2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷(附答案详解)

2021年江苏省盐城市盐都区、大丰区中考数学一模试卷
1.在实数|−3|，−2，0，π中，最小的数是()
A. |−3|
B. −2
C. 0
D. π
2.围棋起源于中国，古代称之为“弈”，至今已有4000多年的历史.2017年5月，世
界围棋冠军柯洁与人工智能机器人AlpℎaGo进行围棋人机大战.截取首局对战棋谱中的四个部分，由黑白棋子摆成的图案是中心对称的是()
A. B.
C. D.
3.下列计算正确的是()
A. x⋅x=2x
B. (2x)2=2x2
C. (x3)3=x6
D. x+x=2x
4.在半径为6cm的圆中，60°的圆心角所对弧的弧长是()
A. πcm
B. 2πcm
C. 3πcm
D. 6πcm
5.王刚设计了一个转盘游戏：随意转动转盘，使指针最后落在红色区域的概率为1
，
3如果他将转盘等分成12份，则红色区域应占的份数是()
A. 3份
B. 4份
C. 6份
D. 9份
6.方程x2+x−3=0的两根分别是x1、x2，则x1+x2等于()
A. 1
B. −1
C. 3
D. −3
7.如图所示，由7个相同的小正方体组合成一个立体图形，从它上
面看到的平面图形是()
A.
B.
C.
D.
8.如图，火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)时，火车在隧道内的长度y随着火车
进入隧道的时间x的变化而变化的大致图象是()
A. B.
C. D.
9.如图，已知l1//l2，且∠1=120°，则∠2=______ ．
10.2020年6月23日，北斗三号最后一颗全球组网卫星从西昌发射中心发射升空，6月30
日成功定点于距离地球36000公里的地球同步轨道.将36000用科学记数法表示应为______ ．
11.若分式x−1
x+3
的值为0，则x=______ ．
12.把多项式4x2−y2分解因式的结果是______．
13.如图，在△ABC中，DE//BC，AD
BD =1
2
，则△ADE与四边形DBCE
的面积之比为______．
14.2022年将在北京−张家口举办冬季奥运会，北京将成为世界上第一个既举办夏季奥
运会，又举办冬季奥运会的城市．某队要从两名选手中选取一名参加比赛，为此对这两名队员进行了五次测试，测试成绩如图所示．若选择A选手，则理由是______．
(k为
15.如图，一次函数y1=−x+4的图象与反比例函数y2=k
x
常数且k≠0)的图象交于A(3,m)，B(n,3)两点．则在第一象
限内，当y1>y2时x的取值范围是______．
16.如图，在矩形ABCD中，BC=4，AB=a，点E为AD的中
点，点F为射线AB上一点，连接CF，BF=3，若将△AEF沿
直线EF折叠后，点A恰好落到CF上的点G处，则a的值为
______．
)−1．
17.计算：−2cos60°+20210−(−1
2
18.化简：2a(a+2b)−(a+2b)2．
19.先化简，再求值：x
x2−1÷(1+1
x−1
)，其中x=−2
3
．
20.已知：如图，在菱形ABCD中，对角线AC、BD相交于点O，DE//AC，AE//BD．
(1)求证：四边形AODE是矩形；
(2)若AB=2，DE=1，求四边形AODE的面积．
21.在一个不透明的袋子中有一个黑球和两个白球(除颜色外其他均相同)．
(1)小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是______；
(2)小强第一次从袋子中摸出一个球，摸到黑球不放回，摸到白球放回；第二次又
从袋子中摸出一个球，请用树状图(或列表法)求小强两次都摸到白球的概率．
22.体育李老师为了解九年级女生体质健康的变化情况，本学期从九年级全体90名女生
中随机抽取15名女生进行体质测试，并调取该15名女生上学期的体质测试成绩进行对比，李老师对两次数据(成绩)进行整理、描述和分析．下面给出了部分信息．
a.两次测试成绩(百分制)的频数分布直方图如下(数据分组：50≤x<60，60≤x<
70，70≤x<80，80≤x<90，90≤x≤100)；
b.上学期测试成绩在80≤x<90的是：
808183848488
c.两个学期测试成绩的平均数、中位数、众数如下：
学期平均数中位数众数
上学期82.9n84
本学期838686
根据以上信息，回答下列问题：
(1)表中n的值是______；
(2)体育李老师计划根据本学期统计数据安排80分以下的同学参加体质加强训练项
目，则九年级约有______名女生参加此项目；
(3)分析这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况．(从两个方面进行
分析)
23.在某次防灾抗灾过程中，为了保障某市的抗灾物资供应，现有一批救灾物资由A、B
两种型号的货车运输至该市．已知2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨．
(1)求1辆A型货车和1辆B型货车分别能满载多少吨；
(2)已知这批救灾物资共73吨，计划同时调用A、B两种型号的货车共10辆，并要求
一次性将全部物资运送到该市，试求一调用A、B两种型号的货车的方案．
24.如图，AB为⊙O的直径，C、D为圆上的两点，
OC//BD，弦AD与BC，OC分别交于E、F．
(1)求证：AC⏜=CD⏜；
(2)若CE=1，EB=3，求⊙O的半径．
25.已知抛物线y=ax2+2ax+3a2−4．
(1)该抛物线的对称轴为______ ；
(2)若该抛物线的顶点在x轴上，求抛物线的解析式；
(3)设点M(m,y1)，N(2,y2)在该抛物线上，若y1>y2，求m的取值范围．
26.如图，在△ABC中，∠BAC=30°，AB=AC，将线段AC绕点A逆
时针旋转α°(0<α<180)，得到线段AD，连接BD，交AC于点P．
(1)当α=90°时，
①依题意补全图形；
②求证：PD=2PB；
(2)写出一个α的值，使得PD=√3PB成立，并证明．
27.以下为一个合作学习小组在一次数学研讨中的过程记录，请阅读后完成下方的问题．
(Ⅰ)情景问题
如图1，在Rt△ABC中，∠ACB=90°，CD⊥AB，垂足为点D，且CD=3，求AB的
最小值．
(Ⅱ)合作探究
小明：我发现点A、B、C在以AB为直径的圆上……
小丽：取AB的中点O，连接OC，根据“直角三角形斜边上的中线等于斜边的一半”
AB，再由OC≥CD，就可以解决本题了．
可知：OC=1
2
(Ⅲ)计算猜想
小华：将情景问题中的∠ACB=90°改成∠ACB=60°，其余条件不变，如图2，我们也可以构造△ABC的外接圆，求得AB的最小值为______．
小军：根据上面的学习经验，我们可以进一步猜想“在△ABC中，∠ACB=α，CD⊥AB，垂足为点D，且CD=m，则AB的最小值为______.(用含a，m的代数式表示)”．(Ⅳ)推理证明
证明(Ⅲ)中小军的猜想．
问题1：帮助小明完成(Ⅱ)中的说理过程；
问题2：完成(Ⅲ)中的两个填空；
问题3：证明(Ⅲ)中小军的猜想；
问题4：图3中矩形ABCD是某实验室侧截面示意图，现需要在室内安装一块长1米的遮光板EF，且EF//AB，点E到墙AB的距离为3米，到地面BC的距离为4米．点O 为室内光源，OM、ON为光线，∠MON=50°，通过调节光源的位置，可以改变背光工作区的大小．若背光工作区BM+BN的和最大时，该实验室“可利用比”最高，求此时BM+BN的值．
答案和解析
1.【答案】B
【解析】解：在实数|−3|，−2，0，π中，
|−3|=3，则−2<0<|−3|<π，
故最小的数是：−2．
故选B．
直接利用绝对值的性质化简，进而比较大小得出答案．
此题主要考查了实数大小比较以及绝对值，正确掌握实数比较大小的方法是解题关键．
2.【答案】A
【解析】解：A、是中心对称图形，故本选项符合题意；
B、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
C、不是中心对称图形，故本选项不合题意；
D、不是中心对称图形，故本选项不合题意．
故选：A．
根据中心对称图形的概念对各选项分析判断即可得解．
本题考查了中心对称图形的概念，中心对称图形是要寻找对称中心，旋转180度后与原图重合．
3.【答案】D
【解析】解：x⋅x=x2，故A不符合题意；
(2x)2=4x2，故B不符合题意；
(x3)3=x9，故C不符合题意；
x+x=2x，故D符合题意；
故选：D．
根据同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及合并同类项法则即可得到答案．
本题考查整式的运算，掌握同底数幂的乘法、积的乘方、幂的乘方及合并同类项法则是解题的关键．
4.【答案】B
【解析】解：弧长为：60π×6
180
=2π(cm)．
故选：B．
弧长公式为nπR
180
，把半径和圆心角代入公式计算就可以求出弧长．
本题考查的是弧长的计算，利用弧长公式计算求出弧长．
5.【答案】B
【解析】解：∵他将转盘等分成12份，指针最后落在红色区域的概率为1
3
，设红色区域应占的份数是x，
∴x
12=1
3
，
解得x=4，
故选：B．
首先根据概率确定在图中红色区域的面积在整个面积中占的比例，根据这个比例即可求出红色区域应占的份数．
本题考查了几何概率的求法，根据面积之比即所求几何概率得出是解题关键．
6.【答案】B
【解析】解：根据题意得x1+x2=−1．
故选：B．
根据根与系数的关系求解．
本题考查了根与系数的关系：若x1，x2是一元二次方程ax2+bx+c=0(a≠0)的两根
时，x1+x2=−b
a ，x1x2=c
a
7.【答案】A
【解析】解：从上面看：共分3列，从左往右分别有2，2，1个小正方形．
找到从上面看所得到的图形即可．
本题考查简单组合体的三视图；用到的知识点为：主视图，左视图，俯视图分别是从物体的正面，左面，上面看得到的图形．
8.【答案】A
【解析】解：∵火车匀速通过隧道(隧道长大于火车长)，
∴火车从刚开始进入到完全进入隧道的过程中，y随x的增大而增大，
当火车完全进入隧道到火车头恰好刚要出隧道这一过程中，y随x的增大不发生变化，当火车头恰好出隧道到火车尾恰好出隧道这一过程中，y随x的增大而减小，
故选：A．
根据题意，可以写出各个过程中，y随x的增大如何变化，从而可以解答本题．
本题考查函数图象，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
9.【答案】60°
【解析】解：∵l1//l2，∠1=120°，
∴∠1=∠3=120°，
∵∠3+∠2=180°，
∴∠2=60°，
故答案为：60°．
根据平行线的性质，可以得到∠3的度数，再根据∠3+∠2=180°，即可得到∠2的度数．本题考查平行线的性质，解答本题的关键是明确题意，利用数形结合的思想解答．
10.【答案】3.6×104
【解析】解：将36000用科学记数法表示应为3.6×104，
故答案为：3.6×104．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．
此题考查了科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
11.【答案】1
【解析】解：∵x−1=0，∴x=1，
当x=1，时x+3≠0，
∴当x=1时，分式的值是0．
故答案为1．
分式的值是0的条件是：分子为0，分母不为0．
分式是0的条件中特别需要注意的是分母不能是0，这是经常考查的知识点．12.【答案】(2x+y)(2x−y)
【解析】解：原式=(2x+y)(2x−y)，
故答案为：(2x+y)(2x−y)
原式利用平方差公式分解即可．
此题考查了因式分解−运用公式法，熟练掌握平方差公式是解本题的关键．13.【答案】1：8
【解析】解：∵AD
BD =1
2
，
∴AD
AB =1
3
，
∵DE//BC，
∴△ADE∽△ABC
∴S△ADE
S△ABC =(AD
AB
)2=1
9
，
∴△ADE与四边形DBCE的面积之比为=1：8，
故答案为：1：8．
根据相似三角形的判定和性质定理即可得到结论．
本题考查了相似三角形的判定和性质，熟练掌握相似三角形的判定和性质定理是解题的关键．
14.【答案】A选手的成绩比较稳定
(7+8+8+9+8)=8，
【解析】解：A选手成绩的平均数为：1
5
(10+8+11+6+5)=8，
B选手成绩的平均数为：1
5
[(7−8)2+(8−8)2×3+(9−8)2]=0.4，
A选手成绩的方差为：1
5
[(10−8)2+(8−8)2+(11−8)2+(6−8)2+(5−8)2]=5.2，B选手成绩的方差为：1
5
∵0.4<5.2，
∴A选手的成绩比较稳定．
故答案为：A选手的成绩比较稳定．
根据折线统计图中的数据，分别计算A选手、B选手五次成绩的平均数和方差，做出判断即可．
本题考查折线统计图的意义和制作方法，平均数、方差，掌握平均数和方差的计算方法是正确解答的关键．
15.【答案】1<x<3
(k为常数且k≠0)的图【解析】解：∵一次函数y1=−x+4的图象与反比例函数y2=k
x
象交于A(3,m)，B(n,3)两点，
∴m=−3+4，3=−n+4，
∴m=1，n=1，
∴A(3,1)，B(1,3)，
由图象可知，在第一象限内，当y1>y2时x的取值范围是1<x<3，
故答案为：1<x<3．
把A(3,m)，B(n,3)两点分别代入y1=−x+4即可求得m、n的值，即可求得A、B的坐标，根据图象即可求得．
本题考查了一次函数和反比例函数的交点，一次函数图象上点的坐标特征，数形结合是解题的关键．
16.【答案】4或1
【解析】解：如图，连接EC，
∵四边形ABCD为矩形，
∴∠A=∠D=90°，BC=AD=4，DC=AB=a，
∵E为AD中点，
∴AE=DE=AD=2，
∴CE2=CD2+DE2=a2+4，
∵BF=3，BC=4，
∴CF=√BF2+BC2=√32+42=5，
由翻折知，△AEF≌△GEF，
∴AE=GE，∠AEF=∠GEF，∠EGF=∠EAF=90°=∠D，∴GE=DE，
∴EC平分∠DCG，
∴∠DCE=∠GCE，
∵∠GEC=90°−∠GCE，∠DEC=90°−∠DCE，
∴∠GEC=∠DEC，
∴∠FEC=∠FEG+∠GEC=1
2
×180°=90°，
∴∠FEC=∠D=90°，
又∵∠DCE=∠GCE，
∴△FEC∽△EDC，
∴CF
CE =CE
CD
，
∴CE2=CF⋅CD，
∴a2+4=5a，
解得：a=4或1．
故答案为：4或1．
连接EC，利用矩形的性质，求出DE的长度，证明EC平分∠DCF，再证∠FEC=90°，最后证△FEC∽△EDC，利用相似的性质即可求出AB的长度．
本题考查了矩形的性质，轴对称的性质，相似三角形的判定与性质等，解题关键是能够
作出适当的辅助线，熟练运用相似三角形的判定与性质．
17.【答案】解：原式=−2×1
2
+1−(−2)
=−1+1+2
=2．
【解析】分别化简零指数幂，负整数指数幂，代入特殊角三角函数值，然后先算乘法，再算加减．
本题考查实数的混合运算，理解a0=1(a≠0)，a−p=1
a p
(a≠0)，熟记特殊角三角函数值是解题关键．
18.【答案】解：2a(a+2b)−(a+2b)2
=(a+2b)[2a−(a+2b)]
=(a+2b)(2a−a−2b)
=(a+2b)(a−2b)
=a2−4b2．
【解析】先提取公因式a+2b，再进行运算．
本题主要考查平方差公式、整式的混合运算，熟练掌握整式的混合运算法则是解决本题的关键．
19.【答案】解：原式=x
(x+1)(x−1)÷x
x−1
=x
(x+1)(x−1)
⋅x−1
x
=1
x+1
，
当x=−2
3
时，原式=3．
【解析】原式括号中两项通分并利用同分母分式的加法法则计算，同时利用除法法则变形，约分得到最简结果，把x的值代入计算即可求出值．
此题考查了分式的化简求值，熟练掌握通分及约分是解本题的关键．
20.【答案】(1)证明：∵DE//AC，AE//BD，
∴四边形AODE是平行四边形，
∴AC⊥BD，
∴∠AOD=∠AOD=90°，
∴四边形AODE是矩形；
(2)解：∵四边形AODE是矩形，
∴AO=DE=1，
∵AB=2，
∴BO=√AB2−AO2=√3，
∴OD=BO=√3，
∴四边形AODE的面积=AO⋅OD=1×√3=√3．
【解析】(1)根据题意可判断出四边形AODE是平行四边形，再由菱形的性质可得出AC⊥BD，即∠AOD=90°，继而可判断出四边形AODE是矩形；
(2)由菱形的性质和勾股定理求出OB，得出OD，由矩形的面积公式即可得出答案．
本题考查了菱形的性质、矩形的判定与性质、勾股定理、平行四边形的判定；熟练掌握矩形的判定与性质和菱形的性质是解决问题的关键．
21.【答案】2
3
【解析】解：(1)小丽从袋子中摸出一个球，则摸到白球的概率是2
3
，
故答案为：2
3
；
(2)画树状图如下：
由树状图知，共有8种等可能结果，其中小强两次都摸到白球的有4种结果，
∴小强两次都摸到白球的概率为4
8=1
2
．
(1)直接利用概率公式求解即可；
(2)画树状图列出所有等可能结果，从中找到符合条件的结果数，再根据概率公式求解
考查列表法与树状图法，概率的求法；用到的知识点为：概率=所求情况数与总情况数之比；得到所求的情况数是解决本题的关键．
22.【答案】解：(1)83；
(2)18；
(3)这15名女生从上学期到本学期体质健康变化的总体情况为：体质测试成绩本学期比上学期明显变好，①平均分提高了，①高于80分占80%．
【解析】解：(1)表中n 的值是83；
故答案为：83；
(2)90×315=18，
答：九年级约有18名女生参加此项目；
故答案为：18；
(3)见答案．
(1)先确定中位数落在第3小组，再由此中位数即可；
(2)根据题意列式计算即可；
(3)对照表中数据即可得到结论．
本题主要考查频数分布直方图、中位数及样本估计总体，解题的关键是根据直方图得出解题所需数据及中位数的定义和意义、样本估计总体思想的运用．
23.
【答案】解：(1)设1辆A 型货车能满载救灾物资x 吨，1辆B 型货车能满载救灾物资y 吨， 依题意，得：{2x +3y =344x +2y =36
， 解得：{x =5y =8
． 答：1辆A 型货车能满载救灾物资5吨，1辆B 型货车能满载救灾物资8吨．
(2)设调用A 型货车m 辆，则调用B 型货车(10−m)辆，
依题意，得：5m +8(10−m)≥73，
解得：m ≤213．
又∵m 为正整数，
∴m 可以取1，2，
∴共有2种调车方案，方案1：调用A 型货车1辆，B 型货车9辆；方案2：调用A 型货车2辆，
B型货车8辆．
【解析】(1)设1辆A型货车能满载救灾物资x吨，1辆B型货车能满载救灾物资y吨，根据“2辆A型货车和3辆B型货车共可满载救灾物资34吨，4辆A型货车和2辆B型货车共可满载救灾物资36吨”，即可得出关于x，y的二元一次方程组，解之即可得出结论；(2)设调用A型货车m辆，则调用B型货车(10−m)辆，根据这10辆车的装载量不少于73吨，即可得出关于m的一元一次不等式，解之即可得出m的取值范围，再结合m为正整数，即可得出各调车方案．
本题考查了二元一次方程组的应用以及一元一次不等式的应用，解题的关键是：(1)找准等量关系，正确列出二元一次方程组；(2)根据各数量之间的关系，正确列出一元一次不等式．
24.【答案】(1)证明：∵AB是圆的直径，
∴∠ADB=90°，
∵OC//BD，
∴∠AFO=∠ADB=90°，
∴OC⊥AD
∴AC⏜=CD⏜．
(2)解：连接AC，如图，
∵AC⏜=CD⏜，
∴∠CAD=∠ABC，
∵∠ECA=∠ACB，
∴△ACE∽△BCA，
∴AC
BC =CE
AC
，
∴AC2=CE⋅CB，即AC2=1×(1+3)，∴AC=2，
∵AB是圆的直径，
∴∠ACB=90°，
∴AB=√AC2+BC2=√22+42=2√5，∴⊙O的半径为√5．
【解析】(1)根据圆周角定理得到∠ADB=90°，利用平行线的性质得到∠AFO=∠ADB= 90°，然后根据垂径定理得到结论；
(2)连接AC，如图，利用AC⏜=CD⏜得到∠CAD=∠ABC，再证明△ACE∽△BCA，利用相似比计算出AC=2，接着根据圆周角定理得到∠ACB=90°，然后利用勾股定理计算出AB，从而得到⊙O的半径；
本题考查了圆周角定理：在同圆或等圆中，同弧或等弧所对的圆周角相等，都等于这条弧所对的圆心角的一半．半圆(或直径)所对的圆周角是直角，90°的圆周角所对的弦是直径．也考查了垂径定理和相似三角形的判定与性质．
25.【答案】直线x=−1
【解析】解：(1)∵抛物线y=ax2+2ax+3a2−4．
∴对称轴为直线x=−1，
故答案为：直线x=−1；
(2)∵抛物线的顶点在x轴上，
∴顶点坐标为(−1,0)，
解得a=−1或a=4
3
，
∴抛物线的解析式为：y=−x2−2x−1或y=4
3x2+8
3
x+4
3
；
(3)∵对称轴为直线x=−1，
∴点N(2,y2)关于直线x=−1的对称点为N′(−4,y2)，
①当a>0时，若y1>y2，则m<−4或m>2；
②当a<0时，若y1>y2，则−4<m<2．
(1)根据题意可得抛物线的对称轴；
(2)抛物线的顶点在x轴上，可得顶点坐标为(−1,0)，进而可得a的值；
(3)根据点N(2,y2)关于直线x=−1的对称点为N′(−4,y2)，进而可得m的取值范围．
本题考查的待定系数法求二次函数的解析式，二次函数的性质，二次函数图象上点的坐标特征，要求学生非常熟悉函数与坐标轴的交点、顶点等点，代表的意义及函数特征等．
26.【答案】解：(1)当α=90°时，
①如图1即为补全的图形；
②证明：∵∠BAC=30°，AB=AC，
根据题意可知：
AD=AC=AB，∠CAD=90°，
∴∠DAB=60°，
∴△ADB是等边三角形，
∴∠D=60°，
∴∠P=30°，
∴PD=2AD=2PB，
即PD=2PB；
(2)当α=60时，PD=√3PB成立，
如图所示：
证明：根据题意可知：
∠DAC=60°，∠BAC=30°，
∴∠DAB=30°，AD=AC=AB，
∴∠D=∠ABD=∠ABC=∠ACB=75°，∴∠CBP=30°，
又AB=AB，
∴△ADB≌△ACB(ASA)，
∴DB=CB，
过点C作CE⊥BP于点E，
∴∠CEP=90°，
∵∠P=45°，
∴∠PCE=45°，
∴CE=PE，
设CE=PE=x，则BC=BD=2x，BE=√3x，
∴PD=DB+BE+EP=(3+√3)x，
PB=BE+PE=(√3+1)x，
∴√3PB=(3+√3)x，
∴PD=√3PB．
【解析】(1)当α=90°时，①依题意即可补全图形；
②根据30度角所对直角边等于斜边一半即可证明PD=2PB；
(2)当α的值为60度时，根据等腰三角形的性质即可证明PD=√3PB成立．
本题考查了作图−旋转变换、等腰三角形的性质、含30度角的直角三角形，解决本题的关键是掌握旋转的性质．
27.【答案】3√32m⋅sinα
1+cosα
【解析】问题1，如图1，
=6，理由如下：
AB
最小
取AB的中点，
∵∠ACB=90°，
∴AB=2OC，
∵OC≥CD，
∴当OC=CD=3时，
AB
最小
=2×3=6；
问题2，如图2，
解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，∴∠ABF=90°，
设⊙O的半径是R，
∵AB⏜=AB⏜，
∴∠F=∠ACB=60°，
∴AB=AF⋅sinF=2R⋅√3
2
=√3R，
BF=AF⋅cosF=1
2
AF=R，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB，
∴OE=1
2BF=1
2
R，
∵OC+OE≥CE，CE≥CD，
∴R+1
2
R≥3，
∴R≥2，
∴AB=√3R≥3√3，
∴AB的最小值是3√3，
故答案是3√3；
问题3，如图2，
解：作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，作直径AF，连接BF，∴∠ABF=90°，
设⊙O的半径是R，
∵AB⏜=AB⏜，
∴∠F=∠ACB=α，
∴AB=AF⋅sinF=2R⋅sinα，
BF=AF⋅cosF=2R⋅conα，
∵OE⊥AB，
∴AE=EB，
∴OE=1
2
BF=R⋅cosα，
∵OC+OE≥CE，CE≥CD，
∴R+R⋅cosα≥m，
∴R≥m
1+cosα
，
∴AB=2R⋅sinα≥2m⋅sinα
1+cosα
∴AB的最小值是2m⋅sinα
1+cosα
，
故答案是2m⋅sinα
1+cosα
；
问题4，如图3，
作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，
则FH⊥BC，
设∠NFH=∠EFO=β，
∴∠MEF=∠EFO+∠O=50°+β，
∴∠MEG=90°−(50°+β)=40°−β，
在BH的延长线上截取HL=GM，
∵EG=FH=3，
∠EGM=∠FHL=90°，
∴△EGM≌△FHL(SAS)，
∴∠HFL=∠GEM=40°−β，
∴∠NFL=∠HFL+∠NFH=(40°−β)+β=40°，由问题3可知，
NL
最小=2m⋅sinα
1+cosα
=6⋅sin40°
1+cos40∘
，
∵BM+BN=(BG−GM)+(BH−NH)=7−NL，
∴(BM+BN)
最大=7−6⋅sin40°
1+cos40∘
．
问题1，取AB的中点，可得AB=2OC且OC≥CD，从而求得；
问题2，作△ABC的外接圆⊙O，作OE⊥AB于E，可得AB√3R，BF=R，OC+OE≥CE，CE≥CD，进一步可得；
问题3，同问题2相同的方法过程，只需用字母表示即可；
问题4，作EG⊥AB于G，延长EF交BC于H，，由△EGM≌△FHL得∠HFL=∠GEM，从
而得∠NFL=40°，利用问题3的结论NL
最小=6⋅sin40°
1+cos40∘
，从而得出(BM+BN)最大=7−
6⋅sin40°
1+cos40∘
．
本题考查了与圆有关的性质，全等三角形的判定和性质等知识，解决问题的关键是“化归”，把问题转化为已知的模型和结论．。