四川省成都市2017届高三高中毕业班第三次诊断检测文数试题含答案

四川省成都市2017届⾼三⾼中毕业班第三次诊断检测⽂数试题含答案
成都市2014级⾼中毕业班第三次诊断性检测
数学（⽂科）
第Ⅰ卷（选择题，共60分）
⼀、选择题：本⼤题共12⼩题，每⼩题5分，共60分．在每⼩题给出的四个选项中，只有⼀项是符合题⽬要求的．
1．设集合{0,1}A =，2{|20}B x x x =+-=，则A B = ( ) A ．? B ．{1} C ．{2,0,1}- D ．{1,0,1,2}-
2．已知复数1226,2z i z i =+=-．若12,z z 在复平⾯内对应的点分别为,A B ，线段AB 的中点C 对应的复数为z ，则z =（）
A ．5 C ．．
3．在等⽐数列{}n a 中，12a =，公⽐2q =．若1234()m a a a a a m N *=∈，则m =( ) A ．11 B ．10 C ．9 D ．8
4．AQI 是表⽰空⽓质量的指数，AQI 指数值越⼩，表明空⽓质量越好，当AQI 指数值不⼤于100时称空⽓质量为“优良”．如图是某地4⽉1⽇到12⽇AQI 指数值的统计数据，图中点A 表⽰4⽉1⽇的AQI 指数值为201，则下列叙述不正确的是( )
A ．这12天中有6天空⽓质量为“优良”
B ．这12天中空⽓质量最好的是4⽉9⽇
C ．这12天的AQI 指数值的中位数是90
D ．从4⽇到9⽇，空⽓质量越来越好
5．已知平⾯向量(2,3)a =- ，(1,2)b =
，向量a b λ+ 与b 垂直，则实数λ的值为( )
A ．
413 B ．413- C ．54 D ．54
- 6．已知双曲线22
22:1(0,0)x y C a b a b
-=>>，直线:22l y x =-．若直线l 平⾏于双曲线C
的⼀条渐近线且经过C 的⼀个顶点，则双曲线C 的焦点到渐近线的距离为( )
A ．1
B ．2
C ．
D ．4
7．⾼三某班15名学⽣⼀次模拟考试成绩⽤茎叶图表⽰如图1．执⾏图2所⽰的程序框图，若输⼊的(1,2,,15)i a i = 分别为这15名学⽣的考试成绩，则输出的结果为( )
A ．6
B ．7
C ． 8
D ．9
8．在我国古代数学名著《九章算术》中，将四个⾯都为直⾓三⾓形的四⾯体称为鳖臑．如图，在鳖臑ABCD 中，AB ⊥平⾯BCD ，且AB BC CD ==，则异⾯直线AC 与BD 所成⾓的余弦值为（）
A ．
12 B ．12- C
．2 D
．2
-9．已知抛物线2:4C y x =的焦点为F ，
点(0,A ．若线段FA 与抛物线C 相交于点M ，
则||MF = ( )
A ．
43 B
．23 D
10．已知函数2()2cos 22f x x =-．给出下列命题：①函数()f x 的值域为[2,0]-；②8
x π
=为函数()f x 的⼀条对称轴；③,()R f x ββ?∈+为奇函数；④3(0,
)4
π
α?∈，()(2)f x f x α=+对x R ∈恒成⽴．其中的真命题有( )
A ．①②
B ．③④
C ．②③
D ．①④
11．如图，某三棱锥的正视图、侧视图和俯视图分别是直⾓三⾓形、等腰三⾓形和等边三⾓形．若该三棱锥的顶点都在同⼀个球⾯上，则该球的表⾯积为( )
A ．27π
B ．48π
C ．64π
D ．81π
12．在递减等差数列{}n a 中，2
1324a a a =-．若113a =，则数列1
1
{
}n n a a +的前n 项和的最⼤值为 ( ) A ．
24143 B ．1143 C ． 2413 D ．613
第Ⅱ卷（⾮选择题，共90分）
⼆、填空题：本⼤题共4⼩题，每⼩题5分，共20分．
13．若210x
=，则2log 5x -的值为．
14．若变量,x y 满⾜约束条件03003x y x y x +≥??
-+≥??≤≤?
，则3z x y =-的最⼩值为．
15．已知函数32()3f x x bx cx =+++，其中,b c R ∈．若曲线()y f x =在点(1,(1))f 处的切线⽅程为30x y +=，则(2)f =．
16．如图，将⼀块半径为2的半圆形纸板切割成等腰梯形的形状，下底AB 是半圆的直径，上底CD 的端点在半圆上，则所得梯形的周长的最⼤值为．
三、解答题：本⼤题共6⼩题，共70分．解答应写出⽂字说明、证明过程或演算步骤．
17．ABC ?的内⾓,,A B C 的对边分别为,,a b c ，已知22cos c a b A -=．（Ⅰ）求⾓B 的⼤⼩；
（Ⅱ）若2,a b ==c 的长．
18．如图，在多⾯体ABCDEF 中，底⾯ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=
，四边形BDEF 是矩形，平⾯BDEF ⊥平⾯ABCD ，2DE =，M 为线段BF 的中点．
（Ⅰ）求三棱锥M CDE -的体积；（Ⅱ）求证：DM ACE ⊥平⾯．
19．⼏个⽉前，成都街头开始兴起“mobike ”、“ofo ”等共享单车，这样的共享单车为很多市民解决了最后⼀公⾥的出⾏难题．然⽽，这种模式也遇到了⼀些让⼈尴尬的问题，⽐如乱停乱放，或将共享单车占为“私有”等．
为此，某机构就是否⽀持发展共享单车随机调查了50⼈，他们年龄的分布及⽀持发展共享单车的⼈数统计如下表：
（Ⅰ）由以上统计数据填写下⾯的22?列联表，并判断能否在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否⽀持发展共享单车有关系；
（Ⅱ）若对年龄在[15,20)的被调查⼈中随机选取两⼈进⾏调查，求恰好这两⼈都⽀持发展共享单车的概率．参考数据：
参考公式：2
2
()()()()()
n ad bc K a b c d a c b d -=++++，其中n a b c d =+++．
20．已知椭圆E 的中⼼在坐标原点O ，焦点在x 轴上，椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正⽅形，且椭圆E 上任意⼀点到两个焦点的距离之和为（Ⅰ）求椭圆E 的标准⽅程；
（Ⅱ）若直线:2l y x m =+与椭圆E 相交于,M N 两点，求MON ?⾯积的最⼤值． 21．已知函数()11,a
f x nx a R x
=+
-∈．
（Ⅰ）若关于x 的不等式()1f x x >-+在[1,)+∞上恒成⽴，求a 的取值范围；（Ⅱ）设函数()
()f x g x x
=
，在（Ⅰ）的条件下，试判断()g x 在2[1,]e 上是否存在极值．若存在，判断极值的正负；若不存在，请说明理由．
请考⽣在第22、23题中任选⼀题作答，如果多做，则按所做的第⼀题记分．
22．选修4-4：坐标系与参数⽅程
已知曲线C 的极坐标⽅程为2ρ=，在以极点为直⾓坐标原点O ，极轴为x 轴的正半轴建
⽴的平⾯直⾓坐标系xOy 中，直线l
的参数⽅程为22
x t y ?==??（t 为参数）．（Ⅰ）写出直线l 的普通⽅程与曲线C 的直⾓坐标⽅程；
（Ⅱ）在平⾯直⾓坐标系中，设曲线C 经过伸缩变换1':2'x x
y y
==?得到曲线'C ，
若(,)M x y 为曲线'C 上任意⼀点，求点M 到直线l 的最⼩距离． 23．选修4-5：不等式选讲已知(),f x x a a R =-∈．
（Ⅰ）当1a =时，求不等式()256f x x +-≥的解集；
（Ⅱ）若函数()()3g x f x x =--的值域为A ，且[1,2]A -?，求a 的取值范围．
试卷答案
⼀、选择题
1-5:CABCD 6-10:BDAAD 11、12：CD
⼆、填空题
13．1 14．-3 15．-1 16．10
三、解答题
17．解：（Ⅰ）由已知及正弦定理，得2sin sin 2sin cos C A B A -=．
∵180()C A B =-+ ，∴2sin()sin 2sin cos A B A B A +-=．
化简，得sin (2cos 1)0A B -=
．∵sin 0A ≠，∴1
cos 2
B =．∵0B π<<，∴3
B π
=
．
（Ⅱ）由余弦定理，得2
2
2
2cos b a c ac B =+-．
已知2,a b =2
742c c =+-，即2
230c c --=．解得3c =或1c =-（不合题意，舍去）．∴c 的长为3．18．解：（Ⅰ）如图，记AC BD O = ．
∵底⾯ABCD 是边长为2的菱形，60BAD ∠=
，
∴AC BD ⊥，且AC =2BD =．
∵四边形BDEF 是矩形，平⾯BDEF ⊥平⾯ABCD ，∴AC ⊥平⾯BDEF ．∵2DE =，M 为线段BF 的中点，∴1
2222
DEM S ?=
=．
∴13M CDE C DEM DEM V V S OC --?==
123=?=．（Ⅱ）由（Ⅰ），可知AC ⊥平⾯BDEF ．∴AC DM ⊥．
则在正⽅形BDEF 中，1
tan 2
BDM ∠=，tan 2DOE ∠=．∴90BDM DOE ∠+∠=
．∴OE DM ⊥．
∵AC OE O = ，且,AC OE ?平⾯ACE ，∴DM ⊥平⾯ACE ．
19．解：（Ⅰ）根据所给数据得到如下22?列联表：
根据22?列联表中的数据，得到2
K 的观测值为
2
50(305105)(3010)(55)(305)(105)
k ?-?=
++++ 2.38 2.706≈<．∴不能在犯错误的概率不超过0.1的前提下，认为年龄与是否⽀持发展共享单车有关系．（Ⅱ）“对年龄在[15,20)的被调查⼈中随机选取两⼈进⾏调查，恰好这两⼈都⽀持发展共享单车”记为事件A ，
对年龄在[15,20)的5个受访⼈中，有4⼈⽀持，1⼈不⽀持发展共享单车，分别记为
1234,,,,A A A A B ．则从这5⼈中随机抽取2⼈的基本事件为： 1213141{,},{,},{,},{,}A A A A A A A B ， 23242{,},{,},{,}A A A A A B ， 343{,},{,}A A A B ， 4{,}A B ．共10个．
其中，恰好抽取的两⼈都⽀持发展共享单车的基本事件包含
121314232434{,},{,},{,}{,},{,},{,}A A A A A A A A A A A A ．共6个．
∴63()105
P A =
=．∴对年龄在[15,20)的被调查⼈中随机选取两⼈进⾏调查，恰好这两⼈都⽀持发展共享单车的概率是
35
． 20．解：（Ⅰ）由已知，设椭圆E 的⽅程为22
221(0)x y a b a b
+=>>．
∵椭圆E 的短轴端点和焦点所组成的四边形为正⽅形，∴b c =．
⼜2a =
a =
由2
2
2
a b c =+，得2
1b =．
∴椭圆E 的标准⽅程为2
212
x y +=．（Ⅱ）设1122(,),(,)M x y N x y ．联⽴22
212
y x m x y =++=??消去y ，得22 98220x mx m ++-=．此时有2
7280m ?=->．
由⼀元⼆次⽅程根与系数的关系，得1289m x x +=-，21222
9
m x x -=．
∴||MN =
=．∵原点O 到直线l
的距离d =
，
∴1||2MON S MN d ?=
= 由0?>，得2
90m ->．⼜0m ≠，∴据基本不等式，得22(9)922
MON
m m S ?+-≤=
．当且仅当2
9
2
m =
时，不等式取等号．
∴MON ?⾯积的最⼤值为
2
． 21．解：（Ⅰ）由()1f x x >-+，得111a
nx x x
+
->-+．即2
12a x nx x x >--+在[1,)+∞上恒成⽴．设函数2()12m x x nx x x =--+，1x ≥．则'()121m x x nx x =--+．
∵[1,)x ∈+∞，∴10,210nx x -≤-+<．∴当[1,)x ∈+∞时，'()1210m x nx x =--+<．∴()m x 在[1,)+∞上单调递减．
∴当[1,)x ∈+∞时，max ()()(1)1m x m x m ≤==．∴1a >，即a 的取值范围是(1,)+∞．
（Ⅱ）211()nx a
g x x x x
=
-+，2[1,]x e ∈．∴22111'()nx g x x x -=+33
2212a x x nx a
x x
---=．设()212h x x x nx a =--，则'()2(11)11h x nx nx =-+=-．由'()0h x =，得x e =．
当1x e ≤<时，'()0h x >；当2
e x e <≤时，'()0h x <．
∴()h x 在[1,)e 上单调递增，在2
(,]e e 上单调递减．且(1)22h a =-，()2h e e a =-，2
()2h e a =-．据（Ⅰ），可知2
()(1)0h e h <<．（ⅰ）当()20h e e a =-≤，即2
e
a ≥
时，()0h x ≤即'()0g x ≤．
∴()g x 在2[1,]e 上单调递减．
∴当2
e
a ≥
时，()g x 在2[1,]e 上不存在极值．（ⅱ）当()0h e >，即12
e
a <<时，
则必定212,[1,]x x e ?∈，使得12()()0h x h x ==，且2121x e x e <<<<．当x 变化时，()h x ，'()g x ，()g x 的变化情况如下表：
∴当12
a <<时，()g x 在2[1,]e 上的极值为12(),()g x g x ，且12()()g x g x <．∵11211111()nx a g x x x x =
+-1112
x -+=
．设()1x x nx x a ?=-+，其中12
e
a <<
，1x e ≤<．∵'()10x nx ?=>，∴()x ?在
(1,)e 上单调递增，(
)(1)10x
a ??≥=->，当且仅当1x =时取等号．
∵11x e <<，∴1()0g x >．
∴当12
e
a <<
时，()g x 在2[1,]e 上的极值21()()0g x g x >>．综上所述：当2e a ≥时，()g x 在2[1,]e 上不存在极值；当12 e
a <<时，()g x 在2[1,]e 上存
在极值，且极值均为正．
注：也可由'()0g x =，得221a x x nx =-．令()21h x x x nx =-后再研究()g x 在2
[1,]e 上的极值问题．
22．解：（Ⅰ）由2
x y ?=
=??消去参数t ，得y x =+
即直线l
的普通⽅程为0x y -+=．∵cos x ρθ=，sin y ρθ=，∴2224x y ρ+==．
即曲线C 的直⾓坐标⽅程为224x y +=．
（Ⅱ）由1'2'x x y y
=
=?，得2''x x y y =??
=?．代⼊⽅程2
2
2
''14
y x +=．已知(,)M x y 为曲线'C 上任意⼀点，故可设(cos ,2sin )M αα，其中α为参数．则点M 到直线l 的距离
d
=
=
，其中tan 2β=.
∴点M 到直线l
= 23．解：（Ⅰ）当1a =时，不等式即为|1||25|6x x -+-≥．当1x ≤时，不等式可化为(1)(25)6x x ----≥，∴0x ≤；当5
12
x <<时，不等式可化为(1)(25)6x x ---≥，∴x ∈?；当5
2
x ≥
时，不等式可化为(1)(25)6x x -+-≥，∴4x ≥．综上所述：原不等式的解集为{|04}x x x ≤≥或．（Ⅱ）∵||||3||x a x ---≤|(3)||3|x a x a ---=-，∴()|3||||3|[|3|,|3|]f x x x a x a a --=---∈---．∴函数()g x 的值域[|3|,|3|]A a a =---．
∵[1,2]A -?，∴|3|1
|3|2
a a --≤-??
-≥?．
解得1a ≤或5a ≥．
∴a 的取值范围是(,1][5,)-∞+∞ ．。