小升初讲座数论综合

小升初讲座数论综合 Pleasure Group Office【T985AB-B866SYT-B182C-BS682T-STT18】
【风雨数学小升初讲座12】
数论综合
数论是专门研究整数的数学分支。

小学里面讲的数论主要包括以下方面的内容：数的整除性、奇数与偶数、质数与合数、分解质因数、约数与倍数、带余数的除法、数的十进制和完全平方数等。

【题目1】一个六位数2003□□能被99整除，它的最后两位数是多少
【解答】因为99＝9×11，根据9的倍数的特征，□里面的两个数的和可能是9－
2－3＝4或18－2－3＝13，根据11的倍数的特征奇数位数字之和与偶数位数字之
和相差1，所有□之和是13，且为7、6，则最后两位数是76。

拓展解法：100÷99＝1……1，则2003÷99的余数是20＋3＝23，23□□是99的
倍数，且23＋□□也是99的倍数，即□□是76。

简易记忆：□□＋03＋20是99
的倍数，即76。

【题目2】一个数的20倍减去1能被153整除，这样的自然数中最小的是多少
【解答】这个数的20倍减去1的个位数字是9，除以153所得商的个位数字必定
是3，则要求的这个数是（153×3＋1）÷20＝23
【题目3】在算式A×（B＋C）＝110＋C中，A、B、C是三个互不相等的质
数，那么三个数分别是多少
【解答】如果A是偶数，左边是偶数，右边110是偶数，那么C也是偶数，偶质
数只有2，这样A和C相同了，不符合条件。

如果C是偶数，右边是偶数，那么
A或B中必有一个是偶数，不符合条件。

说明A和C都是奇质数，那么右边是奇数，左边只有当B＝2时，才满足是奇数。

根据A×（2＋C）＝110＋C
A×（2＋C）＝108＋（2＋C）
A×（2＋C）－（2＋C）＝108
（A－1）×（C＋2）＝108＝4×27＝12×9 即可得出A＝13，C＝7。

【题目4】是否存在自然数a和b，使得ab（a＋5b）＝15015
【解答】因为15015是一个奇数，只有全是奇数乘积才是奇数，因此a、b、a＋5b 都是奇数，但当a、b为奇数时，a＋5b却是偶数。

因此不存在这样的a和b。

【题目5】两个质数的和是2001，这两个质数的乘积是多少
【解答】两个质数的和是2001，2001是一个奇数，只有“奇数＋偶数”的和才是
奇数，因此必然有一个质数是偶数，即必然有一个是2，另一个就是2001－2＝1999，由此可以算出这两个质数的积是1999×2＝3998。

【题目6】如果一个质数分别加上2、8、14、26后，得到的和都是质数。

那么
原来的质数是多少
【解答】这四个数除以5的余数分别是2、3、4、1，所以这四个数加上比5大的质数，必然有一个是5的倍数，而不是质数。

因此原来的质数不大于5，经检验
得到这个质数是5或者3。

【题目7】一个长方体的长宽高是三个两两互质且均大于1的自然数，长方体的
体积是8721，那么它的表面积是多少
【解答】8721＝3×3×3×17×19，要使两两互质，相同的质因数只能在一个数里面。

因此这长宽高分别是27、17、19。

【题目8】四个连续自然数，它们从小到大依次是3的倍数、5的倍数、7的倍数、9的倍数，这四个连续自然数的和最小是多少
【解答】如果将这四个数都乘2，那么它们就相差2，且分别是3、5、7、9的倍
数，当每个数都分别减去3、5、7、9以后，剩下的数恰好相同，并且这个数恰
好
是3、5、7、9的公倍数。

要使这四个自然数最小，则先算出这3、5、7、9的最小公倍数315，最小数则是（315＋3）÷2＝159，则依次是160，161，162，四个
数的和就是159＋160＋161＋162＝642。

【题目9】一个大于1的自然数去除300、243，205时，得到相同的余数，则这个自然数是多少
【解答】假设这个数是a，余数是b，有a＞b。

那么300＝ar＋b；243＝as＋b；205＝at＋b。

300－243＝a×（r－s）；243－205
＝a×（s－t），两个差57和38含有公约数a，57和38的最大公约数是19，a
就是19的约数，且大于1，则a是19，即所求的数是19。

【题目10】一个两位数十位数字是7，将这个两位数的两个数字交换，相差的数是一个完全平方数，这个两位数是多少
【解答】设这个两位数是70＋a，交换后是10a＋7，交换后的差是63－9a或9a－
63，即9×（7－a）或9×（a－7）。

根据9×（7－a）可以得到a为6或3，根据9×（a－7）可以得到a为8。

因此这个两位数可能是78、76、73。