2第二章：正投影法基础

• 如图所示，已切圆 锥体的三面投影以 及圆锥面上一点A 的正面投影a‘，求 作它的水平投影a 和侧面投影a”。 • 解１ • 解２
• 3、圆球体 • 球是由球面围成的。球面可看作是圆(母线) 绕其作为轴线的直径旋转180度而成。 球的投影特点： 圆球体的三个投影都是直径相等的圆。如图 所示，正面投影是平行于v面的圆素线的投影，该 素线的水平投影和圆球的水平投影的横向中心线 重合，侧面投影和圆球的侧面投影的竖向中心线 重合。 • 圆球的水平投影的轮廓线是平行于H面的圆 素线的投影。 • 圆球的侧面投影轮廓线是平行于w面的圆的 素线的投影。 • 例１ 例２
• 直线与平面、平面与平面的相对位置，除 了直线位于平面上或两平面位于同一平面 上的特例外，只可能是平行或相交。垂直 是相交中的一个特例。 • 一、平行 • 二、相交 • 三、垂直
• 一、平行 • 1、特殊情况 A、当平面为投影面的垂直面时，只要直线的 投影与平面的具有积聚性的投影平行时，或直线 也为该投影面的垂直线，则直线与平面必定平行。 B、当两平面同为某一投影面的垂直面，只要 它们的积聚投影平行，则两面必定平行。
• 一般位置平面 当平面与三个投影面均倾斜时，称为一般位置 ∆ABC 平面，如图。图中用∆ABC来表示平面，投影因 得到三个三角形的投影，均为封闭线框，与 ∆ABC类似，但不反映∆ABC的实形，面积均比 ∆ABC小。一般位置平面的投影特性是：三个投 影仍是平面图形，与空间平面图形类似，且面积 缩小。
2.3.2 曲面立体的投影
• 曲面立体由曲面或曲面和平面所围成，工 程上常用的曲面立体(如图)有圆锥、圆柱、 圆球 • １、圆柱 • ２、圆锥 • ３、圆球
圆柱 圆柱面可以看作直线绕与它平行的轴线旋转而成。 该直线称为“母线”，它的任何位置称为“素线” • 1．圆柱体的投影特点 如图所示，圆柱的轴线是一条铅垂线，则圆 柱面上所有直素线都是铅垂线：圆柱面的水平投 影为一圆周，有积聚性，这个圆周上的任意点， 是圆柱面上相应位置素线的水平投影： 圆柱正面投影中左、右两轮廊线是圆柱面上最左、 最右素线的投影。它们把圆柱面分为前后两半， 前半可见，而后半不可见，是可见和不对见的分 界线。 • 例１ • 例２
2.2.2.1、直线上点的投影
直线上的点的投 影特性为： (1) 从属性：点在 直线上，其投影 在直线的同面投 影上，且符合点 的投影规律； (2)定比性：点分 线段之比，在投 影后保持不变；
2.2.2.2 直线对投影面的相对位置
• 位于三面体系中的直线，相对于投影面有 三种不同的位置： • (1) 一般位置直线； • (2) 投影面平行线； • (3) 投影面垂直线； • 后两种统称为特殊位置直线。
投射方向(即投射线的方向)垂直于投影面 的是正投影法。如图a： 投射方向倾斜于投影面的是斜投影法。如图b：
2.1.3 正投影法的投影特点
• 1、实形性：与投影面平行的平面（直线）， 其投影反映实形（长）； • 2、积聚性：与投影面垂直的平面（直线）， 其投影成为一直线（一点）； • 3、类似性：与投影面倾斜的平面（直线）， 其投影成为缩小的类似形（比实长短）；
• 结论： • 一般位置线与一般位置平面相垂直的 投影特性： • 直线的正面投影垂直于这个平面上的正平 线的正面投影； • 直线的水平投影垂直于这个平面上的水平 线的水平投影； • 直线的侧面投影垂直于这个平面上的侧平 线的侧面投影。
2.3 基本立体
• 立体根据表面性质的不同：平面立体、曲 面。 • 表面均为平面的立体叫做 平面立体；
2.2.3、立体上平面的投影
• 2.2.3.1、平面的表示法 • 2.2.3.2、平面对投影面的相对位置
2.2.3.1、平面的表示法
• 平面常用确定该平面的点、直线或平面图 形等几何元素的投影表示。 • 符合“长对正、高平齐、宽相等”
2.2.3.2、平面对投影面的相对位置
• 位于三面体系中的平面，相对于投影面有 三种不同位置； • (1)一般位置平面； • (2)投影面垂直面； • (3)投影面平行面。 • 后两种统称为特殊位置平面。
投影三要素：
• 光源 被投影物 投影平面
2.1.2 投影法的分类
• 根据投射线的类型（汇交或平行），分为： 1. 中心投影法 2. 平行投影法
• 投射线都从投影中心出发的投影法称为中 心投影法。如图
•
中心投影法主要用于绘制建筑物或产品 的立体图，也称透视图。
• 若投影中心移到无穷远处，投射线相互平 行。称平行投影法，所得投影称平行投影。 • 平行投影法又分为正投影法和斜投影法；
• 2．一般情况 A、当面外一直线与面内一直线对应平行，则 面外直线必定平行这个平面。 B、当一平面内有相交两直线，对应平行另一 平面内的相交两直线，则这两个平面对应平行。 • 上述几何条件可用来解决画法几何中直线平行平 面、平面平行平面的问题。
• 二、相交 • 1．特殊情况 直线与平面相交，必产止一个交点，该点是直线与平面 的共有点。 如图a，当处于一般位置的直线与垂直于投影面的平面相 交时，平面有积聚性的投影与直线的同面投影的交点，就 是所求共有点的一个投影。另一投影可利用其所属特性， 在直线的另一投影上直接找出，如图b • 2．一般情况 一般位置直线与一般位置平面相交，由于没有投影积 聚，不能直接在投影图中作出，前面已介绍特殊面与一般 面的交线求法，现可以通过一般线作一个投影面的垂直面 为辅助平面，先求出特殊面(辅助平面)与一般面的交线， 再求出 一般线与该交线的交点(两线共面如不平行必相交)， 这个交点就是一般线与一般面的共有点。 • 例１
投影面的垂直线 • 当直线垂直一个投影面时(必定同时平行另 两个投影面)，称为投影面的垂直线。表中 三种投影面的垂直线的直观图、投影图和 投影特性。
2.2.2.4、直线投影的几个特性
• 1、直线的投影一般仍为直线，特殊时积聚 一点； • 2、直线的点，其投影在直线上，且点分线 段长度之比等于其投影长度之比； • 3、平行直线的同面投影一般仍然平行 简称为线性、从属性、平行性三个不变 投影特性
• 表面均为曲面或者既有曲面又有平面的立体叫做曲面立体。
• 2.3.1 平面立体的投影 • 2.3.2 曲面立体的投影
• 平面立体 由若干个平面围成的立体： 这些 平面又是由直线所围成，所以画平面立体 的投影图，可归结为绘制组成平面立体的 所有多边形平面的投影，也就是绘制这些 多边形的边和顶点的投影。
投影面垂直面 • 当平面仅与一个投影面垂直(与另两个投影 面均倾斜)时，称为投影面的垂直面。表列 出三种投影面的垂直面的直观图、投影图 和投影特性。
• 投影面平行面 平行于投影面的平面称为投影面平行面。 表列出：三种投影面的平行面的直观图、 投影图和投影特性。
2.2.4、直线与平面、平面与平面的 相对位置
2.1.4 物体的三面投影图
• 投影体系：
如图所示，由空间点A 向平面P作正投射，得 唯一的投影a。反之， 若已知点A的投影a，就 不能唯一确定点A的空 间位置。 因此，常把几何形体放在相互垂直的两个或三个 投影面之间，并在这些投影面上形成多面投影。
• 如图设立互相垂直的正立投影面V(简称正面)和水 平投影面H(简称水平面)，组成两投影面体系，将 空间划分为四个角：第一角、第二角、第三角和 第四角。
• 通过平面立体表面上点的作法，就能解决平面立 体表面上的线、截交线(平面与立体表面的交线)、 相贯线(两立体的表面交线)等作图问题。
• １、正六棱柱 • ２、正三棱锥
• 正六棱柱的投影特点：
图是一个正六棱柱的立体图和投影图：其上、下底 面都是水平面，上、下底面的水平投影重合并反映实形，正 面投影和侧面投影积聚成平行于相应投影轴的直线、六棱柱 有六个侧棱面，前、后两个棱面为正平面。
• 三、垂直 • 1．特殊情况 如图，当直线垂直于投影面垂直面时，直线—定平行 于该平面所垂直的投影面，在该投影面上，直线的投影垂 直于平面的有积聚性的同面投影。 如图，当两平面均为投影面的垂直面时，若这两平面垂直， 则它们的有积聚性的同面投影必定互相垂直。 • 2．一般情况 当直线和平面均为一般位置时，判断它们是否垂直的 几何条件是：该直线垂直于这个平面上的任意两条相交直 线，则直线垂直于平面。 • 例１ • 例２ • 结论
第二章
• 2.1 正投影法
正投影法基础
• 2.2 立体上的点、直线和平面的投影 • 2.3 基本立体
2.1 正投影法
• 2.1.1 投影法和投影 • 2.1.2 投影法的分类 • 2.1.3 正投影法的投影特点 • 2.1.4 物体的三面投影图
投影法
•将投影线 通过 物体 向 选定平面 投射，并在该平 面上得到图形的方法称为投影法。所得的图形称 为投影，选定的平面称为投影面。
• 2、圆锥 圆锥由圆锥面、底面所围成。圆锥面可以看 作直线(母线)绕与它相交的轴线旋转而成。 圆锥的投影特点： 如图所示，当圆锥的轴线是铅垂线时，底面 的正面投影、侧面投影分别积聚成直线，水平投 影反映它的实形。 • 轴线的正面投影和侧面投影用点划线画出： 在水平投影中，点划线画出的对称中心线的交点， 既是轴线的水平投影，也是锥顶S的水平投影s, 锥面的正面投影的轮廓线s‘a’、s‘b’是锥面上左、 最右素线的投影，是圆锥表面正面投影可见不可 见的分界线。它们是正平线，表达了锥面素线的 实长。 • 例1
• 它的正面投影重合并反映实形，水平投影和侧面投 影积聚成一条直线，其余四个棱面都是铅垂面，其 水平投影分别积聚成倾斜直线，正面投影和侧面投 影都是缩小的类似形，将其上、下底面及六个侧棱 面的投影画出后即得到正六棱柱的三面投影。 • 例1 • 例2
• 棱锥的投影特点 图为三棱锥的投影图。共底面是水平面，其水平投影反映 实形，正面投影和侧面投影积聚成平行相应投影轴的直线， 其余三个棱面都是一般位置平面，它们的交线为三棱锥的 棱线。所有投影的轮廓线都是可见的，三个棱面的水平投 影均可见，ＳＡＣ棱面和ＳＢＣ棱面的正面投影不可见， ＳＡＢ与ＳＢＣ棱面的侧面投影不可见。画三棱锥的投影 图时，可以先画底面三角形的三个投影，再画出锥顶的三 个投影。然后将锥顶和底面对应三个顶点的投影连接起来， 即得到三棱锥的投影。 • 例１ • 例2 • 例3
2.2.2、立体上直线的投影
• 2.2.2.1 概述 • 2.2.2.2、直线上点的投影 • 2.2.2.3、直线对投影面的相对位置
• 2.2.2.4、直线投影的几个特性
2.2.2.1 概述
• 空间两点决定一直线，两点的同面投影连线即为 直线的投影。如图,A、B两点的投影分别为a、b， 直线段AB的投影即为a、b连线ab。若AB与H投影 面的倾角为α时，则ab＝Abcosα，a、b连线长度 小于空间直线段AB。只有当直线与投影面的倾角 为0°或90°时，直线的投影反映了两种特殊情 况： • 1、 是ab＝AB，即直线平行于投影面，其投影反 映实长； • 2、 是C、D重合在一点，即直线垂直于投影面 (直线与投射线平行)，其投影积聚为一点。
一般位置直线（如图）的投影特性为： • (1) —般位置直线的三个投影都倾斜于投影 轴； • (2) 一般位置直线的三个投影长度均小于线 段的实长 • (3) 投影与投影轴的夹角不反映直线仅平行于某一投影面时(与另两投影 ( 面倾斜)，称为投影面的平行线。表中三种 投影面平行线的直观图、投影团和投影特 性。
• 2.2.1、立体上点的投影 • 2.2.2、立体上直线的投影 • 2.2.3、立体上平面的投影 • 2.2.4、直线与平面、平面与平面的相对位置
2.2.1、立体上点的投影
由图可概括点的 三面投影特性：
a yh
(1)点的投影连线垂直于投影轴，即a a'⊥ox， a'a" ⊥ OZ， a yh a”⊥ h, a yw a”⊥OYw ,oa yh = oa yw o (2)点的投影到投影轴的距离，反映点的坐标
• v面和H面交于投影轴(投影面的文线)0X。 再设立一个与V面、H面都垂直的侧立投影 面W(简称侧面)，组成三投影面体系，将空 间划分为八个角。每两个投影面的交线， 形成OX、OY、OZ三根投影轴，且互相垂 直。无论是二面体系、三面体系，将着重 讲述第一角中的几何形体的投影。
2.2 立体上的点、直线和平面的投影