北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一+Word版含解析

北京市人大附中2019届高考数学模拟预测考试一
数学试题（文）
一、选择题共8小题。

在每小题列出的四个选项中，选出符合题目要求的一项。

1.若集合，，则（）
A. B.
C. D.
【答案】D
【解析】
【分析】
直接利用集合并集的定义求解.
【详解】因为，，所以.
故答案为：B
【点睛】本题主要考查集合的运算，意在考查学生对该知识的掌握水平和分析推理能力. 2.设复数（是虚数单位），则在复平面内，复数对应的点的坐标为（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
，所以复数对应的点为，故选A.
3.若向量，，则（）
A. B. C. 3 D.
【答案】D
【解析】
【分析】
先求出的坐标，再求模长即可.
【详解】则=
故选：D.
【点睛】本题考查空间向量的坐标运算，模长公式，熟记加减运算性质，准确计算是关键，是基础题.
4.《九章算术》中有如下问题：“今有勾五步，股一十二步，问勾中容圆，径几何？”其大
意：“已知直角三角形两直角边分别为5步和12步，问其内切圆的直径为多少步？”现若向此三角形内随意投一粒豆子，则豆子落在其内切圆外的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
求出直角三角形内切圆半径，计算内切圆和三角形的面积，从而利用几何概型概率公式得出结论.
【详解】
直角三角形的斜边长为，
设内切圆的半径为，
则，解得，
内切圆的面积为，
豆子落在其内切圆外部的概率是，故选C.
【点睛】本题主要考查“面积型”的几何概型，属于中档题. 解决几何概型问题常见类型有：长度型、角度型、面积型、体积型，求与面积有关的几何概型问题关鍵是计算问题的总面积以及事件的面积；几何概型问题还有以下几点容易造成失分，在备考时要高度关注：（1）不能正确判断事件是古典概型还是几何概型导致错误；（2）基本事件对应的区域测度把握不准导致错误；（3）利用几何概型的概率公式时, 忽视验证事件是否等可能性导致错误.
5.若函数与的对称轴完全相同，则函数
在哪个区间上单调递增（）
A. B. C. D.
【答案】A
【解析】
【分析】
求出函数g（x）的对称轴，然后求出ω的值，利用三角函数的单调性进行求解即可．
【详解】由2x kπ得x，
即函数f（x）的对称轴为x，
由ωx kπ得x，
则ω＝2，
即f（x）＝2sin（2x），
由2kπ2x2kπ，k∈Z，
得kπx≤kπ，k∈Z，
∵x∈[0，π]，
∴当k＝0时，x，
即0≤x，
则函数f（x）在[0，π]上的递增区间是[0，]，
故选：A．
【点睛】本题主要考查三角函数单调区间的求解，根据函数的对称性求、求出对称轴和ω是解决本题的关键．
6.若函数的最小值为，则实数的取值范围为（）
A. 或；
B. 或；
C. 或；
D. 或；
【答案】D
【解析】
【分析】
先确定单调递减，则转化为在
的最小值大于等于f(2)即可.
【详解】由题函数单调递减，所以在;则
在的最小值大于等于f(2)=1；令t= ，则t≥2在
恒成立，即-2≥0恒成立，令g(x)=-2,其对称轴x=,∴或综上解得或
故选:D.
【点睛】本题考查函数的单调性，二次函数根的分布问题，熟练运用函数单调性，灵活转化为函数-2≥0恒成立是本题关键，是难题.
7.“勾股定理”在西方被称为“毕达哥拉斯定理”，三国时期吴国的数学家赵爽创制了一幅“勾股圆方图”用数形结合的方法给出了勾股定理的详细证明．如图所示的“勾股圆方图”中，四个相同的直角三角形与中间的小正方形拼成一个边长为2的大正方形，若直角三角形中较小的锐角，现在向该正方形区域内随机地投掷一枚飞镖，飞镖落在小正方形内的概率是（）
A. B. C. D.
【答案】C
【解析】
【分析】
根据几何概率的求法：一次飞镖扎在中间小正方形区域（含边线）的概率就是阴影区域的面积与总面积的比值．
【详解】观察这个图可知：大正方形的边长为2，总面积为4，
而阴影区域的边长为1，面积为4﹣2
故飞镖落在阴影区域的概率为1．
故选：C．
【点睛】本题考查几何概率的求法：首先根据题意将代数关系用面积表示出来，一般用阴影区域表示所求事件（A）；然后计算阴影区域的面积在总面积中占的比例，这个比例即事件
（A）发生的概率；关键是得到两个正方形的边长．
8.已知直线y=2b与双曲线的斜率为正的渐近线交于点A，曲线的左、右焦点分别为,若则双曲线的离心率为（）
A. 4或
B.
C. 2
D. 4
【答案】D
【解析】
【分析】
由题意表示出点的坐标，又得到关于离心率的方程即可求出结果
【详解】由渐近线方程与直线求出点A的坐标为,过A点作轴于点B，则
由已知可得
当时，则故舍去，综上
故选D
【点睛】本题考查了求双曲线的离心率问题，在求解过程中一定依据题目已知条件，将其转化为关于离心率的方程，继而求出结果，本题属于中档题
二、填空题共6小题。

9.已知函数f(x-2)=函数，则f(2)=_______.
【答案】2
【解析】
【分析】
根据分段函数的表达式，进行转化求解即可．
【详解】由分段函数得f（2）＝f（4﹣2）＝6﹣4＝2，
故答案为：2．
【点睛】本题主要考查分段函数函数值的计算，利用转化法是解决本题的关键，是基础题.
10.某校高三科创班共48人，班主任为了解学生高考前的心理状况，将学生按1至48的学
号用系统抽样方法抽取8人进行调查，若抽到的最大学号为48，则抽到的最小学号为______．【答案】6
【解析】
【分析】
抽到的最大学号为48，由系统抽样等基础知识即可得最小学号.
【详解】由系统抽样方法从学号为1到48的48名学生中抽取8名学生进行调查，把48人分成8组，
抽到的最大学号为48，它是第8组的最后一名，则抽到的最小学号为第一组的最后一名6号.
故答案为：6．
【点睛】本题考查了系统抽样等基础知识，考查运算求解能力，属于基础题．
11.已知实数，满足约束条件，则的最大值_______．
【答案】2
【解析】
【分析】
作出可行域，求出区域的顶点坐标，将顶点坐标一一代入，即可判断函数的最大值。

【详解】作出不等式组表示的平面区域，如图
求得区域的顶点分别为，，，分别将三点代入目标函数得：，
，，所以的最大值为
【点睛】本题考查了线性规划问题，作出可行域，当不等式组为线性约束条件，目标函数是线性函数，可行域为多边形区域时（或有顶点的无限区域），直接代端点即可求得目标函数
的最值。

12.如果，，，是抛物线：上的点，它们的横坐标依次为，，，，
是抛物线C的焦点，若，则________．【答案】20
【解析】
由抛物线方程y2=4x可得p=2．
∵横坐标x1，x2，…，x10依次成等差数列，F是抛物线的焦点，且x1+x9=2，
则
故答案为：20．
点睛：在解决与抛物线有关的问题时，要注意抛物线的定义在解题中的应用。

抛物线定义有两种用途：一是当已知曲线是抛物线时，抛物线上的点M满足定义，它到准线的距离为d，则|MF|＝d，可解决有关距离、最值、弦长等问题；二是利用动点满足的几何条件符合抛物线的定义，从而得到动点的轨迹是抛物线．
13.已知的内角，，的对边分别为a，b，c，若，，，则
的面积为____．
【答案】
【解析】
，由正弦定理可得，由余弦定理可得，
，与，联立解得，，
，则的面积，故答案为.
14.已知四棱椎中，底面是边长为2的菱形，且，则四棱锥体积的最大值为_____．
【答案】
【解析】
四棱锥的体积最大，则使得底面积和高均取得最大值即可，
底面积最大时，ABCD为正方形，此时底面积，
高有最大值，首先要保证平面平面，
由可知，点在平面内的轨迹是以中点为圆心，长度为直径的圆，
则高的最大值为：，
综上可得：体积的最大值为：.
三、解答题共6小题.解答应写出文字说明，演算步骤或证明过程。

15.已知数列是等差数列，首项且是与的等比中项．
（1）求数列的通项公式；
（2）设，求数列的前n项和．
【答案】(1) (2)
【解析】
【分析】
（1）设数列{a n}的公差为d，运用等比数列的中项性质和等差数列的通项公式，解方程可得公差，检验即可得到所求通项公式；（2）求得b n，运用数列的裂项相消求和，化简整理可得所求和．
【详解】解：(1)设数列的公差为d，a1＝1，且是与的等比中项．
，
或d=-1
当时，，是与的等比中项矛盾，舍去.
数列的通项公式为
(2)
【点睛】本题考查等差数列的通项公式和等比数列中项性质，考查数列的裂项相消求和，以及方程思想和运算能力，属于中档题．
16.已知函数．
（1）求的最小正周期；
（2）在中，内角所对的边分别是．若，且面积，求的值．
【答案】（1）；（2）
【解析】
【分析】
（1）由诱导公式和倍角公式化简，即可得周期.
（2）由，得，由三角形的面积公式和正，余弦定理即可求出.
【详解】（1）由诱导公式和倍角公式化简
（2）因为且得因为，所以，得，由余弦定理得，面积公式得，且面积
，得，，因为即 ,由正弦定理得
【点睛】本题考查了诱导公式和倍角公式的应用，也考查了三角形的面积公式和正，余弦定理，属于中档题.
17.某大学生参加社会实践活动，对某公司1月份至6月份销售某种配件的销售量及销售单价进行了调查，销售单价x和销售量y之间的一组数据如下表所示：
（1）根据1至5月份的数据，求出y关于x的回归直线方程；
（2）若由回归直线方程得到的估计数据与剩下的检验数据的误差不超过0.5元，则认为所
得到的回归直线方程是理想的，试问（1）中所得到的回归直线方程是否理想？
（3）预计在今后的销售中，销售量与销售单价仍然服从（1）中的关系，若该种机器配件的成本是2.5元/件，那么该配件的销售单价应定为多少元才能获得最大利润？（注：利润=销售收入-成本）．
参考公式：回归直线方程,其中，
【答案】（1）.
(2) 可以认为所得到的回归直线方程是理想的.
(3) 该产品的销售单价定为7．5元/件时，获得的利润最大.
【解析】
分析：（1）计算、，求出回归系数，写出回归直线方程；
（2）根据回归直线方程，计算对应的数值，判断回归直线方程是否理想；
（3）求销售利润函数，根据二次函数的图象与性质求最大值即可．
详解：
（1）因为，
所以，则，
于是关于的回归直线方程为；
（2）当时，，则，
所以可以认为所得到的回归直线方程是理想的；
（3）令销售利润为，则
，
因为，
当且仅当，即时，取最大值．
所以该产品的销售单价定为7．5元/件时，获得的利润最大．
点睛：本题考查了线性回归方程的求法与应用问题，属中档题．
18.如图，在四棱锥中，，，，.
（1）求证：；
（2）若，，为的中点．
（i）过点作一直线与平行，在图中画出直线并说明理由；
（ii）求平面将三棱锥分成的两部分体积的比．
【答案】（1）见解析；（2）见解析，
【解析】
分析: (1)取中点,连接,,先证明面,再证明.(2) (i)取中点,连接,,
则，即为所作直线,证明四边形为平行四边形即得证.（ii）先分别计算出两部分的体积，再求它们的比.
详解：（1）证明：(1)取中点,连接,
,为中点，
又,为中点，
又，面
又面，
(2)(i)取中点,连接,,则，即为所作直线,
理由如下:
在中、分别为、中点
,且
又,
且，四边形为平行四边形.
(ii),,，
面
又在中,,,
又,
面
，.
：（1
）本题主要考查空间平行垂直位置关系的证明，考查空间几何体体积的计算，意在考查学生对这些基础知识的掌握能力和空间想象转化能力.（2）对于空间平行垂直位置关系的证明有几何法和向量法两种方法，空间几何体体积的计算有公式法、割补法和体积变换法三种方法.
19.已知函数f(x)＝(3－x)e x，g(x)＝x＋a(a∈R)(e是自然对数的底数，e≈2.718…)．
(1)求函数f(x)的极值；
(2)若函数y＝f(x)g(x)在区间[1，2]上单调递增，求实数a的取值范围；
(3)若函数h(x)＝在区间(0，＋∞)上既存在极大值又存在极小值，并且函数h(x)的极大值小于整数b，求b的最小值．
【答案】（1）见解析；（2）；（3）4
【解析】
【分析】
（1）对求导，通过的正负，列表分析的单调性进而求得极值.
（2）先求得的解析式，对其求导，原题转化为导函数在上恒成立，令
，求得a的范围.（3）由题意知在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根，对求导分析
可得在和上各有一个实根，从而得到极大值，将视为关于的函数，求导得到，又因为，得到整数b的最小值. 【详解】（1），，令，解得，列表：
∴当时，函数取得极大值，无极小值
（2）由，得
∵，令，
∴函数在区间上单调递增等价于对任意的，函数恒成立∴，解得．
（3），
令，
∵在上既存在极大值又存在极小值，∴在上有两个不等实根，即在上有两个不等实根．
∵
∴当时，，单调递增，当时，，单调递减
则，∴，解得，∴
∵在上连续且，
∴在和上各有一个实根
∴函数在上既存在极大值又存在极小值时，有，并且在区间上存在极小值，在区间上存在极大值．
∴，且
，
令，，当时，，单调递减
∵，∴，即，则
∵的极大值小于整数，∴满足题意的整数的最小值为4．
【点睛】本题考查函数的极值，考查实数的取值范围的求法，考查函数的单调性，考查导数性质、构造法等基础知识，考查运算求解能力，考查函数与方程思想，属于难题．
20.在直角坐标系中，动圆与圆外切，且圆与直线相切，记动圆圆心的轨迹为曲线．
(1)求曲线的轨迹方程；
(2)设过定点的动直线与曲线交于两点，试问：在曲线上是否存在点（与两点相异），当直线的斜率存在时，直线的斜率之和为定值？若存在，求出点的坐标；若不存在，请说明理由．
【答案】（1）；（2）答案见解析.
【解析】
【分析】
（1）设，圆的半径为，由动圆与圆外切，可得，又动圆与直线相切，所以，两式结合消去即可得结果；（2）设出的坐标，
直线方程为，联立直线与抛物线方程消去可得关于的一元二次方程，由韦达定理、斜率公式可得，,化为，由可得结果.
【详解】（1）设P（x，y），圆P的半径为r，
因为动圆P与圆Q：（x－2）2＋y2＝1外切，
所以，①
又动圆P与直线x＝－1相切，所以r＝x＋1，②
由①②消去r得y2＝8x，
所以曲线C的轨迹方程为y2＝8x．
（2）假设存在曲线C上的点M满足题设条件，不妨设M（x0，y0），A（x1，y1），B（x2，y2），则，，，
，，
所以，③
显然动直线l的斜率存在且非零，设l：x＝ty－2，
联立方程组，消去x得y2－8ty＋16＝0，
由Δ＞0得t＞1或t＜－1，
所以y1＋y2＝8t，y1y2＝16，且y1≠y2，
代入③式得，令（m为常数），
整理得，④
因为④式对任意t∈（－∞，－1）∪（1，＋∞）恒成立，
所以，
所以或，即M（2，4）或M（2，－4），
即存在曲线C上的点M（2，4）或M（2，－4）满足题意．
【点睛】本题主要考查直接法求抛物线的标准方程以及解析几何中的存在性问题，属于难题.解决存在性问题，先假设存在，推证满足条件的结论，若结论正确则存在，若结论不正确则不存在，注意：①当条件和结论不唯一时要分类讨论；②当给出结论而要推导出存在的条件时，先假设成立，再推出条件；③当条件和结论都不知，按常规方法题很难时采取另外的途径.。