二元一次方程组的巧解

“二元一次方程组”的巧解
背景介绍
本学期担任七年级（2）班数学教学，共有学生48人，上学期全班数学平均分为73分。

七年级学生往往对课程增多、课堂学习容量加大不适应，顾此失彼，精力分散，使听课效率下降，要重视听法的指导。

学习离不开思维，善思则学得活，效率高，不善思则学得死，效果差。

七年级学生刚由小学升上初中不久，学习方法和思维还未能完全转变过来，学生常常固守小学算术中的思维定势，思路狭窄、呆滞，不利于后继学习，要重视对学生进行解题技能指导。

七年级学生由于正处在初级的逻辑思维阶段，识记知识时机械记忆的成份较多，理解记忆的成份较少，这就不能适应七年级教学的新要求，要重视对学生进行解题技能指导，特别是解二元一次方程组是学生必须掌握的一项基本技能，怎样才能让学生更好地掌握这一基本技能，并在思维能力、情感态度和价值观等多方面得到全面发展呢？学习了二元一次方程组解法后，进行一次习题练习训练。

谈谈自己如何创新性开展课堂教学活动。

情境描述
针对《学习与评价》数学七年级下册P80页练习题：已知⎩⎨⎧⋯=+⋯=+②y x ①
y x ,82,72，则
=+-y x y x 教师编了三道变式题让学生思考？
教师：我们已经学习了消元法——解二元一次方程组，此题我们是用代入法还是用加减法去消元呢？
学生1：用代入消元法，由①得，,27x y -=……………………………………………③ 然后把③代入②，就可以达到消元的目的，求出x 后代入③，求得y 后，把x 、y 代入所求的式子计算即可。

学生2：此题也可以用代入消元法，由②得，,28y x -=………………………………④ 然后把④代入①，也可以达到消元的目的。

学生3：此题也可以用加减消元法，②×2得，,1642=+y x …………………………⑤ ⑤－①，得,3,93==y y 求出x 后代入所求的式子计算即可。

学生4：此题也可以用加减消元法，①×2得，,1424=+y x …………………………⑥ ⑥－②，得,2,63==x x 求出y 后代入所求的式子计算也可以。

至此教师没有听到所要的答案，教师故意把题目变式。

变式一：已知⎩⎨⎧⋯=+⋯=+②
y x ①y x ,82,72，求y x += 。

学生5：用代入法。

学生6：用加减法也可以。

教师故意提出：难道此题没有更简捷、更巧妙的方法吗？
过一会儿，有不少学生也想出了“妙招”，在小组讨论中，同学们找到了捷径，笔者让一名学生展示自己的成果：
学生7：由①＋②得1533=+y x ，所以5=+y x ，师生达成共识，将课堂推向高潮。

为了达到巩固的目的，教师将此题改为：
变式二：已知⎩⎨⎧⋯=+⋯=+②
y x ①y x ,82,72，求y x -= 。

再一次将问题抛给学生，把思维的时间还给学生。

若用通法求出x 、y 后，代入求差，自然都会。

但学生慢慢开始思考老师的问题一定有同上题类似的巧妙解法，大部分学生开始深思，不一会儿，就有学生抢答。

学生8：由①－②得1-=-y x ，立即就能得到我们需要的答案。

同学们对学生8的迅速精彩思维表示钦佩。

在学生8的启示下，立即就有学生反应。

学生9：由②－①得1=+-y x ，所以1-=-y x 。

为此我们回过头来看开始练习时的题目，《学习与评价》数学七年级下册P80页练习题：已知⎩⎨⎧⋯=+⋯=+②y x ①y x ,82,72，则=+-y x y x ，你们会有快捷的方法吗？
学生从对比中发现了解题的快捷方法，很快就做出了答案，露出高兴的笑容。

教师：很好，那么此题若改为：
变式三：《学习与评价》数学七年级下册P77页练习题2：已知方程组⎩
⎨⎧⋯+=⋯=-②y x ①y x ,12,112，求y x += ，y x -= 。

同学们准备怎样去解？ 学生10：用代入法。

学生11：用加减法。

此时教师并没有得到想要的答案。

在大家沉思中，有一学生突然跳起来：
学生12：将二元一次方程组变形，得⎩⎨⎧⋯=-⋯=-④y x ③
y x ,12,112，
由③＋④得1233=-y x ，即4=-y x
由③－④得10=+y x ，
学生继续完成课堂练习……
分析与讨论
1、遵循学生年龄心理特征，通过一题多解复习了代入法和加减法两种基本消元方法让学生在对比、讨论、运用中学会合理选用消元方法。

学生解题的技巧是建立在已经熟悉掌握基础知识的基础上的，在具体题目中，要善于观察方程组中两个式子的特点，选择最佳的解
决途径，平时的授课过程中，教师在立足基础知识点的基础上，深挖教材，将数学原理和思想渗透到题目的讲解中。

2、解二元一次方程组是用代入消元法好，还是用加减消元法好？原则上是哪种方法都可以得出它的解，但根据题目形式的特点，选择适宜的方法可以减少运算量，加快速度，使解答过程简捷，提高正确率。

3、解题方法应由学生自己去探索、发现，只有自己探索出来的，才是属于自己的，印象也就最深刻。

本课设计没有直接告诉学生代入法、加减法解题的哪一种方法好。

而是通过引导学生观察不同方程组的结构特点，比较不同解法的优劣，自己探索发现解题的技巧。

这样使学生在积极参与的学习中不仅能感受到学习的乐趣，更重要的是在这种积极求索中，品尝到了成功的喜悦，促使其能力得到充分的发挥、提高。

评析
1、能真正把课堂还给了学生，使学生真正地变为课堂学习的主人，老师只是学生学习的引导者和组织者。

由于学生的个体差异，思维方式的不同，为了给学生创造个性化的学习空间，鼓励学生们用自己的方式去学习，把学习的主动权还给他们，让他们自己去探究不同的解题方法。

通过习题分析、启发提问、集体讨论等形式，使学生能准确而迅速地确定解题方法，从而突出了本节课的重点、难点——选择适当方法求解二元一次方程组。

2、消元思想体现了数学学习中“化未知为已知”的化归思想方法，它是极重要的数学思想方法。

因此要及时安排反思，加强化归思想的总结和提炼，这对于提高学生的能力，发展学生的思维极有好处。

3、习题课应该怎样上？案例以学生对一道方程组的多种解法为主要线索，是把原有的知识作一些系统的回顾，把一些重要的方法、技能和常见的题型作简单的重复就可以，使学生的知识和技能在不知不觉中得到了巩固和提升，起到了传统习题课达到意想不到的效果。

4、思维发散，是培养创新思维的基础，透彻理解一个题，胜过盲目的多个演练题，本课设计采用变式教学，充分利用一道习题，由浅入深，不断地注入新元素，不时地给学生以新鲜感，避免了频繁地更换例题带给学生的枯燥与疲惫感，并且使整堂课节奏紧凑，一气呵成。

5、当然，案例中提出解法的学生是成绩优秀的，给出了多种多样的解法，但其他同学是否理解这些解法呢？如何做到因材施教，使不同的学生都得到提高呢？使新理念得以全面落实，也是我们值得深入思考并迫切需要解决的问题。

何灿辉。