2020届高考数学一轮复习学霸提分秘籍专题6.3 平面向量的数量积及其应用(解析版)

第六篇 平面向量与复数 专题6.03 平面向量的数量积及其应用
【考试要求】
1.理解平面向量数量积的含义及其物理意义；
2.了解平面向量的数量积与向量投影的关系；
3.掌握数量积的坐标表达式，会进行平面向量数量积的运算；
4.能运用数量积表示两个向量的夹角，会用数量积判断两个平面向量的垂直关系；
5.会用向量的方法解决某些简单的平面几何问题. 【知识梳理】
1.平面向量数量积的有关概念
(1)向量的夹角：已知两个非零向量a 和b ，记OA →＝a ，OB →
＝b ，则∠AOB ＝θ(0°≤θ≤180°)叫做向量a 与b 的夹角.
(2)数量积的定义：已知两个非零向量a 与b ，它们的夹角为θ，则a 与b 的数量积(或内积)a ·b ＝|a ||b |cos__θ.规定：零向量与任一向量的数量积为0，即0·a ＝0.
(3)数量积的几何意义：数量积a ·b 等于a 的长度|a |与b 在a 的方向上的投影|b |cos θ的乘积. 2.平面向量数量积的性质及其坐标表示
设向量a ＝(x 1，y 1)，b ＝(x 2，y 2)，θ为向量a ，b 的夹角. (1)数量积：a ·b ＝|a ||b |cos θ＝x 1x 2＋y 1y 2.
(2)模：|a |＝a ·a ＝x 21＋y 21.
(3)夹角：cos θ＝a ·b |a ||b |＝x 1x 2＋y 1y 2x 21＋y 21·x 22＋y 22
. (4)两非零向量a ⊥b 的充要条件：a·b ＝0⇔x 1x 2＋y 1y 2＝0.
(5)|a·b|≤|a||b|(当且仅当a ∥b 时等号成立)⇔|x 1x 2＋y 1y 2
. 3.平面向量数量积的运算律
(1)a ·b ＝b ·a (交换律).
(2)λa ·b ＝λ(a ·b )＝a ·(λb )(结合律). (3)(a ＋b )·c ＝a ·c ＋b ·c (分配律).
【微点提醒】
1.两个向量a ，b 的夹角为锐角⇔a·b>0且a ，b 不共线；两个向量a ，b 的夹角为钝角⇔a·b<0且a ，b 不共线.
2.平面向量数量积运算的常用公式 (1)(a ＋b )·(a －b )＝a 2－b 2. (2)(a ＋b )2＝a 2＋2a ·b ＋b 2. (3)(a －b )2＝a 2－2a ·b ＋b 2. 【疑误辨析】
1.判断下列结论正误(在括号内打“√”或“×”) (1)两个向量的夹角的范围是⎣⎡⎦
⎤0，π
2.( ) (2)向量在另一个向量方向上的投影为数量，而不是向量.( )
(3)两个向量的数量积是一个实数，向量的加、减、数乘运算的运算结果是向量.( ) (4)若a ·b ＝a ·c (a ≠0)，则b ＝c .( ) 【答案】 (1)× (2)√ (3)√ (4)× 【解析】 (1)两个向量夹角的范围是[0，π].
(4)由a ·b ＝a ·c (a ≠0)得|a ||b |·cos 〈a ，b 〉＝|a ||c |·cos 〈a ，c 〉，所以向量b 和c 不一定相等. 【教材衍化】
2.(必修4P108A10改编)设a ，b 是非零向量.“a ·b ＝|a ||b |”是“a ∥b ”的( ) A.充分而不必要条件 B.必要而不充分条件 C.充分必要条件
D.既不充分也不必要条件
【答案】 A
【解析】 设a 与b 的夹角为θ.因为a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝|a |·|b |，所以cos θ＝1，即a 与b 的夹角为0°，故a ∥b .
当a ∥b 时，a 与b 的夹角为0°或180°， 所以a ·b ＝|a |·|b |cos θ＝±|a |·|b |，
所以“a ·b ＝|a |·|b |”是“a ∥b ”的充分而不必要条件.
3.(必修4P108A2改编)在圆O 中，长度为2的弦AB 不经过圆心，则AO →·AB →的值为________. 【答案】 1
【解析】 设向量AO →，AB →的夹角为θ，则AO →·AB →＝|AO →||AB →|·cos θ＝|AO →|cos θ·|AB →|＝12|AB →|·|AB
→|＝1
2×(2)2＝1. 【真题体验】
4.(2018·全国Ⅱ卷)已知向量a ，b 满足|a |＝1，a ·b ＝－1，则a ·(2a －b )＝( ) A.4 B.3
C.2
D.0
【答案】 B
【解析】 a ·(2a －b )＝2|a |2－a ·b ＝2×12－(－1)＝3.
5.(2018·上海嘉定区调研)平面向量a 与b 的夹角为45°，a ＝(1，1)，|b |＝2，则|3a ＋b |等于( ) A.13＋6 2 B.2 5 C.30
D.34
【答案】 D
【解析】 依题意得a 2＝2，a ·b ＝2×2×cos 45°＝2，|3a ＋b |＝（3a ＋b ）2＝
9a 2＋6a ·b ＋b 2＝
18＋12＋4＝34.
6.(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ＝(－1，2)，b ＝(m ，1).若向量a ＋b 与a 垂直，则m ＝________. 【答案】 7
【解析】 由题意得a ＋b ＝(m －1，3)，
因为a ＋b 与a 垂直，所以(a ＋b )·a ＝0，所以－(m －1)＋2×3＝0，解得m ＝7. 【考点聚焦】
考点一 平面向量数量积的运算
【例1】 (1)若向量m ＝(2k －1，k )与向量n ＝(4，1)共线，则m ·n ＝( ) A.0
B.4
C.－9
2
D.－172
(2)(2018·天津卷)在如图的平面图形中，已知OM ＝1，ON ＝2，∠MON ＝120°，BM →＝2MA →
，
CN →＝2NA →，则BC →·OM →的值为( )
A.－15
B.－9
C.－6
D.0
【答案】 (1)D (2)C
【解析】 (1)由题意得2k －1－4k ＝0，解得k ＝－12，
即m ＝⎝
⎛⎭⎫－2，－1
2， 所以m ·n ＝－2×4＋⎝⎛⎭⎫－12×1＝－17
2
. (2)连接OA .在△ABC 中，BC →＝AC →－AB →＝3AN →－3AM →＝3(ON →－OA →)－3(OM →－OA →)＝3(ON →
－OM →)，∴BC →·OM →＝3(ON →－OM →)·OM →＝3(ON →·OM →－OM →2)＝3×(2×1×cos 120°－12)＝3×(－2)＝－6.
【规律方法】 1.数量积公式a ·b ＝|a ||b |cos θ在解题中的运用，解题过程具有一定的技巧性，需要借助向量加、减法的运算及其几何意义进行适当变形；也可建立平面直角坐标系，借助数量积的坐标运算公式a ·b ＝x 1x 2＋y 1y 2求解，较为简捷、明了.
2.在分析两向量的夹角时，必须使两个向量的起点重合，如果起点不重合，可通过“平移”实现.
【训练1】 (1)在△ABC 中，AB ＝4，BC ＝6，∠ABC ＝π
2，D 是AC 的中点，E 在BC 上，且
AE ⊥BD ，则AE →·BC →
等于( ) A.16
B.12
C.8
D.－4
(2)(2019·皖南八校三模)已知|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°，则(a ＋2b )·a ＝________. 【答案】 (1)A (2)1＋ 2
【解析】 (1)以B 为原点，BA ，BC 所在直线分别为x ，y 轴建立平面直角坐标系(图略)，A (4，0)，B (0，0)，C (0，6)，D (2，3).设E (0，t )，BD →·AE →＝(2，3)·(－4，t )＝－8＋3t ＝0，∴t
＝8
3
，即E ⎝⎛⎭⎫0，83， AE →·BC →＝⎝⎛
⎭⎫－4，83·
(0，6)＝16. (2)因为|a |＝|b |＝1，向量a 与b 的夹角为45°， 所以(a ＋2b )·a ＝a 2＋2a ·b ＝|a |2＋2|a |·|b |cos 45°＝1＋ 2. 考点二 平面向量数量积的应用 角度1 平面向量的垂直
【例2－1】 (1)(2018·北京卷)设向量a ＝(1，0)，b ＝(－1，m ).若a ⊥(m a －b )，则m ＝________. (2)(2019·宜昌二模)已知△ABC 中，∠A ＝120°，且AB ＝3，AC ＝4，若AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →
，则实数λ的值为( ) A.2215
B.103
C.6
D.127
【答案】 (1)－1 (2)A
【解析】 (1)a ＝(1，0)，b ＝(－1，m )，∴a 2＝1，a ·b ＝－1， 由a ⊥(m a －b )得a ·(m a －b )＝0，即m a 2－a ·b ＝0. ∴m －(－1)＝0，∴m ＝－1. (2)因为AP →＝λAB →＋AC →，且AP →⊥BC →，
所以有AP →·BC →＝(λAB →＋AC →)·(AC →－AB →)＝λAB →·AC →－λAB →2＋AC →2－AB →·AC →＝(λ－1)AB →·AC →－λAB →
2＋AC →
2＝0，
整理可得(λ－1)×3×4×cos 120°－9λ＋16＝0， 解得λ＝2215.
【规律方法】
1.当向量a ，b 是非坐标形式时，要把a ，b 用已知的不共线向量作为基底来表示且不共线的向量要知道其模与夹角，从而进行运算.
2.数量积的运算a·b ＝0⇔a ⊥b 中，是对非零向量而言的，若a ＝0，虽然有a·b ＝0，但不能说
a ⊥b.
角度2 平面向量的模
【例2－2】 (1)已知平面向量α，β，|α|＝1，|β|＝2，α⊥(α－2β)，则|2α＋β|的值是________. (2)(2019·杭州调研)已知直角梯形ABCD 中，AD ∥BC ，∠ADC ＝90°，AD ＝2，BC ＝1，P 是腰DC 上的动点，则|PA →＋3PB →
|的最小值为________. 【答案】 (1)10 (2)5
【解析】 (1)由α⊥(α－2β)得α·(α－2β)＝α2－2α·β＝0， 所以α·β＝12
，
所以(2α＋β)2＝4α2＋β2＋4α·β＝4×12＋22＋4×1
2＝10，
所以|2α＋β|＝10.
(2)建立平面直角坐标系如图所示，则A (2，0)，
设P (0，y )，C (0，b )，则B (1，b ).
所以PA →＋3PB →
＝(2，－y )＋3(1，b －y )＝(5，3b －4y )， 所以|PA →＋3PB →|＝
25＋（3b －4y ）2(0≤y ≤b )，
所以当y ＝34b 时，|PA →＋3PB →
|取得最小值5.
【规律方法】
1.求向量的模的方法：(1)公式法，利用|a |＝a ·a 及(a ±b )2＝|a |2±2a ·b ＋|b |2，把向量的模的运算转化为数量积运算；(2)几何法，利用向量的几何意义.
2.求向量模的最值(范围)的方法：(1)代数法，把所求的模表示成某个变量的函数，再用求最值的方法求解；(2)几何法(数形结合法)，弄清所求的模表示的几何意义，结合动点表示的图
形求解.
角度3 平面向量的夹角
【例2－3】 (1)(2019·衡水中学调研)已知非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝23
3
|a |，则向量a ＋b 与a －b 的夹角为________.
(2)若向量a ＝(k ，3)，b ＝(1，4)，c ＝(2，1)，已知2a －3b 与c 的夹角为钝角，则k 的取值范围是________.
【答案】 (1)π
3
(2)⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－92，3 【解析】 (1)将|a ＋b |＝|a －b |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝a 2＋b 2－2a ·b ，∴a ·b ＝0. 将|a ＋b |＝233|a |两边平方，得a 2＋b 2＋2a ·b ＝4
3a 2，
∴b 2＝1
3
a 2.
设a ＋b 与a －b 的夹角为θ，
∴cos θ＝（a ＋b ）·（a －b ）|a ＋b |·|a －b |
＝a 2
－b 2
233|a |·233
|a |＝23a 243a 2＝1
2.
又∵θ∈[0，π]，∴θ＝π
3.
(2)∵2a －3b 与c 的夹角为钝角， ∴(2a －3b )·c <0，
即(2k －3，－6)·(2，1)<0，解得k ＜3. 又若(2a －3b )∥c ，
则2k －3＝－12，即k ＝－92
.
当k ＝－9
2时，2a －3b ＝(－12，－6)＝－6c ，
此时2a －3b 与c 反向，不合题意.
综上，k 的取值范围为⎝⎛⎭⎫－∞，－92∪⎝⎛⎭⎫－9
2，3. 【规律方法】
1.研究向量的夹角应注意“共起点”；两个非零共线向量的夹角可能是0或π；注意向量夹角的取值范围是[0，π]；若题目给出向量的坐标表示，可直接套用公式cos θ＝
x 1x 2＋y 1y 2
x 21＋y 2
1·
x 2
2＋y 22
求解.
2.数量积大于0说明不共线的两向量的夹角为锐角，数量积等于0说明不共线的两向量的夹角为直角，数量积小于0且两向量不共线时两向量的夹角为钝角.
【训练2】 (1)已知向量a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )，且a ⊥b ，则m ＝________.
(2)(一题多解)(2017·全国Ⅰ卷)已知向量a ，b 的夹角为60°，|a |＝2，|b |＝1，则|a ＋2b |＝________.
(3)(2017·山东卷)已知e 1，e 2是互相垂直的单位向量，若3e 1－e 2与e 1＋λe 2的夹角为60°，则实数λ的值是________. 【答案】 (1)2 (2)23 (3)
3
3
【解析】 (1)由a ⊥b ，得a ·b ＝0， 又a ＝(－2，3)，b ＝(3，m )， ∴－6＋3m ＝0，则m ＝2. (2)法一 |a ＋2b |＝（a ＋2b ）2＝
a 2＋4a ·
b ＋4b 2
＝
22＋4×2×1×cos 60°＋4×12＝12＝2 3.
法二 (数形结合法)
由|a |＝|2b |＝2知，以a 与2b 为邻边可作出边长为2的菱形OACB ，如图，则|a ＋2b |＝|OC →|.
又∠AOB ＝60°，所以|a ＋2b |＝2 3. (3)由题意知|e 1|＝|e 2|＝1，e 1·e 2＝0，
|3e 1－e 2|＝
（3e 1－e 2）2＝3e 21－23e 1·e 2＋e 22＝
3－0＋1＝2.
同理|e 1＋λe 2|＝
1＋λ2.
所以cos 60°＝（3e 1－e 2）·（e 1＋λe 2）
|3e 1－e 2||e 1＋λe 2|
＝
3e 21＋（3λ－1）e 1·
e 2－λe 2
221＋λ2
＝3－λ
2
1＋λ2
＝12
， 解得λ＝
3
3
. 考点三 平面向量与三角函数
【例3】 (2019·潍坊摸底)在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，向量m ＝(cos(A －B )，sin(A －B ))，n ＝(cos B ，－sin B )，且m ·n ＝－35.
(1)求sin A 的值；
(2)若a ＝42，b ＝5，求角B 的大小及向量BA →在BC →
方向上的投影. 【答案】见解析
【解析】(1)由m ·n ＝－3
5
，
得cos(A －B )cos B －sin(A －B )sin B ＝－3
5，
所以cos A ＝－3
5.因为0<A <π，
所以sin A ＝1－cos 2A ＝
1－⎝⎛⎭⎫－352
＝45
. (2)由正弦定理，得a sin A ＝b
sin B ，
则sin B ＝b sin A a ＝5×4542＝2
2
，
因为a >b ，所以A >B ，且B 是△ABC 一内角，则B ＝π
4.
由余弦定理得(42)2＝52＋c 2－2×5c ×⎝⎛⎭⎫－35， 解得c ＝1，c ＝－7舍去，
故向量BA →在BC →方向上的投影为|BA →
|cos B ＝c cos B ＝1×22＝22
.
【规律方法】 平面向量与三角函数的综合问题的解题思路：
(1)题目条件给出向量的坐标中含有三角函数的形式，运用向量共线或垂直或等式成立等，得到三角函数的关系式，然后求解.
(2)给出用三角函数表示的向量坐标，要求的是向量的模或者其他向量的表达形式，解题思路是经过向量的运算，利用三角函数在定义域内的有界性，求得值域等.
【训练3】 (2019·石家庄模拟)已知A ，B ，C 分别为△ABC 的三边a ，b ，c 所对的角，向量m ＝(sin A ，sin B )，n ＝(cos B ，cos A )，且m ·n ＝sin 2C . (1)求角C 的大小；
(2)若sin A ，sin C ，sin B 成等差数列，且CA →·(AB →－AC →)＝18，求边c 的长. 【答案】见解析
【解析】(1)由已知得m ·n ＝sin A cos B ＋cos A sin B ＝sin(A ＋B )， 因为A ＋B ＋C ＝π，
所以sin(A ＋B )＝sin(π－C )＝sin C ， 所以m ·n ＝sin C ，又m ·n ＝sin 2C ， 所以sin 2C ＝sin C ，所以cos C ＝12.
又0<C <π，所以C ＝π
3
.
(2)由已知及正弦定理得2c ＝a ＋b . 因为CA →·(AB →－AC →)＝CA →·CB →＝18， 所以ab cos C ＝18，所以ab ＝36.
由余弦定理得c 2＝a 2＋b 2－2ab cos C ＝(a ＋b )2－3ab 所以c 2＝4c 2－3×36， 所以c 2＝36，所以c ＝6. 【反思与感悟】
1.计算向量数量积的三种方法
定义、坐标运算、数量积的几何意义，要灵活运用，与图形有关的不要忽略数量积几何意义
的应用.
2.求向量模的常用方法
利用公式|a |2＝a 2，将模的运算转化为向量的数量积的运算.
3.利用向量垂直或平行的条件构造方程或函数是求参数或最值问题常用的方法与技巧. 【易错防范】
数量积运算律要准确理解、应用，例如，a ·b ＝a ·c (a ≠0)不能得出b ＝c ，两边不能约去一个向量.数量积运算不满足结合律，(a ·b )·c 不一定等于a ·(b ·c ). 【核心素养提升】
【数学运算、数学建模】——平面向量与三角形的“四心”
1.数学运算是指在明晰运算的基础上，依据运算法则解决数学问题的素养.通过学习平面向量与三角形的“四心”，学生能进一步发展数学运算能力，形成规范化思考问题的品质，养成一丝不苟、严谨求实的科学精神.
2.数学建模要求在熟悉的情境中，发现问题并转化为数学问题，能够在关联的情境中，经历数学建模的过程，理解数学建模的意义.本系列通过学习平面向量与三角形的“四心”模型，能够培养学生用模型的思想解决相关问题.
设O 为△ABC 所在平面上一点，内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，则 (1)O 为△ABC 的外心⇔|OA →|＝|OB →|＝|OC →|＝a
2sin A
. (2)O 为△ABC 的重心⇔OA →＋OB →＋OC →＝0. (3)O 为△ABC 的垂心⇔OA →·OB →＝OB →·OC →＝OC →·OA →. (4)O 为△ABC 的内心⇔aOA →＋bOB →＋cOC →＝0. 类型1 平面向量与三角形的“重心”
【例1】 已知A ，B ，C 是平面上不共线的三点，O 为坐标原点，动点P 满足OP →＝13[(1－λ)OA
→＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)·OC →
]，λ∈R ，则点P 的轨迹一定经过( ) A.△ABC 的内心 B.△ABC 的垂心 C.△ABC 的重心
D.AB 边的中点 【答案】 C
【解析】 取AB 的中点D ，则2OD →＝OA →＋OB →
， ∵OP →＝13[(1－λ)OA →＋(1－λ)OB →＋(1＋2λ)OC →]，
∴OP →＝13[2(1－λ)OD →＋(1＋2λ)OC →]
＝2（1－λ）3OD →＋1＋2λ3
OC →，
而2（1－λ）3＋1＋2λ3＝1，∴P ，C ，D 三点共线，
∴点P 的轨迹一定经过△ABC 的重心. 类型2 平面向量与三角形的“内心”问题
【例2】 在△ABC 中，AB ＝5，AC ＝6，cos A ＝15，O 是△ABC 的内心，若OP →＝xOB →＋yOC →，
其中x ，y ∈[0，1]，则动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为( ) A.1063
B.1463
C.4 3
D.6 2
【答案】 B
【解析】 根据向量加法的平行四边形法则可知，动点P 的轨迹是以OB ，OC 为邻边的平行四边形及其内部，其面积为△BOC 的面积的2倍.
在△ABC 中，设内角A ，B ，C 所对的边分别为a ，b ，c ，由余弦定理a 2＝b 2＋c 2－2bc cos A ，得a ＝7.
设△ABC 的内切圆的半径为r ，则 12bc sin A ＝12(a ＋b ＋c )r ，解得r ＝263， 所以S △BOC ＝12×a ×r ＝12×7×263＝763
.
故动点P 的轨迹所覆盖图形的面积为2S △BOC ＝146
3.
类型3 平面向量与三角形的“垂心”问题
【例3】 已知O 是平面上的一个定点，A ，B ，C 是平面上不共线的三个点，动点P 满足OP
→
＝OA →
＋λ⎝
⎛⎭
⎪⎫
AB →|AB →|cos B + AC →|AC →
|cos C ，λ∈(0，＋∞)，则动点P 的轨迹一定通过△ABC 的( ) A.重心 B.垂心
C.外心
D.内心
【答案】 B
【解析】 因为OP →＝OA →
＋λ⎝ ⎛⎭
⎪⎫
AB →|AB →|cos B + AC →|AC →
|cos C ， 所以AP →＝OP →－OA →
＝λ⎝
⎛⎭
⎪⎫
AB →|AB →|cos B + AC →|AC →
|cos C ， 所以BC →·AP →＝BC →·λ⎝ ⎛⎭⎪⎫AB
→|AB →|cos B + AC →
|AC →
|cos C ＝λ(－|BC →|＋|BC →
|)＝0，
所以BC →⊥AP →
，所以点P 在BC 的高线上， 即动点P 的轨迹一定通过△ABC 的垂心. 类型4 平面向量与三角形的“外心”问题
【例4】 已知在△ABC 中，AB ＝1，BC ＝6，AC ＝2，点O 为△ABC 的外心，若AO →＝xAB →
＋yAC →
，则有序实数对(x ，y )为( ) A.⎝⎛⎭⎫45，35 B.⎝⎛⎭⎫
35，45 C.⎝⎛⎭⎫－45，35
D.⎝⎛⎭
⎫－35，45 【答案】 A
【解析】 取AB 的中点M 和AC 的中点N ，连接OM ，ON ，则OM →⊥AB →，ON →⊥AC →， OM →＝AM →－AO →＝12AB →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－x AB →－yAC →， ON →＝AN →－AO →＝12AC →－(xAB →＋yAC →)＝⎝⎛⎭⎫12－y AC →－xAB →. 由OM →⊥AB →，得⎝⎛⎭⎫12－x AB →2－yAC →·AB →
＝0，① 由ON →⊥AC →，得⎝⎛⎭⎫12－y AC →2－xAC →·AB →＝0，② 又因为BC →2＝(AC →－AB →)2＝AC →2－2AC →·AB →＋AB →2
，
所以AC →·AB →＝AC →2＋AB →2－BC
→2
2＝－12
，③
把③代入①、②得⎩
⎪⎨⎪⎧1－2x ＋y ＝0，4＋x －8y ＝0，解得x ＝45，y ＝3
5
.
故实数对(x ，y )为⎝⎛⎭⎫
45，35.
【分层训练】【基础巩固题组】(建议用时：40分钟) 一、选择题
1.已知向量a ＝(m －1，1)，b ＝(m ，－2)，则“m ＝2”是“a ⊥b ”的( ) A.充分不必要条件 B.必要不充分条件 C.充要条件
D.既不充分也不必要条件 【答案】 A
【解析】 当m ＝2时，a ＝(1，1)，b ＝(2，－2)， 所以a ·b ＝(1，1)·(2，－2)＝2－2＝0， 所以a ⊥b ，充分性成立；
当a ⊥b 时，a ·b ＝(m －1，1)·(m ，－2)＝m (m －1)－2＝0， 解得m ＝2或m ＝－1，必要性不成立. 所以“m ＝2”是“a ⊥b ”的充分不必要条件.
2.(2019·北京通州区二模)已知非零向量a ，b 的夹角为60°，且|b |＝1，|2a －b |＝1，则|a |＝( ) A.12
B.1
C. 2
D.2
【答案】 A
【解析】 由题意得a ·b ＝|a |×1×12＝|a |
2，
又|2a －b |＝1，
∴|2a －b |2＝4a 2－4a ·b ＋b 2＝4|a |2－2|a |＋1＝1，
即4|a |2－2|a |＝0，又|a |≠0， 解得|a |＝1
2
.
3.(2019·石家庄二模)若两个非零向量a ，b 满足|a ＋b |＝|a －b |＝2|b |，则向量a ＋b 与a 的夹角为( ) A.π3
B.2π3
C.5π6
D.π6
【答案】 D
【解析】 设|b |＝1，则|a ＋b |＝|a －b |＝2. 由|a ＋b |＝|a －b |，得a ·b ＝0，
故以a 、b 为邻边的平行四边形是矩形，且|a |＝3， 设向量a ＋b 与a 的夹角为θ，
则cos θ＝a ·（a ＋b ）|a |·|a ＋b |＝a 2＋a ·b |a |·|a ＋b |＝|a ||a ＋b |＝32，
又0≤θ≤π，所以θ＝π
6
.
4.如图，在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2，若E ，F 分别是边BC ，AB 上的点，且满足BE BC ＝AF AB
＝λ，则当AE →·DF →
＝0时，λ的值所在的区间是( )
A.⎝⎛⎭⎫18，14
B.⎝⎛⎭⎫
14，38 C.⎝⎛⎭⎫38，12
D.⎝⎛⎭⎫12，58
【答案】 B
【解析】 在等腰梯形ABCD 中，AB ＝4，BC ＝CD ＝2， 可得〈AD →，BC →
〉＝60°，
所以〈AB →，AD →〉＝60°，〈AB →，BC →〉＝120°，
所以AB →·AD →
＝4×2×12
＝4，
AB →·BC →＝4×2×⎝⎛⎭⎫－12＝－4，AD →·BC →＝2×2×12＝2， 又
BE BC ＝AF AB
＝λ，所以BE →＝λBC →，AF →＝λAB →
， 则AE →＝AB →＋BE →＝AB →＋λBC →， DF →＝AF →－AD →＝λAB →－AD →， 所以AE →·DF →＝(AB →＋λBC →)·(λAB →－AD →) ＝λAB →2－AB →·AD →＋λ2AB →·BC →－λAD →·BC →＝0，
即2λ2
－7λ＋2＝0，解得λ＝7＋334(舍去)或λ＝7－334
∈⎝⎛⎭⎫14，3
8. 5.(2017·浙江卷)如图，已知平面四边形ABCD ，AB ⊥BC ，AB ＝BC ＝AD ＝2，CD ＝3，AC 与BD 交于点O .记I 1＝OA →·OB →，I 2＝OB →·OC →，I 3＝OC →·OD →
，则( )
A.I 1＜I 2＜I 3
B.I 1＜I 3＜I 2
C.I 3＜I 1＜I 2
D.I 2＜I 1＜I 3
【答案】 C
【解析】 如图所示，四边形ABCE 是正方形，F 为正方形的对角线的交点，易得AO <AF ，而∠AFB ＝90°，∴∠AOB 与∠COD 为钝角，∠AOD 与∠BOC 为锐角，
根据题意，I 1－I 2＝OA →·OB →－OB →·OC →＝OB →·(OA →－OC →)＝OB →·CA →＝|OB →||CA →|·cos ∠AOB <0，∴I 1<I 2，同理I 2>I 3，作AG ⊥BD 于G ，
又AB ＝AD ，∴OB <BG ＝GD <OD ，而OA <AF ＝FC <OC ，∴|OA →||OB →|<|OC →||OD →
|， 而cos ∠AOB ＝cos ∠COD <0，∴OA →·OB →>OC →·OD →
， 即I 1>I 3.∴I 3<I 1<I 2. 二、填空题
6.(2019·杭州二模)在△ABC 中，三个顶点的坐标分别为A (3，t )，B (t ，－1)，C (－3，－1)，若△ABC 是以B 为直角顶点的直角三角形，则t ＝________. 【答案】 3
【解析】 由已知，得BA →·BC →＝0， 则(3－t ，t ＋1)·(－3－t ，0)＝0，
∴(3－t )(－3－t )＝0，解得t ＝3或t ＝－3， 当t ＝－3时，点B 与点C 重合，舍去.故t ＝3.
7.若非零向量a ，b 满足|a |＝3|b |＝|a ＋2b |，则a ，b 夹角θ的余弦值为________. 【答案】 －13
【解析】 |a |＝|a ＋2b |，两边平方得， |a |2＝|a |2＋4|b |2＋4a ·b ＝|a |2＋4|b |2＋4|a ||b |·cos θ. 又|a |＝3|b |，
所以0＝4|b |2＋12|b |2cos θ，得cos θ＝－13
.
8.(2019·佛山二模)在Rt △ABC 中，∠B ＝90°，BC ＝2，AB ＝1，D 为BC 的中点，E 在斜边AC 上，若AE →＝2EC →，则DE →·AC →＝________. 【答案】 13
【解析】 如图，以B 为坐标原点，AB 所在直线为x 轴，BC 所在直线为y 轴，建立平面直角坐标系，则B (0，0)，A (1，0)，C (0，2)，所以AC →
＝(－1，2).
因为D 为BC 的中点，所以D (0，1)， 因为AE →＝2EC →
，所以E ⎝⎛⎭⎫13，43， 所以DE →＝⎝⎛⎭⎫13，13，
所以DE →·AC →＝⎝⎛⎭⎫13，13·(－1，2)＝－13＋23＝13.
三、解答题
9.在平面直角坐标系xOy 中，点A (－1，－2)，B (2，3)，C (－2，－1). (1)求以线段AB ，AC 为邻边的平行四边形两条对角线的长； (2)设实数t 满足(AB →－tOC →)·OC →
＝0，求t 的值. 【答案】见解析
【解析】(1)由题设知AB →＝(3，5)，AC →
＝(－1，1)， 则AB →＋AC →＝(2，6)，AB →－AC →
＝(4，4). 所以|AB →＋AC →|＝210，|AB →－AC →
|＝4 2. 故所求的两条对角线的长分别为42，210.
(2)由题设知：OC →＝(－2，－1)，AB →－tOC →
＝(3＋2t ，5＋t ). 由(AB →－tOC →)·OC →＝0，得 (3＋2t ，5＋t )·(－2，－1)＝0， 从而5t ＝－11，所以t ＝－115
.
10.在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，已知向量a ＝(－1，2)，又点A (8，0)，B (n ，t )，C (k sin θ，t )(0≤θ≤π
2
).
(1)若AB →⊥a ，且|AB →|＝5|OA →|，求向量OB →；
(2)若向量AC →与向量a 共线，当k >4，且t sin θ取最大值4时，求OA →·OC →
.
【答案】见解析
【解析】(1)由题设知AB →
＝(n －8，t )， ∵AB →
⊥a ，∴8－n ＋2t ＝0. 又∵5|OA →|＝|AB →
|，
∴5×64＝(n －8)2＋t 2＝5t 2，得t ＝±8. 当t ＝8时，n ＝24；当t ＝－8时，n ＝－8， ∴OB →＝(24，8)或OB →
＝(－8，－8). (2)由题设知AC →
＝(k sin θ－8，t )， ∵AC →
与a 共线，∴t ＝－2k sin θ＋16， t sin θ＝(－2k sin θ＋16)sin θ ＝－2k (sin θ－4k )2＋32
k .
∵k >4，∴0<4
k
<1，
∴当sin θ＝4k 时，t sin θ取得最大值32
k .
由32
k ＝4，得k ＝8， 此时θ＝π6，OC →
＝(4，8)，
∴OA →·OC →＝(8，0)·(4，8)＝32. 【能力提升题组】(建议用时：20分钟)
11.在△ABC 中，∠C ＝90°，AB ＝6，点P 满足CP ＝2，则PA →·PB →的最大值为( ) A.9 B.16
C.18
D.25
【答案】 B
【解析】 ∵∠C ＝90°，AB ＝6，
∴CA →·CB →＝0，∴|CA →＋CB →|＝|CA →－CB →|＝|BA →|＝6，
∴PA →·PB →＝(PC →＋CA →)·(PC →＋CB →)＝PC →2＋PC →·(CA →＋CB →)＋CA →·CB → ＝PC →·(CA →＋CB →)＋4，
∴当PC →与CA →＋CB →方向相同时，PC →·(CA →＋CB →)取得最大值2×6＝12， ∴PA →·PB →的最大值为16.
12.(2018·浙江卷)已知a ，b ，e 是平面向量，e 是单位向量.若非零向量a 与e 的夹角为π3，向
量b 满足b 2－4e ·b ＋3＝0，则|a －b |的最小值是( ) A.3－1 B.3＋1 C.2
D.2－ 3
【答案】 A
【解析】 设O 为坐标原点，a ＝OA →，b ＝OB →
＝(x ，y )，e ＝(1，0)，由b 2－4e ·b ＋3＝0得x 2＋y 2－4x ＋3＝0，即(x －2)2＋y 2＝1，所以点B 的轨迹是以C (2，0)为圆心，1为半径的圆.因为a 与e 的夹角为π
3，所以不妨令点A 在射线y ＝3x (x >0)上，如图，数形结合可知|a －b |min
＝|CA →|－|CB →
|＝3－1.
13.(2019·安徽师大附中二模)在△ABC 中，AB ＝2AC ＝6，BA →·BC →＝BA →2
，点P 是△ABC 所在平面内一点，则当PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值时，AP →·BC →＝________. 【答案】 －9
【解析】 ∵BA →·BC →＝|BA →|·|BC →|·cos B ＝|BA →|2， ∴|BC →|·cos B ＝|BA →|＝6， ∴CA →⊥AB →
，即A ＝π2
，
以A 为坐标原点建立如图所示的坐标系，
则B (6，0)，C (0，3)，设P (x ，y )，
则PA →2＋PB →2＋PC →2＝x 2＋y 2＋(x －6)2＋y 2＋x 2＋(y －3)2＝3x 2－12x ＋3y 2－6y ＋45＝3[(x －2)2＋(y －1)2＋10]
∴当x ＝2，y ＝1时，PA →2＋PB →2＋PC →2取得最小值，
此时AP →·BC →＝(2，1)·(－6，3)＝－9.
14.在△ABC 中，角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，且满足(2a －c )BA →·BC →＝cCB →·CA →.
(1)求角B 的大小；
(2)若|BA →－BC →|＝6，求△ABC 面积的最大值.
【答案】见解析
【解析】(1)由题意得(2a －c )cos B ＝b cos C .
根据正弦定理得(2sin A －sin C )cos B ＝sin B cos C ， 所以2sin A cos B ＝sin(C ＋B )， 即2sin A cos B ＝sin A ，因为A ∈(0，π)，所以sin A >0，
所以cos B ＝22，又B ∈(0，π)，所以B ＝π4
. (2)因为|BA →－BC →|＝6，所以|CA →|＝6，
即b ＝6，根据余弦定理及基本不等式得6＝a 2＋c 2－2ac ≥2ac －2ac ＝(2－2)ac (当且仅当a ＝c 时取等号)，即ac ≤3(2＋2).
故△ABC 的面积S ＝12ac sin B ≤3（2＋1）2
， 因此△ABC 的面积的最大值为32＋32
. 【新高考创新预测】
15.(新定义题型)对任意两个非零的平面向量α和β，定义α⊗β＝|α||β|
cos θ，其中θ为α和β的夹角.若两个非零的平面向量a 和b 满足：①|a |≥|b |；②a 和b 的夹角θ∈⎝⎛⎭
⎫0，π4；
③a ⊗b 和b ⊗a 的值都在集合{x |x ＝n 2
，n ∈N }中，则a ⊗b 的值为________. 【答案】 32
【解析】 a ⊗b ＝|a ||b |cos θ＝n 2，b ⊗a ＝|b ||a |cos θ＝m 2
，m ，n ∈N .由a 与b 的夹角θ∈⎝⎛⎭⎫0，π4，知cos 2θ＝mn 4∈⎝⎛⎭⎫12，1，故mn ＝3，m ，n ∈N .因为|a |≥|b |，所以0<b ⊗a ＝m 2
<1，所以m ＝1，n ＝3，所以a ⊗b ＝32
.。