北师大版初中数学九上期末测试1试题试卷含答案

期末测试
一、选择题（共10小题）.
1.（3分）下列图形中既是中心对称图形又是轴对称图形的是（ ）
A .
B .
C .
D .
2.（3分）下列说法中错误的是（ ） A .不可能事件发生的概率为0 B .概率很小的事不可能发生 C .必然事件发生的概率是1
D .随机事件发生的概率大于0、小于1
3.（3分）关于x 的一元二次方程220x x k ++=有两个相等的实数根，则k 的取值范围是（ ） A .1k =−
B .1k −＞
C .1k =
D .1k ＞
4.（3分）Rt ABC △中，°90C ∠=，6AC =，10AB =，若以点C 为圆心r 为半径的圆与AB 所在直线相交，则r 可能为（ ） A .3
B .4
C .4.8
D .5
5.（3分）已知圆锥的底面半径为2cm ，母线长为5cm ，则圆锥的侧面积是（ ） A .220cm
B .220cm π
C .210cm π
D .25cm π
6.（3分）将抛物线2y x =−向上平移2个单位，则得到的抛物线表达式为（ ） A .()2
2y x =−+ B .()2
2y x =−− C .22y x =−−
D .22y x =−+
7.（3分）若一个正六边形的周长为24，则该正六边形的边心距为（ ）
A .
B .4
C .
D .8.（3分）如图，ABC △中，°80A ∠=，点O 是ABC △的内心，则BOC ∠的度数为（ ）
A .100°
B .160°
C .80°
D .130°
9.（3分）如图，在等边ABC △中，D 是边AC 上一点，连接BD ，将BCD △绕点B 逆时针旋转60°，得到
BAE △，连接ED ，若10BC =，9BD =9，则ADE △的周长为（ ）
A .19
B .20
C .27
D .30
10.（3分）如图，AB 是半圆O 的直径，且4cm AB =，动点P 从点O 出发，沿OA →AB →BO 的路径以每秒1cm 的速度运动一周.设运动时间为t ，2s OP =，则下列图象能大致刻画s 与t 的关系的是（ ）
A .
B .
C .
D .
二、填空题（每小题3分，共18分）
11.（3分）在平面直角坐标系中，点()34−，关于原点对称的点的坐标是________.
12.（3分）为解决民生问题，国家对某药品价格分两次降价，该药品的原价是48元，降价后的价格是30元，若平均每次降价的百分率均为x ，可列方程为________.
13.（3分）如图是二次函数2y ax bx c =++的部分图象，由图象可知方程20ax bx c ++=的解是________，________.
14.（3分）在一个不透明的盒子中装有红、白两种除颜色外完全相同的球，其中有a 个白球和3个红球，若每次将球充分搅匀后，任意摸出1个球记下颜色再放回盒子.通过大量重复试验后，发现摸到红球的频率稳定在20%左右，则a 的值约为________.
15.（3分）如图，PA 、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，点C 、D 在O 上.若°108P ∠=，则B D ∠+∠=
________.
16.（3分）已知二次函数()20y ax bx c a =++≠的图象如图，有下列5个结论：①0abc ＜；②30a c +＞；③420a b c ++＞；④20a b +=；⑤24b ac ＞.其中正确的结论有________个.
三、解答题（共72分） 17.（6分）解方程： （1）()()2
2
212x x −=−；
（2）21
04
x −=.
18.（6分）如图，在平面直角坐标系xOy 中，点()33A ，，点()01B −，和点()40C ，.
（1）以点B 为中心，把ABC △逆时针旋转90°，画出旋转后的图形A BC ''△； （2）在（1）中的条件下：
①直接写出点A 经过的路径AA '的长为________（结果保留π）；
②直接写出点C'的坐标为________.
19.（7分）如图，AB是O的直径，CD是O的弦，且CD AB
⊥于点E.
（1）求证：ADO C
∠=∠；
BE=，求CD的长.
（2）若O的半径为5，2
20.（7分）某工厂大门是抛物线形水泥建筑，大门地面宽AB为4m，顶部C距离地面的高度为4.4m，现有一辆货车，其装货宽度为2.4m，高度2.8米，请通过计算说明该货车能否通过此大门？
21.（7分）学校有一个面积为182平方米的长方形的活动场地，场地一边靠墙（墙长25米），另三面用长40米的合金栏网围成.请你计算一下活动场地的长和宽.
22.（8分）甲、乙两人进行摸牌游戏：现有三张形状大小完全相同的牌，正面分别标有数字2，4，5.将三张牌背面朝上，洗匀后放在桌子上，甲从中随机抽取一张牌，记录数字后放回洗匀，乙再从中随机抽取一张.（1）甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为偶数的概率为________；
（2）请用列表法或画树状图的方法，求两人抽取的数字相同的概率.
23.（9分）某网商经销一种玩具，每件进价为40元.市场调查反映，每星期的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系如图中线段AB 所示：
（1）写出每星期的销售量y （件）与销售单价x （元）之间的函数关系式并写出自变量x 的取值范围；
（2）如果该网商每个星期想获得4 000元的利润，请你计算出玩具的销售单价定为多少元？
（3）当每件玩具的销售价定为多少元时，该网商每星期经销这种玩具能够获得最大销售利润？最大销售利润是多少？（每件玩具的=−销售利润售价进价）
24.（10分）如图，在Rt ABC △中，°90ACB ∠=，点F 在AB 上，以AF 为直径的O 与边BC 相切于点
D ，与边AC 相交于点
E ，且AE DE =，连接EO 并延长交O 于点G ，连接BG .
（1）求证： ①AO AE =.
②BG 是O 的切线.
（2）若4BF =，求图形中阴影部分的面积.
25.（12分）如图，已知抛物线23y ax bx =+−的图象与x 轴交于点()10A ，和()30B ，，与y 轴交于点C .D 是抛物线的顶点，对称轴与x 轴交于E .
（1）求抛物线的解析式；
（2）如图1，在抛物线的对称轴DE 上求作一点M ，使AMC △的周长最小，并求出点M 的坐标和周长的最小值.
（3）如图2，点P 是x 轴上的动点，过P 点作x 轴的垂线分别交抛物线和直线BC 于F 、G .设点P 的横坐标为m .是否存在点P ，使FCG △是等腰三角形？若存在，直接写出m 的值；若不存在，请说明理由.
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答案解析
一、 1.【答案】C
【解析】A .不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； B .不是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项错误； C .是中心对称图形，是轴对称图形，故此选项正确； D .是中心对称图形，不是轴对称图形，故此选项错误. 故选：C. 2.【答案】B
【解析】A .不可能事件发生的概率为0，正确，不符合题意； B .概率很小的事也可能发生，故错误，符合题意； C .必然事件发生的概率为1，正确，不符合题意；
D .随机事件发生的概率大于0，小于1，正确，不符合题意. 故选：B. 3.【答案】C
【解析】由题意0=△，
440k −=∴， 1k =∴，
故选：C. 4.【答案】D
【解析】作CD AB ⊥于D ，
在直角三角形ABC 中，根据勾股定理得8BC ==，
11
22
ABC S AC BC AB CD =
=△∵， 即6810CD ⨯=，
4.8CD =∴；
当 4.8r ＞时，以C 为圆心，r 为半径的圆与AB 相交；
5 4.8∵＞，
5r =∴时，C 与AB 所在直线相交.
故选：D.
5.【答案】C
【解析】2210cm 5ππ=⨯⨯=圆锥的侧面积，故选：C. 6.【答案】D
【解析】将抛物线2y x =−向上平移2个单位得到的抛物线是22y x =−+.故选：D. 7.【答案】A
【解析】连接OA ，作OM AB ⊥，得到°30AOM ∠=，
∵圆内接正六边形ABCDEF 的周长为24， 4AB =∴，则2AM =，
因而°cos30OM OA ==
正六边形的边心距是. 故选：A.
8.【答案】D
【解析】°80A ∠=∵，
°°180100ABC ACB A ∠+∠=−∠=∴， ∵点O 是ABC △的内心，
()°1
502
OBC OCB ABC ACB ∠+∠=
∠+∠=∴， °°°18050130BOC ∠=−=∴.
故选：D. 9.【答案】A
【解析】∵将BCD △绕点B 逆时针旋转60°，得到BAE △
BD BE =∴，CD AE =，°60DBE ∠= BDE ∴△是等边三角形 9DE BD BE ===∴
ABC ∵△是等边三角形
10BC AC ==∴
ADE AE AD DE AD CD DE AC BD =++=++=+∵△的周长 19ADE =∴△的周长
故选：A . 10.【答案】C
【解析】利用图象可得出：当点P 在半径AO 上运动时，22s OP t ==； 在弧AB 上运动时，24s OP ==； 在OB 上运动时，()2
224s OP t π==+−. 故选：C. 二、
11.【答案】()34−，
【解析】点()34−，关于原点对称的点的坐标是()34−，. 故答案为：()34−，. 12.【答案】()2
48130x −=
【解析】设平均每次降价的百分率为x ，则第一次降价后的价格为()481x ⨯−，第二次降价后的价格为
()()4811x x −−，
由题意，可列方程为()2
48130x −=. 故答案为：()2
48130x −=. 13.【答案】11x =− 25x =
【解析】由图象可知对称轴2x =，与x 轴的一个交点横坐标是5，它到直线2x =的距离是3个单位长度，所以另外一个交点横坐标是1−. 所以11x =−，25x =. 故答案是：11x =−，25x =. 14.【答案】12 【解析】由题意可得，3
100%20%3
a ⨯=+， 解得12a =.
经检验：12a =是原分式方程的解， 所以a 的值约为12，
故答案为：12. 15.【答案】216° 【解析】连接AB ，
PA ∵、PB 是O 的切线，A 、B 为切点，
PA PB =∴， PAB PBA ∠=∠∴，
°108APB ∠=∵，
()°°1
180362PBA PAB APB ∠=∠−⨯−∠=∴，
A ∵、D 、C 、
B 四点共圆，
°180D CBA ∠+∠=∴，
°°°36180216PBC D PBA CBA D ∠+∠=∠+∠+∠=+=∴，
故答案为：216°.
16【答案】5
【解析】抛物线开口向下，因此0a ＜，对称轴为10x =＞，因此a 、b 异号，所以0b ＞，抛物线与y 轴交点在正半轴，因此0c ＞，所以0abc ＜，于是①正确；
抛物线的对称轴为直线12b
x a
=−
=，因此有20a b +=，故④正确； 当1x =−时，0y a b c =−+＜，所以30a c +＜，故②正确；
抛物线与x 轴有两个不同交点，因此240b ac -＞，即24b ac ＞，故⑤正确；
抛物线的对称轴为1x =，与x 轴的一个交点在1−与0之间，因此另一个交点在2与3之间，于是当2x =时，420y a b c =++＞，因此③正确； 综上所述，正确的结论有：①②③④⑤， 故答案为：5. 三、
17.【答案】（1）()()2
2
212x x −=−∵，
212x x −=−∴或212x x −=−，
解得11x =，21x =−；
（2）1a =∵，b =1
4
c =−，
1241304⎛⎫=−⨯⨯−= ⎪⎝⎭
∴△＞，
则2
x =，
即1x =2x =. 18.【答案】（1）
（2）①52π
②()13−， 【解析】（1）如图，三角形A BC ''△即为所求图形；
（2）①点A 经过的路径的长为
90551802ππ⨯⨯=； ②点C '的坐标为()13−，. 故答案为：①52
π；②()13−，.
19.【答案】（1）证明：OA OD =∵， A ODA ∠=∠∴，
A C ∠=∠∵，
ODA C ∠=∠∴.
（2）解：BA ∵是直径，AB CD ⊥
CE ED =∴，
5OB OD ==∵，2BE =，
3OE =∴，
°90DEO ∠=∵，
4DE =∴，
28CD DE ==∴.
20.【答案】解：以C 为坐标原点，抛物线的对称轴为y 轴，建立如下图所示的平面直角坐标系，
根据题意知，()2 4.4A −−，，()2 4.4B −，）
， 设这个函数解析式为2y kx =.
将A 的坐标代入，得21.1y x =−，
∵货车装货的宽度为2.4m ，
E ∴、
F 两点的横坐标就应该是 1.2−和1.2，
∴当 1.2x =时， 1.584y =−，
()4.4 1.584 2.816m GH CH CG =−=−=∴，
因此这辆汽车装货后的最大高度为2.816m ，
2.8 2.816∵＜，
所以该货车能够通过此大门.
21.【答案】解：设活动场地垂直于墙的边长为x 米，则另一边长为()402x −米， 依题意，得：()402182x x −=，
整理，得：220910x x −+=，
解得：17x =，213x =.
当7x =时，4022625x −=＞，不合题意，舍去；
当13x =，4021425x −=＜，符合题意.
答：活动场地的长为14米，宽为13米.
22.【答案】（1）2
3
（2）根据题意列表如下：
由表知，共有9种等可能结果，其中两人抽取的数字相同的有3种结果， 所以两人抽取的数字相同的概率3193==.
【解析】（1）∵共有3张纸牌，其中数字是偶数的有2张，
∴甲从中随机抽取一张牌，抽取的数字为偶数的概率为23
； 故答案为：23
； 23.【答案】（1）解：设1y 与x 之间的函数关系式为y kx b =+，
将()40500A ，，()900B ，代入上式，得40500900k b k b +=⎧⎨+=⎩
， 解得：10900k b =−⎧⎨=⎩
， y ∴与x 之间的函数关系式为：10900y x =−+，
自变量的取值范围是4090x ≤≤；
（2）解：由题意得()()10900404000x x −+−=，
解得80x =或50x =，
又4090x ∵≤≤，
∴如果每星期的利润是4 000元，销售单价应为50元或80元；
（3）解：设经销这种玩具能够获得的销售利润为w 元，
由题意得，()()()2
109004010656250w x x x =−+−=−−+， 100−∵＜，
w ∴有最大值，
4090x ∵≤≤，
∴当65x =（元）时，6250w =最大（元）.
∴当销售单价为65元时，每星期的利润最大，最大销售利润为6 250元.
24.【答案】（1）①证明：连接OD ， O ∵与BC 相切于点D ，
°90ODB ∠=∴，
°90ACB ∠=∵，
ACB ODB ∠=∠∴，
AC OD ∴∥，
EOD AEO ∠=∠∴，
AE DE =∵，
EOD AOE ∠=∠∴，
AOE AEO ∠=∠∴，
AO AE =∴；
②证明：由①知，AO AE OE ==，
AOE ∴△是等边三角形，
°60AEO AOE A ∠=∠=∠=∴，
°60BOG AOE ∠=∠=∴，
°°18060DOB DOE AOE ∠=−∠−∠=∴，
DOB GOB ∠=∠∴，
OD OG =∵，OB OB =，
()ODB OGB SAS ∴△≌△，
°90OGB ODB ∠=∠=∴，
OG BG ⊥∴，
OG ∵是O 的半径，
GB ∴是O 的切线；
（2）解：连接DE ，
°60A ∠=∵，
°°9030ABC A ∠=−∠=∴，
2OB OD =∴，
设O 的半径为r ，
OB OF FB =+∵，即42r r +=，
解得，4r =，
4AE OA ==∴，212AB r BF =+=，
162
AC AB ==∴， 2CE AC AE =−=∴，
由（1）知，°60DOB ∠=，
OD OE =∵，
ODE ∴△是等边三角形，
4DE OE ==∴，
根据勾股定理得，CD ==，
()216048
2423603
CEOD ODE S S S ππ⨯=−=⨯+⨯=梯形阴扇影形∴.
25.【答案】解：（1）将点A 、B 的坐标代入抛物线表达式得：030933a b a b =+−⎧⎨=+−⎩
， 解得14a b =−⎧⎨=⎩
， ∴抛物线的解析式为：243y x x =−+−；
（2）解：如下图，连接BC 交DE 于点M ，此时MA MC +最小，
又因为AC 是定值，所以此时AMC △的周长最小.
由题意可知3OB OC ==，1OA =，
BC ==∴AC =
∴此时AMC AC AM MC AC BC =++=+=△的周长
DE ∵是抛物线的对称轴，与x 轴交点()10A ，
和()30B ，， 1AE BE ==∴，对称轴为2x =，
由OB OC =，°90BOC ∠=得°45OBC ∠=，
1EB EM ==∴，
又∵点M 在第四象限，在抛物线的对称轴上，
()21M −∴，；
（3）解：存在这样的点P ，使FCG △是等腰三角形.
∵点P 的横坐标为m ，故点()243F m m m −+−，
，点()3G m m −，， 则()22243FG m m =−+−，()2223CF m m =−，222GC m =，
当FG FC =时，则()()22
22433m m m m −+−=−，解得0m =（舍去）或4；
当GF GC =时，同理可得0m =（舍去）或3；
当FC GC =时，同理可得0m =（舍去）或5，
综上，5m =或4m =或3m =+或3.。