2017年山东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析

2017年山东省高考文科数学试卷及参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合M＝{x||x－1|＜1},N＝{x|x＜2},则M∩N＝( )
A.(－1,1)
B.(－1,2)
C.(0,2)
D.(1,2)
2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi＝1＋i,则z2＝( )
A.－2i
B.2i
C.－2
D.2
3.(5分)已知x,y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
4.(5分)已知cosx＝,则cos2x＝( )
A.－
B.
C.－
D.
5.(5分)已知命题p：∃x∈R,x2－x＋1≥0.命题q：若a2＜b2,则a＜b,下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.p∧￢q
C.￢p∧q
D.￢p∧￢q
6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )
A.x＞3
B.x＞4
C.x≤4
D.x≤5
7.(5分)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5
B.5,5
C.3,7
D.5,7
9.(5分)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1),则f()＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
10.(5分)若函数e x f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)＝2－x
B.f(x)＝x2
C.f(x)＝3－x
D.f(x)＝cosx
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)已知向量＝(2,6),＝(－1,λ),若,则λ＝.
12.(5分)若直线＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2),则2a＋b的最小值为.
13.(5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积
为.
14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时,f(x)＝6－x,则f(919)＝.
15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线＝1(a＞0,b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A,B两点,若|AF|＋|BF|＝4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为.
三、解答题
16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A
1,A
2
,A
3
和3个欧洲国家B
1
,B
2
,B
3
中选择2个国
家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A
1但不包括B
1
的概率.
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝3,＝－6,S
△ABC
＝3,求A 和a.
18.(12分)由四棱柱ABCD－A
1B
1
C
1
D
1
截去三棱锥C
1
－B
1
CD
1
后得到的几何体如图所示,四边形
ABCD为正方形,O为AC与BD 的交点,E为AD的中点,A
1
E⊥平面ABCD,
(Ⅰ)证明：A
1O∥平面B
1
CD
1
；
(Ⅱ)设M是OD的中点,证明：平面A
1EM⊥平面B
1
CD
1
.
19.(12分)已知{a
n }是各项均为正数的等比数列,且a
1
＋a
2
＝6,a
1
a
2
＝a
3
.
(1)求数列{a
n
}通项公式；
(2){b
n } 为各项非零的等差数列,其前n项和为S
n
,已知S
2n＋1
＝b
n
b
n＋1
,求数列的前n项和
T
n
.
20.(13分)已知函数f(x)＝x3－ax2,a∈R,
(1)当a＝2时,求曲线y＝f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为,椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
2017年山东省高考数学试卷(文科)
参考答案与试题解析
一、选择题：本题共10小题,每小题5分,共50分。

在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的。

1.(5分)设集合M＝{x||x－1|＜1},N＝{x|x＜2},则M∩N＝( )
A.(－1,1)
B.(－1,2)
C.(0,2)
D.(1,2)
【分析】解不等式求出集合M,结合集合的交集运算定义,可得答案.
【解答】解：集合M＝{x||x－1|＜1}＝(0,2),
N＝{x|x＜2}＝(－∞,2),
∴M∩N＝(0,2),
故选：C.
【点评】本题考查的知识点是绝对值不等式的解法,集合的交集运算,难度不大,属于基础题.
2.(5分)已知i是虚数单位,若复数z满足zi＝1＋i,则z2＝( )
A.－2i
B.2i
C.－2
D.2
【分析】根据已知,求出z值,进而可得答案.
【解答】解：∵复数z满足zi＝1＋i,
∴z＝＝1－i,
∴z2＝－2i,
故选：A.
【点评】本题考查的知识点是复数代数形式的乘除运算,难度不大,属于基础题.
3.(5分)已知x,y满足约束条件则z＝x＋2y的最大值是( )
A.－3
B.－1
C.1
D.3
【分析】画出约束条件的可行域,利用目标函数的最优解求解即可.
【解答】解：x,y满足约束条件的可行域如图：目标函数z＝x＋2y经过可行域的A时,目标函数取得最大值,
由：解得A(－1,2),
目标函数的最大值为：－1＋2×2＝3.
故选：D.
【点评】本题考查线性规划的简单应用,确定目标函数的最优解是解题的关键,考查计算能力.
4.(5分)已知cosx＝,则cos2x＝( )
A.－
B.
C.－
D.
【分析】利用倍角公式即可得出.
【解答】解：∵根据余弦函数的倍角公式cos2x＝2cos2x－1,且cosx＝,
∴cos2x＝2×－1＝.
故选：D.
【点评】本题考查了倍角公式,考查了推理能力与计算能力,属于基础题.
5.(5分)已知命题p：∃x∈R,x2－x＋1≥0.命题q：若a2＜b2,则a＜b,下列命题为真命题的是( )
A.p∧q
B.p∧￢q
C.￢p∧q
D.￢p∧￢q
【分析】先判断命题p,q的真假,进而根据复合命题真假的真值表,可得答案.
【解答】解：命题p：∃x＝0∈R,使x2－x＋1≥0成立.
故命题p为真命题；
当a＝1,b＝－2时,a2＜b2成立,但a＜b不成立,
故命题q为假命题,
故命题p∧q,￢p∧q,￢p∧￢q均为假命题；
命题p∧￢q为真命题,
故选：B.
【点评】本题以命题的真假判断与应用为载体,考查了复合命题,特称命题,不等式与不等关系,难度中档.
6.(5分)若执行右侧的程序框图,当输入的x的值为4时,输出的y的值为2,则空白判断框中的条件可能为( )
A.x＞3
B.x＞4
C.x≤4
D.x≤5
x输出,需要x＞4,则判断框中的条件【分析】方法一：由题意可知：输出y＝2,则由y＝log
2
是x＞4,
方法二：采用排除法,分别进行模拟运算,即可求得答案.
x输出,需要x＞4,
【解答】解：方法一：当x＝4,输出y＝2,则由y＝log
2
故选B.
方法二：若空白判断框中的条件x＞3,输入x＝4,满足4＞3,输出y＝4＋2＝6,不满足,故A错误,
若空白判断框中的条件x＞4,输入x＝4,满足4＝4,不满足x＞3,输出y＝y＝log
4＝2,故B正
2
确；
若空白判断框中的条件x≤4,输入x＝4,满足4＝4,满足x≤4,输出y＝4＋2＝6,不满足,故C 错误,
若空白判断框中的条件x≤5,输入x＝4,满足4≤5,满足x≤5,输出y＝4＋2＝6,不满足,故D 错误,
故选：B.
【点评】本题考查程序框图的应用,考查计算能力,属于基础题.
7.(5分)函数y＝sin2x＋cos2x的最小正周期为( )
A. B. C.π D.2π
【分析】利用辅助角公式,化简函数的解析式,进而根据ω值,可得函数的周期.
【解答】解：∵函数y＝sin2x＋cos2x＝2sin(2x＋),
∵ω＝2,
∴T＝π,
故选：C.
【点评】本题考查的知识点是三角函数的周期性及其求法,难度不大,属于基础题.
8.(5分)如图所示的茎叶图记录了甲、乙两组各5名工人某日的产量数据(单位：件).若这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,则x和y的值分别为( )
A.3,5
B.5,5
C.3,7
D.5,7
【分析】由已知有中这两组数据的中位数相等,且平均值也相等,可得x,y的值.
【解答】解：由已知中甲组数据的中位数为65,
故乙组数据的中位数也为65,
即y＝5,
则乙组数据的平均数为：66,
故x＝3,
故选：A.
【点评】本题考查的知识点是茎叶图,平均数和中位数,难度不大,属于基础题.
9.(5分)设f(x)＝若f(a)＝f(a＋1),则f()＝( )
A.2
B.4
C.6
D.8
【分析】利用已知条件,求出a的值,然后求解所求的表达式的值即可.
【解答】解：当a∈(0,1)时,f(x)＝,若f(a)＝f(a＋1),可得＝2a,
解得a＝,则：f()＝f(4)＝2(4－1)＝6.
当a∈[1,＋∞)时.f(x)＝,若f(a)＝f(a＋1),
可得2(a－1)＝2a,显然无解.
故选：C.
【点评】本题考查分段函数的应用,考查转化思想以及计算能力.
10.(5分)若函数e x f(x)(e＝2.71828…是自然对数的底数)在f(x)的定义域上单调递增,则称函数f(x)具有M性质,下列函数中具有M性质的是( )
A.f(x)＝2－x
B.f(x)＝x2
C.f(x)＝3－x
D.f(x)＝cosx
【分析】根据已知中函数f(x)具有M性质的定义,可得f(x)＝2－x时,满足定义.
【解答】解：当f(x)＝2－x时,函数e x f(x)＝()x在R上单调递增,函数f(x)具有M性质, 故选：A.
【点评】本题考查的知识点是函数单调性的性质,难度不大,属于基础题.
二、填空题：本大题共5小题,每小题5分,共25分
11.(5分)已知向量＝(2,6),＝(－1,λ),若,则λ＝－3 .
【分析】利用向量共线定理即可得出.
【解答】解：∵,∴－6－2λ＝0,解得λ＝－3.
故答案为：－3.
【点评】本题考查了向量共线定理,考查了推理能力语音计算能力,属于基础题.
12.(5分)若直线＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2),则2a＋b的最小值为8 .
【分析】将(1,2)代入直线方程,求得＋＝1,利用“1”代换,根据基本不等式的性质,即可求得2a＋b的最小值.
【解答】解：直线＝1(a＞0,b＞0)过点(1,2),则＋＝1,
由2a＋b＝(2a＋b)×(＋)＝2＋＋＋2＝4＋＋≥4＋2＝4＋4＝8,
当且仅当＝,即a＝,b＝1时,取等号,
∴2a＋b的最小值为8,
故答案为：8.
【点评】本题考查基本不等式的应用,考查“1”代换,考查计算能力,属于基础题.
13.(5分)由一个长方体和两个圆柱体构成的几何体的三视图如图,则该几何体的体积为
2＋.
【分析】由三视图可知：长方体长为2,宽为1,高为1,圆柱的底面半径为1,高为1圆柱的,根据长方体及圆柱的体积公式,即可求得几何体的体积.
【解答】解：由长方体长为2,宽为1,高为1,则长方体的体积V
1
＝2×1×1＝2,
圆柱的底面半径为1,高为1,则圆柱的体积V
2
＝×π×12×1＝,
则该几何体的体积V＝V
1＋2V
1
＝2＋,
故答案为：2＋.
【点评】本题考查利用三视图求几何体的体积,考查长方体及圆柱的体积公式,考查计算能力,属于基础题.
14.(5分)已知f(x)是定义在R上的偶函数,且f(x＋4)＝f(x－2).若当x∈[－3,0]时,f(x)
＝6－x,则f(919)＝ 6 .
【分析】由题意可知：(x＋6)＝f(x),函数的周期性可知：f(x)周期为6,则f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1),由f(x)为偶函数,则f(1)＝f(－1),即可求得答案.
【解答】解：由f(x＋4)＝f(x－2).则f(x＋6)＝f(x),
∴f(x)为周期为6的周期函数,
f(919)＝f(153×6＋1)＝f(1),
由f(x)是定义在R上的偶函数,则f(1)＝f(－1),
当x∈[－3,0]时,f(x)＝6－x,
f(－1)＝6－(－1)＝6,
∴f(919)＝6,
故答案为：6.
【点评】本题考查函数的周期性及奇偶性的应用,考查计算能力,属于基础题.
15.(5分)在平面直角坐标系xOy中,双曲线＝1(a＞0,b＞0)的右支与焦点为F的抛物线x2＝2py(p＞0)交于A,B两点,若|AF|＋|BF|＝4|OF|,则该双曲线的渐近线方程为y＝±
x .
【分析】把x2＝2py(p＞0)代入双曲线＝1(a＞0,b＞0),可得：a2y2－2pb2y＋a2b2＝0,利用根与系数的关系、抛物线的定义及其性质即可得出.
【解答】解：把x2＝2py(p＞0)代入双曲线＝1(a＞0,b＞0),
可得：a2y2－2pb2y＋a2b2＝0,
∴y
A ＋y
B
＝,
∵|AF|＋|BF|＝4|OF|,∴y
A ＋y
B
＋2×＝4×,
∴＝p,
∴＝.
∴该双曲线的渐近线方程为：y＝±x.
故答案为：y＝±x.
【点评】本题考查了抛物线与双曲线的标准方程定义及其性质、一元二次方程的根与系数的
关系,考查了推理能力与计算能力,属于中档题.
三、解答题
16.(12分)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A
1,A
2
,A
3
和3个欧洲国家B
1
,B
2
,B
3
中选择2个国
家去旅游.
(Ⅰ)若从这6个国家中任选2个,求这2个国家都是亚洲国家的概率；
(Ⅱ)若从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,求这2个国家包括A
1但不包括B
1
的概率.
【分析】(Ⅰ)从这6个国家中任选2个,基本事件总数n＝＝15,这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m＝,由此能求出这2个国家都是亚洲国家的概率.
(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,利用列举法能求出这2个国家包括A
1但不包括B
1
的概率.
【解答】解：(Ⅰ)某旅游爱好者计划从3个亚洲国家A
1,A
2
,A
3
和3个欧洲国家B
1
,B
2
,B
3
中选择
2个国家去旅游.
从这6个国家中任选2个,基本事件总数n＝＝15,
这2个国家都是亚洲国家包含的基本事件个数m＝,
∴这2个国家都是亚洲国家的概率P＝＝＝.
(Ⅱ)从亚洲国家和欧洲国家中各任选1个,包含的基本事件个数为9个,分别为：
(A
1,B
1
),(A
1
,B
2
),(A
1
,B
3
),(A
2
,B
1
),(A
2
,B
2
),
(A
2,B
3
),(A
3
,B
1
),(A
3
,B
2
),(A
3
,B
3
),
这2个国家包括A
1但不包括B
1
包含的基本事件有：(A
1
,B
2
),(A
1
,B
3
),共2个,
∴这2个国家包括A
1但不包括B
1
的概率P＝.
【点评】本题考查概率的求法,涉及到古典概型、排列、组合、列举举等知识点,考查运算求解能力,考查集合思想,是基础题.
17.(12分)在△ABC中,角A,B,C的对边分别为a,b,c,已知b＝3,＝－6,S
△ABC
＝3,求A 和a.
【分析】根据向量的数量积和三角形的面积公式可得tanA＝－1,求出A和c的值,再根据余弦定理即可求出a.
【解答】解：由＝－6可得bccosA＝－6,①,
由三角形的面积公式可得S
△ABC
＝bcsinA＝3,②
∴tanA＝－1,
∵0＜A＜180°,
∴A＝135°,
∴c＝＝2,
由余弦定理可得a2＝b2＋c2－2bccosA＝9＋8＋12＝29
∴a ＝
【点评】本题考查了向量的数量积公式和三角形的面积公式和余弦定理,考查了学生的运算能力,属于中档题
18.(12分)由四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后得到的几何体如图所示,四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点,E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD, (Ⅰ)证明：A 1O ∥平面B 1CD 1；
(Ⅱ)设M 是OD 的中点,证明：平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【分析】(Ⅰ)取B 1D 1中点G,连结A 1G 、CG,推导出A 1G
OC,从而四边形OCGA 1是平行四边形,进
而A 1O ∥CG,由此能证明A 1O ∥平面B 1CD 1.
(Ⅱ)推导出BD ⊥A 1E,AO ⊥BD,EM ⊥BD,从而BD ⊥平面A 1EM,再由BD ∥B 1D 1,得B 1D 1⊥平面A 1EM,由此能证明平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【解答】证明：(Ⅰ)取B 1D 1中点G,连结A 1G 、CG, ∵四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点, ∴四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后,A 1G OC,
∴四边形OCGA 1是平行四边形,∴A 1O ∥CG, ∵A 1O ⊄平面B 1CD 1,CG ⊂平面B 1CD 1, ∴A 1O ∥平面B 1CD 1.
(Ⅱ)四棱柱ABCD －A 1B 1C 1D 1截去三棱锥C 1－B 1CD 1后,BD
B 1D 1, ∵M 是OD 的中点,O 为A
C 与B
D 的交点,
E 为AD 的中点,A 1E ⊥平面ABCD, 又BD ⊂平面ABCD,∴BD ⊥A 1E,
∵四边形ABCD 为正方形,O 为AC 与BD 的交点, ∴AO ⊥BD,
∵M 是OD 的中点,E 为AD 的中点,∴EM ⊥BD, ∵A 1E ∩EM ＝E,∴BD ⊥平面A 1EM, ∵BD ∥B 1D 1,∴B 1D 1⊥平面A 1EM, ∵B 1D 1⊂平面B 1CD 1,
∴平面A 1EM ⊥平面B 1CD 1.
【点评】本题考查线面平行的证明,考查面面垂直的证明,涉及到空间中线线、线面、面面间的位置关系等知识点,考查推理论证能力、运算求解能力、数据处理能力,考查化归与转化思
想、函数与方程思想、数形结合思想,是中档题.
19.(12分)已知{a
n }是各项均为正数的等比数列,且a
1
＋a
2
＝6,a
1
a
2
＝a
3
.
(1)求数列{a
n
}通项公式；
(2){b
n } 为各项非零的等差数列,其前n项和为S
n
,已知S
2n＋1
＝b
n
b
n＋1
,求数列的前n项和
T
n .
【分析】(1)通过首项和公比,联立a
1＋a
2
＝6、a
1
a
2
＝a
3
,可求出a
1
＝q＝2,进而利用等比数列的
通项公式可得结论；
(2)利用等差数列的性质可知S
2n＋1＝(2n＋1)b
n＋1
,结合S
2n＋1
＝b
n
b
n＋1
可知b
n
＝2n＋1,进而可知
＝,利用错位相减法计算即得结论.
【解答】解：(1)记正项等比数列{a
n
}的公比为q,
因为a
1＋a
2
＝6,a
1
a
2
＝a
3
,
所以(1＋q)a
1＝6,q＝q2a
1
,
解得：a
1
＝q＝2,
所以a
n
＝2n；
(2)因为{b
n
} 为各项非零的等差数列,
所以S
2n＋1＝(2n＋1)b
n＋1
,
又因为S
2n＋1＝b
n
b
n＋1
,
所以b
n
＝2n＋1,＝,
所以T
n
＝3•＋5•＋…＋(2n＋1)•,
T
n
＝3•＋5•＋…＋(2n－1)•＋(2n＋1)•,
两式相减得：T
n
＝3•＋2(＋＋…＋)－(2n＋1)•,
即T
n
＝3•＋(＋＋＋…＋)－(2n＋1)•,
即T
n
＝3＋1＋＋＋＋…＋)－(2n＋1)•＝3＋－(2n＋1)•＝5－.
【点评】本题考查数列的通项及前n项和,考查等差数列的性质,考查错位相减法,注意解题方法的积累,属于中档题.
20.(13分)已知函数f(x)＝x3－ax2,a∈R,
(1)当a＝2时,求曲线y＝f(x)在点(3,f(3))处的切线方程；
(2)设函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx,讨论g(x)的单调性并判断有无极值,有极值时求出极值.
【分析】(1)根据导数的几何意义即可求出曲线y＝f(x)在点(3,f(3))处的切线方程,
(2)先求导,再分类讨论即可求出函数的单调区间和极值
【解答】解：(1)当a＝2时,f(x)＝x3－x2,
∴f′(x)＝x2－2x,
∴k＝f′(3)＝9－6＝3,f(3)＝×27－9＝0,
∴曲线y＝f(x)在点(3,f(3))处的切线方程y＝3(x－3),即3x－y－9＝0
(2)函数g(x)＝f(x)＋(x－a)cosx－sinx＝x3－ax2＋(x－a)cosx－sinx,
∴g′(x)＝(x－a)(x－sinx),
令g′(x)＝0,解得x＝a,或x＝0,
①若a＞0时,当x＜0时,g′(x)＞0恒成立,故g(x)在(－∞,0)上单调递增,
当x＞a时,g′(x)＞0恒成立,故g(x)在(a,＋∞)上单调递增,
当0＜x＜a时,g′(x)＜0恒成立,故g(x)在(0,a)上单调递减,
∴当x＝a时,函数有极小值,极小值为g(a)＝－a3－sina
当x＝0时,有极大值,极大值为g(0)＝－a,
②若a＜0时,当x＞0时,g′(x)＞0恒成立,故g(x)在(－∞,0)上单调递增,
当x＜a时,g′(x)＞0恒成立,故g(x)在(－∞,a)上单调递增,
当a＜x＜0时,g′(x)＜0恒成立,故g(x)在(a,0)上单调递减,
∴当x＝a时,函数有极大值,极大值为g(a)＝－a3－sina
当x＝0时,有极小值,极小值为g(0)＝－a
③当a＝0时,g′(x)＝x(x＋sinx),
当x＞0时,g′(x)＞0恒成立,故g(x)在(0,＋∞)上单调递增,
当x＜0时,g′(x)＞0恒成立,故g(x)在(－∞,0)上单调递增,
∴g(x)在R上单调递增,无极值.
【点评】本题考查了导数的几何意义和导数和函数的单调性和极值的关系,关键是分类讨论,考查了学生的运算能力和转化能力,属于难题
21.(14分)在平面直角坐标系xOy中,已知椭圆C：＝1(a＞b＞0)的离心率为,椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2.
(Ⅰ)求椭圆C的方程；
(Ⅱ)动直线l：y＝kx＋m(m≠0)交椭圆C于A,B两点,交y轴于点M.点N是M关于O的对称点,
⊙N的半径为|NO|.设D为AB的中点,DE,DF与⊙N分别相切于点E,F,求∠EDF的最小值.
【分析】(Ⅰ)首先根据题中信息可得椭圆C过点(,1),然后结合离心率可得椭圆方程；
(Ⅱ)可将题目所求角度的最小值转化为求角度正弦的最小值,结合题目信息可求得D、N坐标及⊙N半径,进而将DN长度表示出来,可求∠EDF最小值.
【解答】解：(Ⅰ)∵椭圆C的离心率为,
∴＝,a2＝2b2,
∵椭圆C截直线y＝1所得线段的长度为2,
∴椭圆C过点(,1),
∴＋＝1,
∴b2＝2,a2＝4,
∴椭圆C的方程为＋＝1.
(Ⅱ)设A,B的横坐标为x
1,x
2
,
则A(x
1,kx
1
＋m),B(x
2
,kx
2
＋m),D(,＋m),
联立可得(1＋2k2)x2＋4kmx＋2m2－4＝0,
∴x
1＋x
2
＝－,
∴D(－,),
∵M(0,m),则N(0,－m),
∴⊙N的半径为|m|,
|DN|＝＝,
设∠EDF＝α,
∴sin＝＝＝＝,
令y＝,则y′＝,
当k＝0时,sin取得最小值,最小值为.
∴∠EDF的最小值是60°.
【点评】本题考查圆锥曲线的最值问题,重要的是能将角度的最小值进行转化求解.。