直线和椭圆位置关系总结大全
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦中点问题
1. 直线必须经过椭圆的中心。 3. 切点必须在椭圆的边界上。
02
弦长公式
弦长的定义
弦长
直线与椭圆相交形成的线段称为 弦，弦的长度即为弦长。
焦点与弦长
椭圆的两焦点与弦长所形成的两 个夹角称为焦点弦角，焦点弦角 的大小会影响弦的长度。
弦长公式的推导
1 2
基于椭圆的参数方程
椭圆的一般方程可表达为x=a×cosθ,y=b×sinθ ，其中a为长半轴，b为短半轴。
判断直线与椭圆的位置关系
通过比较弦长与长短轴的大小关系，可以判断直线与椭圆的位置关系，即相交 、相切或相离。
03
弦中点问题
中点的定义
定义
如果一个点平分一条线段，那么这个 点叫做这条线段的中点。
数学定义
如果点$P$将线段$AB$分成两条相等 的线段$AP$和$BP$，则称$P$为线段 $AB$的中点。
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弦长公式的应用实例
描述
已知椭圆的方程为$\frac{x^{3}}{9} + \frac{y^{3}}{4} = 1$，求该椭圆上一点P到直线l：3x - y - 7 = 0的距离最 短点的坐标。
分析
首先设出平行线方程为$3x - y + m = 0$，利用点到直线的距离公式和平行线之间的距离公式找到距离最短的点 。
直线与椭圆的位置关系,弦长公式,弦 中点问题
汇报人： • 弦长公式 • 弦中点问题 • 实例分析
01
直线与椭圆的位置关系
定义与性质
01
02
03
椭圆
一个椭圆是一个二维曲线 ，它是由所有点组成，这 些点到两个固定点的距离 之和等于常数。
直线
直线是二维空间中的一个 几何对象，它通过连接两 个点并延伸至无限而形成 。
直线与椭圆的位置关系讲解(全面)
分析:先画图熟悉题意, 点 F1 到直线 AB 的距离易知,
要求 S△F1AB ,关键是求弦长 AB. 设 A( x1 , y1 ), B( x2 , y2 ) . 由直线方程和椭圆方程联立方程组
解 例焦:2∵:点已椭，圆知过点x2F2 F21作y、2倾F斜21分的角别两为个 是4焦椭的点圆直坐2x线标2 ，F11y求(21△,10F)的1, AF左2B(1、 的, 0右 面) 积. ∴直线 AB 的方程为 y x 1 设 A( x1, y1 ), B( x2 , y2 )
是否存在一点，它到直线l的距离最小？ y 最小距离是多少？
解：设直线m平行于l，
则l可写成：4x 5y k 0
x o
4x 5y k 0
由方程组
x2
y2
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
25 9 1
由 0，得64k 2 - 4 2（5 k 2 - 225） 0
平分，求此弦所在直线的方程.
点
作差
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作差构造 出中点坐标和斜率．
知识点3：中点弦问题
点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，作 差构造出中点坐标和斜率．
设A(x1, y1), B(x2 , y2 ), AB中点M (x0 , y0 )，
则有：2x0 x1 x2 , 2 y0 y1 y2
1 a2
1 b2
1
a2
b2
a2b2
题型一：直线与椭圆的位置关系
练习1.K为何值时,直线y=kx+2和曲线2x2+3y2=6有 两个公共点?有一个公共点?没有公共点?
当k= 6 时有一个交点 3
当k> 6 或k<- 6 时有两个交点
直线和椭圆位置关系总结大全
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx bmx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y ab =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系是数学几何学的一个重要问题。
在这篇
文档中，我们将讨论直线与椭圆的几种可能的位置关系。
直线位于椭圆内部
当一条直线完全位于椭圆内部时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆没有交点：这意味着直线与椭圆没有任何交点，
且直线与椭圆的轴是平行的。
2. 直线与椭圆有两个交点：这说明直线与椭圆相交于两个点，
椭圆的两个焦点位于直线上。
直线与椭圆位于同一平面
当直线与椭圆位于同一平面时，我们可以得到以下几种情况：
1. 直线与椭圆相切：这种情况下，直线与椭圆只有一个交点，
并且交点是椭圆的一个焦点。
2. 直线与椭圆相交于两点：这意味着直线与椭圆相交于两个不同的点，并且这两个点分别位于椭圆的两个焦点的同侧。
3. 直线与椭圆相离：这种情况下，直线与椭圆没有任何交点，并且直线与椭圆的轴平行。
直线与椭圆相交于无穷多点
当直线与椭圆相交于无穷多点时，这种情况被称为直线与椭圆重叠。
直线与椭圆重叠意味着直线和椭圆重合，任意一点都同时位于直线和椭圆上。
结论
通过研究直线与椭圆的位置关系，我们可以得出结论：直线与椭圆的位置关系取决于直线与椭圆之间的交点数量和位置。
这个问题在计算机图形学、建筑设计等领域都有广泛的应用。
了解这些位置关系有助于我们更好地理解直线和椭圆之间的几何性质。
总之，直线与椭圆的位置关系是一个有趣且复杂的问题，通过分析直线与椭圆的交点情况，我们可以获得更多关于它们的几何特性的信息。
直线与椭圆的位置关系
直线与椭圆的位置关系【重要考点】1. 直线与椭圆的位置关系及判断方法（1）直线和椭圆有三种位置关系：相交、 相切 、 相离 ；（2）直线和椭圆的位置关系的判断：设直线方程：y ＝kx ＋m ，椭圆方程：22221x y a b+=（0a b >>），两方程联立消去y 可得：Ax 2＋Bx ＋C ＝0，其判别式为Δ＝B 2－4AC 。
当Δ＞0时，直线与椭圆 相交 ； 当Δ＝0时，直线与椭圆 相切 ； 当Δ＜0时，直线与椭圆 相离 。
2. 向量的运算及其中一些特殊几何关系在直线和椭圆解题中的运用，例如直线AB ⊥AC 可转化为0AB AC ⋅=。
【易错点辨析】解答直线和椭圆相关问题要注意避免出现如下两种错误：（1）对直线l 斜率的存在性不作讨论而直接设为点斜式，出现漏解或思维不全造成步骤缺失；（2）对二次项系数不为零或Δ≥0这个前提忽略而直接使用根与系数的关系。
例题1 在直角坐标系xOy 中，椭圆C ：x 24＋y 23＝1的左、右焦点分别为F 1、F 2，点M（23，263）为C 上的一点，点N 满足MN →＝MF 1→＋MF 2→，直线l ∥MN ，且与曲线C 交于A 、B 两点，若以AB 为直径的圆经过坐标原点O ，求直线l 的方程。
解析：由MN →＝MF 1→＋MF 2→知四边形MF 1NF 2是平行四边形，其中心为坐标原点O ，因为l ∥MN ，所以l 与OM 的斜率相同。
故l 的斜率k ＝26323＝6。
设l 的方程为y ＝6（x －m ）。
由⎩⎨⎧3x 2＋4y 2＝12，y ＝6(x －m )，消去y 并化简得 9x 2－16mx ＋8m 2－4＝0。
设A （x 1，y 1），B （x 2，y 2），x 1＋x 2＝16m9，x 1x 2＝8m 2－49。
因为OA ⊥OB ，所以x 1x 2＋y 1y 2＝0。
x 1x 2＋y 1y 2＝x 1x 2＋6（x 1－m ）（x 2－m ） ＝7x 1x 2－6m （x 1＋x 2）＋6m 2 ＝7·8m 2－49－6m ·16m9＋6m 2＝19（14m 2－28）＝0。
直线与椭圆
直线与椭圆1、直线与椭圆的位置关系:将直线方程与椭圆方程联立组成方程组，消元后得到一个一元二次方程.根据判别式：当Δ＝0时，直线与椭圆相切；当Δ＞0时，直线与椭圆相交；当Δ＜0时，直线与椭圆相离.焦点弦长公式：直线与椭圆方程相交通过联立方程应用韦达定理来求解得：若12,y y 分别为A 、B的纵坐标，则12AB y -.2、点与椭圆的位置关系：设点()00P x y ，，椭圆方程为22221x y a b+=，则：1222001222121211212P PF PF ax y P PF PF a a b P PF PF a⎧>⇔⇔+>⎪+==⇔⇔+=⎨⎪<⇔⇔+<⎩在椭圆外在椭圆上在椭圆内（其中21F F 、为椭圆焦点）. 3、常用结论：1. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=上，则过0P 的椭圆的切线方程是00221x x y y a b +=. 2. 若000(,)P x y 在椭圆22221x y a b +=外 ，则过Po 作椭圆的两条切线切点为P 1、P 2，则切点弦P 1P 2的直线方程是00221x x y ya b+=.3. 设过椭圆焦点F 作直线与椭圆相交 P 、Q 两点，A 为椭圆长轴上一个顶点，连结AP 和AQ 分别交相应于焦点F 的椭圆准线于M 、N 两点，则MF ⊥NF.4. 与椭圆22221x y a b+=（a>b>0）共焦点的椭圆方程可设为：22221x y a k b k +=++. 5. 椭圆上的点与两焦点构成的三角形的面积：2tan2S b θ∆=.6. 通径长22b MN a=（其中MN 是通过焦点12)F F （或且与长轴垂直的弦）.二典例例题 一、公共点问题例1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围二、弦长问题例3、已知椭圆11222=+y x 的左右焦点分别为F 1,F 2，若过点P （0，-2）及F 1的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积例4已知椭圆2241x y +=及直线y x m =+． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2，求直线的方程，三、中点问题2212x y += 5（1）求过点1122P ⎛⎫ ⎪⎝⎭，且被P 平分的弦所在直线的方程； （2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过()21A ，引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点P 、Q ，O 为原点，且有直线OP 、OQ 斜率满足12OP OQ k k ⋅=-，求线段PQ 中点M 的轨迹方程．四 定值定点定直线取值范围6．已知椭圆C 的方程是22221x y a b +=(0)a b >>，长轴长为8．（1）求椭圆C 的标准方程；（2）若不垂直于坐标轴的直线l 经过点(,0)P m ，与椭圆C 交于A ，B 两点，设点Q 的坐标为(,0)n ，直线AQ ，BQ 的斜率之和为0，求mn 的值．7．己知椭圆C ：2222x y a b +=1（a ＞b ＞0）的离心率为12，以原点为圆心，椭圆的短半轴为半径的圆与直线相切，过点P （4，0）且不垂直于x 轴直线，与椭圆C 相交于A 、B 两点．（1）求椭圆C 的方程：（2）求OA OB ⋅的取值范围；（3）若B 点关于x 轴的对称点是E ，证明：直线AE 与x 轴相交于定点．8．（12分）已知椭圆12222=+by a x 的左焦点F 为圆0222=++x y x 的圆心，且椭圆上的点到点F 的距离的最小值为12-． （1）求椭圆的方程；（2）已知经过点F 的动直线l 与椭圆交于不同的两点B A ,，点⎪⎭⎫ ⎝⎛-045，M ，求M A M B ⋅的值．9.【江苏省南京市2014届高三9月学情调研】已知椭圆C 的中心在坐标原点，右准线为x =()0y t t =>与椭 圆C 交于不同的两点A 、B ，以线段AB 为直径作圆M . （1）求椭圆C 的标准方程；（2）若圆M 与x 轴相切，求圆M 被直线10x +=截得的线段长.10.【江苏省扬州中学2013—2014学年高三开学检测】如图，已知椭圆22:14x C y +=的上、下顶点分别为,A B ，点P 在椭圆上，且异于点,A B ，直线,AP BP 与直线:2l y =-分别交于点,M N ，（Ⅰ）设直线,AP BP 的斜率分别为12,k k ，求证：12k k ⋅为定值； （Ⅱ）求线段MN 的长的最小值；（Ⅲ）当点P 运动时，以MN 为直径的圆是否经过某定点？请证明你的结论第18题。
直线和椭圆位置关系总结大全
直线和椭圆位置关系总结大全1.直线不交于椭圆：当直线与椭圆不相交时，可以分为以下两种情况：(1)直线在椭圆外部：此时直线与椭圆没有交点；(2)直线在椭圆内部：此时直线与椭圆没有交点。
2.直线与椭圆外切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆外切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆外切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
3.直线与椭圆内切：当一条直线与椭圆相切时，可以分为以下两种情况：(1)直线与椭圆内切于一个点：此时直线与椭圆有且仅有一个切点；(2)直线与椭圆内切于一条线段：此时直线与椭圆有且仅有两个切点。
4.直线穿过椭圆：当一条直线穿过椭圆时，可以分为以下三种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆没有交点：此时直线与椭圆相离。
5.直线包围椭圆：当一条直线将椭圆切割成两个部分时，可以分为以下两种情况：(1)直线穿过椭圆：此时直线将椭圆分成内外两个部分；(2)直线在椭圆外部：此时直线将椭圆分成两个不相交的部分。
6.直线与椭圆重合：当直线与椭圆方程相同或者参数相同时，直线与椭圆重合。
7.直线与椭圆相交：当直线与椭圆有交点时，可以分为以下几种情况：(1)直线与椭圆有两个交点：此时直线与椭圆相交于两个不同的点；(2)直线与椭圆相交于椭圆的一个点：此时直线是椭圆的切线；(3)直线与椭圆相交于两条线段：此时直线穿过椭圆。
总之，直线和椭圆之间的位置关系相当复杂，可以分为不交、外切、内切、相离、穿过、重合和相交等情况。
具体的位置关系可以通过解方程或者观察图形进行判断，同时利用相关的几何性质也可以得到更加精确的结论。
直线与椭圆的位置关系弦长公式
设直线m平行于l，
m
x
则l可写成：4x 5y k 0
l
o
4x 5y k 0
由方程组
x2 25
y2 9
1
消去y，得25x2 8kx k 2 - 225 0
由 0，得64k2 - 4 2（5 k2 - 225） 0
1直线与椭圆的位置关系
3、过椭圆 x2+2y2=146 的左焦点作倾斜角为300的直线， 则弦长 |AB|= ___5____ ,
小结
1、直线与椭圆的三种位置关系及判断方法；
2、弦长的计算方法： 弦长公式：
|AB|= 1 k 2 ·（x1 x2）2 4x1 x2
=
1
1 k2
·（y1
y2）
4 y1
y2
（适用于任何曲线）
回忆：直线与圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离 2.判别方法(代数法)
联立直线与圆的方程 消元得到二元一次方程组 (1)△>0直线与圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与圆相离无公共点．
通法
点与椭圆的位置关系
点
P(
x0
,
y0
)
与椭圆
x a
作业
P48 练习 6、7题 P49 A组 8 题
的弦被（4，2）平分，那
么这弦所在直线方程为（ D ）
A、x-2y=0 B、x+2y- 4=0 C、2x+3y-12=0 D、x+2y-8=0
2、y=kx+1与椭圆
x2 5
y2 m
1 恰有公共点，则m的范围
直线和椭圆位置关系总结大全.
1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx b mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210m k n x kbnx b +++-=当0∆>时直线和椭圆相交当0∆=时直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y a b =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积01过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22221x y b a +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意12S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题01中点弦所在直线方程问题02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题类型题一：直线与椭圆位置1.已知直线2+=kx y 和椭圆12322=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式1.已知椭圆：1922=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
与椭圆有关的位置关系
线 xy 30交M于A、B两点，P为AB的中点，
且 OP 的斜X率X为分1 ，校求椭圆 M 的方程
2
a2 b2
3
，短轴的一个端点到右焦点的距离为 3 ，直线
l:ykxm交椭圆于A、B两点
（1）求椭圆的方程
（2）若原点 O 到直线 l 的距离为 3 ，求 AOB
面积的最大X值X 分 校
2
例 已知直线 l 交椭圆 x2 y2 1 于A、B两点，若线 16 4
段AB的中点为 P(2,1) ，求直线 l 的方程
XX分校
1、点与椭圆的位置关系
已知点
P(x0,
y0)
，椭圆
x2 a2
y2 b2
1(ab0)，则
Байду номын сангаас
点 P 在椭圆上 ax022
y02 b2
1
点 P 在椭圆内 ax022
y02 b2
1
点 P 在椭圆X 外X 分 校ax022
y02 b2
1
2、直线与椭圆的位置关系
x2 y2
已知直线
l:ykxm，椭圆
1k2 |
A|
若消去
x
XX分校
，保留 y ，则 |MN|
1k12
| y2y1|
例 已知直线 y2x1与椭圆 x2 y2 1
94
相交于 A、B 两点，求 AB 的长
变式1 已知直线 yxt与椭圆 x2 y2 1
4
相交于 A、B 两点，当 t 变化时，求 AB 的最大值
XX分校
变式2 已知椭圆 x2 y2 1(ab0) 的离心率为 6
a2
直线与椭圆的位置关系及判断方法
直线与椭圆的位置关系及判断方法直线与椭圆的位置关系是指确定一条直线和一个椭圆之间的相对位置关系，主要有以下几种情况：直线与椭圆相离、直线与椭圆相切、直线穿过椭圆两个交点、直线包含椭圆等情况。
判断直线与椭圆的位置关系可以通过研究直线方程和椭圆方程的解来实现。
一、直线与椭圆相离的情况：当直线方程与椭圆方程不存在实数解时，说明直线与椭圆相离。
直线方程通常采用一般式表示，即Ax+By+C=0，椭圆方程通常采用标准方程表示，即((x-h)^2)/(a^2)+((y-k)^2)/(b^2)=1、将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。
通过判别式B^2-4AC的值来确定二次方程是否有实数解，当判别式小于零时，直线与椭圆相离。
二、直线与椭圆相切的情况：当直线方程刚好与椭圆方程有一个实数解时，说明直线与椭圆相切。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x的二次方程。
当判别式B^2-4AC等于零时，直线与椭圆相切。
三、直线穿过椭圆两个交点的情况：当直线方程与椭圆方程有两个实数解时，说明直线穿过椭圆的两个交点。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，得到一个关于x 的二次方程。
当判别式B^2-4AC大于零时，直线与椭圆有两个交点。
四、直线包含椭圆的情况：当直线方程将椭圆方程的所有解都包含时，说明直线包含椭圆。
判断方法是将直线方程的x、y分别带入椭圆方程，而不是代入x的解，得到一个关于y的二次方程。
如果这个二次方程对于任何实数x都有解，则直线包含椭圆。
需要注意的是，在判断直线与椭圆的位置关系时，需要先将椭圆方程化简为标准方程，即将h、k分别代表椭圆的中心坐标，a、b分别代表椭圆的长半轴和短半轴长度。
总结起来，判断直线与椭圆的位置关系，可以通过以下步骤实现：1.将椭圆方程化简为标准方程。
2.将直线方程写为一般式。
3.将直线方程的x、y带入椭圆方程，得到关于x的二次方程。
4.判断该二次方程的判别式B^2-4AC的值，确定直线是否与椭圆有交点、相切或相离。
直线与椭圆的位置关系
由 0，得64k - 4 25 （k - 225） 0
2 2
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25，
40 25 15 41 直线 m与椭圆的交点到直线d l的距离最近。 直线 l到椭圆的最近距离为： 2 2 41 4 5 40 25 15 且d 41
否存在一点，它到直线l的距离最小？最小距离是多少？ 并求出该点坐标.最大呢？ y
l
O
m
分析：若设P(x,y)是椭圆上到 直线l距离最近的点，利用点到 直线的距离公式可以求出最小 值吗？请同学们试一试。
x
很显然这种方法很难求解。请同学 们想想还有其它解法吗？
通过直线的平移，使直线m与椭圆首先相交，此时 的交点就是所求的点，两条平行线间的距离就是最 小距离。
直线与椭圆的位置关系
1.位置关系：相交、相切、相离
2.判别方法(代数法)
通过解直线方程与椭圆方程组成的方程组，对解的个
数进行讨论．通常消去方程组中的一个变量，得到关
于另一变量的一元二次方程． (1)△>0直线与椭圆相交有两个公共点； (2)△=0 直线与椭圆相切有且只有一个公共点； (3)△<0 直线与椭圆相离无公共点．
点被平分，求此弦所在直线的方程.
Hale Waihona Puke 所以 x2+4y2=(4-x)2+4(2-y)2，整理得x+2y-4=0 从而A ,B在直线x+2y-4=0上 而过A,B两点的直线有且只有一条
解后反思：中点弦问题求解关键在于充分利用“中点”这 一
x2 y 2 1，直线l：4x-5y+40=0.椭圆上是 例：已知椭圆 25 9
证法一：记△ OCM 的面积是 S1 ，△ ODN 的面积是 S2 ． 由 M (2m,0) ， N (0, m) ， 则 S1 S2
椭圆与直线位置关系-精心制作!
2
2
y 2 1 的两个焦点坐标 F1 (1, 0), F2 (1, 0)
3x 4x 0
4 ∴ AB ( x1 x2 )2 ( y1 y2 )2 2( x1 x2 )2 2 ( x1 x2 )2 4 x1 x2 = 3 2
2
= 2
例2：当m取何值时，直线l： y x m 与椭圆 2x 2 3y2 6 相交、相切、相离？ 解：联立方程组
2
{ 2x 3y 6
2 2
yxm
2
消y得：
5x 6mx 3m 6 0
6m 4 5 3m 6
2 2
24m 2 120 相离 0, 则m 5或m 5
中点弦问题
关于中点的问题一般可采用两种方法解决：
(1)联立方程组，消元，利用根与系数的关系进行
设而不解，从而简化运算解题；
(2)利用“点差法”，求出与中点、斜率有关的式
子，进而求解．
＝ 2[x1＋x22－4x1x2]＝ 2 ＝ 10－8m2， 5 所以当 m＝0 时，d 最大，此时直线方程为 y＝x. 4m2 4 2 2[ － m －1] 25 5
题型：中点弦问题
例4 ：已知椭圆 过点P(2，1)引一弦，使弦在这点被 平分，求此弦所在直线的方程. 解：
韦达定理→斜率
韦达定理法：利用韦达定理及中点坐标公式来构造
解得k1 =25，k 2 =-25
由图可知k 25.
解:∵椭圆
x2 y2 1 的左、右 例7 例 2:已知点 F1 、F2 分别是椭圆 2 1 焦点，过 F2 作倾斜角为 的直线，求 △F1 AB 的面积. 4 x2
直线与椭圆位置关系(经典)
直线与椭圆位置关系(经典)本文介绍了直线与椭圆的位置关系以及弦长计算方法。
1.点与椭圆的位置关系对于椭圆$x^2/a^2+y^2/b^2=1$，点$P(x,y)$在椭圆内部的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^21$，在椭圆上的充要条件是$x^2/a^2+y^2/b^2=1$。
2.直线与椭圆的位置关系设直线$l: Ax+By+C=0$，椭圆$C: x^2/a^2+y^2/b^2=1$，联立$l$与$C$，消去某一变量$(x$或$y)$得到关于另一个变量的一元二次方程，此一元二次方程的判别式为$\Delta$，则$l$与$C$相离的充要条件是$\Delta0$。
3.弦长计算计算椭圆被直线截得的弦长，往往是设而不求，即设弦两端坐标为$P_1(x_1,y_1)$，$P_2(x_2,y_2)$，则$|P_1P_2|=\sqrt{(x_1-x_2)^2+(y_1-y_2)^2}=1+kx_1-x_2=1+\frac{1}{k}(y_1-y_2)$（$k$为直线斜率）。
题目：已知椭圆$\frac{x^2}{5m}+\frac{y^2}{m}=1$，直线$y=kx+1$，求实数$m$的取值范围使得直线与椭圆有公共点。
解法一：将直线方程代入椭圆方程，得到关于$x$的一元二次方程，其判别式为$\Delta=m-5k-1$，要使直线与椭圆有交点，需要$\Delta\geq0$，即$m\geq5k+1$。
另外要注意，当$m=5k+1$时，直线与椭圆可能只有一个交点，在这种情况下也算有公共点。
因此，实数$m$的取值范围为$m\geq1$且$m\neq5$。
解法二：观察椭圆方程，发现其长轴在$x$轴上，短轴在$y$轴上，因此，当$m5$时，椭圆焦点在$y$轴上，与直线的交点只有$1$个或$3$个。
因此，要使直线与椭圆有公共点，需要$m\geq5$。
另外，当$m=5$时，椭圆退化成一个点，直线与该点有交点，因此也算有公共点。
直线与椭圆的位置关系及最值
直线与椭圆的位置关系1.直线与椭圆的位置关系.设直线l ：Ax +By +C =0，椭圆C ：12222=+b y a x 联立⎪⎩⎪⎨⎧=++=+012222C By Ax b y a x 得02=++p nx mx (1)若l 与C 相离的⇔Δ<0；（2）l 与C 相切⇔Δ=0；（3）l 与C 相交于不同两点⇔Δ>0.2.弦长公式 设直线与椭圆交于点P 1(x 1，y 1)，P 2(x 2，y 2)则|P 1P 2|=221221)()(y y x x -+- 212212111y y kx x k -+=-+=（k 为直线斜率） 一，直线与椭圆的位置关系例题1、判断直线03=+-y kx 与椭圆141622=+y x 的位置关系例题2、若直线)(1R k kx y ∈+=与椭圆1522=+my x 恒有公共点，求实数m 的取值范围.二、弦长问题例题3、 已知长轴为12，短轴长为6，焦点在x 轴上的椭圆，过它对的左焦点1F 作倾斜解为3π的直线交椭圆于A ，B 两点，求弦AB 的长．例4、已知椭圆1222=+y x 的左右焦点分别为1F ,2F ，若过点P （0，-2）及1F 的直线交椭圆于A,B 两点，求⊿ABF 2的面积练习、已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=． （1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为5102，求直线的方程．三、中点弦问题例题5、已知椭圆C 的焦点分别为12(F F -，长轴长为6，设直线2y x =+交椭圆C 于A 、B 两点，求线段AB 的中点坐标。
例题6、如果焦点是F （0，±52）的椭圆截直线3x －y －2=0所得弦的中点横坐标为21，求此椭圆方程.例7. 已知椭圆1222=+y x （1）求过点⎪⎭⎫ ⎝⎛2121，P 且被P 平分的弦所在直线的方程；（2）求斜率为2的平行弦的中点轨迹方程；（3）过Q(2,1)引椭圆的割线，求截得的弦的中点的轨迹方程；（4）椭圆上有两点A 、B ，O 为原点，且有直线OA 、OB 斜率满足K OA ·K OB =-1/2，求线段AB 中点M 的轨迹方程．四、对称问题例题8、已知椭圆13422=+y x C ：，试确定m 的取值范围，使得对于直线m x y l +=4：，椭圆C 上有不同的两点关于该直线对称．五、最值问题类型1：焦点三角形角度最值-------最大角法（求离心率问题）例1. 已知椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>两个焦点为12,F F ，如果曲线C 上存在一点Q ，使12FQ F Q ⊥，求椭圆离心率的最小值。
直线与椭圆的位置关系的判断
例2、已知直线 l : y 2 x m ，椭圆 。试问当
x2 y2 C: 1 4 2
m
取何值时，
直线与椭圆(1）相交？（2）相切？（3）相离？ 问题3：直线与与椭圆相交所得的弦长公式： 若直线
设而不求 整体化思想
特例：椭圆的焦点弦长公式：若过焦点的直线与椭圆
x2 y 2 2 1 a b 0 2 a b
相交于两点 A x1, y1 , B x2 , y2
，若过左焦点，则 AB 2a e x1 x2 若过右焦点，则 AB 2a e x1 x2
x2 y 2 (4)、已知P是椭圆 1 上的点， F1 , F2 4 3
为左右焦点，求 PF1 PF2 的最大、最小值之差是多少？
x2 y 2 1 ，直线 l :4 x 5 y 40 0 (5)、已知椭圆 25 9
。椭圆上是否存在一点，它到直线 l 的距离最小？ 最小距离是多少？
x2 y 2 1 的右焦点 例3、已知斜率为2的直线经过椭圆 5 4
；
F2 ，与椭圆相交于A，B两点，求弦AB的长。
问题4：直线方程的设法问题：直线方程有两种设法： ① 如果已知直线在 y 轴上的截距为 b ，或恒过定点
x0 , y0
时，方程设为 y kx b, y y0 k x x0
26
D 5 2 2
（2）．设 x, y R, x2 2 y 2 6 ，则 x y 的最小值是（ ） D 7
A 2 2
B 5 3 C 3
3
直线和椭圆的位置关系
直线和椭圆的位置关系一、要点精讲1．直线和椭圆的位置关系有三种：相交、相切、相离. 判定方法——代数法。
将直线方程与椭圆方程联立消去一个未知数，得到一个一元二次方程，判断方程解的情况：△＞0，方程有两个不同的解，则直线与椭圆相交； △＝0，方程有两个相等的解，则直线与椭圆相切； △＜0，方程无解，则直线与椭圆相离．2．直线与椭圆相交所得的弦长公式：设直线b kx y +=交椭圆于()111,y x P ，()222,y x P， 则()()()()()2221221212212212212111k x x x x y y x x y y x x P P +-=⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎣⎡⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛--+-=-+-=所以221211k x x P P +-=，或()01122121≠+-=k ky y P P ． 4．研究直线与椭圆位置关系的通性通法解决直线与椭圆位置关系时，一般通过直线与椭圆交点个数进行研究，用一元二次方程的判别式，根与系数的关系，求根公式等来处理问题，还要注意数形结合思想的运用，通过图形的直观性帮助分析、解决间题． 三、基础自测1. 椭圆13422=+y x 的右焦点到直线x y 3=的距离是 A.21 B. 23 C. 1 D.32. 直线032:=++by x l 过椭圆1010:22=+y x C 的一个焦点，则b 的值为（ ） A. 1- B.21 C. 1-或1 D. 21-或21 3. 方程221y x -=表示的是椭圆的（A ）上半部分 （B ）下半部分 （C ）左半部分 （D ）右半部分4.（2012四川）椭圆22143x y +=的左焦点为F ，直线x m =与椭圆相交于点A 、B ，当FAB ∆的周长最大时，FAB ∆的面积是____________。
解: 当x m =过右焦点时FAB ∆的周长最大，1m ∴=；将1x =带入解得32y =±；132322FAB S ∆=⨯⨯=.5. 直线0=--m y x 与椭圆1922=+y x 只有一个公共点，则=m . 6. 已知椭圆12122=+y x 和椭圆外一点()2,0，过这点任意引直线与椭圆交于A,B 两点，求弦AB 的中点P 的轨迹方程．四、典例精析题型一：直线与椭圆的交点问题1. 已知椭圆1422=+y x 及直线m x y +=.⑴ 当直线和椭圆有公共点时，求实数m 的取值范围； ⑵ 求被椭圆截得的最长弦所在的直线的方程．2. 已知定点A(-2, -1)，B(1, 2)，线段AB 与椭圆222x y a +=有公共点，求a 的取值范围．题型二：求椭圆方程问题3.（2010辽宁）设椭圆C ：22221(0)x y a b a b+=>>的左焦点为F ，过点F 的直线与椭圆C 相交于A ，B 两点，直线l 的倾斜角为60o,2AF FB =.（Ⅰ）求椭圆C 的离心率；（Ⅱ）如果|AB|=154，求椭圆C 的方程.4．（2011天津）已知椭圆22221x y a b+=()0a b >>的离心率e =得到的菱形的 面积为4．（Ⅰ）求椭圆的方程；（Ⅱ）设直线l 与椭圆相交于不同的两点,A B ．已知点A 的坐标为(),0a -．若5AB =,求直线l 的倾斜角;5.（2012陕西）已知椭圆221:14x C y +=，椭圆2C 以1C 的长轴为短轴，且与1C 有相同的离心率。
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1.直线和椭圆位置关系判定方法概述1直线斜率存在时221y kx b
mx ny =+⎧⎨+=⎩⇒222()210
m k n x kbnx b +++-=当0∆>时
直线和椭圆相交当0∆=时
直线和椭圆相切当0∆<时直线和椭圆相离2直线斜率不存在时22221x x y a
b =⎧⎪⎨+=⎪⎩判断y 有几个解
注：01无论直线斜率存在与否，关键是看联立后的方程组有几组解，而不是看""∆。
02直线和椭圆位置关系的判断只有这种“坐标法”，无几何法。
2.直线和椭圆相交时1弦长问题弦长公式22121221111AB k x x k y y a k
∆=+-=+=+-注：2121212()4x x x x x x -=+-而12x x +和12x x 可用韦达定理解决，不必求出1
x 和2x 的精确值，“设而不求”思想初现。
2三角形面积
1过x 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22
221x y a b +=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212AOB S OH y y ∆=
- 02过y 轴上一定点H 的直线l 与椭圆22
221x y b a
+=交于A 、B 两点，求AOB S ∆1212
AOB S OH x x ∆=- 03弦任意，点任意
12
S ∆=弦长×点线距注：仍然蕴含“设而不求”思想。
3弦的中点问题
01中点弦所在直线方程问题
02平行弦中点轨迹03共点弦中点轨迹04其他问题
类型题一：直线与椭圆位置
1.已知直线2+=kx y 和椭圆12
32
2=+y x ，当k 取何值时，此直线与椭圆：（1）相交；（2）相切；（3）相离。
2.已知直线2+=kx y 与椭圆2222=+y x 相交于不同的两点，求k 的取值范围。
3.点P 在椭圆284722=+y x 上，则点P 到直线01623=--y x 的距离的最大值为_____，最小值为________．类型题二：弦长公式
1.已知椭圆：19
22
=+y x ，过左焦点1F 作倾斜角为6 的直线交椭圆于B A ,两点，求弦AB 的长。
2.已知椭圆12
2=+ny mx 与直线1=+y x 相交于B A ,两点C 为AB 的中点。
22=AB ，OC 的斜率为2
2（O 为原点），求椭圆方程。
3.已知椭圆22
41x y +=及直线y x m =+．
（1）当m 为何值时，直线与椭圆有公共点？（2）若直线被椭圆截得的弦长为2105
，求直线的方程．4.已知直线m x y +=与椭圆14
22
=+y x 相交于B A 、两点，当m 变化时，求AB 的最大值。
类型题三：弦中点问题（点差法）
1.已知椭圆19
362
2=+y x ，弦AB 的中点是)1,3(M ,求弦AB 所在的直线方程。
2.直线1y x =+被椭圆2224x y +=所截的弦的中点坐标是
（）（A）(31,－32)（B）(－32,31)（C）(2
1,－31)（D）(－31,21)3.已知椭圆22
1369
x y +=，椭圆内一点(4,2)P ,则以P 为中点的弦所在的直线的斜率是（A）21（B）－2
1（C）2（D）－24．中心在原点，一个焦点为1F ()50,0的椭圆截直线23:-=x y l 所得的弦的中点的横坐标为2
1，求椭圆的方程．
5．已知椭圆方程为19
25:2
2=+y x C ，求：（1）中点为（4，1）的弦所在直线的方程；
（2）斜率为3的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹；
（3）过点（4，3）的直线与椭圆相交所得弦的中点的轨迹。
类型题四：与三角形面积有关的问题
1.过椭圆22
154
x y +=的右焦点作一条斜率为2的直线与椭圆交于B A ,两点，O 为坐标原点，求OAB ∆的面积。
2.椭圆120
452
2=+y x 的两个焦点为21,F F ，过左焦点作直线与椭圆交于B A ,两点，若2ABF ∆的面积为20，求直线的方程。
3.已知椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x G 的离心率为36，右焦点为)0,22(，斜率为1的直线l 与椭圆G 交于B A ,两点，以AB 为底边作等腰三角形顶点为P （-3,2）.（Ⅰ）求椭圆G 的方程；
（Ⅱ）求PAB ∆的面积.
4.若直线l 与椭圆C ：x 23＋y 2＝1交于A 、B 两点，坐标原点O 到直线l 的距离为32，求△AOB 面积的最大值．
5.已知椭圆22
142
x y +=的两个焦点是1F ，2F ，点P 在该椭圆上．若12||||2PF PF -=，则△12PF F 的面积是______．
6.已知21,F F 是椭圆)0(1:22
22>>=+b a b
y a x C 的两个焦点，P 为椭圆C 上的一点，且21PF PF ⊥.若21F PF ∆的面积为9，则______=b .
7.在平面直角坐标系xOy 中，动点P 到两点(30)-，，(30)，的距离之和等于4，设点P 的轨迹为曲线C ，直线l 过点(1,0)E -且与曲线C 交于A ，B 两点．
（Ⅰ）求曲线C 的轨迹方程；
（Ⅱ）是否存在△AOB 面积的最大值，若存在，求出△AOB 的面积；若不存在，说明理由.类型题五：与向量有关的问题
1.在直角坐标系xOy 中，曲线C 上的点P 到两定点)3,0(-，)3,0(的距离之和等于4，直线1+=kx y 与C 交于A，B 点.若OB OA ⊥，求k 的值.
2.直线2y kx =+与椭圆2213
x y +=交于不同两点A 和B ，且1OA OB ⋅= （其中O 为坐标原点），求k 的值．
3.已知直线1+=kx y 与双曲线1322=+y x 相交于B A 、两点，O 是坐标原点，如
果OB OA ⊥,求k 的值。
4.已知F 1、F 2是椭圆x 2a 2＋y 2b
2＝1(a >b >0)的左、右焦点，A 是椭圆上位于第一象限的一点，B 也在椭圆上，且满足OA ＋OB ＝0(O 为坐标原点)，→2AF ·→21F F ＝0，且椭圆的离心率为22
.(1)求直线AB 的方程；
(2)若△ABF 2的面积为42，求椭圆的方程．
类型题六：定值定点问题
1.已知椭圆:C 22
221(0)x y a b a b
+=>>的离心率为63，椭圆短轴的一个端点与两个焦点构成的三角形的面积为523
．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）已知动直线(1)y k x =+与椭圆C 相交于A 、B 两点．①若线段AB 中点的横坐标为12-，求斜率k 的值；②若点7(,0)3
M -，求证：MA MB ⋅ 为定值．
2.已知椭圆C:
22
22
1(0)
x y
a b
a b
+=>>,经过点P
3
(1,)
2
，离心率是
3
2
.
(I)求椭圆C的方程；
(II)设直线l与椭圆C交于,A B两点，且以AB为直径的圆过椭圆右顶点M，求证：直线l恒过定点．
3.已知椭圆2222:1(0)x y C a b a b +=>>经过点3(1,)2，离心率为32
．（Ⅰ）求椭圆C 的方程；
（Ⅱ）直线(1)(0)y k x k =-≠与椭圆C 交于,A B 两点，点M 是椭圆C 的右顶点．直线AM 与直线BM 分别与y 轴交于点,P Q ，试问以线段PQ 为直径的圆是否过x 轴上的定点？若是，求出定点坐标；若不是，说明理由．。