2022-2023学年八年级数学一元二次方程根与系数的关系(韦达定理)(含解析)

韦达定理
命题点一：利用判别式求值
例1若关于x 的方程ax2＋2(a ＋2)x ＋a ＝0有实数解，则实数a 的取值范围是 a ≥－1 .
例2(1)如果关于x 的一元二次方程kx2－
2k ＋1x ＋1＝0有两个不相等的实数
根，那么k 的取值范围是( D )
A ．k ＜12
B ．k ＜12且k ≠0
C ．－12≤k ＜12
D ．－12≤k ＜12
且k ≠0
(2)若关于x 的一元二次方程12
x2－2mx －4m ＋1＝0有两个相等的实数根，则(m －2)2－2m(m －1)的值为 72
． 命题点二：巧用韦达定理妙解代数式
例3若m ，n 是方程x2＋x －1＝0的两个实数根，则m2＋2m ＋n 的值为 0 . 例4(1)已知α，β是方程x2－x －1＝0的两个实数根，则代数式α2＋α(β2－2)的值为 0 ．
(2)若关于x 的一元二次方程2x2－2x ＋3m －1＝0的两个实数根为x1，x2，且x1x2>x1＋x2－4，则实数m 的取值范围是( D )
A ．m>－53
B ．m ≤12
C ．m ＜－53
D ．－53＜m ≤12
命题点三：根据根的范围求值
例5已知关于x 的方程ax2＋(a ＋1)x ＋6a ＝0有两个不相等的实数根x1，x2(x1＜1＜x2)，则实数a 的取值范围是( C )
A ．－1＜a ＜0
B ．a ＜－1
C ．－18＜a ＜0
D ．a ＜－18
例6已知关于x 的方程x2＋2px ＋1＝0的两个实数根一个大于1，另一个小于1，则实数p 的取值范围是 p ＜－1 ．
命题点四：解绝对值方程
例7设方程⎪⎪⎪⎪x2＋ax ＝4只有3个不相等的实数根，求a 的值和相应的3个根．
解：方程等价于如下两个方程：x2＋ax －4＝0，① x2＋ax ＋4＝0. ② ∵原方程只有3个不相等的实根，
又∵两个方程不可能有公共根，
∴必有且只有方程①或②有重根，Δ1＝a2＋16≥0，Δ2＝a2－16≥0.
由于Δ1>Δ2，故只可能是Δ2＝0，即a ＝±4.
∴当a ＝4时，相应的根为－2，－2±22；
∴当a ＝－4时，相应的根为2，2±2 2.
例8若关于x 的方程x2－(m ＋5)⎪⎪⎪⎪x ＋4＝m 恰好有3个实数解，
则实数m ＝ 4 . 命题点五：构造方程求值
例9已知m2－2m －1＝0，n2＋2n －1＝0且mn ≠1，则mn ＋n ＋1n
的值为 3 ． 例10已知mn ≠1，且5m2＋2 018m ＋9＝0，9n2＋2 018n ＋5＝0，则m n
值为( B )
A.59
B.95
C.6703
D ．－402 命题点六：三角形边的问题
例11如果方程(x －1)(x2－2x ＋m)＝0的三个根可以作为一个三角形的三边之长，那么实数m 的取值范围是( C )
A ．0≤m ≤1
B ．m ≥34 C.34＜m ≤1 D.34
≤m ≤1 例12△ABC 的一边长为5，另外两边长恰为方程2x2－12x ＋m ＝0的两个根，
则m 的取值范围是 112
<m ≤18 ． 命题点七：整数根问题
例13已知整数p ，q 满足p ＋q ＝2 010，且关于x 的一元二次方程67x2＋px ＋q ＝0的两个根均为正整数，则p ＝ －2278 ．
例14求满足如下条件的所有k 的值：使关于x 的方程kx2＋(k ＋1)x ＋(k －1)＝0的根都是整数．
解：分k ＝0和k ≠0两种情况讨论．
当k ＝0时，所给方程为x －1＝0，有整数根x ＝1.
当k ≠0时，所给方程为二次方程．
设两个整数根为x1和x2，则x1＋x2＝－k ＋1k ＝－1－1k
，① x1·x2＝k －1k ＝1－1k
.② 由①－②，得x1＋x2－x1·x2＝－2，整理，得(x1－1)(x2－1)＝3.
∵方程的根都是整数，∴(x1－1)(x2－1)＝3＝1×3＝(－1)×(－3)．
有x1－1＝1，x2－1＝3或x1－1＝－1，x2－1＝－3.故x1＋x2＝6或x1
＋x2＝－2，即－1－1k ＝6或－1－1k ＝－2，解得k ＝－17
或k ＝1. 又∵Δ＝(k ＋1)2－4k(k －1)＝－3k2＋6k ＋1，
当k ＝－17或k ＝1时，都有Δ＞0.∴满足要求的k 值为0，－17
，1. 课后练习
1．已知关于x 的一元二次方程mx2－(m ＋2)x ＋m 4
＝0有两个不相等的实数根x1，x2，若1x1＋1x2
＝4m ，则m 的值为( A ) A ．2 B ．－1 C ．2或－1 D ．不存在
2．已知关于x 的方程x2－(a2－2a －15)x ＋a －1＝0的两个根互为相反数，则a
的值是( B )
A．5 B．－3 C．5或－3 D．1
3．已知四个互不相等的正实数a，b，c，d满足(a2012－c2012)(a2012－d2012)＝2 012，(b2012－c2012)(b2012－d2012)＝2 012，则(ab)2012－(cd)2012的值为( A )
A．－2 012 B．－2 011 C．2 012 D．2 011
4．若实数a，b满足1
2
a－ab＋b2＋2＝0，则实数a的取值范围是( C ) A．a≤－2 B．a≥4 C．a≤－2或a≥4 D．－2≤a≤4
5．已知关于x的方程x2＋(k－2)x＋5－k＝0有两个大于2的实数根，则k的取值范围是( A )
A．－5＜k≤－4 B．k>－5 C．k≤－4 D．－4≤k＜－2
6．关于x的一元二次方程x2－2kx＋k2－k＝0的两个实数根分别是x1，x2，且x21＋x22＝4，则x21－x1x2＋x22的值为4 ．
7．如果m，n是两个不相等的实数，且满足m2－m＝3，n2－n＝3，那么代数式2n2－mn＋2m＋2 015＝2026 .
8．设a，b是一元二次方程x2－x－1＝0的两个根，则3a3＋4b＋2
a2
的值为11 ．
9．若方程⎪⎪⎪⎪x2－5x ＝a 有且只有相异的两个实数根，则a 的取值范围是 a ＝0
或a>254
． 10．若p ＋q ＝198，则方程x2＋px ＋q ＝0的最大整数解为 200 ．
11．关于x 的一元二次方程x2－mx ＋2m －1＝0的两个实数根分别是x1，x2，
且x21＋x22＝7，求下列代数式的值：(1)(x1－x2)2. (2)x2x1＋2＋x1x2
. 解：由根与系数的关系，得x1＋x2＝m ，x1·x2＝2m －1.
∵x21＋x22＝(x1＋x2)2－2x1x2＝m2－2×(2m －1)＝7，
∴m2－4m －5＝0.
∴m1＝5，m2＝－1.
当m1＝5时，Δ＝m2－4(2m －1)＝25－36＝－9＜0(不合题意，舍去)； 当m2＝－1时，Δ＝1－(－12)＝13>0.
∴m ＝－1.
∴x1＋x2＝－1，x1x2＝－3.
∴(x1－x2)2＝(x1＋x2)2－4x1x2＝13，
x2x1＋2＋x1x2＝(x1＋x2)2x1·x2＝－13
.
12．已知方程x2＋px ＋q ＝0的两个根是x1，x2，那么x1＋x2＝－p ，x1x2＝
q.请根据以上结论，解决下列问题：
(1)已知a ，b 满足a2－15a －5＝0，b2－15b －5＝0，求a b ＋b a
的值． (2)已知a ，b ，c 均为实数，且a ＋b ＋c ＝0，abc ＝16，求正数c 的最小值． 解：(1)当a ≠b 时，则a ，b 为方程x2－15x －5＝0的两个根，
∴a ＋b ＝15，ab ＝－5.
∴原式＝a2＋b2ab ＝(a ＋b)2－2ab ab ＝152－2×(－5)－5
＝－47. 当a ＝b 时，原式＝2.
综上所述，a b ＋b a
的值为－47或2. (2)由条件，得a ＋b ＝－c ，ab ＝16c ，则a ，b 为方程x2＋cx ＋16c
＝0的两个实数根，
∴Δ＝c2－4×16c
≥0，c3≥64，即c ≥4. 故正数c 的最小值为4.
13．(自主招生模拟题)已知x1，x2，x3(x1＜x2＜x3)为关于x 的方程x3－3x2＋(a ＋2)x －a ＝0的三个实数根，则4x1－x21＋x22＋x23的值为( A )
A ．5
B ．6
C ．7 D.8
14．(自主招生模拟题)设a ，b ，c ，d 为四个不同的实数，若a ，b 为方程x2－10cx －11d ＝0的根，c ，d 为方程x2－10ax －11b ＝0的根，则a ＋b ＋c ＋d ＝ 1210 ．
15．(自主招生真题)设x 为正数，求分式
x (x ＋1)2的最大值． 解：设k ＝x (x ＋1)2
. 整理，得kx2＋(2k －1)x ＋k ＝0.
由Δ＝(2k －1)2－4k2≥0，得k ≤14
， 即分式x
(x ＋1)2的最大值为14
.。