x j 条件：无重合节点， 条件：无重合节点，即 i ≠ j 称为基函数 称为基函数 n = 1 已知 x0 , x1 ; y0 , y1 ，求 L1 ( x ) = a 0 + a1 x 使得 满足条件 li(xj)=δij /* Kronecker Delta */ = =
L1 ( x 0 ) y0 , L1 ( x1 ) y1
sin 50° = 0.7660444…
2次插值的实际误差 ≈ 0.00061 次插值的实际误差 高次插值通常优于 低次插值 但绝对不是次数越 高就越好， 高就越好，嘿 嘿……
例：当x=1,-1,2时，f(x)=0,-3,4，求f(x)的二次插值多项式。
n
Ci = Π (x 1 ) j≠i i − xj
Ln ( x ) =
n i =0
j≠i j =0
(x − xj ) li ( x ) = ∏ ( xi − x j ) j ≠i
j =0
∑ l ( x) y
i
i
与节点有关， 与节点有关，而与 f无关 无关
Lagrange Polynomial
定义1 : 若n次多项式l j ( x), j = 0,L , n在n + 1个节点 上满足条件 : l j ( xk ) = δ kj 称n + 1个n次多项式l j ( x), j = 0, L, n为节点x0 , L, xn上 的n次插值基函数 ( x − x0 ) L ( x − xk −1 )( x − xk +1 ) L ( x − xn ) lk ( x) = 为拉 ( xk − x0 ) L ( xk − xk −1 )( xk − xk +1 ) L ( xk − xn ) 格朗日基函数, Ln ( x) = ∑ yk lk ( x)为拉格朗日插值多项式
Pn ( x i ) = y i , i = 0 , ... , n
(2.1) (2.2)
条件：无重合节点， 条件：无重合节点，即 i ≠ j
xi ≠ x j
多项式插值的几何意义
Pn(x) ≈ f(x)
x0
x1
x2
x
x3
x4
求
插值多项式的唯一性
•
提问：问题1 中的P 是否存在？ 提问：问题 中的 n(x)是否存在？ 是否存在 若存在，是否唯一？如何求？ 若存在，是否唯一？如何求？
第二章 插值
嘉应学院 数学学院
§1 问题提出 函数逼近 问题提出—函数逼近
函数逼近的方法有很多，例如 级数， 函数逼近的方法有很多，例如Taylor级数， 级数 Fourier级数，有限元方法、边界元方法，小波 级数， 级数 有限元方法、边界元方法， 分析等，大学科叫逼近论 逼近论。 分析等，大学科叫逼近论。 本书讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法 本书讨论连续函数的逼近，主要介绍插值法 (chapter 2)和最佳一 致逼近、最小平方逼近离 致逼近、 和 散数据拟合(chapter 3) 散数据拟合
n
f (n
+1)
(ξ x ) − L(nn
K ( x) =
) ( ϕ ( x 0− = L = ϕ+ x n ) = 0 ( n +1 ) ξ − = (ξ x ) K ( x )( n 1) ! Rn ( x ) K ( x ) ( n + 1) ! (n) 存在ξ ∈ ( a , b ) 使得 ϕ (ξ ) = 0 ( n +1 ) f ( n+1) (ξ x ) n ξx) f (
π sin 50 0 ≈ L2 ( 5 ) ≈ 0.76543 18
R2 ( x ) = − cos ξ x ( x − π )( x − π )( x − π ) ; 3! 6 4 3 1 < cos ξ < 3 x 2 2
0.00044 < R2 5π 18
< 0.00077
k =0 n
定理 (唯一性 满足 P ( x i ) = 唯一性) 唯一性
项式是唯一存在的。 项式是唯一存在的。
y i , i = 0 , ... , n 的 n 阶插值多
证明： 前面已利用Vandermonde 行列式论证 行列式论证 论证) 证明： ( 前面已利用 反证：若不唯一，则除了 反证：若不唯一，则除了Ln(x) 外还有另一 n 阶多项 式 Pn(x) 满足 Pn(xi) = yi 。 考察 Qn ( x) = Pn ( x) − Ln ( x) , 则 Qn 的阶数 ≤ n 而 Qn 有 n + 1个不同的根 x0 … xn 则插值多项式不唯一 不唯一。 注：若不将多项式次数限制为 n ，则插值多项式不唯一。 例如 P ( x ) = L n ( x ) + p ( x ) ∏ ( x − x i ) 也是一个插值 多项式， 可以是任意多项式。 多项式，其中 p( x )可以是任意多项式。
+1 )
( n + 1) !
Rn ( x) =
(n + 1) !
∏( x − x )
i i =0
注：
通常不能确定 ξx , 而是估计 f (n+1) (x) ≤ M , ∀x∈(a,b) ∈ n+1 n 将 M 作为误差估计上限。 作为误差估计上限。
∏| x− x | (n+1)!
n+1 i i=0
两点的直线。 可见 L1(x) 是过 ( x0 , y0 ) 和 ( x1, y1 ) 两点的直线。 y − y0 = y0 + 1 L1 ( x ) ( x − x0 ) x1 − x 0
=
x − x1 x 0 − x 1 y0 +
x − x0 = x 1 − x 0 y1
Σ l ( x) y
i =0 i
多项式插值----polynomial interpolation 多项式插值
问题1. 给定 给定y=f(x)的函数表 xi∈[a,b],i=0,…,n 的函数表, 的函数表
Interpolation polynomial
求 次数不超过 n 的多项式 Pn ( x ) = a0 + a1 x + L + a n x n 使得
1
i
l0(x)
l1(x)
基函数法（ 情形的推广） 基函数法（n=1情形的推广） 情形的推广 n≥1 希望找到l ， 希望找到 i(x)，i = 0, …, n 使得 li(xj)=δij ；然后令
Pn ( x ) = Σ l i ( x ) yi
i =0 n
，则显然有Pn(xi) = yi 。 则显然有
i=0 n
插值余项 /* Remainder */ 设节点 a ≤ x0 < x1 < L< xn ≤ b ，且 f 满足条件 f ∈C [a, b] , f ( n + 1 )在[a , b]内存在 考察截断误差 R ( x) = f ( x) − L ( x) 内存在, 内存在 n n
n
Rn ( x ) = Rn(x) 至少有 n+1 个根 ( x ) 充分光滑K (ϕ ) Π)(= − xix)1 ) = 0 ，则 Rolle’s Theorem: 若 ϕ 充分光滑，x ( x=00 x ϕ ( ， i ϕ ∈ ( x0 , x1 ) 使得 t ′(ξ ) = 存在 ξ注意这里是对…,求导 0 。 ϕ ( t ) = R ( t ) − K ( x ) n ( t − x ) 任意固定 x ≠ xi (i = 0, n), 考察 Π n i = ξ 0 ∈ ( x0 , x1 ), ξ1 ∈i ( 0 1 , x2 ) x 推广： 推广：若 ϕ ( x0 ) = ϕ ( x1 ) = ϕ ( x2 ) = 0 1) ϕ(x)有 n+2 个不同的根ξx0) …0xn x ξ ∈ (ξ ,ϕ ( n)+使得 = ′′(,ξ )ξ= 0 ( a , b ) 有 (ξ x ) ϕ 0 x ∈ 使得 ϕ ′(ξ 0 ) = ϕ ′( 1 = 0 ξ1
Quiz: 给定 xi = i +1, i = 0, 1, 2, 3, 4, 5. 下面哪个是 l2(x)的图像？ 的图像？
y
10.5 -
A
10.5 -
y
B
10.5 -
y
C
0 -0.5 -
1
2
3
4
5
6
x
0 -0.5 -
1
2
3
4
5
6
x
0 -0.5 -
1
2
3
4
5
6
x
例：已知
sin π = 1 , sin π = 1 , sin π = 3 6 2 4 3 2 2
n=2
( x − π )( x − π ) 1 ( x − π )( x − π ) 1 ( x − π )( x − π ) 4 6 6 L2 ( x ) = π π π π3 × + π π π π3 × + π π π π4 × 3 ( 6 − 4 )( 6 − 3 ) 2 ( 4 − 6 )( 4 − 3 ) 2 ( 3 − 6 )( 3 − 4 ) 2
如何求？ 如何求？解线性方程 组（2.3）----待定系 ） 待定系 数法
§2 拉格朗日多项式
Ln ( x i ) = y i ,
/* Lagrange Polynomial */
n 求 n 次多项式 Ln ( x) = a0 + a1 x + L + an x 使得
i = 0 , Biblioteka .. , nnli(x)
每个 li 有 n 个根 x0 … xi /* Lagrange Basis */， 特别,称为 称为拉氏基函数 特别 称为拉氏基函数 … xn