高中数学集合与常用逻辑用语

第一章集合与常用逻辑用语
第一节集合的概念与运算
一、高考考点梳理
（一）、集合的基本概念
1.集合中元素的三个特性：确定性、互异性、无序性.
2.元素与集合的关系是属于或不属于，符号分别为∈和∉.
3.集合的三种表示方法：列举法、描述法、图示法.
4.常用数集的符号：实数集记作R；有理数集记作Q；整数集记作Z；
自然数集记作N；正整数集记作*N或
N .
+
A B
（四）、集合关系与运算的重要结论
1.若有限集A中有n个元素，则A的子集有个，真子集有-1个.
n
2n2
2.传递性：A ⊆B ，B ⊆C ，则A ⊆C .
3.A ∪B ＝A ⇔B ⊆A ； A ∩B ＝A ⇔A ⊆B .
4.∁U (A ∪B )＝(∁U A )∩(∁U B )；∁U (A ∩B )＝(∁U A )∪(∁U B ) . 二、历年高考真题题型分类突破
题型一 集合的基本概念
【例1】（2013全国Ⅰ卷）已知集合A ＝{1,2,3,4}，},|{2A n n x x B ∈==， 则=B A ( )．
A ．}4,1{
B ．}3,2{
C ．}16,9{
D ．}2,1{ 解析：∵B ＝{x |x ＝n 2，n ∈A }＝{1,4,9,16}，∴A ∩B ＝{1,4}，故选A .
题型二 集合间的关系
【例2】（2017全国Ⅰ卷）已知集合A ={}|2x x <，B ={}|320x x ->，则（ ）．
A ．A
B =3|2x x ⎧
⎫<⎨⎬⎩⎭ B ．A B =∅ C ．A
B 3|2x x ⎧⎫=<
⎨⎬⎩
⎭
D ．A
B=R
解析：由B ={}|320x x ->，得B 3|2x x ⎧⎫=<⎨⎬⎩
⎭
，因为A ={}|2x x <，所以A B =3|2x x ⎧⎫<⎨⎬⎩
⎭
，故选A .
题型三 集合的运算
【例3】（2019全国Ⅰ卷）已知集合U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，
A ＝{2，3，4，5}，
B ＝{2，3，6，7}，则B ∩∁U A ＝（ ）．
A ．{1，6}
B ．{1，7}
C ．{6，7}
D ．{1，6，7}
解析：∵U ＝{1，2，3，4，5，6，7}，A ＝{2，3，4，5}，B ＝{2，3，6，7}， ∴∁U A ＝{1，6，7}，则B ∩∁U A ＝{6，7}，故选C ．
第二节 命题及其关系、充分条件与必要条件 一、高考考点梳理 （一）、命题的定义
可以判断真假用文字或符号表述的语句叫做命题。

其中判断为真的语句叫做真命题，判断为假的语句叫做假命题。

（二）、四种命题及其相互关系 1.四种命题间的关系
2.四种命题的真假关系
（1）.两个命题互为逆否命题，它们具有相同的真假性. （2）.两个命题互为逆命题或否命题，它们的真假性无关. （三）、充分条件、必要条件与充要条件的定义
1.若p q ；则p 是q 的充分条件，q 是p 的必要条件。

2.若p q 且q p,则p 是q 的充要条件。

3.若有p q ，无q p ,则称p 是q 的充分不必要条件。

4.若有q p , 无p q ,则称p 是q 的必要不充分条件。

5.若无p q 且无q p,则p 是q 的非充分非必要条件。

（四）、充分、必要、充要条件的判断方法
1.定义法
根据p q ，q p 进行判断，适用于定义、定理判断性问题。

2.转化法
根据一个命题与其逆否命题的等价性，把判断、定义的命题转化为其逆否命题再进行判断，适用于条件和结论带有否定词语的命题。

3.集合法
根据p 、q 成立对象的集合间的包含关系进行判断，适用于命题中涉及字母范围的推断问题。

二、历年高考真题题型分类突破
题型一 四种命题的关系及其真假判断
【例1】原命题为“若z 1、z 2互为共轭复数，则|z 1|=|z 2|”关于逆命题、否命题、逆否命题真假性的判断依次如下，正确的是( )
A.真 假 真
B.假 假 真
C.真 真 假
D.假 假 假
⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒⇒
解析：由共轭复数的性质，原命题为真命题，因此其逆否命题也为真命题。

当 z 1=4+3i ，z 2=3+4i 时，|z 1|=|z 2|成立，但z 1、z 2不共轭，所以逆命题为假命题，从而它的否命题也为假命题，故选B.
题型二 充分条件与必要条件的判断
【例2】（2019全国Ⅱ卷）设,αβ为两个平面，则//αβ的充要条件是( )
A. α内有无数条直线与β平行
B. α内有两条相交直线与β平行
C. ,αβ平行于同一条直线
D. ,αβ垂直于同一平面
解析：当α内有两条相交直线平行于β时，//αβ；当//αβ时，α内存在两条相交直线平行于β，故选B.
第三节 简单的逻辑联结词、全称量词与存在量词
一、高考考点梳理
1.简单的逻辑联结词
（1）.常用简单的逻辑联结词有“且（∧）”、“或（∨）”“非（┑）”。

（2）.复合命题真假的判断
2.（1）.“所有”、“每一个”、“任何”、“任意一条”、“一切”都是在指定范围
内，表示整体或全部的含义，这样的词叫做全称量词。

（2）.含有全称量词的命题，叫做全称命题。

（3）.全称命题的符号表示
设p (x )是某集合M 的所有元素都具有的性质，形如“对M 中的所有x ，有
p (x )成立”的命题，用符号简记为：∀x ∈M ，p (x )。

3. 存在量词与存在性命题
（1）.“有些”、“至少有一个”、“有一个”、“存在”、都有表示个别或一部
分的含义，这样的词叫做存在量词。

（2）.含有存在量词的命题，叫做存在性命题。

（3）.存在性命题的符号表示
形如“存在集合M 中的元素x ，有p (x )成立”的命题，用符号简记为：
)(,x p M x ∈∃。

4. 全称命题与存在性命题的否定
（1）.全称命题p ：)(,x p M x ∈∀； 则命题的否定为⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∃。

（2）.存在性命题p ：)(,x p M x ∈∃； 则命题的否定为⌝p ：)(,x p M x ⌝∈∀。

二、历年高考真题题型分类突破
题型一 逻辑推理
【例1】（2017全国Ⅱ卷）)甲、乙、丙、丁四位同学一起去向老师询问成语竞赛的成绩.老师说:你们四人中有2位优秀,2位良好,我现在给甲看乙、丙的成绩,给乙看丙的成绩,给丁看甲的成绩.看后甲对大家说:我还是不知道我的成绩:根据以上信息,则( )
A.乙可以知道四人的成绩
B.丁可以知道四人的成绩
C.乙、丁可以知道对方的成绩
D.乙、丁可以知道自己的成绩
解析：由甲的说法可知乙、丙1人优秀1人良好,则甲、丁两人1人优秀1人良好,乙看到丙的成绩则知道自己的成绩,丁看到甲的成绩知道自己的成绩,即乙、丁可以知道自己的成绩.故选D.
题型二 全称命题、存在性命题
【例2】（2019全国Ⅲ卷）记不等式组6,20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩
表示的平面区域为D ．命题
:(,),29p x y D x y ∃∈+≥；命题:(,),212q x y D x y ∀∈+≤．下面给出了四个命题
①p q ∨
②p q ⌝∨
③p q ∧⌝
④p q ⌝∧⌝
这四个命题中，所有真命题的编号是( )． A ．①③
B ．①②
C ．②③
D ．③④
解析：由不等式组6,
20x y x y +≥⎧⎨-≥⎩ 可求出区域D ，可得直线2x+y=9与2x+y=12均经
过区域D,则P 真q 假，从而⌝P 假⌝q 真，所以①③真，②④假，故选A.
【例3】（2013全国I 卷）已知命题x x R x P 32,:<∈∀；命题231,:x x R x q -=∈∃，则下列命题中为真命题的是( )．
A ．p ∧q
B ．⌝p ∧q
C ．p ∧⌝q
D ．⌝p ∧⌝q 解析：由20＝30知，P 为假命题．则⌝P 是真命题。

令h (x )＝x 3－1＋x 2， ∵h (0)＝－1＜0，h (1)＝1＞0，∴x 3－1＋x 2＝0在区间(0,1)内有解．
∴∃x ∈R ，x 3＝1－x 2，即命题q 为真命题，则⌝q 是假命题。

综上，只有⌝p ∧q 是真命题，故选B.。