电磁场期末考试试题

三、简答题
1、说明静电场中的电位函数，并写出其定义式。

答：静电场是无旋的矢量场，它可以用一个标量函数的梯度表示，此标量函数称为电位函数(3 分)。

静电场中，电位函数的定义为grad ϕϕ=-=-∇E (3 分) 2、什么叫集肤效应、集肤深度？试写出集肤深度与衰减常数的关系式。

高频率电磁波传入良导体后，由于良导体的电导率一般在107S/m 量级，所以电磁波在良导体中衰减极快。

电磁波往往在微米量级的距离内就衰减得近于零了。

因此高频电磁场只能存在于良导体外表的一个薄层内， 这种现象称为集肤效应(Skin Effect)。

电磁波场强振幅衰减到外表处的1/e 的深度，称为集肤深度(穿透深度)， 以δ表示。

集肤深度 001E e E e
αδ-=⋅ ⇒ 1
δα=
3、说明真空中电场强度和库仑定律。

答：电场强度表示电场中某点的单位正试验电荷所受到的力，其定义式为：
()
()r r q
=
F E (3 分)。

库仑定律是描述真空中两个静止点电荷之间相互作用的规律，其表达式为：'20=4R
q q
R e πεF (3 分)。

4、用数学式说明梯度无旋。

答：x y z x y z
ϕϕϕϕ∂∂∂∇=
++∂∂∂e e e (2 分) ()x
y z
x y z x
y
z
ϕϕϕϕ∂∂∂
∇⨯∇=
∂∂∂∂∂∂∂∂∂e e e (2 分) 222222()()()x y z z y z y x z x z x y x y
ϕϕϕϕϕϕ∂∂∂∂∂∂=---+-∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂∂e e e (2 分)
0=
()0ϕ∴∇⨯∇=
5、什么是真空中的高斯定理?请利用高斯定理求解下面问题：假设真空中有半径为a 的球形带电体，电荷总量Q 均匀分布在球体内，求任意点的电场强度。

0()S
Q
E r dS ε=
⎰
分析：电场方向垂直于球面。

电场大小只与r 有关。

在球外区域：r>a
()S
Q
E r dS ε=
⎰
2
()(4)r Q
E r r πε⇒⋅=
a 2
04r Q E r πε⇒=
⋅a
在球内区域：r<a
由334Q Q
V a
ρπ=
= 因为0'()S Q E r dS ε=⎰得 3
20
4
3
()(4)r r E r r ρππε⋅⋅=
a 30034r r r Qr E a
ρεπε⇒=
=⋅a a 6、试解释坡印亭矢量的物理意义？
答：坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(3分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)
7、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？
8、什么是高斯定理?在电场具有什么特征时可以用它来求解静电场问题?
.S d D s
⎰⋅=q
当电场具有对称性质时，可以用来求解静电场。

9、波的圆极化(写出波的方程及与x 轴夹角表达式)
假设电场的水平分量E x 与垂直分量E y 振幅相等，相位相差±90°，合成电场
为圆极化波。

E=2
y 2x E E + =Em=常数
与x 轴夹角tanα=
Ex
Ey
=tanωt
10、在良导体内电场强度E 等于零，磁感应强度是否也为零？为什么？ 可以不为零。

〔2分〕因为E=0，只说明磁通及磁场的变化率为零，但磁感应强度可为任意常数。

〔3分〕
11、如何由电位求电场强度?试写出直角坐标系下的表达式。

答：即电场强度是电位梯度的负值。

表达式：(
)x y z E e e e x y z
∂ϕ∂ϕ∂ϕ
ϕ∂∂∂=-∇=-++ 12、在静电场中，两点之间的电位差与积分路径有关吗？试举例说明。

无关。

〔2分〕如下图，取电场强度积分路径为
⎰⎰⋅=⋅=b
a
acb
ab l E l E U d d (1分)
⎰
⎰⎰=⋅+⋅=
⋅acbda
bda
acb
l E l E l E 0d d d 又
(1分)
⎰⎰⎰⋅=-=⋅∴
acb
adb
bda
l E l E l E d d d (1分)
13、说明矢量场的环量和旋度。

矢量A 沿场中某一封闭的有向曲线l 的曲线积分为环量，l
A dl Γ=
⋅⎰(3 分)。

矢量A 在M 点的旋度：方向为M 点A 的最大环量面密度最大的方向，其模等于此最大环量面密度的矢量：rot A =∇⨯A (3 分)
14、写出在恒定磁场中，不同介质交界面上的边界条件。

答：1212()0n n B B ⋅-==n B B 或； (3 分)
12()S ⨯-=n H H J (3 分)
15、试解释坡印亭矢量的物理意义？
坡印亭矢量E×H 相当于功率流的面密度,(2分)即垂直于功率流动方向单位面积上流过的电磁场功率.(3分)
16、为什么说体电荷密度就是电荷的体密度，而体电流密度不是电流的体密度？ 体电荷密主是单位体积中的电荷量,所以是电荷的体密度.(2分)体电流密度是垂 直于电荷运动方向上单位面积上流过的电流,所以不是电流的体密度。

〔4分〕
四、计算题
1、空气填充的平板电容器内的电位分布为2ax b ϕ=+，求与其相应的电场及其电荷分布。

解：由E =-∇ϕ (2 分)
ϕ=+2ax b
得2E a =-∇ϕ=-x ax (2 分) 根据高斯定理：0
.E ∇=ρ
ε得 (2 分) 电荷密度为：
00.E ==∇-2a ρεε (2 分)
(1 分)
2、真空中有两个点电荷，一个-q 位于原点，另一个q/2位于(a,0,0)处，求
电位为零的等位面方程。

解： 两个点电荷－q,+q/2在空间产生的电位：
2222220
1
(,,)4()x y z x y z x a y z ⎡⎤ϕ=
⎢πε⎢++-++⎣ (2 分)
令(,,)0x y z ϕ= 得方程： (2 分)
2222220
1
04()x y z x a y z ⎡⎤=⎢πε⎢++-++⎣ (1 分)
方程化简得
2
22242()33x a y z a ⎛⎫
-++= ⎪⎝⎭ (2 分)
由此可见，零电位面是以点〔4 a/3,0,0〕为球心，2 a/3为半径的球面。

(1 分) (1 分)
6、相互成直角的两个导电平面构成的系统，在x =1,y =1处放置一个点电荷q ，试用镜像法确定镜像电荷位置和大小，并求x =2,y =2处的电位。

(设无穷远为电位参考点)。

镜像电荷位置为-q(-1,1),-q(1,-1),q(-1,-1)
由点电荷的电位ϕ=
R
4q
0πε可得 x=2,y=2处电位ϕ=04q
πε(
)10
223121-+
7、无源自由空间中的电场强度矢量sin()y m E E t kz ω=-a ， 求 (1) 由麦克斯韦方程求磁场强度H ；
(2) 证明w/k 等于光速；
(3) 求坡印亭矢量的时间平均值。

解：
〔1〕将E 表示为复数形式，有 a -=-jkz y m E jE e (2 分)
由复数形式的麦克斯韦方程，得
11a a --=-
∇⨯=-
=jkz jkz m
x m x kE H E kE e j
e j j ωμωμωμ
磁场H 的瞬时表达式为
()sin()a =--m
x
kE H t t kz ωωμ (2 分)
〔2〕由于是无源自由空间，根据无源自由空间的波动方程得：22
0020∂∇-=∂E
E t
με
(2 分)
由于E 只有y 分量，得y 分量的标量波动方程
222200
2
2
2
2
0∂∂∂∂+
+
-=∂∂∂∂y y y y E E E E x
y
z
t
με (1 分)
由于
22
∂∂y E x 、
22
∂∂y E y 为0，得
2200
2
2
0∂∂-=∂∂y y E E z t με
对正弦电磁场，上方程可以写成
2200()()0-=y y jk E j E μεω 得
=
=C k
ω
(1 分)
〔3〕坡印廷矢量的时间平均值为
11
Re[]Re[()(.())]22a a *-=⨯=-⨯-jkz jkz m av y m x kE S E H jE e j e ωμ (3 分)
20
1.2a =m
z kE ωμ (1 分)
8、理想介质中平面电磁波的电场强度矢量为
8()5cos2(10) (V/m)x E t t z π=-a 试求： (1) 介质及自由空间中的波长；
(2) 介质0μμ=，0r εεε=，确定介质的r ε； (3) 求磁场强度矢量的瞬时表达式。

解： (1)介质中
2212ππλ=
==π
k 〔m 〕 (2 分) 自由空间中
8
0802310310π⨯λ======c k f 〔m 〕 (2 分)
(2) 由于
=k 故 22282
282
(2)(310)9(210)π⋅⨯ε===ωπ⨯r k c (3 分) (3)
由于0ηηππ=
⨯1
=120=403 (2 分) 磁场强度的瞬时表达式
80()cos 2(10)m
y
E t t z πη
=-H a 80cos 2(10)40m
y
E t z ππ
=-a 85
cos 2(10)40y
t z ππ
=-a 81
cos 2(10)8y
t z ππ
=-a (A/m)
9、空气中的电场为()2() jkz x y E t j e -=+a a 的均匀平面波垂直投射到理想导体外表〔z=0〕,求反射波的极化状态及导体外表的面电流密度。

解：
对理想导体，有
20,1,0T ηΓ==-= (1分)
所以，此时反射波写为：
()2() jkz r x y E t j e =-+a a (1分)
由此得知：反射波沿-z 方向传播，反射波两个分量幅度相等，且x 分量的相位滞后y 分量/2π，故反射波为右旋圆极化波。

(2 分) 由于理想导体内无电磁场，故 0t H =
令空气一侧为介质1，导体一侧为介质2，又
由于
()i i z
j
H E z ωμ∂
=
⨯∂a (1 分)
1
2()jkz y x j e η-=
-a a (1 分) ()r r z j
H E z
ωμ∂
=
⨯∂a (1 分)
1
2()jkz y x j e η=
-a a (1 分)
1i r H H H =+0
1
2()()jkz jkz y x j e e η-=-+a a 0
1
4()cos y x j kz η=
-a a (2 分)
故
210
()
s z J n H H ==⨯-10
()
z z H ==⨯-a =0
1
4()z y x j η=⨯
-+a a a 0
1
4()x y j η=
+a a (2 分)
10、例题3.12
求半径为a 的无限长直导线单位长度内自感。

解：设导体内电流为I ，那么由安培环路定律
02()2Ir
B r a a
ϕ
μπ=
≤a
那么导体内单位长度磁能为
2
12m V
W B dV μ=
⎰2220
24
0124V
I r dV a μμπ=⋅⎰
2221
20
240
0124a
I r rdrd dz a π
μφμπ=⋅⋅⎰⎰⎰
2220
240
01224a
I r rdr a
μπμπ=⋅⋅⎰
2016I μπ
= 0
228m W L I μπ
=
=。