2022届辽宁省沈阳市第二中学高三第二次模拟考试数学试题及答案

沈阳二中22届第二次模拟考试 数学试题
说明：1.测试时间：120分钟
2.客观题涂在答题纸上，主观题答在答题卡的相应位置上。

一、单选题（本大题共8小题，共40.0分）
1．设集合{}60A x x =−≤，{}2B x x =<，则()R A B ⋂=（ ） A ．(]2,6
B ．(],2−∞
C ． []2,6
D ．[)6,+∞
2．若复数()()12i 2i z =+−，则z 在复平面内对应的点位于（ ） A ．第一象限
B ．第二象限
C ．第三象限
D ．第四象限
3．己知随机变量ξ服从正态分布()2
0,N σ，且(1)0.6P ξ<=，则(1)P ξ>−=（ ）
A ．0.6
B ．0.4
C ．0.3
D ．0.2
4．已知a ，b 为正实数，且22a b +=，则4a
a b +的最小值为（ ）
A ．1
B ．2
C ．4
D ．6
5．设0.3
3a =， 1.2
12b −⎛⎫
= ⎪
⎝⎭
，6log 0.8c =，则a ，b ，c 的大小关系为（ ） A ．a b c << B ．c a b << C ．c b a <<
D ． b a c <<
6．若3sin cos 0αα+=，则21
cos sin 2αα
=+（ ）
A ．
103 B ．53
C ．23
D ．2−
7．唐代诗人李颀的诗《古从军行》开头两句说：“白日登山望烽火，黄昏饮马傍交河.”诗中隐含着一个有趣的数学问题——“将军饮马”问题，即将军在观望烽火之后从山脚下某处出发，先到河边饮马后再回军营，怎样走才能使总路程最短？在平面直角坐标系中，设军营所在区域为221x y +≤，若将军从点()3,0A 处出发，河岸线所在直线方程为4x y +=，并假定将军只要到达军营所在区域即回到军营，则“将军饮马”的最短总路程为（ ）
A ．1
B ．2
C D 1
8．已知实数x ，y ，z 满足ln y x e x ye =且1
ln
z
x e ze x
=，若1y >，则（ ） A ．x y z >> B ．x z y >> C ．y z x >> D ．y x z >>
二、多选题（本大题共4小题，共20.0分. 在每小题给出的选项中，有多项符合题目要求，全部选对的得5分，部分选对的得2分，有选错的得0分.） 9．对任意实数a ，b ，c ，给出下列命题，其中假命题是（ ）． A ．“a b =”是“ac bc =”的充要条件 B ．“a b >”是“22a b >”的充分条件 C ．“5a <”是“3a <”的必要条件
D ．“5a +是无理数”是“a 是无理数”的充分不必要条件
10．为得到函数cos 3y x π⎛
⎫=− ⎪⎝
⎭的图象，只需将cos 2y x =的图象（ ）
A ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移6
π个单位长度 B ．先将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)，再向右平移
3
π
个单位长度
C ．先向右平移6
π
个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变) D ．先向右平移
3
π
个单位长度，再将横坐标扩大到原来的2倍(纵坐标不变)
11．已知定义在R 上的函数f (x )满足f (x )=f (-x )，f (x +1)=f (1-x )，且当x ∈[0，1]时， f (x )=-x 2+2x ，则下列结论正确的是（ ） A ．f (x )的图象关于直线x =1对称 B ．当[2,3]x ∈时，2()66f x x x =−+− C ．当[2,3]x ∈时，f (x )单调递增
D ．(2022)0f =
12．如图，若正方体的棱长为1，点M 是正方体1111ABCD A B C D −的侧面11ADD A 上的一个动点（含边界），P 是棱1CC 的中点，则下列结论正确的是（ ）
A ．沿正方体的表面从点A 到点P
B ．若保持||PM =M 在侧面内运动路径的长度为
3
π
C ．三棱锥1B C M
D −的体积最大值为1
6
D ．若M 在平面11ADD A 内运动，且111MD B B D B ∠=∠，点M 的轨迹为线段。

第II 卷（90分）
三、填空题（本大题共4小题，共20.0分）
13．抛物线24y x =上一点(2A 到焦点的距离为__________．
14.半径为3的金属球在机床上通过切割，加工成一个底面半径为2√2的圆柱，当圆柱的体积最大时，其侧面积为 .
15．有三个同样的箱子，A 箱中有4个黑球1个白球，B 箱中有3个黑球3个白球，C 箱中有3个黑球5个白球．现任取一箱，再从中任取一球，则此球是白球的概率为 . 16．已知两个不相等的非零向量两组向量
和
均由2个和3个排列而成.记
，
表示
所有可
能取值中的最小值.则下列命题正确的是_________（写出所有正确命题的编号）. ①有5个不同的值. ②若
则与
无关. ③若则
与
无关. ④若
，则
.
四、解答题（本大题共6小题，共70.0分.17题10分，其它题12分.） 17．△ABC 的内角A ，B ，C 的对边分别为a ，b ，c ，已cos cos cos cos 2
c
a B C
b A C +=. (1)求角C ；
(2)若5c a b +=，求ABC 的面积.
18．已知等差数列{}n a 满足59a =，4822a a +=. (1)求{}n a 的通项公式；
(2)等比数列{}n b 的前n 项和为n S ，且11b a =，再从下面①②③中选取两个作为条件，求满足2021n S <的n 的最大值.
①312b a a =+；②37S =；③1n n b b +>.（注：若选择不同的组合分别解答，则按第一个解答计分.）
19．随着我国经济的发展，人们生活水平的提高，汽车的保有量越来越高．汽车保险费是人们非常关心的话题．保险公司规定：上一年的出险次数决定了下一年的保费倍率，具体关系如下表：
经验表明新车商业车险保费与购车价格有较强的线性相关关系，下面是随机采集的8组数据(),x y（其中x（万元）表示购车价格，y（元）表示商业车险保费）：(8,2150)，(11,2400)，(18,3140)，(25,3750)，(25,4000)，(31,4560)，(37,5500)，(45,6500)．设由这8组数据得到的回归直线方程为1055
=+．
y bx
（1）求b的值．
（2）某车主蔡先生购买一辆价值20万元的新车．
①估计该车主蔡先生购车时的商业车险保费．
②若该车今年保险期间内已出过一次险，现在又被刮花了，蔡先生到4S店询价，预计修车费用为800元，保险专员建议蔡先生自费（即不出险），你认为蔡先生是否应该接受建议？并说明理由．（假设该车辆下一年与上一年购买相同的商业车险产品进行续保）．
−中，底面ABCD是正方形，
20．如图，在四棱锥P ABCD
PA AB
==，点M是PA的中点.
PA⊥平面ABCD，24
(1)求证：BD CM
⊥；
(2)求直线PC与平面MCD所成角的正弦值.
21．用数学的眼光看世界就能发现很多数学之“美”．现代建筑讲究线条感，曲线之美让人称奇．衡量曲线弯曲程度的重要指标是曲率，曲线的曲率定义如下：若()'f x 是()f x 的导函
数，()f x ''是()'f x 的导函数，则曲线()y f x =在点(,())x f x 处的曲率
()
322
()
1()f x K f x '''
=
⎡⎤+⎣⎦．
（1）若曲线()ln f x x x =+
与()g x (1,1)处的曲率分别为12,K K ，比较12,K K 大小； （2）求正弦曲线()sin ()h x x x R =∈曲率的平方K 2的最大值．
22．已知椭圆22
22:1(0)x y C a b a b
+=>>的左、右焦点为12,F F ，P 为椭圆上一点，且
212PF F F ⊥
，12tan PF F ∠=．
(1)求椭圆C 的离心率e ；
(2)已知直线l 交椭圆C 于,A B 两点，且线段AB 的中点为11,2Q ⎛
⎫− ⎪⎝⎭，若椭圆C 上存在点
M ，满足234OA OB OM +=，试求椭圆C 的方程．
沈阳二中22届第二次模拟考试数学 答案
1．C 2．A 3．A 4．D 5．B 6．A 7．D 8．D 9．ABD 10．BC 11．ACD 12．ABD 13
．3 15．
53
120
16．②④ 17.（1）由已知及正弦定理，得1
cos (sin cos cos sin )sin 2
C A B A B C +=，即
2cos sin()sin C A B C +=.
故2cos sin sin C C C =，可得1
cos 2
C =------3分 ∵(0,)C π∈，∴3
C π
=
；------4分
(2)由已知及余弦定理得，222cos 7a b ab C +−=，又5,3
a b C π
+==
，
故222()32537a b ab a b ab ab +−=+−=−=，因此，6ab =，------8分
∴△ABC 的面积1sin 2
2S ab C =
=
.------10分 18．(1)设等差数列{}n a 的公差为d ，因4822a a +=，则6222a =，即611a =，于是得
651192d a a =−=−=，------2分
从而有5(5)221n a a n n =+−⨯=−，所以{}n a 的通项公式是21n a n =−.------5分 (2)选择①②：
设等比数列{}n b 的公比为q ，因11b a =，312b a a =+，由(1)知， 11b =，34b =， 而37S =，则23132b S b b =−−=，即有2
1
2b q b =
=，------8分 于是得(
)112
11n
n
n b q S q
−=
=−−，------10分
因2021n S <，即212021n −<，而N n *∈，解得10n ≤，则max 10n =，所以满足2021n S <的
n 的最大值为10. ------12分
选择①③：设等比数列{}n b 的公比为q ，
因11b a =，312b a a =+，由(1)知，则11b =，34b =，由2
3
1
4b q b =
=，解得2q =±， 又1n n b b +>，则有2q
，------8分
于是得(
)112
11n
n
n b q S q
−=
=−−，-----10分
因2021n S <，即212021n −<，而N n *∈，解得10n ≤，则max 10n =，所以满足2021n S <的
n 的最大值为10. ------12分
选择②③：设等比数列{}n b 的公比为q ，因37S =，由(1)知，11b =，则217q q ++=，解得2q
或3q =−，而1n n b b +>，则有2q
，------8分
于是得(
)112
11n
n
n b q S q
−=
=−−，------10分
因2021n S <，即212021n −<，而N n *∈，解得10n ≤，则max 10n =，所以满足2021n S <的
n 的最大值为10. ------12分
19．（1）81118252531371200
()28
5845x +++++++=⨯=
=（万元）------3分 ()21502400314037504000456055006500132000
400088y =⨯=+++=++++（元），-6分
回归直线1055y bx =+经过样本点的中心()
,x y ，即()25,4000， 所以105540001055
117.825y b x
−−=
==．------8分
（2）①价值为20万元的新车的商业车险保费预报值为117.82010553411⨯+=（元）．
------10分
②由于该车已出过一次险，若再出一次险，则保费增加25%，即增加341125%852.75⨯=（元）．因为852.75800>，所以应该接受建议．------12分
20． (1)如图，连接AC ，∵四边形ABCD 是正方形，∴AC BD ⊥. 又
PA ⊥平面ABCD ，BD ⊂平面ABCD ，∴PA BD ⊥，∵,PA AC ⊂平面
PAC ，PA AC A =，∴BD ⊥平面PAC ，又CM ⊂平面PAC ，∴
BD CM ⊥。

------4分
(2)易知AB ，AD ，AP 两两垂直，以点A 为原点，建立如图所示的空间直角坐标系A xyz −.------5分
∵24PA AB ==，∴()0,0,0A ，()0,0,4P ，()0,0,2M ，()2,2,0C ，()0,2,0D ， ----7分
∴()2,2,2MC =−，()0,2,2MD =−，()2,2,4PC =−.
设平面MCD 的法向量为(),,n x y z =，则2220
220n MC x y z n MD y z ⎧⋅=+−=⎨⋅=−=⎩
，令1y =，得
()0,1,1n =.------9分
设直线PC 与平面MCD 所成角为θ，由图可知02
π
θ<<，
则
2sin cos ,6
1
n PC n PC n PC
θ⋅==
=
=
.------11分 即直线PC 与平面MCD .------12分 21． （1）1()1f x x '=+，21()f x x ''=−， 所以(
)1
33322222
(1)111[(1)](12)5f K f ''==='++，---2分 ()g x '=
3
2
1
()4
g x x −
''=−，()
2332
22
2
2
1(1)
241[(1)]5
112g K g ''=
=
=
'⎡⎤+⎛⎫+⎢⎥ ⎪⎝⎭
⎢⎥⎣⎦
，------4分
所以12K K <；------5分
（2）()cos h x x '=，()sin h x x ''=−，所以32
2
sin (1cos )
x K x =
+，------7分
222
2323
sin sin (1cos )(2sin )x x K x x ==+−，令22sin t x
=−，则[1,2]t ∈，232t K t −=------9分 设32()t p t t −=，则326
43(2)26
()t t t t p t t t
−−−−'==，------10分 显然当[1,2]t
∈时，()0p t '<，()p t 递减，所以max ()(1)1p t p ==．2
K 最大值为1. ----12分
22．、(1)
解：因为2
212tan 22b b a PF F c
ac ∠===26
b =，------2分 即()226a
c −=，则()261e −=，解得e =．------4分
(2)解：设()()()112200,,,,,A x y B x y M x y ，
由22
234
c e a ==，得2
243a c =，所以222221134b a c c a =−==，所以224a b =
设22
22:14x y C b b
+=，即22244x y b +=
由于,A B 在椭圆上，则2
221
144x y b ，22
22244x y b ，①
由234OA OB OM +=，得120120234234x x x y y y +=⎧⎨+=⎩，即120120234
234x x x y y y +⎧=⎪⎪⎨+⎪=⎪⎩
------6分
由M 在椭圆上，则2220044x y b +=,
即2
12222144232344x x y y b ⎛⎫
+= ⎪++⎛⎫ ⎪⎝⎝⎭
⎭， 即()()()22222
11121222441249464x y x x y y x y b +++++=，②
将①代入②得：212124x x y y b +=，③------8分 线段AB 的中点为11,2Q ⎛
⎫− ⎪⎝
⎭，设1:(1)2AB y k x =−−
可知()22211244y k x x y b
⎧
=−−
⎪⎨
⎪+=⎩ ()()2
2
2
22148444410k x k
k x k k b +−+++−+=
2122841
21142
k k x x k k ++==⨯⇒=
+，------10分 所以222220x x b −+−=，所以2
1222x x b ⋅=−，AB 方程为1
12
y x =
− 又()212121212111
11111224
22b y y x x x x x x −⎛⎫⎛⎫=−−=−++= ⎪⎪⎝⎭⎝⎭，④
将④代入③得：22
2214
22425
b b b b −−+⋅=⇒=，------11分
其中0∆>，解得212b >，经检验满足2
12b >，所以椭圆C 的方程为22551164
x y +=.----12分。