2013年天津市中考压轴题分析
2013天津中考数学压轴题预测(含答案)
【01】如图，已知抛物线2(1)y a x =-+a ≠0）经过点(2)A -，0，抛物线的顶点为D ，过O 作射线O M A D ∥．过顶点D 平行于x 轴的直线交射线O M 于点C ，B 在x 轴正半轴上，连结B C ． （1）求该抛物线的解析式；（2）若动点P 从点O 出发，以每秒1个长度单位的速度沿射线O M 运动，设点P 运动的时间为()t s ．问当t 为何值时，四边形D A O P 分别为平行四边形？直角梯形？等腰梯形？（3）若O C O B =，动点P 和动点Q 分别从点O 和点B 同时出发，分别以每秒1个长度单位和2个长度单位的速度沿O C 和B O 运动，当其中一个点停止运动时另一个点也随之停止运动．设它们的运动的时间为t ()s ，连接PQ ，当t 为何值时，四边形BCPQ 的面积最小？并求出最小值及此时PQ 的长．【02】如图16，在Rt △ABC 中，∠C=90°，AC = 3，AB = 5．点P 从点C 出发沿CA 以每秒1个单位长的速度向点A 匀速运动，到达点A 后立刻以原来的速度沿AC 返回；点Q 从点A 出发沿AB 以每秒1个单位长的速度向点B 匀速运动．伴随着P 、Q 的运动，DE 保持垂直平分PQ ，且交PQ 于点D ，交折线QB-BC-CP 于点E ．点P 、Q 同时出发，当点Q 到达点B 时停止运动，点P 也随之停止．设点P 、Q 运动的时间是t 秒（t ＞0）． （1）当t = 2时，AP = ，点Q 到AC 的距离是 ；（2）在点P 从C 向A 运动的过程中，求△APQ 的面积S 与 t 的函数关系式；（不必写出t 的取值范围）（3）在点E 从B 向C 运动的过程中，四边形QBED 能否成 为直角梯形？若能，求t 的值．若不能，请说明理由； （4）当DE 经过点C 时，请直接写出t 的值．【03】如图，在平面直角坐标系中，已知矩形ABCD 的三个顶点B （4，0）、C （8，0）、D （8，8）.抛物线y=ax2+bx 过A 、C 两点.(1)直接写出点A 的坐标，并求出抛物线的解析式；(2)动点P 从点A 出发．沿线段AB 向终点B 运动，同时点Q 从点C 出发，沿线段CD向终点D 运动．速度均为每秒1个单位长度，运动时间为t 秒.过点P 作PE ⊥AB 交AC 于点E ，①过点E 作EF ⊥AD 于点F ，交抛物线于点G.当t 为何值时，线段EG 最长? ②连接EQ ．在点P 、Q 运动的过程中，判断有几个时刻使得△CEQ 是等腰三角形? 请直接写出相应的t 值。
天津市2013年中考数学试卷分析及点评
天津市2013年中考数学试卷分析及点评天津市2013年中考数学试卷一、选择题（共10小题，每小题3分，满分30分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的） 1．（3分）（2013•天津）计算（�3）+（�9）的结果等于（）A． 12 B．�12 C． 6 D．�6考点：有理数的加法．分析：根据有理数的加法法则，先确定出结果的符号，再把绝对值相加即可．解答：解：（�3）+（�9）=�12；故选B．点评：本题考查了有理数的加法，用到的知识点是有理数的加法法则，比较简单，属于基础题． 2．（3分）（2013•天津）tan60°的值等于（） A． 1 B． C． D． 2考点：特殊角的三角函数值．分析：根据记忆的特殊角的三角函数值即可得出答案．解答：解：tan60°= ．故选C．点评：本题考查了特殊角的三角函数值，一些特殊角的三角函数值是需要我们熟练记忆的内容． 3．（3分）（2013•天津）下列标志中，可以看作是中心对称图形的是（） A． B． C． D．考点：中心对称图形分析：根据中心对称图形的定义，结合选项所给图形进行判断即可．解答：解：A、不是中心对称图形，故本选项错误； B、不是中心对称图形，故本选项错误； C、不是中心对称图形，故本选项错误； D、是中心对称图形，故本选项正确；故选D．点评：本题考查了中心对称图形的知识，判断中心对称图形是要寻找对称中心，图形旋转180度后与原图形重合． 4．（3分）（2013•天津）中国园林网4月22日消息：为建设生态滨海，2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210 000m2，将8210 000用科学记数法表示应为（） A．821×102 B．82.1×105 C．8.21×106 D．0.821×107考点：科学记数法―表示较大的数．分析：科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．当原数绝对值＞1时，n是正数；当原数的绝对值＜1时，n是负数．解答：X 解：8 210 000=8.21×106，故选：C．点评：此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|＜10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值． 5．（3分）（2013•天津）七年级（1）班与（2）班各选出20名学生进行英文打字比赛，通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计，两班成绩的平均数相同，（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，由此可知（）A．（1）班比（2）班的成绩稳定 B．（2）班比（1）班的成绩稳定 C．两个班的成绩一样稳定 D．无法确定哪班的成绩更稳定考点：方差．分析：根据方差的意义可作出判断．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．解答：解：∵（1）班成绩的方差为17.5，（2）班成绩的方差为15，∴（1）班成绩的方差＞（2）班成绩的方差，∴（2）班比（1）班的成绩稳定．故选B．点评：本题考查方差的意义．方差是用来衡量一组数据波动大小的量，方差越大，表明这组数据偏离平均数越大，即波动越大，数据越不稳定；反之，方差越小，表明这组数据分布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定． 6．（3分）（2013•天津）如图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形，它的三视图是（） A． B． C． D．考点：简单组合体的三视图．分析：主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．解答：解：所给图形的三视图是A选项所给的三个图形．故选A．点评：本题考查了几何体的三种视图，掌握定义是关键． 7．（3分）（2013•天津）如图，在△ABC中，AC=BC，点D、E分别是边AB、AC的中点，将△ADE绕点E旋转180°得△CFE，则四边形ADCF一定是（）A．矩形 B．菱形 C．正方形 D．梯形考点：旋转的性质；矩形的判定．分析：根据旋转的性质可得AE=CE，DE=EF，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出四边形ADCF是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出∠ADC=90°，再利用有一个角是直角的平行四边形是矩形解答．解答：解：∵△ADE绕点E旋转180°得△CFE，∴AE=CE，DE=EF，∴四边形ADCF是平行四边形，∵AC=BC，点D是边AB的中点，∴∠ADC=90°，∴四边形ADCF矩形．故选A．点评：本题考查了旋转的性质，矩形的判定，主要利用了对角线互相平分的四边形是平行四边形，有一个角是直角是平行四边形是矩形的判定方法，熟练掌握旋转变换只改变图形的位置不改变图形的形状与大小是解题的关键． 8．（3分）（2013•天津）正六边形的边心距与边长之比为（） A．：3 B．：2 C． 1：2 D．：2考点：正多边形和圆．分析：首先根据题意画出图形，然后设六边形的边长是a，由勾股定理即可求得OC的长，继而求得答案．解答：解：如图：设六边形的边长是a，则半径长也是a；经过正六边形的中心O作边AB的垂线OC，则AC= AB= a，∴OC= = a，∴正六边形的边心距与边长之比为： a：a= ：2．故选B．点评：此题考查了正多边形和圆的关系．此题难度不大，注意掌握数形结合思想的应用． 9．（3分）（2013•天津）若x=�1，y=2，则�的值等于（） A． B． C． D．考点：分式的化简求值．分析：先根据分式混合运算的法则把原式进行化简，再把x，y的值代入进行计算即可．解答：解：原式= � = = = ，当x=�1，y=2时，原式= = ．故选D．点评：本题考查的是分式的混合运算，熟知分式混合运算的法则是解答此题的关键． 10．（3分）（2013•天津）如图，是一对变量满足的函数关系的图象，有下列3个不同的问题情境：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，在原地休息了4分，然后以500米/分的速度匀速骑回出发地，设时间为x分，离出发地的距离为y千米；②有一个容积为6升的开口空桶，小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，等4分后，再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，设时间为x分，桶内的水量为y升；③矩形ABCD中，AB=4，BC=3，动点P从点A出发，依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止，设点P的运动路程为x，当点P与点A不重合时，y=S△ABP；当点P与点A重合时，y=0．其中，符合图中所示函数关系的问题情境的个数为（） A． 0 B． 1 C． 2 D． 3考点：函数的图象．分析：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③当点P在AC上运动时，S△ABP的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；解答：解：①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分，所走路程为2000米，与图象不符合；②小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水，注5分后停止，注水量为1.2×5=6升，等4分钟，这段时间水量不变；再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水，则3分钟后水量为0，符合函数图象；③如图所示：当点P在AC上运动时，S△ABP 的面积一直增加，当点P运动到点C时，S△ABP=6，这段时间为5，；当点P在CD上运动时，S△ABP不变，这段时间为4，；当点P在DA 上运动时，S△ABP减小，这段时间为3，符合函数图象；综上可得符合图中所示函数关系的问题情境的个数为2．故选C．点评：本题考查了函数的图象，解答本题需要同学们仔细分析所示情景，判断函数图象是否符合，要求同学们能将实际问题转化为函数图象，有一定难度．二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分） 11．（3分）（2013•天津）计算a•a6的结果等于a7 ．考点：同底数幂的乘法．专题：计算题．分析：利用同底数幂的法则计算即可得到结果．解答：解：a•a6=a7．故答案为：a7 点评：此题考查了同底数幂的乘法运算，熟练掌握运算法则是解本题的关键． 12．（3分）（2013•天津）一元二次方程x（x�6）=0的两个实数根中较大的根是 6 ．考点：解一元二次方程-因式分解法．专题：计算题．分析：原方程转化为x=0或x�6=0，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根．解答：解：∵x=0或x�6=0，∴x1=0，x2=6，∴原方程较大的根为6．故答案为6．点评：本题考查了解一元二次方程�因式分解法：先把方程右边变形为0，再把方程左边分解为两个一次式的乘积，这样原方程转化为两个一元一次方程，然后解一次方程即可得到一元二次方程的解． 13．（3分）（2013•天津）若一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，则的取值范围是k＞0 ．考点：一次函数图象与系数的关系．分析：根据一次函数图象所经过的象限确定k的符号．解答：解：∵一次函数y=kx+1（k为常数，k≠0）的图象经过第一、二、三象限，∴k＞0．故填：k＞0．点评：本题主要考查一次函数图象在坐标平面内的位置与k、b的关系．解答本题注意理解：直线y=kx+b所在的位置与k、b的符号有直接的关系．k＞0时，直线必经过一、三象限．k＜0时，直线必经过二、四象限．b＞0时，直线与y轴正半轴相交．b=0时，直线过原点；b＜0时，直线与y轴负半轴相交． 14．（3分）（2013•天津）如图，已知∠C=∠D，∠ABC=∠BAD，AC与BD相交于点O，请写出图中一组相等的线段AC=BD（答案不唯一）．考点：全等三角形的判定与性质．专题：开放型．分析：利用“角角边”证明△ABC和△BAD全等，再根据全等三角形对应边相等解答即可．解答：解：∵在△ABC和△BAD中，，∴△ABC≌△BAD （AAS），∴AC=BD，AD=BC．故答案为：AC=BD（答案不唯一）．点评：本题考查了全等三角形的判定与性质，是基础题，关键在于公共边AB的应用，开放型题目，答案不唯一． 15．（3分）（2013•天津）如图，PA、PB分别切⊙O于点A、B，若∠P=70°，则∠C的大小为55 （度）．考点：切线的性质．分析：首先连接OA，OB，由PA、PB分别切⊙O于点A、B，根据切线的性质可得：OA⊥PA，OB⊥PB，然后由四边形的内角和等于360°，求得∠AOB的度数，又由圆周角定理，即可求得答案．解答：解：连接OA，OB，∵PA、PB分别切⊙O于点A、B，∴OA⊥PA，OB⊥PB，即∠PAO=∠PBO=90°，∴∠AOB=360°�∠PAO�∠P�∠PBO=360°�90°�70°�90°=11 0°，∴∠C= ∠AOB=55°．故答案为：55．点评：此题考查了切线的性质以及圆周角定理．此题难度不大，注意掌握辅助线的作法，注意掌握数形结合思想的应用． 16．（3分）（2013•天津）一个口袋中有四个完全相同的小球，把它们分别标号为1、2、3、4，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，则两次摸出的小球标号的和等于4的概率是．考点：列表法与树状图法．专题：计算题．分析：先画树状图展示所有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，然后根据概率的概念计算即可．解答：解：如图，随机地摸出一个小球，然后放回，再随机地摸出一个小球，共有16种等可能的结果数，其中两次摸出的小球标号的和等于4的占3种，所有两次摸出的小球标号的和等于4的概率= ．故答案为．点评：本题考查了列表法或树状图法：利用列表法或树状图法展示所有等可能的结果数n，再找出某事件所占有的结果数m，然后利用概率的概念求得这个事件的概率= ． 17．（3分）（2013•天津）如图，在边长为9的正三角形ABC中，BD=3，∠ADE=60°，则AE的长为7 ．考点：相似三角形的判定与性质；等边三角形的性质．分析：先根据边长为9，BD=3，求出CD的长度，然后根据∠ADE=60°和等边三角形的性质，证明△ABD∽△DCE，进而根据相似三角形的对应边成比例，求得CE的长度，即可求出AE的长度．解答：解：∵△ABC 是等边三角形，∴∠B=∠C=60°，AB=BC；∴CD=BC�BD=9�3=6；∴∠BAD+∠ADB=120° ∵∠ADE=60°，∴∠ADB+∠EDC=120°，∴∠DAB =∠EDC，又∵∠B=∠C=60°，∴△ABD∽△DCE，则 = ，即 = ，解得：CE=2，故AE=AC�CE=9�2=7．故答案为：7．点评：此题主要考查了相似三角形的判定和性质以及等边三角形的性质，根据等边三角形的性质证得△ABD∽△DCE是解答此题的关键． 18．（3分）（2013•天津）如图，将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中，点A、B、C均落在格点上．（Ⅰ）△ABC的面积等于 6 ；（Ⅱ）若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形，请你在如图所示的网格中，用直尺和三角尺画出该正方形，并简要说明画图方法（不要求证明）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．考点：作图―相似变换；三角形的面积；正方形的性质．专题：计算题．分析：（Ⅰ）△ABC以AB为底，高为3个单位，求出面积即可；（Ⅱ）作出所求的正方形，如图所示，画图方法为：取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC 相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求解答：解：（Ⅰ）△ABC的面积为：×4×3=6；（Ⅱ）如图，取格点P，连接PC，过点 A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC 相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求．故答案为：（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG即为所求点评：此题考查了作图�位似变换，三角形的面积，以及正方形的性质，作出正确的图形是解本题的关键．三、解答题（共8小题，满分66分） 19．（6分）（2013•天津）解不等式组．考点：解一元一次不等式组．专题：计算题．分析：分别解两个不等式得到x＜3和x＞�3，然后根据大于小的小于大的取中间确定不等式组的解集．解答：解：，解①得x＜3，解②得x＞�3，所以不等式组的解集为�3＜x＜3．点评：本题考查了解一元一次不等式组：求解出两个不等式的解集，然后按照“同大取大，同小取小，大于小的小于大的取中间，小于小的大于大的无解”确定不等式组的解集． 20．（8分）（2013•天津）已知反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3）．（Ⅰ）求这个函数的解析式；（Ⅱ）判断点B（�1，6），C（3，2）是否在这个函数的图象上，并说明理由；（Ⅲ）当�3＜x＜�1时，求y的取值范围．考点：待定系数法求反比例函数解析式；反比例函数的性质；反比例函数图象上点的坐标特征．分析：（1）把点A的坐标代入已知函数解析式，通过方程即可求得k的值．（Ⅱ）只要把点B、C的坐标分别代入函数解析式，横纵坐标坐标之积等于6时，即该点在函数图象上；（Ⅲ）根据反比例函数图象的增减性解答问题．解答：解：（Ⅰ）∵反比例函数y= （k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），∴把点A的坐标代入解析式，得 3= ，解得，k=6，∴这个函数的解析式为：y= ；（Ⅱ）∵反比例函数解析式y= ，∴6=xy．分别把点B、C的坐标代入，得（�1）×6=�6≠6，则点B不在该函数图象上．3×2=6，则点C中该函数图象上；（Ⅲ）∵当x=�3时，y=�2，当x=�1时，y=�6，又∵k＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，∴当�3＜x＜�1时，�6＜y＜�2．点评：本题考查了反比例函数图象的性质、待定系数法求反比例函数解析式以及反比例函数图象上点的坐标特征．用待定系数法求反比例函数的解析式，是中学阶段的重点． 21．（8分）（2013•天津）四川雅安发生地震后，某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动，为了解捐款情况，学会生随机调查了部分学生的捐款金额，并用得到的数据绘制了如下统计图①和图②，请根据相关信息，解答下列是问题：（Ⅰ）本次接受随机抽样调查的学生人数为50 ，图①中m的值是32 ；（Ⅱ）求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数；（Ⅲ）根据样本数据，估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．考点：条形统计图；用样本估计总体；扇形统计图；加权平均数；中位数；众数．分析：（1）根据条形统计图即可得出样本容量根据扇形统计图得出m的值即可；（2）利用平均数、中位数、众数的定义分别求出即可；（3）根据样本中捐款10元的人数，进而得出该校本次活动捐款金额为10元的学生人数．解答：解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人）， m=100�20�24�16�8=32；（2）∵ = （5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16，∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10，∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15=15）=15；（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．故答案为：50，32．点评：此题主要考查了平均数、众数、中位数的统计意义以及利用样本估计总体等知识．找中位数要把数据按从小到大的顺序排列，位于最中间的一个数或两个数的平均数为中位数；众数是一组数据中出现次数最多的数据，注意众数可以不止一个；平均数是指在一组数据中所有数据之和再除以数据的个数． 22．（8分）（2013•天津）已知直线I与⊙O，AB是⊙O 的直径，AD⊥I于点D．（Ⅰ）如图①，当直线I与⊙O相切于点C 时，若∠DAC=30°，求∠BAC的大小；（Ⅱ）如图②，当直线I与⊙O相交于点E、F时，若∠DAE=18°，求∠BAF的大小．考点：切线的性质；圆周角定理；直线与圆的位置关系．分析：（Ⅰ）如图①，首先连接OC，根据当直线l与⊙O相切于点C，AD⊥l于点D．易证得OC∥AD，继而可求得∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，由AB是⊙O的直径，根据直径所对的圆周角是直角，可得∠AFB=90°，由三角形外角的性质，可求得∠AEF的度数，又由圆的内接四边形的性质，求得∠B的度数，继而求得答案．解答：解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°�∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°�108°=72°，∴∠BAF=90°�∠B=180°�72°=18°．点评：此题考查了切线的性质、圆周角定理以及圆的内接四边形的性质．此题难度适中，注意掌握辅助线的作法，注意数形结合思想的应用． 23．（8分）（2013•天津）天塔是天津市的标志性建筑之一，某校数学兴趣小组要测量天塔的高度，如图，他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°，再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°，AB=112m，根据这个兴趣小组测得的数据，计算天塔的高度CD（tan36°≈0.73，结果保留整数）．考点：解直角三角形的应用-仰角俯角问题．分析：首先根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，在Rt△ACD中，易求得BD=AD�AB=CD�112；在Rt△BCD中，可得BD=CD•tan36°，即可得CD•tan36°=CD�112，继而求得答案．解答：解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD�AB=CD�112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD= ，∠BCD=90°�∠CBD=36°，∴tan36°= ，∴BD=CD•tan36°，∴CD•tan36°=CD�112，∴CD= ≈ ≈415（m）．答：天塔的高度CD为：415m．点评：本题考查了仰角的知识．此题难度适中，注意能借助仰角构造直角三角形并解直角三角形是解此题的关键，注意掌握数形结合思想与方程思想的应用． 24．（8分）（2013•天津）甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品，并且又各自推出不同的优惠方案：在甲商场累计购物超过100元后，超出100元的部分按90%收费；在乙商场累计购物超过50元后，超出50元的部分按95%收费，设小红在同一商场累计购物x 元，其中x＞100．（1）根据题题意，填写下表（单位：元）累计购物实际花费130 290 ... x 在甲商场127 ... 在乙商场126 (2)当x取何值时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同？（3）当小红在同一商场累计购物超过100元时，在哪家商场的实际花费少？考点：一元一次不等式的应用；一元一次方程的应用．分析：（1）根据已知得出100+（290�100）×0.9以及50+（290�50）×0.95进而得出答案，同理即可得出累计购物x元的实际花费；（2）根据题中已知条件，求出0.95x+2.5，0.9x+10相等，从而得出正确结论；（3）根据0.95x+2.5与0.9x+10相比较，从而得出正确结论．解答：解：（1）在甲商场：100+（290�100）×0.9=271， 100+（290�100）×0.9x=0.9x+10；在乙商场：50+（290�50）×0.95=278， 50+（290�50）×0.95x=0.95x+2.5；（2）根据题意得出： 0.9x+10=0.95x+2.5，解得：x=150，∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x＞150， 0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x＜150， yB=0.95x+50（1�95%）=0.95x+2.5，正确；∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少．点评：此题主要考查了一元一次不等式的应用和一元一次方程的应用，此题问题较多且不是很简单，有一定难度．涉及方案选择时应与方程或不等式联系起来． 25．（10分）（2013•天津）在平面直角坐标系中，已知点A（�2，0），点B（0，4），点E在OB上，且∠OAE=∠0BA．（Ⅰ）如图①，求点E的坐标；（Ⅱ）如图②，将△AEO沿x轴向右平移得到△A′E′O′，连接A′B、BE′．①设AA′=m，其中0＜m＜2，试用含m的式子表示A′B2+BE′2，并求出使A′B2+BE′2取得最小值时点E′的坐标；②当A′B+BE′取得最小值时，求点E′的坐标（直接写出结果即可）．考点：相似形综合题．分析：（Ⅰ）根据相似三角形△OAE∽△OBA 的对应边成比例得到 = ，则易求OE=1，所以E（0，1）；（Ⅱ）如图②，连接EE′．在Rt△A′BO中，勾股定理得到A′B2=（2�m）2+42=m2�4m+20，在Rt△BE′E中，利用勾股定理得到BE′2=E′E2+BE2=m2+9，则A′B2+BE′2=2m2�4m+29=2（m�1）2+27．所以由二次函数最值的求法知，当m=1即点E′的坐标是（1，1）时，A′B2+BE′2取得最小值．解答：解：（Ⅰ）如图①，∵点A（�2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴ = ，即 = ，解得，OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2�m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2�m）2+42= m2�4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB�OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2�4m+29=2（m�1）2+27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴ = = ，∴AA′= ×2= ，∴EE′=AA′= ，∴点E′的坐标是（，1）．点评：本题综合考查了相似三角形的判定与性质、平移的性质以及勾股定理等知识点．此题难度较大，需要学生对知识有一个系统的掌握． 26．（10分）（2013•天津）已知抛物线y1=ax2+bx+c（a≠0）的对称轴是直线l，顶点为点M．若自变量x和函数值y1的部分对应值如下表所示：（Ⅰ）求y1与x 之间的函数关系式；（Ⅱ）若经过点T（0，t）作垂直于y轴的直线l′，A为直线l′上的动点，线段AM的垂直平分线交直线l于点B，点B关于直线AM的对称点为P，记P（x，y2）．（1）求y2与x 之间的函数关系式；（2）当x取任意实数时，若对于同一个x，有y1＜y2恒成立，求t的取值范围．x … �1 0 3 … y1=ax2+bx+c …0 0 …考点：二次函数综合题．专题：探究型．分析：（I）先根据物线经过点（0，）得出c的值，再把点（�1，0）、（3，0）代入抛物线y1的解析式即可得出y1与x之间的函数关系式；（II）先根据（I）中y1与x之间的函数关系式得出顶点M的坐标．①记直线l 与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，由已知得，AM与BP互相垂直平分，故可得出四边形ANMP为菱形，所以PA∥l，再由点P（x，y2）可知点A（x，t）（x≠1），所以PM=PA=|y2�t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），故QM=|y2�3|，PQ=AC=|x�1|，在Rt△PQM中，根据勾股定理即可得出y2与x之间的函数关系式，再由当点A与点C重合时，点B与点P重合可得出P点坐标，故可得出y2与x之间的函数关系式；②据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，可知6�2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），由于3＞，所以不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6�2t＜0，即t＞3时，求出y1�y2的值；若3t�11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线方向及且顶点（1，）在x轴下方，因为3�t＜0，只要3t�11＞0，解得t＞，符合题意；若3t�11=0，y1�y2=�＜0，即t= 也符合题意．解答：解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，），∴c= ．∴y1=ax2+bx+ ，∵点（�1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax2+bx+ 上，∴ ，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=� x2+ x+ ；（II）∵y1=�x2+ x+ ，∴y1=�（x�1）2+3，∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ANMP为菱形，∴PA∥l，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM=PA=|y2�t|，过点P作PQ⊥l 于点Q，则点Q（1，y2），∴QM=|y2�3|，PQ=AC=|x�1|，在Rt△PQM 中，∵PM2=QM2+PQ2，即（y2�t）2=（y2�3）2+（x�1）2，整理得， y2= （x�1）2+ ，即y2= x3� x+ ，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2= x3� x+ （t≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6�2t ＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6�2t＜0，即t＞3时， y1�y2=�（x�1）2+3�[ （x�1）2+ ] = （x�1）2+ ，若3t�11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y= （x�1）2+ 开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3�t＜0，只要3t�11＞0，解得t＞，符合题意；若3t�11=0，y1�y2=�＜0，即t= 也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t≥ ．点评：本题考查的是二次函数综合题，涉及到待定系数法二次函数解的解析式、勾股定理及二次函数的性质，解答此类题目时要注意数形结合思想的运用．。
13年天津数学中考分析
2013天津初中毕业生学业考试数学试卷分析一、试题分析1.题型与题量试卷分值、设置与11年相同。
试卷设置了选择、填空、解答三种题型，其中选择题有10个，占30分，填空题有8个，占24分，解答题有8个，占66分。
2.考查内容分值分布试题与近几年天津市学业考试数试卷的命题思想、原则相一致，基本覆盖了《数学课程标准》所列的核心知识点，各部分的分值比与所对应的课时比相当。
体现了稳中有变，变中有新，对初中教学有较好的导向作用，试题的难度与去年相当，特别是注重了学生分析、解决问题能力、数学思想方法的考查。
3、考题考点分析二、试题特点分析1.注重基础，突出数学核心知识点的考查，体现教学导向试题在数与代数、图形与几何、统计与概率、综合与实践四部分的分值分布与所用教材的课时比相当。
考查的内容，数与代数部分有：有理数运算、科学记数法、分式运算、解方程、解不等式组及应用、一次函数、反比例函数、二次函数等内容；图形与几何部分有：对称、平移、旋转、全等、相似、视图等内容，涉及等腰三角形、等边三角形、特殊四边形的性质与判定，圆周角与圆心角、直径所对圆周角性质、圆内接四边形性质、切线性质判定等内容；统计考查了平均数、中位数、众数、扇形统计图、样本估计总体，概率考查了用列举法求事件概率，综合与实践有三角形的内接正方形、测量与解直角三角形。
这些检测点既是初中学段的基本内容又是核心知识点。
试题的编排从基础的有理数计算开始，由易到难，缓步上升，学生上手容易。
综合题考查的重点是知识的综合运用与解决问题的能力，如25、26题的第（1）问多数学生都可以完成，第（2）问多数学生也能基本完成（知识的综合运用），完成（3）问有一定的难度，考查的是解决问题的能力，对落实因材施教有较好的导向作用。
2. 注重过程，突出数学思想、方法的考查，体现课标要求函数与方程、数形结合、分类讨论、特殊到一般等思想方法是试题考查的重点。
设置的开放性、探索性的试题，答案不惟一，突出了对学生数学思维的过程和对数学学习过程的考查。
求线段(或线段和)(周长)最值问题
求线段（或线段和）（周长）最值问题福建莆田月塘中学潘立城中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。
这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。
孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。
解几何最值的“手掌心”是什么呢？：撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。
一、“手掌心”法宝:三角形中两边之和大于第三边特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。
④线段的转移特征：“定”点在“定”直线上⑤二次函数最值特征：有“表达式”①垂线段最短②两点间线段最短“弯”线变“直”线特征“直”线的特征①“直”线:定点--动点(定点--动点--动点）(动点--动点--动点）②直:定点--动点--定点直:动点--定点--动点二、类型名词解释：定直线指动点运动所在的直线①垂线段最短特征：“弯”线变“直”线对称轴lACBM定点“弯”线“直”线例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC中，BC=24，∠ABC=45°，BD平分∠ABC，M、N分别是BD、BC上的动点，则CM+MN的最小值是4 。
①标：定点A，定点C，动点B定直线AC，定直线l②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线l作点A关于定直线l的对称点M“弯”线AB+BC变“直”线MC“直”线:定点M--动点B--定点C垂线段最短①标：定点C，动点M，动点N定直线BD，定直线BC②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线BD作点N关于定直线BD的对称点E“弯”线CM+MN变“直”线CME“直”线:定点C--动点M--动点E垂线段最短例4例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD 中，AB =2，∠A =120°，点P ，Q ，K 分别为线段BC ，CD ，BD 上的任意一点，则PK +QK 的最小值为【 】 ①标：动点Q ，动点K ，动点P 定直线AC ，定直线l 特征：“弯”线QK+KP 变“直”线对称轴：定直线BD作点P 关于定直线BD 的对称点P 1“直”线:动点Q--动点K--动点P 1两平行线间垂线段最短xyOl P ’F P H①标：定点F ，动点P 定曲线：抛物线 ②特征：动点F 在定曲线：抛物线上抛物线是到定点F 距离与到定直线l 距离相等的点的集合。
2013中考数学天津卷答案
2013年天津中考数学试卷参考答案一、选择题二、填空题（共8小题，每小题3分，满分24分）11．a7． 12．6． 13．k＞0． 14．AC=BD（答案不唯一）．15．55． 16．． 17．7．18．（Ⅰ）6；（Ⅱ）取格点P，连接PC，过点A画PC的平行线，与BC交于点Q，连接PQ与AC相交得点D，过点D画CB的平行线，与AB相交得点E，分别过点D、E画PC的平行线，与CB相交得点G，F，则四边形DEFG 即为所求．三、解答题19．不等式组的解集为﹣3＜x＜3．20．解：（Ⅰ）∵反比例函数y=（k为常数，k≠0）的图象经过点A（2，3），∴把点A的坐标代入解析式，得3=，解得，k=6，∴这个函数的解析式为：y=；（Ⅱ）∵反比例函数解析式y=，∴6=xy．分别把点B 、C的坐标代入，得（﹣1）×6=﹣6≠6，则点B不在该函数图象上．3×2=6，则点C中该函数图象上；（Ⅲ）∵当x=﹣3时，y=﹣2，当x=﹣1时，y=﹣6，又∵k＞0，∴当x＜0时，y随x的增大而减小，21．解：（1）根据条形图4+16+12+10+8=50（人），m=100﹣20﹣24﹣16﹣8=32；（2）∵=（5×4+10×16+15×12+20×10+30×8）=16，∴这组数据的平均数为：16，∵在这组样本数据中，10出现次数最多为16次，∴这组数据的众数为：10，∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列，其中处于中间的两个数都是15，∴这组数据的中位数为：（15=15）=15；（3）∵在50名学生中，捐款金额为10元的学生人数比例为32%，∴由样本数据，估计该校1900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%，有1900×32%=608，∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名．故答案为：50，32．22．解：（Ⅰ）如图①，连接OC，∵直线l与⊙O相切于点C，∴OC⊥l，∵AD⊥l，∴OC∥AD，∴∠OCA=∠DAC，∵OA=OC，∴∠BAC=∠OCA，∴∠BAC=∠DAC=30°；（Ⅱ）如图②，连接BF，∵AB是⊙O的直径，∴∠AFB=90°，∴∠BAF=90°﹣∠B，∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°，在⊙O中，四边形ABFE是圆的内接四边形，∴∠AEF+∠B=180°，∴∠B=180°﹣108°=72°，∴∠BAF=90°﹣∠B=180°﹣72°=18°．23．解：根据题意得：∠CAD=45°，∠CBD=54°，AB=112m，∵在Rt△ACD中，∠ACD=∠CAD=45°，∴AD=CD，∵AD=AB+BD，∴BD=AD﹣AB=CD﹣112（m），∵在Rt△BCD中，tan∠BCD=，∠BCD=90°﹣∠CBD=36°，∴tan36°=，∴BD=CD•tan36°，∴CD•tan36°=CD﹣112，∴CD=≈≈415（m）．答：天塔的高度CD为：415m．24．解：（1）在甲商场：100+（290﹣100）×0.9=271，100+（290﹣100）×0.9x=0.9x+10；在乙商场：50+（290﹣50）×0.95=278，50+（290﹣50）×0.95x=0.95x+2.5；（2）根据题意得出：0.9x+10=0.95x+2.5，解得：x=150，∴当x=150时，小红在甲、乙两商场的实际花费相同，（3）由0.9x+10＜0.95x+2.5，解得：x＞150，0.9x+10＞0.95x+2.5，解得：x＜150，yB=0.95x+50（1﹣95%）=0.95x+2.5，正确；∴当小红累计购物大于150时上没封顶，选择甲商场实际花费少；当小红累计购物超过100元而不到150元时，在乙商场实际花费少.25．解：（Ⅰ）如图①，∵点A（﹣2，0），点B（0，4），∴OA=2，OB=4．∵∠OAE=∠0BA，∠EOA=∠AOB=90°，∴△OAE∽△OBA，∴=，即=，解得，OE=1，∴点E的坐标为（0，1）；（Ⅱ）①如图②，连接EE′．由题设知AA′=m（0＜m＜2），则A′O=2﹣m．在Rt△A′BO中，由A′B2=A′O2+BO2，得A′B2=（2﹣m）2+42=m2﹣4m+20．∵△A′E′O′是△AEO沿x轴向右平移得到的，∴EE′∥AA′，且EE′=AA′．∴∠BEE′=90°，EE′=m．又BE=OB﹣OE=3，∴在Rt△BE′E中，BE′2=E′E2+BE2=m2+9，∴A′B2+BE′2=2m2﹣4m+29=2（m﹣1）2+27．当m=1时，A′B2+BE′2可以取得最小值，此时，点E′的坐标是（1，1）．②如图②，过点A作AB′⊥x，并使AB′=BE=3．易证△AB′A′≌△EBE′，∴B′A=BE′，∴A′B+BE′=A′B+B′A′．当点B、A′、B′在同一条直线上时，A′B+B′A′最小，即此时A′B+BE′取得最小值．易证△AB′A′∽△OBA′，∴==，∴AA′=×2=，∴EE′=AA′=，∴点E ′的坐标是（，1）．26．解：（Ⅰ）∵抛物线经过点（0，），∴c=．∴y1=ax2+bx+，∵点（﹣1，0）、（3，0）在抛物线y1=ax2+bx+上，∴，解得，∴y1与x之间的函数关系式为：y1=﹣x2+x+；（II）∵y1=﹣x2+x+，∴y1=﹣（x﹣1）2+3，∴直线l为x=1，顶点M（1，3）．①由题意得，t≠3，如图，记直线l与直线l′交于点C（1，t），当点A′与点C不重合时，∵由已知得，AM与BP互相垂直平分，∴四边形ANMP为菱形，∴PA∥l，又∵点P（x，y2），∴点A（x，t）（x≠1），∴PM=PA=|y2﹣t|，过点P作PQ⊥l于点Q，则点Q（1，y2），∴QM=|y2﹣3|，PQ=AC=|x﹣1|，在Rt△PQM中，∵PM2=QM2+PQ2，即（y2﹣t）2=（y2﹣3）2+（x﹣1）2，整理得，y2=（x﹣1）2+，即y2=x3﹣x+，∵当点A与点C重合时，点B与点P重合，∴P（1，），∴P点坐标也满足上式，∴y2与x之间的函数关系式为y2=x2﹣x+（t≠3）；②根据题意，借助函数图象：当抛物线y2开口方向向上时，6﹣2t＞0，即t＜3时，抛物线y1的顶点M（1，3），抛物线y2的顶点（1，），∵3＞，∴不合题意，当抛物线y2开口方向向下时，6﹣2t＜0，即t＞3时，y1﹣y2=﹣（x﹣1）2+3﹣[（x﹣1）2+]=（x﹣1）2+，若3t﹣11≠0，要使y1＜y2恒成立，只要抛物线y=（x﹣1）2+开口方向向下，且顶点（1，）在x轴下方，∵3﹣t＜0，只要3t﹣11＞0，解得t ＞，符合题意；若3t﹣11=0，y1﹣y2=﹣＜0，即t=也符合题意．综上，可以使y1＜y2恒成立的t的取值范围是t ≥．。
2013年天津市中考数学试卷-答案
合函数图象； 【考点】函数的图象
第Ⅱ卷
二、填空题 11.【答案】 a7 【解析】 a a6 a7 ．
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故答案为： a7 【分析】利用同底数幂的法则计算即可得到结果． 【考点】同底数幂的乘法 12.【答案】6 【解析】∵ x 0 或 x 6 0 ，∴ x1 0，x2 6 ，∴原方程较大的根为 6． 故答案为 6． 【分析】原方程转化为 x 0 或 x 6 0 ，然后解两个一次方程即可得到原方程较大的根． 【考点】解一元二次方程﹣因式分解法 13.【答案】 k 0 【解析】∵一次函数 y kx 1 （k 为常数， k 0 ）的图象经过第一、二、三象限，∴ k 0 ． 故填： k 0 ． 【分析】根据一次函数图象所经过的象限确定 k 的符号． 【考点】一次函数图象与系数的关系 14.【答案】 AC BD
∵ AC BC ，点 D 是边 AB 的中点，∴ ADC 90 ，∴四边形 ADCF 是矩形．
【分析】根据旋转的性质可得 AE CE，DE EF ，再根据对角线互相平分的四边形是平行四边形判断出
四边形 ADCF 是平行四边形，然后利用等腰三角形三线合一的性质求出 ADC 90 ，再利用有一个角是直
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布比较集中，各数据偏离平均数越小，即波动越小，数据越稳定．
【考点】方差
6.【答案】A
【解析】所给图形的三视图是 A 选项所给的三个图形．
【分析】主视图、左视图、俯视图是分别从物体正面、左面和上面看，所得到的图形．
【考点】简单组合体的三视图
7.【答案】A
2013中考压轴题解析
2013中考压轴题解析解析：二次函数压轴题必有求解析式的一问，而且第二问大部分都是各种存在性的问题，如果出现了第三问，那么很可能就是拓展内容，当然也可能不是3个小题，但是只要没有拓展类的问题，就不能算是难题了。
(1）抛物线解析式中有两个参数b、c，但是只给了一个坐标点D，所以我们还需要一个点才能解出两个参数，刚好直线CD的解析式给出了，那么可得到点C的坐标（0，2），那么可直接获取c=2，将点D坐标代入抛物线解析式-9+3b+2=7/2b=7/2所以解析式y=-x²+7/2x+2（2）O、C、P、F围成平行四边形，那么已知OC//PF，那么只要令OC=PF即可，根据第一问可知OC=2，所以PF=2，而我们则需要表示出PF的长度，P的坐标可知（m，-m²+7/2m+2），而F的坐标则需要借助CD所在的直线，直线CD：y=1/2x+2则可知F（m，1/2m+2）那么PF的长度怎么表示呢？是P在F上面，还是F在P上面呢？（这一点必须考虑到）题中只说了P是y轴右侧的，所以势必会存在两种情况，因此我们用坐标表示的时候加个绝对值，即PF=|-m²+3m|=2这样得到两个方程m²-3m+2=0和m²-3m-2=0；第二个方程解出的m有一个负值，舍去；那么最终可得到3个m的值；（3）第三小题这种直线夹角问题，初中阶段势必要借助相似，而这一题又是让直接写出结果，所以过程不用说，一定不会少；直接借助题上的图形，假设P就在这个位置上（P在CD上方，当然还可能出现在CD下方）；那么∠PCD=45°，有45°角，根据我们平时学的知识，唯有等腰直角三角形最适合，所以我们过P向CD做垂线，来构造等腰直角；如图，可知PG=CG，但是没啥用，因为条件太少，所以仍然不知道如何去解决P的位置，那么观察图形，我们做了PG⊥CD，同时构造了一个Rt△PFG，而这里还出现了个对顶角，∠PFG=∠CFE，如果过C向PE做垂线，垂线长度不仅=m，构造的三角形还能与△PFG相似，如图，利用对应角相等可得△CHF∽△PGF那么CH：PG=FH：FG其中CH=m，FH=m/2，FG=CG-CF=PG-CF而CF在Rt△CHF中，可知CF=m√5/2所以全部代入比例式中，可解出PG长度，而根据相似，或者勾股定理在△PGF中可得PF长度，那么PE=PF+FH+EH，即P的纵坐标可得，将P的横纵坐标代入抛物线解析式可解出m；第二种情况，P在CD下方的时候，如图，根据45°角可知绿色的CP线和第一种情况红色的CP关于CD对称，所以我们可以利用对称性找出绿色CP线的解析式，而不用非得再来一次相似，延长红色PG交绿色CP于K，如图，可知上方的P和绿色的K关于G对称，根据刚才的P的坐标，可以解出G的坐标（在△PGF中，过G向PF做垂线，得到G到x轴和y轴距离可得G坐标）利用中点坐标公式可求出K的坐标结合C和K的坐标获取直线CK的解析式联合抛物线解析式可得绿色P的坐标；（由于分号太多了，所以不提供计算过程）。
求线段(或线段和)(周长)最值问题
求线段（或线段和）（周长）最值问题福建莆田月塘中学潘立城中考数学压轴题中常出现有关几何最值问题，很多同学不知如何想，无从下手，感到这类题目很难，应该是尖子生同学做的题目，与我们这些一般生无关，避而远之。
这类题目很多，内容丰富，涉及面广，解法灵活多样，就像孙悟空七十二变，变化多端。
孙悟空再怎么变化，也跑不出如来佛的“手掌心”。
解几何最值的“手掌心”是什么呢？：撑握了如来佛的这一法宝，有关几何最值的各种“妖魔鬼怪”题都能解答。
一、“手掌心”法宝:三角形中两边之和大于第三边特征：“一”条线段且“动”点“不”在定线上，无规律找关键点：定点，中点，圆心。
④线段的转移特征：“定”点在“定”直线上⑤二次函数最值特征：有“表达式”①垂线段最短②两点间线段最短“弯”线变“直”线特征“直”线的特征①“直”线:定点--动点(定点--动点--动点）(动点--动点--动点）②直:定点--动点--定点直:动点--定点--动点二、类型 名词解释：定直线指动点运动所在的直线①垂线段最短 特征：“弯”线变“直”线 对称轴l①标：定点C ，动点M ，动点N 定直线BD ，定直线BC ②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线BD 作点N 关于定直线BD 的对称点E “弯”线CM+MN 变“直”线CME“直”线:定点C--动点M--动点E垂线段最短①标：定点A ，定点C ，动点B 定直线AC ，定直线l ②特征：“弯”线变“直”线对称轴：定直线l 作点A 关于定直线l 的对称点M “弯”线AB+BC 变“直”线MC“直”线:定点M--动点B--定点C垂线段最短ACBM定点“弯”线 “直”线例2.（2012湖北鄂州3分）在锐角三角形ABC 中，BC =24，∠ABC =45°，BD 平分∠ABC ，M 、N 分别是BD 、BC 上的动点，则CM +MN 的最小值是 4 。
例4例3.（2012浙江台州4分）如图，菱形ABCD中，AB=2，∠A=120°，点P，Q，K分别为线段BC，CD，BD上的任意一点，则PK+QK的最小值为【】①标：动点Q，动点K，动点P定直线AC，定直线l特征：“弯”线QK+KP变“直”线对称轴：定直线BD作点P关于定直线BD的对称点P1“直”线:动点Q--动点K--动点P1两平行线间垂线段最短xyOlP’FP H①标：定点F，动点P定曲线：抛物线②特征：动点F在定曲线：抛物线上抛物线是到定点F距离与到定直线l距离相等的点的集合。
2013年全国中考数学(169套)选择填空解答压轴题分类解析汇编 专题15：几何三大变换问题之平移
编辑一、选择题1. （2013年湖北荆门3分）如下图所示，已知等腰梯形ABCD，AD∥BC，若动直线l垂直于BC，且向右平移，设扫过的阴影部分的面积为S，BP为x，则S关于x的函数图象大致是【】2. （2013年湖北荆州3分）如图，在平面直角坐标系中，直线y=﹣3x+3与x轴、y轴分别交于A、B两点，以AB为边在第一象限作正方形ABCD，点D在双曲线kyx（k≠0）上．将正方形沿x轴负方向平移a个单位长度后，点C恰好落在该双曲线上，则a的值是【】A．1 B．2 C．3 D．43. （2013年湖北荆州3分）如图，将矩形ABCD沿对角线AC剪开，再把△ACD沿CA方向平移得到△A1C1D1，连结AD1、BC1．若∠ACB=30°，AB=1，CC1=x，△ACD与△A1C1D1重叠部分的面积为s，则下列结论：①△A1AD1≌△CC1B；②当x=1时，四边形ABC1D1是菱形；③当x=2时，△BDD1为等边三角形；④)2s 2x =-（0＜x ＜2）； 其中正确的是 ▲ （填序号）．4. （2013年浙江湖州3分）如图，在10×10的网格中，每个小方格都是边长为1的小正方形，每个小正方形的顶点称为格点．若抛物线经过图中的三个格点，则以这三个格点为顶点的三角形称为抛物线的“内接格点三角形”．以O 为坐标原点建立如图所示的平面直角坐标系，若抛物线与网格对角线OB 的两个交点之间的距离为且这两个交点与抛物线的顶点是抛物线的内接格点三角形的三个顶点，则满足上述条件且对称轴平行于y 轴的抛物线条数是【 】A ．16B ．15C ．14D ．135. （2013年山东聊城3分）如图，在平面直角坐标系中，抛物线2y 1x 2=经过平移得到抛物线21x 2y 2x =-，其对称轴与两段抛物线所围成的阴影部分的面积为【 】A．2 B．4 C．8 D．166. （2013年广西南宁3分）如图，直线1y x2=与双曲线kyx=（k＞0，x＞0）交于点A，将直线1y x2=向上平移4个单位长度后，与y轴交于点C，与双曲线kyx=（k＞0，x＞0）交于点B，若OA=3BC，则k的值为【】A、3B、6C、94D、92【答案】D。
13年中考数学分析
2013年中考数学串讲【一】试卷分析、重点复习 一、试卷结构10个填空，8个选择，8个大题，其中选择最后一题、填空最后一题、大题最后两题为压轴题二、考点解析（一）八个大题比较固定1、函数（一次函数、二次函数、反比例函数） 主要考察以下知识点： （1）求函数值、求解析式 （2）求自变量取值范围 （3）求函数值取值范围（4）求交点（两函数、与坐标轴) （5）求顶点 （6）求对称周 （7）求增减性 （8）平移（10.20）已知反比例函数1k y x-=（k 为常数，1k ≠）． （Ⅰ）若点2A (1 )，在这个函数的图象上，求k 的值；（Ⅱ）若在这个函数图象的每一支上，y 随x 的增大而减小，求k 的取值范围； （Ⅲ）若13k =，试判断点34B ( )，，25C ( )，是否在这个函数的图象上，并说明理由． （09.20）已知图中的曲线是反比例函数5m y x-=（m 为常数） 图象的一支．（Ⅰ） 这个反比例函数图象的另一支在第几象限？ 常数m 的取值范围是什么？（Ⅱ）若该函数的图象与正比例函数2y x =的图象在第一象内限的交点为A ，过A 点作x 轴的垂线，垂足为B ，当OAB △的面积为4时，求点A 的坐标及反比例函数的解析式． （08．20）已知点P （2，2）在反比例函数xky =（0≠k ）的图象上， （Ⅰ）当3-=x 时，求y 的值； （Ⅱ）当31<<x 时，求y 的取值范围． （07。
20）已知反比例函数xky =的图象与一次函数m x y +=3的图象相交于点（1，5）。
（1）求这两个函数的解析式；（2）求这两个函数图象的另一个交点的坐标。
（07．21）已知一抛物线与x 轴的交点是)0,2(-A 、B （1，0），且经过点C （2，8）。
（1）求该抛物线的解析式；（2）求该抛物线的顶点坐标。
xyO（06．20） 已知正比例函数y ＝kx （k ≠0）和反比例函数y ＝mx的图象都经过点（4，2）。
近10年2005-2014天津中考数学卷压轴题详解
（25）（本小题10分）在△ABC 中，∠A 、∠B 、∠C 所对的边分别用a 、b 、c 表示。
（Ⅰ）如图，在△ABC 中，∠A＝2∠B ，且∠A ＝60°。
求证：a 2＝b （b ＋c ）（Ⅱ）如果一个三角形的一个内角等于另一个内角的2 倍，我们称这样 的三角形为“倍角三角形”。
本题第一问中的三角形是一个特殊的倍角三 角形，那么对于任意的倍角三角形ABC ，其中∠A ＝2∠B ，关系式 a 2＝b （b ＋c ）是否仍然成了？并证明你的结论；（Ⅲ）试求出一个倍角三角形的三条边的长，使这三条边长恰为三个连续的正整数。
(26) (本小题10分)已知二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c .（Ⅰ）若a ＝2，c ＝－3，且二次函数的图象经过点（－1，－2），求b 的值（Ⅱ）若a ＝2，b ＋c ＝－2，b ＞c ，且二次函数的图象经过点（p ，－2），求证：b ≥0；（Ⅲ）若a ＋b ＋c ＝0，a ＞b ＞c ，且二次函数的图象经过点（q ，－a ），试问自变量x ＝q ＋4时，二次函数y ＝ax 2＋bx ＋c 所对应的函数值y 是否大于0？并证明你的结论。
（25）（本小题10分）已知Rt △ABC 中，∠ACB ＝90°，AC ＝6，BC ＝8。
（Ⅰ）如图①，若半径为r 1的⊙O 1是Rt △ABC 的内切圆，求r 1；（Ⅱ）如图②，若半径为r 2的两个等圆⊙O 1、⊙O 2外切，且⊙O 1与AC 、AB 相切，⊙O 2与BC 、AB 相切，求r 2；（Ⅲ）如图③，当n 大于2的正整数时，若半径r n 的n 个等圆⊙O 1、⊙O 2、…、⊙O n依次外切，且⊙O 1与AC 、BC 相切，⊙O n 与BC 、AB 相切，⊙O 1、⊙O 2、⊙O 3、…、⊙O n －1均与AB 边相切，求r n . (26) (本小题10分)已知抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 的定点坐标为(2,4). （Ⅰ）试用含a 的代数式分别表示b ，c ；（Ⅱ）若直线y ＝kx ＋4（k ≠0）与y 轴及该抛物线的交点依次为D 、E 、F ，且13ODEOEFS S＝，其中O 为坐标原点，试用含a 的代数式表示k ；（Ⅲ）在（Ⅱ）的条件下，若线段EF 的长m 满足m ≤≤a 的取值范围。
2013年天津中考物理试卷分析
本题看似考察压强问题，实质上是考
查物体在不同沉浮条件时的容器底部 受到的压力大小，需要考生沉着冷静
3分
困难
分析各种不同情况。
3、填空题部分
题号 知识模块 第 15 题 电学
第 16 题 力学
第 17 题 综合题
第 18 题 第 19 题
电学 电学
第 20 题 力学
第 21 题 电学
具体考点 电路；串联 电池电压 惯性；摩擦 力 （1）气体流 速与压强关 系 （2）分子热 运动 家庭电路串 并联 电功率；电 能 受力分析； 速度、路程 和时间
整体看来，13 年中考整体难度较 12 年有所下降，对基础知识及简单公式、模型的分析 理解能力要求有所提高，分值分布力学有所下降，电学有所上升，声光热的考查基本持平， 在 13 年中考中对机械方面考查有所增加，而对浮力的考查比重下降，压强的考查基本不变 而且依然作为区分度出现，希望 14 届考生能够重视中考分值分布的相关变化。
功的原理 物理规律可以符合数学推导的严密逻 4 分
辑性。
设计实验方案是中考物理中的难点，本
题的难点是实验步骤中一些重点词语
的运用，并且本题有别于常见单表测量
单表测未知 问题，这道题中的电压表是可以进行改
电阻阻值 接的。但是本题还是一点很典型的电表
6分
测电阻问题，所以对于基础很扎实的学
生来说并不构成威胁。
4分
考察考生对表格的综合分析能力，并 且根据题目要求选择出表格中的最优 4 分 答案。
难度 简单 简单
简单
简单 中等 简单 简单
4、综合题部分
题号 知识模块
第 22 题 综合题
第 23 题
力学
第 24 题 力学
2013年天津中考数学真题卷含答案解析
2013年天津市初中毕业生学业考试数学试题（含答案全解全析）(满分:120分时间:120分钟)第Ⅰ卷(选择题,共30分)一、选择题(本大题共10小题,每小题3分,共30分.在每小题给出的四个选项中,只有一项是符合题目要求的)1.计算(-3)+(-9)的结果等于()A.12B.-12C.6D.-62.tan60°的值等于()A.1B.√2C.√3D.23.下列标志中,可以看作是中心对称图形的是()4.中国园林网4月22日消息:为建设生态滨海,2013年天津滨海新区将完成城市绿化面积共8210000m2.将8210000用科学记数法表示应为()A.821×104B.82.1×105C.8.21×106D.0.821×1075.七年级(1)班与(2)班各选出20名学生进行英文打字比赛,通过对参赛学生每分钟输入的单词个数进行统计,两班成绩的平均数相同,(1)班成绩的方差为17.5,(2)班成绩的方差为15.由此可知()A.(1)班比(2)班的成绩稳定B.(2)班比(1)班的成绩稳定C.两个班的成绩一样稳定D.无法确定哪班的成绩更稳定6.下图是由3个相同的正方体组成的一个立体图形,它的三视图是()7.如图,在△ABC中,AC=BC,点D、E分别是边AB、AC的中点,将△ADE绕点E旋转180°得△CFE,则四边形ADCF一定是()A.矩形B.菱形C.正方形D.梯形8.正六边形的边心距与边长之比为()A.√3∶3B.√3∶2C.1∶2D.√2∶29.若x=-1,y=2,则2xx2-64y2-1x-8y的值等于()A.-117B.117C.116D.11510.如图,是一对变量满足的函数关系的图象.有下列3个不同的问题情境:①小明骑车以400米/分的速度匀速骑了5分,在原地休息了4分,然后以500米/分的速度匀速骑回出发地,设时间为x分,离出发地的距离为y千米;②有一个容积为6升的开口空桶,小亮以1.2升/分的速度匀速向这个空桶注水,注5分后停止,等4分后,再以2升/分的速度匀速倒空桶中的水,设时间为x分,桶内的水量为y升;③矩形ABCD中,AB=4,BC=3,动点P从点A出发,依次沿对角线AC、边CD、边DA运动至点A停止,设点P的运动路程为x,当点P与点A不重合时,y=S△ABP;当点P与点A重合时,y=0.其中,符合图中所示函数关系的问题情境的个数为()A.0B.1C.2D.3第Ⅱ卷(非选择题,共90分)二、填空题(本大题共8小题,每小题3分,共24分)11.计算a·a6的结果等于.12.一元二次方程x(x-6)=0的两个实数根中较大的根是.13.若一次函数y=kx+1(k为常数,k≠0)的图象经过第一、二、三象限,则k的取值范围是.相等的线14.如图,已知∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AC与BD相交于点O,请写出图中一组．．段.15.如图,PA、PB分别切☉O于点A、B,若∠P=70°,则∠C的大小为(度).16.在一个口袋中有4个完全相同的小球,把它们分别标号为1,2,3,4,随机地摸出一个小球然后放回,再随机地摸出一个小球,则两次摸出的小球的标号之和等于4的概率是. 17.如图,在边长为9的正三角形ABC中,BD=3,∠ADE=60°,则AE的长为.18.如图,将△ABC放在每个小正方形的边长为1的网格中,点A、B、C均落在格点上.(Ⅰ)△ABC的面积等于;(Ⅱ)若四边形DEFG是△ABC中所能包含的面积最大的正方形,请你在如图所示的网格中,用直尺和三角尺画出该正方形,并简要说明画图方法(不要求证明).三、解答题(本大题共8小题,共66分.解答应写出文字说明、演算步骤或推理过程)19.(本小题6分)解不等式组{x-1<2,2x+9>3.已知反比例函数y=k(k为常数,k≠0)的图象经过点A(2,3).x(Ⅰ)求这个函数的解析式;(Ⅱ)判断点B(-1,6),C(3,2)是否在这个函数的图象上,并说明理由;(Ⅲ)当-3<x<-1时,求y的取值范围.21.(本小题8分)四川雅安发生地震后,某校学生会向全校1900名学生发起了“心系雅安”捐款活动.为了解捐款情况,学生会随机调查了部分学生的捐款金额,并用得到的数据绘制了如下统计图①、②,请根据相关信息.解答下列问题:(Ⅰ)本次接受随机抽样调查的学生人数为,图①中m的值是;(Ⅱ)求本次调查获取的样本数据的平均数、众数和中位数;(Ⅲ)根据样本数据,估计该校本次活动捐款金额为10元的学生人数.已知直线l与☉O,AB是☉O的直径,AD⊥l于点D.(Ⅰ)如图①,当直线l与☉O相切于点C时,若∠DAC=30°,求∠BAC的大小;(Ⅱ)如图②,当直线l与☉O相交于点E、F时,若∠DAE=18°,求∠BAF的大小.23.(本小题8分)天塔是天津市的标志性建筑之一.某校数学兴趣小组要测量天塔的高度.如图,他们在点A处测得天塔最高点C的仰角为45°.再往天塔方向前进至点B处测得最高点C的仰角为54°,AB =112m.根据这个兴趣小组测得的数据,计算天塔的高度CD(tan36°≈0.73,结果保留整数).甲、乙两商场以同样价格出售同样的商品,并且又各自推出不同的优惠方案:在甲商场累计购物超过100元后,超出100元的部分按90%收费;在乙商场累计购物超过50元后,超出50元的部分按95%收费.设小红在同一商场累计购物x元,其中x>100.(Ⅰ)根据题意,填写下表(单位:元):累计购物130290 (x)实际花费在甲商场127…在乙商场126…(Ⅱ)当x取何值时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同?(Ⅲ)当小红在同一商场累计购物超过100元时,在哪家商场的实际花费少?25.(本小题10分)在平面直角坐标系中,已知点A(-2,0),点B(0,4),点E在OB上,且∠OAE=∠OBA.(Ⅰ)如图①,求点E的坐标;(Ⅱ)如图②,将△AEO沿x轴向右平移得到△A'E'O',连结A'B、BE'.①设AA'=m,其中0<m<2,试用含m的式子表示A'B2+BE'2,并求出使A'B2+BE'2取得最小值时点E'的坐标;②当A'B+BE'取得最小值时,求点E'的坐标(直接写出结果即可).26.(本小题10分)已知抛物线y 1=ax 2+bx+c(a ≠0)的对称轴是直线l,顶点为点M,若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示:x … -1 0 3 … y 1=ax 2+bx+c…94…(Ⅰ)求y 1与x 之间的函数关系式;(Ⅱ)若经过点T(0,t)作垂直于y 轴的直线l',A 为直线l'上的动点,线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B,点B 关于直线AM 的对称点为P,记P(x,y 2). ①求y 2与x 之间的函数关系式;②当x 取任意实数时,若对于同一个x,有y 1<y 2恒成立,求t 的取值范围.答案全解全析：1.B (-3)+(-9)=-(3+9)=-12,故选B.2.C tan 60°=√3,故选C.3.D A选项是轴对称图形;B、C选项既不是轴对称图形,也不是中心对称图形;D选项是中心对称图形,故选D.评析本题考查中心对称图形的概念,解题关键是寻找对称中心,然后绕对称中心旋转180°后与原图形重合的图形是中心对称图形.4.C 科学记数法的形式为a×10n,其中1≤|a|<10,故8 210 000=8.21×106.故选C.5.B 数据的方差反映一组数据的稳定性.方差越大,数据的波动越大;方差越小,数据的波动越小.(2)班成绩的方差比(1)班成绩的方差小,故(2)班的成绩比(1)班的成绩稳定, 故选B.6.A 从前面看到的图形有上下两层,上层是一个正方形,下层是左右并排的两个正方形,且上层的一个正方形放在下层的两个正方形中间,故排除B;从左面看到的是上下两个一样的正方形,且按要求左视图应该放在主视图的右边,故排除C;从上面看到的是一个正方形放在两个正方形的正中间,上层一个正方体和下层两个正方体的两条交线按要求应该画出来,故选A.7.A ∵△ADE绕E点旋转180°得到△CFE,∴AE=CE,DE=EF.∴四边形ADCF是平行四边形.又∵BC=AC,D是AB的中点,∴∠ADC=90°,∴平行四边形ADCF是矩形.8.B 如图所示:∵ABCDEF是正六边形,∴△OAB为正三角形.过O作OH⊥AB,垂足为H,则OHOA =sin 60°=√32,即边心距与边长的比为√3∶2,故选B.9.D 原式=2x (x+8y )(x -8y )-1x -8y =2x -(x+8y )(x+8y )(x -8y )=x -8y (x+8y )(x -8y )=1x+8y ,当x=-1,y=2时,原式=1-1+8×2=115.故选D.10.C 小明以400米/分的速度骑车5分钟,离开出发地的距离应该是2 000米而不是6米,故①不符合;小亮以1.2升/分的速度匀速向空桶注水,5分钟后正好注入6升,休息4分钟,这4分钟内桶里的水一直保持6升,再以2升/分的速度往外倒,正好3分钟倒完,故②符合;矩形ABCD 中,AB=4,BC=3,则AC=5,P 点从A 向C 运动的过程中,△ABP 的底AB=4不变,高从0增加到3,故面积从0增加到6,P 点从C 向D 运动的过程中,△ABP 的底和高分别是4和3,△PAB 的面积一直为6,P 点从D 到A 的运动过程中,△ABP 的底不变,高从3减小到0,面积从6减小到0,故③也符合,故选C.评析 “判断两个变量在运动变化过程中对应的函数图象是否正确”是本题考查的重点.解答本题的关键是找到变量在变化过程中的某一关键点或者某一关键段,观察关键点或者关键段对应的函数图象是否正确,把动态问题转化为静态问题来解决. 11.答案 a 7解析 a·a 6=a 1+6=a 7. 12.答案 6解析 x(x-6)=0,则x=0或x-6=0,即x=0或x=6,故较大的根为6. 13.答案 k>0解析 易知一次函数y=kx+1(k 为常数,k≠0)的图象过点(0,1),要使图象经过第一、二、三象限,只需k>0.14.答案 答案不唯一.AC=BD(或BC=AD,AO=BO,CO=DO)解析 在△ADB 和△BCA 中,∠C=∠D,∠ABC=∠BAD,AB=AB,故△ADB≌△BCA,则AC=BD,AD=BC, ∠ABD=∠BAC,∴OA=OB,又AC=BD,∴OC=OD.15.答案55解析如图,连结OA、OB,因为PA、PB是圆的切线,所以∠OAP=∠OBP=90°,又因为∠P=70°,所以∠AOB=360°-90°-90°-70°=110°,又∠AOB=2∠C,所以∠C=55°.16.答案316解析1 2 3 41 2 3 4 52 3 4 5 63 4 5 6 74 5 6 7 8根据列表可得,总共有16个结果,和是4的有3个,故两次摸出的小球的标号之和等于4的概率为3.1617.答案7解析∵△ABC为等边三角形,∴∠B=60°.又∵∠ADC=∠B+∠BAD=∠ADE+∠EDC,∠ADE=60°,∴∠EDC=∠BAD.又∵∠B=∠C,∴△ABD∽△DCE,∴AB∶CD=BD∶CE.∵AB=9,BD=3, ∴CD=6, ∴CE=2,∴AE=7. 18.答案 (Ⅰ)6(Ⅱ)如图,取格点P,连结PC,则PC⊥BC.过点A 画PC 的平行线,与BC 交于点Q,连结PQ 与AC 相交于点D;过点D 画CB 的平行线,与AB 相交于点E,连结DE,分别过点D 、E 画PC 的平行线,与CB 相交于点G 、F.则四边形DEFG 即为所求.解析 如图所示,△ABC 中,c>b>a,EFGD 为△ABC 内一条边在BC 边上的正方形,设正方形的边长为x,BC 边上的高AH=h,△ABC 的面积为S.∵△ADG∽△ABC,∴x a =ℎ-xℎ,∴x=aℎa+ℎ=2Sa+2Sa.同理可得:当正方形的一边落在AC 或AB 边上时,有x=2Sb+2S b或x=2Sc+2S c.(a +2Sa)-(b +2Sb)=(a-b)+(2S a -2S b )=(a-b)-2S·a -b ab =(a-b)·ab -2S ab.∵ab>ah,即ab>2S,∴ab-2S>0.又∵b>a,∴a-b<0. ∴(a +2Sa)-(b +2Sb )=(a-b)·ab -2S ab<0,∴a+2S a <b+2S b ,∴2Sa+2Sa>2Sb+2S b.同理可得2S b+2S b>2S c+2S c,∴2Sa+2S a>2Sb+2S b>2S c+2S c,即当正方形一边落在三角形最短的边上, 另两个顶点落在其他两边上时,正方形为三角形中所包含的面积最大的正方形,所以本题所作正方形一边应该落在最短边BC 上. 又根据画图过程可得:图中所作四边形DEFG 为矩形, ∵△QDG∽△QPC,△ADE∽△ACB,△DPC∽△DQA, ∴DG PC =DQ PQ ,DE BC =AD AC ,AD AC =DQ PQ,∴DG PC =DEBC.又∵PC=BC,∴DG=DE,∴四边形DEFG 为正方形.∴所作四边形DEFG 为△ABC 内部面积最大的正方形.评析 本题主要考查“在一个三角形内部如何作出面积最大的正方形”这一作图方法,解题关键是综合运用正方形和相似三角形知识寻找满足正方形面积最大的位置(即正方形的一边应该落在三角形的最短边上,另外两个顶点分别在另外两条边上).正确作出图形的关键是“利用网格特点,找出使PC 和BC 垂直且相等的P 点”. 19.解析 {x -1<2,①2x +9>3,②解不等式①,得x<3. 解不等式②,得x>-3. ∴不等式组的解集为-3<x<3.20.解析 (Ⅰ)∵反比例函数y=kx 的图象经过点A(2,3), ∴3=k2,解得k=6.∴这个函数的解析式为y=6x . (Ⅱ)分别把点B,C 的坐标代入y=6x ,可知点B 的坐标不满足函数解析式,点C 的坐标满足函数解析式, ∴点B 不在这个函数的图象上,点C 在这个函数的图象上. (Ⅲ)∵当x=-3时,y=-2,当x=-1时,y=-6,又由k>0知,当x<0时,y随x的增大而减小,∴当-3<x<-1时,-6<y<-2.评析本题的第(Ⅰ)(Ⅱ)问主要考查用待定系数法求函数的解析式和函数图象的意义;第(Ⅲ)问考查反比例函数的性质,熟练掌握“当k>0时,在每个象限内y随x的增大而减小”这一性质是解答本题的关键.21.解析(Ⅰ)50;32.=16(元),(Ⅱ)∵x=5×4+10×16+15×12+20×10+30×850∴这组样本数据的平均数为16元.∵在这组样本数据中,10出现了16次,出现次数最多,∴这组样本数据的众数为10元.=15元, ∵将这组样本数据按从小到大的顺序排列,其中处于中间的两个数都是15,有15+152∴这组样本数据的中位数为15元.(Ⅲ)∵在50名学生中,捐款金额为10元的学生人数比例为32%,∴由样本数据估计该校1 900名学生中捐款金额为10元的学生人数比例为32%,有1 900×32%= 608(名),∴该校本次活动捐款金额为10元的学生约有608名.评析本题重点考查学生对平均数、众数、中位数概念的理解,用样本估计总体以及学生的识图能力,易错处多因概念理解不透彻,易把16看成众数,把5元、10元、15元、20元、30元直接加起来除以4、16、12、10、8的和得到的结果作为平均数.22.解析(Ⅰ)如图,连结OC.∵直线l与☉O相切于点C,∴OC⊥l,∴∠OCD=90°.∵AD⊥l,∴∠ADC=90°.∴OC∥AD,∴∠ACO=∠DAC,在☉O中,∵OA=OC,∴∠BAC=∠ACO,∴∠BAC=∠DAC=30°.(Ⅱ)如图,连结BF.∵AB是☉O的直径,∴∠AFB=90°,∴∠BAF=90°-∠B.∵∠AEF为Rt△ADE的一个外角,∠DAE=18°,∴∠AEF=∠ADE+∠DAE=90°+18°=108°.在☉O中,四边形ABFE是圆内接四边形,∴∠AEF+∠B=180°,∴∠B=180°-108°=72°,∴∠BAF=90°-72°=18°.评析本题重点考查了“圆内接四边形对角互补”“直径所对的圆周角是直角”这两个重要的知识点,对“见切线连圆心和切点”“利用直径构造直角”这些常见辅助线作法的熟练掌握是正确解答本题的关键.23.解析如图,根据题意,有∠CAD=45°,∠CBD=54°,AB=112 m.∵在Rt△ACD 中,∠ACD=∠CAD=45°,∴AD=CD. 又AD=AB+BD,∴BD=AD-AB=(CD-112)m.∵在Rt△BCD 中,tan∠BCD=BDCD ,∠BCD=90°-∠CBD=36°, ∴tan 36°=BDCD ,∴BD=CD ·tan 36°.∴CD ·tan 36°=CD -112, ∴CD=1121-tan36°≈1121-0.73≈415 m.答:天塔的高度CD 约为415 m. 24.解析 (Ⅰ)在甲商场:271,0.9x+10; 在乙商场:278,0.95x+2.5.(Ⅱ)根据题意,有0.9x+10=0.95x+2.5,解得x=150, ∴当x=150时,小红在甲、乙两商场的实际花费相同. (Ⅲ)由0.9x+10<0.95x+2.5,解得x>150, 由0.9x+10>0.95x+2.5,解得x<150,∴当小红累计购物超过150元时,在甲商场的实际花费少;当小红累计购物超过100元而不到150元时,在乙商场的实际花费少.评析 本题是函数与不等式综合应用的方案设计问题,解答此类问题的关键是按照各自的优惠方案正确写出在甲、乙两个商场购物时,实际所需费用和物品标价的关系式,然后利用方程和不等式解决问题.25.解析 (Ⅰ)∵点A(-2,0),点B(0,4), ∴OA=2,OB=4.∵∠OAE=∠OBA,∠EOA=∠AOB=90°, ∴△OAE∽△OBA,∴OA OB =OEOA,即24=OE2,∴OE=1.∴点E 的坐标为(0,1).(Ⅱ)①如图,连结EE',∵AA'=m,∴A'O=2-m,在Rt△A'BO 中,∵A'B 2=A'O 2+BO 2, ∴A'B 2=(2-m)2+42=m 2-4m+20.∵△A'E'O'是将△AEO 沿x 轴向右平移得到的, ∴EE'∥AA',且EE'=AA', ∴∠BEE'=90°,EE'=m. 又BE=OB-OE=3,于是,在Rt△BE'E 中,BE'2=E'E 2+BE 2=m 2+9, ∴A'B 2+BE'2=2m 2-4m+29(0<m<2), 即A'B 2+BE'2=2(m-1)2+27(0<m<2), 当m=1时,A'B 2+BE'2取得最小值, ∴点E'的坐标为(1,1). ②点E'的坐标为(67,1).26.解析 (Ⅰ)由已知,抛物线y 1=ax 2+bx+c 经过点(0,94),得c=94,∴y 1=ax 2+bx+94. ∵点(-1,0)、(3,0)在抛物线y 1=ax 2+bx+94上,∴{a −b +94=0,9a +3b +94=0,解得{a =-34,b =32.∴y 1与x 之间的函数关系式为y 1=-34x 2+32x+94.(Ⅱ)由y 1=-34x 2+32x+94配方得y 1=-34(x-1)2+3,∴直线l 为x=1,顶点M(1,3).①根据题意,得t≠3.如图,记直线l 与直线l'交于点C,则点C(1,t). 当点A 与点C 不重合时,由已知,得AM 与BP 互相垂直平分, ∴四边形ABMP 为菱形,∴PA∥l, 又点P(x,y 2),则点A(x,t),(x≠1) ∴PM=PA=|y 2-t|.过点P 作PQ⊥l 于点Q,则点Q(1,y 2), ∴QM=|y 2-3|,PQ=AC=|x-1|.在Rt△PQM 中,由PM 2=QM 2+PQ 2,得(y 2-t)2=(y 2-3)2+(x-1)2, 整理,得y 2=16-2t (x-1)2+t +32,即y 2=16-2t x 2-13-t x+10-t 26-2t .当点A 与点C 重合时,点B 与点P 重合,可知点P (1,t +32),其坐标也满足上式.∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2=16-2t x 2-13-t x+10-t 26-2t (t≠3); ②根据题意,借助函数图象.当抛物线y 2开口方向向上时,6-2t>0,即t<3,抛物线y 1的顶点M(1,3),抛物线y 2的顶点(1,t +32),由3>t +32,可知不符合题意.当抛物线y 2开口方向向下时,6-2t<0,即t>3, y 1-y 2=-34(x-1)2+3-[16-2t (x -1)2+t +32]=3t -114(3-t )(x-1)2+3-t 2.若3t-11≠0,要使y 1<y 2恒成立, 只要抛物线y=3t -114(3-t )(x-1)2+3-t 2开口方向向下,且顶点(1,3-t 2)在x 轴下方,因为3-t<0,所以只要3t-11>0,解得t>113,符合题意; 若3t-11=0,y 1-y 2=-13<0,即t=113也符合题意. 综上,可以使y 1<y 2恒成立的t 的取值范围是t≥113.。
2013年中考数学压轴题及解析分类汇编(优选.)
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(0，1)，C (0，3)，D (－1，0)．（2）因为抛物线y ＝ax 2＋bx ＋c 经过A (3，0)、C (0，3)、D (－1，0) 三点，所以930,3,0.a b c c a b c ++=⎧⎪=⎨⎪-+=⎩ 解得1,2,3.a b c =-⎧⎪=⎨⎪=⎩所以抛物线的解析式为y ＝－x 2＋2x ＋3＝－(x －1)2＋4，顶点G 的坐标为(1，4)．（3）如图2，直线BG 的解析式为y ＝3x ＋1，直线CD 的解析式为y ＝3x ＋3，因此CD //BG ．因为图形在旋转过程中，对应线段的夹角等于旋转角，所以AB ⊥CD ．因此AB ⊥BG ，即∠ABQ ＝90°．因为点Q 在直线BG 上，设点Q 的坐标为(x ，3x ＋1)，那么22(3)10BQ x x x =+=±． Rt △COD 的两条直角边的比为1∶3，如果Rt △ABQ 与Rt △COD 相似，存在两种情况：①当3BQ BA =时，10310x ±=．解得3x =±．所以1(3,10)Q ，2(3,8)Q --． ②当13BQ BA =时，101310x ±=．解得13x =±．所以31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．图2 图3考点伸展第（3）题在解答过程中运用了两个高难度动作：一是用旋转的性质说明AB ⊥BG ；二是BQ ==．我们换个思路解答第（3）题：如图3，作GH ⊥y 轴，QN ⊥y 轴，垂足分别为H 、N ．通过证明△AOB ≌△BHG ，根据全等三角形的对应角相等，可以证明∠ABG ＝90°． 在Rt △BGH 中，sin 1∠=cos 1∠=①当3BQ BA=时，BQ =． 在Rt △BQN 中，sin 13QN BQ =⋅∠=，cos 19BN BQ =⋅∠=．当Q 在B 上方时，1(3,10)Q ；当Q 在B 下方时，2(3,8)Q --．②当13BQ BA =时，BQ =31(,2)3Q ，41(,0)3Q -．例2Rt △ABC 在直角坐标系内的位置如图1所示，反比例函数(0)k y k x=≠在第一象限内的图像与BC 边交于点D （4，m ），与AB 边交于点E （2，n ），△BDE 的面积为2．（1）求m 与n 的数量关系；（2）当tan ∠A ＝12时，求反比例函数的解析式和直线AB 的表达式； （3）设直线AB 与y 轴交于点F ，点P 在射线FD 上，在（2）的条件下，如果△AEO 与△EFP 相似，求点P 的坐标．图1动感体验请打开几何画板文件名“11杨浦24”，拖动点A 在x 轴上运动，可以体验到，直线AB 保持斜率不变，n 始终等于m 的2倍，双击按钮“面积BDE ＝2”，可以看到，点E 正好在BD 的垂直平分线上，FD //x 轴．拖动点P 在射线FD 上运动，可以体验到，△AEO 与△EFP 相似存在两种情况．思路点拨1．探求m 与n 的数量关系，用m 表示点B 、D 、E 的坐标，是解题的突破口．2．第（2）题留给第（3）题的隐含条件是FD //x 轴．3．如果△AEO 与△EFP 相似，因为夹角相等，根据对应边成比例，分两种情况． 满分解答（1）如图1，因为点D （4，m ）、E （2，n ）在反比例函数k y x=的图像上，所以4,2.m k n k =⎧⎨=⎩ 整理，得n ＝2m ． （2）如图2，过点E 作EH ⊥BC ，垂足为H ．在Rt △BEH 中，tan ∠BEH ＝tan ∠A ＝12，EH ＝2，所以BH ＝1．因此D (4，m )，E (2，2m )，B (4，2m ＋1)． 已知△BDE 的面积为2，所以11(1)2222BD EH m ⋅=+⨯=．解得m ＝1．因此D (4，1)，E (2，2)，B (4，3)． 因为点D （4，1）在反比例函数k y x =的图像上，所以k ＝4．因此反比例函数的解析式为4y x=．设直线AB的解析式为y＝kx＋b，代入B(4，3)、E(2，2)，得34,22.k bk b=+⎧⎨=+⎩解得12k=，1 b=．因此直线AB的函数解析式为112y x=+．图2 图3 图4（3）如图3，因为直线112y x=+与y轴交于点F（0，1），点D的坐标为（4，1），所以FD// x轴，∠EFP＝∠EAO．因此△AEO与△EFP相似存在两种情况：①如图3，当EA EFAO FP=时，255=．解得FP＝1．此时点P的坐标为（1，1）．②如图4，当EA FPAO EF=时，255=．解得FP＝5．此时点P的坐标为（5，1）．考点伸展本题的题设部分有条件“Rt△ABC在直角坐标系内的位置如图1所示”，如果没有这个条件限制，保持其他条件不变，那么还有如图5的情况：第（1）题的结论m与n的数量关系不变．第（2）题反比例函数的解析式为12yx=-，直线AB为172y x=-．第（3）题FD不再与x轴平行，△AEO与△EFP也不可能相似．图52013中考数学压轴题函数相似三角形问题(二) 例3如图1，已知梯形OABC，抛物线分别过点O（0，0）、A（2，0）、B（6，3）．（1）直接写出抛物线的对称轴、解析式及顶点M的坐标；（2）将图1中梯形OABC的上下底边所在的直线OA、CB以相同的速度同时向上平移，分别交抛物线于点O1、A1、C1、B1，得到如图2的梯形O1A1B1C1．设梯形O1A1B1C1的面积为S，A1、B1的坐标分别为(x1，y1)、(x2，y2)．用含S的代数式表示x2－x1，并求出当S=36时点A1的坐标；（3）在图1中，设点D的坐标为(1，3)，动点P从点B出发，以每秒1个单位长度的速度沿着线段BC运动，动点Q从点D出发，以与点P相同的速度沿着线段DM运动．P、Q两点同时出发，当点Q到达点M时，P、Q两点同时停止运动．设P、Q两点的运动时间为t，是否存在某一时刻t，使得直线PQ、直线AB、x轴围成的三角形与直线PQ、直线AB、抛物线的对称轴围成的三角形相似？若存在，请求出t的值；若不存在，请说明理由．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“10义乌24”，拖动点I上下运动，观察图形和图像，可以体验到，x2－x1随S的增大而减小．双击按钮“第（3）题”，拖动点Q在DM上运动，可以体验到，如果∠GAF＝∠GQE，那么△GAF与△GQE相似．思路点拨1．第（2）题用含S 的代数式表示x 2－x 1，我们反其道而行之，用x 1，x 2表示S ．再注意平移过程中梯形的高保持不变，即y 2－y 1＝3．通过代数变形就可以了．2．第（3）题最大的障碍在于画示意图，在没有计算结果的情况下，无法画出准确的位置关系，因此本题的策略是先假设，再说理计算，后验证．3．第（3）题的示意图，不变的关系是：直线AB 与x 轴的夹角不变，直线AB 与抛物线的对称轴的夹角不变．变化的直线PQ 的斜率，因此假设直线PQ 与AB 的交点G 在x 轴的下方，或者假设交点G 在x 轴的上方．满分解答（1）抛物线的对称轴为直线1x =，解析式为21184y x x =-，顶点为M （1，18-）． （2） 梯形O 1A 1B 1C 1的面积12122(11)3()62x x S x x -+-⨯3==+-，由此得到1223s x x +=+．由于213y y -=，所以22212211111138484y y x x x x -=--+=．整理，得212111()()384x x x x ⎡⎤-+-=⎢⎥⎣⎦．因此得到2172x x S -=． 当S =36时，212114,2.x x x x +=⎧⎨-=⎩ 解得126,8.x x =⎧⎨=⎩ 此时点A 1的坐标为（6，3）． （3）设直线AB 与PQ 交于点G ，直线AB 与抛物线的对称轴交于点E ，直线PQ 与x 轴交于点F ，那么要探求相似的△GAF 与△GQE ，有一个公共角∠G ．在△GEQ 中，∠GEQ 是直线AB 与抛物线对称轴的夹角，为定值．在△GAF 中，∠GAF 是直线AB 与x 轴的夹角，也为定值，而且∠GEQ ≠∠GAF ． 因此只存在∠GQE ＝∠GAF 的可能，△GQE ∽△GAF ．这时∠GAF ＝∠GQE ＝∠PQD ． 由于3tan 4GAF ∠=，tan 5DQ t PQD QP t ∠==-，所以345t t =-．解得207t =．图3 图4 考点伸展第（3）题是否存在点G 在x 轴上方的情况？如图4，假如存在，说理过程相同，求得的t 的值也是相同的．事实上，图3和图4都是假设存在的示意图，实际的图形更接近图3．例4如图1，已知点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上．（1）求m 、n ；（2）向右平移上述抛物线，记平移后点A 的对应点为A ′，点B 的对应点为B ′，若四边形A A ′B ′B 为菱形，求平移后抛物线的表达式；（3）记平移后抛物线的对称轴与直线AB ′ 的交点为C ，试在x 轴上找一个点D ，使得以点B ′、C 、D 为顶点的三角形与△ABC 相似．图1动感体验请打开几何画板文件名“10宝山24”，拖动点A ′向右平移，可以体验到，平移5个单位后，四边形A A ′B ′B 为菱形．再拖动点D 在x 轴上运动，可以体验到，△B ′CD 与△ABC 相似有两种情况．思路点拨1．点A 与点B 的坐标在3个题目中处处用到，各具特色．第（1）题用在待定系数法中；第（2）题用来计算平移的距离；第（3）题用来求点B ′ 的坐标、AC 和B ′C 的长．2．抛物线左右平移，变化的是对称轴，开口和形状都不变．3．探求△ABC 与△B ′CD 相似，根据菱形的性质，∠BAC ＝∠CB ′D ，因此按照夹角的两边对应成比例，分两种情况讨论．满分解答(1) 因为点A (-2，4) 和点B (1，0)都在抛物线22y mx mx n =++上，所以444,20.m m n m m n -+=⎧⎨++=⎩ 解得43m =-，4n =． (2)如图2，由点A (-2，4) 和点B (1，0)，可得AB ＝5．因为四边形A A ′B ′B 为菱形，所以A A ′＝B ′B ＝ AB ＝5．因为438342+--=x x y ()2416133x =-++，所以原抛物线的对称轴x ＝－1向右平移5个单位后，对应的直线为x ＝4．因此平移后的抛物线的解析式为()3164342,+--=x y ．图2(3) 由点A (-2，4) 和点B′(6，0)，可得A B′＝45．如图2，由AM//CN，可得''''B N B CB M B A=，即2845=．解得'5B C=．所以35AC=．根据菱形的性质，在△ABC与△B′CD中，∠BAC＝∠CB′D．①如图3，当''AB B CAC B D=时，535=，解得'3B D=．此时OD＝3，点D的坐标为（3，0）．②如图4，当''AB B DAC B C=时，355=，解得5'3B D=．此时OD＝133，点D的坐标为（133，0）．图3 图4考点伸展在本题情境下，我们还可以探求△B′CD与△AB B′相似，其实这是有公共底角的两个等腰三角形，容易想象，存在两种情况．我们也可以讨论△B′CD与△C B B′相似，这两个三角形有一组公共角∠B，根据对应边成比例，分两种情况计算．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三) 例5如图1，抛物线经过点A(4，0)、B（1，0)、C（0，－2）三点．（1）求此抛物线的解析式；（2）P是抛物线上的一个动点，过P作PM⊥x轴，垂足为M，是否存在点P，使得以A、P、M为顶点的三角形与△OAC相似？若存在，请求出符合条件的点P的坐标；若不存在，请说明理由；（3）在直线AC上方的抛物线是有一点D，使得△DCA的面积最大，求出点D的坐标．,图1动感体验请打开几何画板文件名“09临沂26”，拖动点P在抛物线上运动，可以体验到，△PAM的形状在变化，分别双击按钮“P在B左侧”、“P在x轴上方”和“P在A右侧”，可以显示△PAM与△OAC相似的三个情景．双击按钮“第(3)题”，拖动点D在x轴上方的抛物线上运动，观察△DCA的形状和面积随D变化的图象，可以体验到，E是AC的中点时，△DCA的面积最大．思路点拨1．已知抛物线与x轴的两个交点，用待定系数法求解析式时，设交点式比较简便．2．数形结合，用解析式表示图象上点的坐标，用点的坐标表示线段的长． 3．按照两条直角边对应成比例，分两种情况列方程． 4．把△DCA 可以分割为共底的两个三角形，高的和等于OA ．满分解答（1）因为抛物线与x 轴交于A (4，0)、B （1，0)两点，设抛物线的解析式为)4)(1(--=x x a y ，代入点C 的 坐标（0，－2），解得21-=a ．所以抛物线的解析式为22521)4)(1(212-+-=---=x x x x y ．（2）设点P 的坐标为))4)(1(21,(---x x x ．①如图2，当点P 在x 轴上方时，1＜x ＜4，)4)(1(21---=x x PM ，x AM -=4．如果2==CO AO PM AM ，那么24)4)(1(21=----x x x ．解得5=x 不合题意．如果21==CO AO PM AM ，那么214)4)(1(21=----x x x ．解得2=x ．此时点P 的坐标为（2，1）．②如图3，当点P 在点A 的右侧时，x ＞4，)4)(1(21--=x x PM ，4-=x AM ．解方程24)4)(1(21=---x x x ，得5=x ．此时点P 的坐标为)2,5(-．解方程214)4)(1(21=---x x x ，得2=x 不合题意．③如图4，当点P 在点B 的左侧时，x ＜1，)4)(1(21--=x x PM ，x AM -=4． 解方程24)4)(1(21=---xx x ，得3-=x ．此时点P 的坐标为)14,3(--．解方程214)4)(1(21=---xxx，得0=x．此时点P与点O重合，不合题意．综上所述，符合条件的点P的坐标为（2，1）或)14,3(--或)2,5(-．图2 图3 图4（3）如图5，过点D作x轴的垂线交AC于E．直线AC的解析式为221-=xy．设点D的横坐标为m)41(<<m，那么点D的坐标为)22521,(2-+-mmm，点E的坐标为)221,(-mm．所以)221()22521(2---+-=mmmDE mm2212+-=．因此4)221(212⨯+-=∆mmSDACmm42+-=4)2(2+--=m．当2=m时，△DCA的面积最大，此时点D的坐标为（2，1）．图5 图6第（3）题也可以这样解：如图6，过D 点构造矩形OAMN ，那么△DCA 的面积等于直角梯形CAMN 的面积减去△CDN 和△ADM 的面积．设点D 的横坐标为（m ，n ）)41(<<m ，那么42)4(21)2(214)22(21++-=--+-⨯+=n m m n n m n S ． 由于225212-+-=m m n ，所以m m S 42+-=． 例6如图1，△ABC 中，AB ＝5，AC ＝3，cos A ＝310．D 为射线BA 上的点（点D 不与点B 重合），作DE //BC 交射线CA 于点E .．(1) 若CE ＝x ，BD ＝y ，求y 与x 的函数关系式，并写出函数的定义域； (2) 当分别以线段BD ，CE 为直径的两圆相切时，求DE 的长度；(3) 当点D 在AB 边上时，BC 边上是否存在点F ，使△ABC 与△DEF 相似？若存在，请求出线段BF 的长；若不存在，请说明理由．图1 备用图 备用图动感体验请打开几何画板文件名“09闸北25”，拖动点D 可以在射线BA 上运动．双击按钮“第（2）题”，拖动点D 可以体验到两圆可以外切一次，内切两次．双击按钮“第（3）题”，再分别双击按钮“DE 为腰”和“DE 为底边”，可以体验到，△DEF 为等腰三角形．1．先解读背景图，△ABC是等腰三角形，那么第（3）题中符合条件的△DEF也是等腰三角形．2．用含有x的式子表示BD、DE、MN是解答第（2）题的先决条件，注意点E的位置不同，DE、MN表示的形式分两种情况．3．求两圆相切的问题时，先罗列三要素，再列方程，最后检验方程的解的位置是否符合题意．4．第（3）题按照DE为腰和底边两种情况分类讨论，运用典型题目的结论可以帮助我们轻松解题．满分解答（1）如图2，作BH⊥AC，垂足为点H．在Rt△ABH中，AB＝5，cosA＝310 AHAB=，所以AH＝32＝12AC．所以BH垂直平分AC，△ABC为等腰三角形，AB＝CB＝5．因为DE//BC，所以AB ACDB EC=，即53y x=．于是得到53y x=，（0x>）．（2）如图3，图4，因为DE//BC，所以DE AEBC AC=，MN ANBC AC=，即|3|53DE x-=，1|3|253xMN-=．因此5|3|3xDE-=，圆心距5|6|6xMN-=．图2 图3 图4 在⊙M中，115226Mr BD y x===，在⊙N中，1122Nr CE x==．①当两圆外切时，5162x x +5|6|6x -=．解得3013x =或者10x =-． 如图5，符合题意的解为3013x =，此时5(3)15313x DE -==． ②当两圆内切时，5162x x -5|6|6x -=． 当x ＜6时，解得307x =，如图6，此时E 在CA 的延长线上，5(3)1537x DE -==； 当x ＞6时，解得10x =，如图7，此时E 在CA 的延长线上，5(3)3533x DE -==．图5 图6 图7（3）因为△ABC 是等腰三角形，因此当△ABC 与△DEF 相似时，△DEF 也是等腰三角形．如图8，当D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点时，DE 为等腰三角形DEF 的腰，符合题意，此时BF ＝2.5．根据对称性，当F 在BC 边上的高的垂足时，也符合题意，此时BF ＝4.1．如图9，当DE 为等腰三角形DEF 的底边时，四边形DECF 是平行四边形，此时12534BF =．图8 图9 图10 图11考点伸展第（3）题的情景是一道典型题，如图10，如图11，AH 是△ABC 的高，D 、E 、F 为△ABC 的三边的中点，那么四边形DEHF 是等腰梯形．例 7如图1，在直角坐标系xOy 中，设点A （0，t ），点Q （t ，b ）．平移二次函数2tx y -=的图象，得到的抛物线F 满足两个条件：①顶点为Q ；②与x 轴相交于B 、C 两点（∣OB ∣<∣OC ∣），连结A ，B ．（1）是否存在这样的抛物线F ，使得OC OB OA ⋅=2？请你作出判断，并说明理由；（2）如果AQ ∥BC ，且tan ∠ABO ＝23，求抛物线F 对应的二次函数的解析式．图1动感体验请打开几何画板文件名“08杭州24”，拖动点A 在y 轴上运动，可以体验到，AQ 与BC 保持平行，OA ∶OB 与OA ∶OB ′保持3∶2．双击按钮“t ＝3”，“t ＝0．6”，“t ＝－0．6”，“t ＝－3”，抛物线正好经过点B （或B ′）．思路点拨1．数形结合思想，把OC OB OA ⋅=2转化为212t x x =⋅．2．如果AQ ∥BC ，那么以OA 、AQ 为邻边的矩形是正方形，数形结合得到t ＝b ． 3．分类讨论tan ∠ABO ＝23，按照A 、B 、C 的位置关系分为四种情况．A 在y 轴正半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况；A 在y 轴负半轴时，分为B 、C 在y 轴同侧和两侧两种情况．满分解答（1）因为平移2tx y -=的图象得到的抛物线F 的顶点为Q （t ，b ），所以抛物线F 对应的解析式为b t x t y +--=2)(．因为抛物线与x 轴有两个交点，因此0>b t ．令0=y ，得-=t OB t b，+=t OC tb ． 所以-=⋅t OC OB (|||||tb)( +t t b)|-=2|t 22|OA t tb ==．即22bt t t-=±．所以当32t b =时，存在抛物线F 使得||||||2OC OB OA ⋅=． （2）因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为t t x t y +--=2)(．解得1,121+=-=t x t x ．①当0>t 时，由||||OC OB <，得)0,1(-t B ．如图2，当01>-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1-t t ，解得3=t ．此时二次函数的解析式为241832-+-=x x y ．如图3，当01<-t 时，由=∠ABO tan 23=||||OB OA =1+-t t ，解得=t 53．此时二次函数的解析式为-=y 532x ＋2518x ＋12548．图2 图3②如图4，如图5，当0<t 时，由||||OC OB <，将t -代t ,可得=t 53-，3-=t ．此时二次函数的解析式为=y 532x ＋2518x －12548或241832++=x x y ．图4 图5考点伸展第（2）题还可以这样分类讨论：因为AQ //BC ，所以t ＝b ，于是抛物线F 为2()y t x t t =--+．由3tan 2OA ABO OB ∠==，得23OB OA =． ①把2(,0)3B t 代入2()y t x t t =--+，得3t =±（如图2，图5）． ②把2(,0)3B t -代入2()y t x t t =--+，得35t =±（如图3，图4）．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(一) 例1如图1，已知正方形OABC的边长为2，顶点A、C分别在x、y轴的正半轴上，M 是BC的中点．P(0,m)是线段OC上一动点（C点除外），直线PM交AB的延长线于点D．（1）求点D的坐标（用含m的代数式表示）；（2）当△APD是等腰三角形时，求m的值；（3）设过P、M、B三点的抛物线与x轴正半轴交于点E，过点O作直线ME的垂线，垂足为H（如图2）．当点P从O向C运动时，点H也随之运动．请直接写出点H 所经过的路长（不必写解答过程）．图1 图2动感体验请打开几何画板文件名“11湖州24”，拖动点P在OC上运动，可以体验到，△APD的三个顶点有四次机会可以落在对边的垂直平分线上．双击按钮“第(3)题”，拖动点P由O向C运动，可以体验到，点H在以OM为直径的圆上运动．双击按钮“第(2)题”可以切换．思路点拨1．用含m的代数式表示表示△APD的三边长，为解等腰三角形做好准备．2．探求△APD是等腰三角形，分三种情况列方程求解．3．猜想点H的运动轨迹是一个难题．不变的是直角，会不会找到不变的线段长呢？Rt△OHM的斜边长OM是定值，以OM为直径的圆过点H、C．满分解答（1）因为PC //DB ，所以1CP PM MC BD DM MB ===．因此PM ＝DM ，CP ＝BD ＝2－m ．所以AD ＝4－m ．于是得到点D 的坐标为(2，4－m )．（2）在△APD 中，22(4)AD m =-，224AP m =+，222(2)44(2)PD PM m ==+-． ①当AP ＝AD 时，2(4)m -24m =+．解得32m =（如图3）． ②当PA ＝PD 时，24m +244(2)m =+-．解得43m =（如图4）或4m =（不合题意，舍去）．③当DA ＝DP 时，2(4)m -244(2)m =+-．解得23m =（如图5）或2m =（不合题意，舍去）．综上所述，当△APD 为等腰三角形时，m 的值为32，43或23．图3 图4 图5（3）点H 5． 考点伸展第（2）题解等腰三角形的问题，其中①、②用几何说理的方法，计算更简单： ①如图3，当AP ＝AD 时，AM 垂直平分PD ，那么△PCM ∽△MBA ．所以12PC MB CM BA ==．因此12PC =，32m =．②如图4，当PA ＝PD 时，P 在AD 的垂直平分线上．所以DA ＝2PO ．因此42m m -=．解得43m =． 第（2）题的思路是这样的：如图6，在Rt △OHM 中，斜边OM 为定值，因此以OM 为直径的⊙G 经过点H ，也就是说点H 在圆弧上运动．运动过的圆心角怎么确定呢？如图7，P 与O 重合时，是点H 运动的起点，∠COH ＝45°，∠CGH ＝90°．图6 图7例2如图1，已知一次函数y ＝－x ＋7与正比例函数43y x =的图象交于点A ，且与x 轴交于点B ．（1）求点A 和点B 的坐标；（2）过点A 作AC ⊥y 轴于点C ，过点B 作直线l //y轴．动点P 从点O 出发，以每秒1个单位长的速度，沿O—C —A 的路线向点A 运动；同时直线l 从点B 出发，以相同速度向左平移，在平移过程中，直线l 交x 轴于点R ，交线段BA 或线段AO 于点Q ．当点P 到达点A 时，点P和直线l 都停止运动．在运动过程中，设动点P 运动的时间为t 秒．①当t 为何值时，以A 、P 、R 为顶点的三角形的面积为8？②是否存在以A 、P 、Q 为顶点的三角形是等腰三角形？若存在，求t 的值；若不存在，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“11盐城28”，拖动点R由B向O运动，从图像中可以看到，△APR的面积有一个时刻等于8．观察△APQ，可以体验到，P在OC上时，只存在AP＝AQ的情况；P在CA上时，有三个时刻，△APQ是等腰三角形．思路点拨1．把图1复制若干个，在每一个图形中解决一个问题．2．求△APR的面积等于8，按照点P的位置分两种情况讨论．事实上，P在CA上运动时，高是定值4，最大面积为6，因此不存在面积为8的可能．3．讨论等腰三角形APQ，按照点P的位置分两种情况讨论，点P的每一种位置又要讨论三种情况．满分解答（1）解方程组7, 4,3y xy x=-+⎧⎪⎨=⎪⎩得3,4.xy=⎧⎨=⎩所以点A的坐标是(3，4)．令70y x=-+=，得7x=．所以点B的坐标是(7，0)．（2）①如图2，当P在OC上运动时，0≤t＜4．由8APR ACP PORCORAS S S S=--=△△△梯形，得1113+7)44(4)(7)8222t t t t-⨯-⨯⨯--⨯-=（．整理，得28120t t-+=．解得t＝2或t＝6（舍去）．如图3，当P在CA上运动时，△APR的最大面积为6．因此，当t＝2时，以A、P、R为顶点的三角形的面积为8．图2 图3 图4②我们先讨论P 在OC 上运动时的情形，0≤t ＜4．如图1，在△AOB 中，∠B ＝45°，∠AOB ＞45°，OB ＝7，42AB =，所以OB ＞AB ．因此∠OAB ＞∠AOB ＞∠B ． 如图4，点P 由O 向C 运动的过程中，OP ＝BR ＝RQ ，所以PQ //x 轴．因此∠AQP ＝45°保持不变，∠PAQ 越来越大，所以只存在∠APQ ＝∠AQP 的情况． 此时点A 在PQ 的垂直平分线上，OR ＝2CA ＝6．所以BR ＝1，t ＝1．我们再来讨论P 在CA 上运动时的情形，4≤t ＜7．在△APQ 中， 3cos 5A ∠=为定值，7AP t =-，5520333AQ OA OQ OA OR t =-=-=-． 如图5，当AP ＝AQ 时，解方程520733t t -=-，得418t =． 如图6，当QP ＝QA 时，点Q 在PA 的垂直平分线上，AP ＝2(OR －OP )．解方程72[(7)(4)]t t t -=---，得5t =．如7，当PA ＝PQ 时，那么12cos AQ A AP∠=．因此2cos AQ AP A =⋅∠．解方程52032(7)335t t -=-⨯，得22643t =． 综上所述，t ＝1或418或5或22643时，△APQ 是等腰三角形．图5 图6 图7考点伸展当P 在CA 上，QP ＝QA 时，也可以用2cos AP AQ A =⋅∠来求解．2013中考数学压轴题函数等腰三角形问题(二) 例3如图1，在直角坐标平面内有点A(6, 0)，B(0, 8)，C(－4, 0)，点M、N分别为线段AC和射线AB上的动点，点M以2个单位长度/秒的速度自C向A方向作匀速运动，点N以5个单位长度/秒的速度自A向B方向作匀速运动，MN交OB于点P．(1)求证：MN∶NP为定值；(2)若△BNP与△MNA相似，求CM的长；(3)若△BNP是等腰三角形，求CM的长．图1动感体验请打开几何画板文件名“10闸北25”，拖动点M在CA上运动，可以看到△BNP 与△MNA的形状随M的运动而改变．双击按钮“△BNP∽△MNA”，可以体验到，此刻两个三角形都是直角三角形．分别双击按钮“BP＝BN，N在AB上”、“NB＝NP”和“BP＝BN，N在AB的延长线上”，可以准确显示等腰三角形BNP的三种情况．思路点拨1．第（1）题求证MN∶NP的值要根据点N的位置分两种情况．这个结论为后面的计算提供了方便．2．第（2）题探求相似的两个三角形有一组邻补角，通过说理知道这两个三角形是直角三角形时才可能相似．3．第（3）题探求等腰三角形，要两级（两层）分类，先按照点N 的位置分类，再按照顶角的顶点分类．注意当N 在AB 的延长线上时，钝角等腰三角形只有一种情况．4．探求等腰三角形BNP ，N 在AB 上时，∠B 是确定的，把夹∠B 的两边的长先表示出来，再分类计算．满分解答(1)如图2，图3，作NQ ⊥x 轴，垂足为Q ．设点M 、N 的运动时间为t 秒． 在Rt △ANQ 中，AN ＝5t ，NQ ＝4t ，AQ ＝3t ．在图2中，QO ＝6－3t ，MQ ＝10－5t ，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．在图3中，QO ＝3t －6，MQ ＝5t －10，所以MN ∶NP ＝MQ ∶QO ＝5∶3．(2)因为△BNP 与△MNA 有一组邻补角，因此这两个三角形要么是一个锐角三角形和一个钝角三角形，要么是两个直角三角形．只有当这两个三角形都是直角三角形时才可能相似．如图4，△BNP ∽△MNA ，在Rt △AMN 中，35AN AM =，所以531025t t =-．解得3031t =．此时CM 6031=．图2 图3 图4(3)如图5，图6，图7中，OP MP QN MN =，即245OP t =．所以85OP t =． ①当N 在AB 上时，在△BNP 中，∠B 是确定的，885BP t =-，105BN t =-．(Ⅰ)如图5，当BP ＝BN 时，解方程881055t t -=-，得1017t =．此时CM 2017=． (Ⅱ)如图6，当NB ＝NP 时，45BE BN =．解方程()1848105255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得54t =．此时CM 52=． (Ⅲ)当PB ＝PN 时，1425BN BP =．解方程()1481058255t t ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，得t 的值为负数，因此不存在PB ＝PN 的情况．②如图7，当点N 在线段AB 的延长线上时，∠B 是钝角，只存在BP ＝BN 的可能，此时510BN t =-．解方程885105t t -=-，得3011t =．此时CM 6011=．图5 图6 图7考点伸展如图6，当NB ＝NP 时，△NMA 是等腰三角形，1425BN BP =，这样计算简便一些．例4如图1，在矩形ABCD中，AB＝m（m是大于0的常数），BC＝8，E为线段BC上的动点（不与B、C重合）．连结DE，作EF⊥DE，EF与射线BA交于点F，设CE＝x，BF＝y．（1）求y关于x的函数关系式；（2）若m＝8，求x为何值时，y的值最大，最大值是多少？（3）若12ym，要使△DEF为等腰三角形，m的值应为多少？图1动感体验请打开几何画板文件名“10南通27”，拖动点E在BC上运动，观察y随x变化的函数图像，可以体验到，y是x的二次函数，抛物线的开口向下．对照图形和图像，可以看到，当E是BC的中点时，y取得最大值．双击按钮“m＝8”，拖动E到BC的中点，可以体验到，点F是AB的四等分点．拖动点A可以改变m的值，再拖动图像中标签为“y随x”的点到射线y＝x上，从图形中可以看到，此时△DCE≌△EBF．思路点拨1．证明△DCE∽△EBF，根据相似三角形的对应边成比例可以得到y关于x的函数关系式．2．第（2）题的本质是先代入，再配方求二次函数的最值．3．第（3）题头绪复杂，计算简单，分三段表达．一段是说理，如果△DEF为等腰三角形，那么得到x＝y；一段是计算，化简消去m，得到关于x的一元二次方程，解出x的值；第三段是把前两段结合，代入求出对应的m的值．满分解答(1)因为∠EDC 与∠FEB 都是∠DEC 的余角，所以∠EDC ＝∠FEB ．又因为∠C ＝∠B ＝90°，所以△DCE ∽△EBF ．因此DC EB CE BF =，即8m x x y -=．整理，得y 关于x 的函数关系为218y x x m m =-+． (2)如图2，当m ＝8时，2211(4)288y x x x =-+=--+．因此当x ＝4时，y 取得最大值为2．(3) 若12y m =，那么21218x x m m m=-+．整理，得28120x x -+=．解得x ＝2或x ＝6．要使△DEF 为等腰三角形，只存在ED ＝EF 的情况．因为△DCE ∽△EBF ，所以CE ＝BF ，即x ＝y ．将x ＝y ＝2代入12y m =，得m ＝6（如图3）；将x ＝y ＝6代入12y m =，得m ＝2（如图4）．图2 图3 图4考点伸展本题中蕴涵着一般性与特殊性的辩证关系，例如：由第（1）题得到218y x x m m =-+221116(8)(4)x x x m m m=--=--+， 那么不论m 为何值，当x ＝4时，y 都取得最大值．对应的几何意义是，不论AB 边为多长，当E 是BC 的中点时，BF 都取得最大值．第（2）题m ＝8是第（1）题一般性结论的一个特殊性．再如，不论m 为小于8的任何值，△DEF 都可以成为等腰三角形，这是因为方程218x x x m m=-+总有一个根8x m =-的．第（3）题是这个一般性结论的一个特殊性．2013中考数学压轴题函数相似三角形问题(三)例5已知：如图1，在平面直角坐标系xOy 中，矩形OABC 的边OA 在y 轴的正半轴上，OC 在x 轴的正半轴上，OA ＝2，OC ＝3，过原点O 作∠AOC 的平分线交AB 于点D ，连接DC ，过点D 作DE ⊥DC ，交OA 于点E ．（1）求过点E 、D 、C 的抛物线的解析式；（2）将∠EDC 绕点D 按顺时针方向旋转后，角的一边与y 轴的正半轴交于点F ，另一边与线段OC 交于点G ．如果DF 与（1）中的抛物线交于另一点M ，点M 的横坐标为56，那么EF ＝2GO 是否成立？若成立，请给予证明；若不成立，请说明理由； （3）对于（2）中的点G ，在位于第一象限内的该抛物线上是否存在点Q ，使得直线GQ 与AB 的交点P 与点C 、G 构成的△PCG 是等腰三角形？若存在，请求出点Q 的坐标；若不存在成立，请说明理由．图1动感体验请打开几何画板文件名“09重庆26”，拖动点G 在OC 上运动，可以体验到，△DCG 与△DEF 保持全等，双击按钮“M 的横坐标为1.2”，可以看到，EF ＝2，GO ＝1．拖动点P 在AB 上运动的过程中，可以体验到，存在三个时刻，△PCG 可以成为等腰三角形．。
2013年中考压轴题分析以及感悟
对2013年中考压轴题分析以及感悟又是一年中考结束了，中考试题依旧是大家谈论的重点。
我作为初中数学老师对中考数学试卷也做了一定的分析，现将大家关注的25题分析如下：试题是：25、在矩形ABCD 中，点P 是边AD 上的动点，联结BP ，线段BP 的垂直平分线交边BC 于点Q ，垂足为点M ，联结QP （如图）．已知13AD =，5AB =，设AP x BQ y ==，．（1）求y 关于x 的函数解析式，并写出x 的取值范围；（2）当以AP 长为半径的⊙P 和以QC 长为半径的⊙Q 外切时，求x 的值；（3）点E 在边CD 上，过点E 作直线QP 的垂线，垂足为F ，如果4EF EC ==，求x 的值．解答是：Q M D C B A P D CB A 备用图第（1）问是考查学生对直角三角形的性质以及相似（或锐角三角比）的掌握情况。
这两部分的知识是初二、初三的重点知识，也是老师们强调的重点，对学生来讲难度不高，入口较低，易得分。
学生通常会通过“有两个角对应相等的三角形是相似三角形”来证明两直角三角形相似，从而列出比例关系求解。
试卷的标准答案也是这样用的，我个人对这种题目比较喜欢用锐角三角比列比例式，因为锐角三角比的本质就是相似，这样可以简化解题步骤不用证明相似了。
据我了解，学生一般不会用这种锐角三角比的方法，我们可以在锐角三角比的教学中渗透这样的思想。
这小题中的定义域属于要划分区分度的，因为要考虑到题目中“交边BC于点Q”这个条件，所以x不能只考虑大于零，要从Q与C重合的时候开始考虑。
第（2）问是考查学生对两圆位置关系中的外切的掌握情况。
这个知识点是初三下半学期的内容，学生一般不会忘记，也属于易得分题。
利用两圆外切的性质（圆心距等于两圆半径和）以及第（1）问所得的结论即可列出关于x的方程，求出此时的x值。
这一小题跟第一题有密切的关联，除了要用到函数关系式，还要注意方程的解要在定义域内。
前两小题对计算能力是有要求的。
天津中考数学压轴题解析
2008年—2013年天津中考压轴题解析1. (2013·天津)已知抛物线y 1=ax 2+bx +c (a ≠0)的对称轴是直线l ，顶点为点M ．若自变量x 和函数值y 1的部分对应值如下表所示： (Ⅰ)求y 1与x 之间的函数关系式；(Ⅱ)若经过点T (0，t )作垂直于y 轴的直线l ′，A 为直线l ′上的动点，线段AM 的垂直平分线交直线l 于点B ，点B 关于直线AM 的对称点为P ，记P (x ，y 2)． (1)求y 2与x 之间的函数关系式；(2)当x＜y 恒成立，求t 的取值范围．解：(Ⅰ)∵抛物线经过点(0，94)，∴c =94．∴y 1=ax 2+bx +94，∵点(–1，0)、(3，0)在抛物线y 1=ax 2+bx +94上， ∴90499304a b a b ⎧-+=⎪⎪⎨⎪++=⎪⎩，解得，3432a b ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩∴y 1与x 之间的函数关系式为：y 1= –34x 2+32x +94；(II)∵y 1= –34x 2+32x +94，∴y 1= –34(x –1)2+3，∴直线l 为x =1，顶点M (1，3)． ①由题意得，t ≠3，如图，记直线l 与直线l ′交于点C (1，t )，当点A 与点C 不重合时， ∵由已知得，AM 与BP 互相垂直平分， ∴四边形ANMP 为菱形， ∴P A ∥l ，又∵点P (x ，y 2)， ∴点A (x ，t ) (x ≠1)， ∴PM =P A =|y 2–t |，过点P 作PQ ⊥l 于点Q ，则点Q (1，y 2)， ∴QM =|y 2–3|，PQ =AC =|x –1|， 在Rt △PQM 中，∵PM 2=QM 2+PQ 2，即(y 2–t )2=(y 2–3)2+(x –1)2，整理得，y 2=162t -(x –1)2+32t +， 即y 2=162t -x 2–13t -x +21062t t--，∵当点A 与点C 重合时，点B 与点P 重合， ∴P (1，32t +)， ∴P 点坐标也满足上式，∴y 2与x 之间的函数关系式为y 2=162t -x 2–13t -x +21062tt-- (t ≠3)； ②根据题意，借助函数图象：当抛物线y 2开口方向向上时，6–2t ＞0，即t ＜3时，抛物线y 1的顶点M (1，3)，抛物线y 2的顶点(1，32t +)， ∵3＞32t +，∴不合题意，当抛物线y 2开口方向向下时，6–2t ＜0，即t ＞3时，y 1–y 2= –34(x –1)2+3–[162t -(x –1)2+32t +]=3114(3)t t --(x –1)2+32t -，若3t –11≠0，要使y 1＜y 2恒成立， 只要抛物线y =3114(3)t t --(x –1)2+32t -开口方向向下，且顶点(1，32t -)在x 轴下方，∵3–t ＜0，只要3t –11＞0，解得t ＞113，符合题意； 若3t –11=0，y 1–y 2= –13＜0，即t =113也符合题意．综上，可以使y 1＜y 2恒成立的t 的取值范围是t ≥113．2. (2012·天津)已知抛物线y =ax 2+bx +c (0＜2a ＜b )的顶点为P (x 0，y 0)，点A (1，y A )、B (0，y B )、 C (－1，y C )在该抛物线上．(Ⅰ)当a =1，b =4，c =10时，①求顶点P 的坐标；②求AB Cy y y -的值；(Ⅱ)当y 0≥0恒成立时，求AB Cy y y -的最小值．解：(Ⅰ)若a =1，b =4，c =10，此时抛物线的解析式为y =x 2+4x +10. ①∵y =x 2+4x +10=(x +2)2+6，∴抛物线的顶点坐标为P (－2，6). ②∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )在抛物线y =x 2+4x +10上， ∴y A =15，y B =10，y C =7.∴155107A B C y y y ==--.(Ⅱ)由0＜2a ＜b ，得012bx a=--＜. 由题意，如图过点A 作AA 1⊥x 轴于点A 1， 则AA 1=y A ，OA 1=1.连接BC ，过点C 作CD ⊥y 轴于点D ， 则BD =y B －y C ，CD =1.过点A 作AF ∥BC ，交抛物线于点E (x 1，y E )， 交x 轴于点F (x 2，0).则∠F AA 1=∠CBD .∴Rt △AF A 1∽Rt △BCD .∴11AA FA BD CD = ，即22111A B C y x x y y -==--. 过点E 作EG ⊥AA 1于点G ，易得△AEG ∽△BCD . ∴AG EG BD CD =，即A EB Cy y y y --=1–x 1. ∵点A (1，y A )、B (0，y B )、C (－1，y C )、E (x 1，y E )在抛物线y =ax 2+bx +c 上， ∴y A =a +b +c ，y B =c ，y C =a －b +c ，y E =ax 12+bx 1+c ，∴2111()()1()a b c ax bx c x c a b c ++-++=---+，化简，得x 12＋x 1－2=0，解得x 1=－2(x 1=1舍去).∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴AB Cy y y -的最小值为3.解法2：(Ⅱ)解：设m ＞0，由于b ＞2a ＞0，令b =2a +m 当y 0≥0恒成立时，应有b 2–4ac ≤0 ∴(2a +m )2–4ac ≤0 ∵a ＞0∴c ≥2(2)4a m a +=2(2)4a m a +–2m +2m =2(2)4a m a-+2m∵2(2)4a m a-≥0∴c ≥2m∵点A (1,y A )、B (0,y B )、C (–1,y C )在抛物线y =ax 2+bx +c 上 ∴y A =a +b +c , y B =c , y C = a –b +c ∴A B C y y y -=()a b cc a b c ++--+= a b c b a ++-代入b =2a +m ,得AB Cy y y -= 22a a m c a m a ++++-= 2a m a c a m ++++= 21a c a m +++∵c ≥2m , ∴AB Cy y y -= 21a c a m +++≥221a m a m +++=3∴AB Cy y y -的最小值为3解法3：A (1,a +b +c )、B (0,c )、C (–1,a –b +c )由B (0,c )、C (–1,a –b +c )得直线BC 为y =(b –a )x +c ∵AE ∥BC ∴设直线AE 为y =(b –a )x +m将A (1,a +b +c )代入上式，得m =2a +c . ∴直线AE 为y =(b –a )x +2a +c由()2–2y b a x a c y ax bx c⎧=++⎪⎨=++⎪⎩得x 2+x –2=0. 解得E 点横坐标为x 1=–2(x 1=1舍去)∵y 0≥0恒成立，根据题意，有x 2≤x 1＜－1. 则1－x 2≥1－x 1，即1－x 2≥3.∴AB Cy y y -的最小值为3.3. (2011·天津)已知抛物线1C ：21112y x x =-+．点F (1，1)． (Ⅰ) 求抛物线1C 的顶点坐标；(Ⅱ) ①若抛物线1C 与y 轴的交点为A ．连接AF ，并延长交抛物线1C 于点B ，求证：112AF BF+= ②抛物线1C 上任意一点P (P P x y ，))(01P x <<)．连接PF ．并延长交抛物线1C 于点Q (Q Q x y ，)，试判断112PF QF+=是否成立？请说明理由； (Ⅲ) 将抛物线1C 作适当的平移．得抛物线2C ：221()2y x h =-，若2x m <≤时．2y x ≤恒成立，求m 的最大值．解 (I)∵2211111(1)222y x x x =-+=-+， ∴抛物线1C 的顶点坐标为(112， )．(II)①根据题意，可得点A (0，1)， ∵F (1，1)．∴AB ∥x 轴．得AF =BF =1，112AF BF+= ②112PF QF+=成立． 理由如下：如图，过点P (P P x y ，)作PM ⊥AB 于点M ，则FM =1P x -，PM =1P y -(01P x <<) ∴Rt △PMF 中，由勾股定理，得22222(1)(1)P P PF FM PM x y =+=-+-又点P (P P x y ，)在抛物线1C 上， 得211(1)22P P y x =-+，即2(1)21P P x y -=- ∴22221(1)P P P PF y y y =-+-= 即P PF y =．过点Q (Q Q x y ，)作QN ⊥A B ，与AB 的延长线交于点N ， 同理可得Q QF y =．图文∠PMF =∠QNF =90°，∠MFP =∠NFQ ，∴△PMF ∽△QNF 有PF PMQF QN= 这里11P PM y PF =-=-，11Q QN y QF =-=-x∴11PF PFQF QF -=- 即112PF QF+= (Ⅲ) 令3y x =，设其图象与抛物线2C 交点的横坐标为0x ，x 0′，且0x < x 0′， ∵抛物线2C 可以看作是抛物线212y x =左右平移得到的， 观察图象．随着抛物线2C 向右不断平移，0x ，x 0′ 的值不断增大， ∴当满足2x m <≤，．2y x ≤恒成立时，m 的最大值在x 0′ 处取得. 可得当02x =时．所对应的x 0′ 即为m 的最大值．于是，将02x =带入21()2x h x -=，有21(2)22h -=解得4h =或0h =(舍) ∴221(4)2y x =-此时，23y y =，得21(4)2x x -=解得02x =，x 0′=8 ∴m 的最大值为8.4. (2010·天津)在平面直角坐标系中，已知抛物线2y x bx c =-++与x 轴交于点A 、B (点A 在点B 的左侧)，与y 轴的正半轴交于点C ，顶点为E . (Ⅰ)若2b =，3c =，求此时抛物线顶点E 的坐标；(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = S △ABC ，求此时直线BC 的解析式；(Ⅲ)将(Ⅰ)中的抛物线作适当的平移，若平移后，在四边形ABEC 中满足S △BCE = 2S △AOC ，且顶点E恰好落在直线43y x =-+上，求此时抛物线的解析式.解：(Ⅰ)当2b =，3c =时，抛物线的解析式为223y x x =-++，即2(1)4y x =--+.∴ 抛物线顶点E 的坐标为(1，4)． ．．．．．．．．．．．．．．．．．2分(Ⅱ)将(Ⅰ)中的抛物线向下平移，则顶点E 在对称轴1x =上，有2b =，∴ 抛物线的解析式为22y x x c =-++(0c >)．∴ 此时，抛物线与y 轴的交点为0( )C c ，，顶点为1( 1)E c +，． ∵ 方程220x x c -++=的两个根为11x =21x = ∴ 此时，抛物线与x轴的交点为10()A，10()B ． 如图，过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ，则S △BCE = S △BCF ． ∵ S △BCE = S △ABC ， ∴ S △BCF = S △ABC ． ∴BF AB ==设对称轴1x =与x 轴交于点D ，则12DF AB BF =+= 由EF ∥CB ，得EFD CBO ∠=∠． ∴ Rt △EDF ∽Rt △COB ．有ED CODF OB=． ∴=54c =． ∴ 点54(0 )C ，，52( 0)B ，．设直线BC 的解析式为y mx n =+，则5,450.2n m n ⎧=⎪⎪⎨⎪=+⎪⎩ 解得 1,25.4m n ⎧=-⎪⎪⎨⎪=⎪⎩ ∴ 直线BC 的解析式为1524y x =-+. ．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．6分(Ⅲ)根据题意，设抛物线的顶点为( )E h k ，，(0h >，0k >) 则抛物线的解析式为2()y x h k =--+， 此时，抛物线与y 轴的交点为2(0 )C h k -+，，与x轴的交点为0()A h，0()B h0h >>) 过点E 作EF ∥CB 与x 轴交于点F ，连接CF ， 则S △BCE = S △BCF . 由S △BCE = 2S △AOC ，x∴ S △BCF = 2S △AOC . 得2)BF AO h ==. 设该抛物线的对称轴与x 轴交于点D .则 122DF AB BF h =+=. 于是，由Rt △EDF ∽Rt △COB ，有ED CODF OB=．∴2=2220h k -+=．结合题意，解得 h =① ∵ 点( )E h k ，在直线43y x =-+上，有43k h =-+． ②∴ 1=． 有1k =，12h =．∴ 抛物线的解析式为234y x x =-++． ．．．．．．．．．．10分5. (2009·天津)已知函数y 1=x ，y 2=x 2+bx+c ，α，β为方程y 1–y 2=0的两个根，点M (t ,T )在函数y 2的图象上． (Ⅰ)若α=13，β=12，求函数y 2的解析式； (Ⅱ)在(Ⅰ)的条件下，若函数y 1与y 2的图象的两个交点为A ,B ，当△ABM 的面积为3112时，求t 的值； (Ⅲ)若0＜α＜β＜1，当01t <<时，试确定T ，α，β三者之间的大小关系，并说明理由.解:(Ⅰ)212120y x y x bx c y y ==++-=，，，()210x b x c ∴+-+=.将1132αβ==，分别代入()210x b x c +-+=，得 ()()22111110103322b c b c ⎛⎫⎛⎫+-⨯+=+-⨯+= ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭，， 解得1166b c ==，. ∴函数2y 的解析式为2y 25166x x =-+．另解第(Ⅰ)问：比较系数法∵α＝13，β＝12是方程的两个根，∴11()()032x x --=，即251066x x -+=． …… ①∵120y y -=， ∴2(1)0x b x c +-+=． …… ②方程①，②相同，比较系数得 516b -=-，即16b =，16c =．∴221166y x x =++另解第(Ⅰ)问：韦达定理法 ∵α+β=56αβ=16∴α、β是一元二次方程251066x x -+=的两个根又α、β是一元二次方程2(1)0x b x c +-+=的两个根∴比较系数得 516b -=-，即16b =，16c =．∴221166y x x =++(Ⅱ)由已知，得AB ，设△ABM 的高为h ，31121212ABM S AB h h ∴===△·1144=. 根据题意，t T -=，∴t T -=1144由21166T t t =++，得251166144t t -+-=. 当251166144t t -+=-时，解得12512t t ==；当251166144t t -+=时，解得34551212t t +==. ∴t 的值为555121212+，，另解第(Ⅱ)问：方法1：过点M 作x 轴的垂线，与y x =交于点N ，111()(||)223ABM S T t ∆=--，21166T t t =++，解得 1512t =，2t =，3t =．方法2：当t α<<β时，S △ABM ＝S △ABC －S △ADM －S 梯形MDCB ，即311111*********()()()()[()()]()122232323323232t T T t =-------+--，解得 1512t =． 同理，当0t <<α时，3111111111111()()()()[()()]()1222223323223t T t T T T =-------+--，解得2t =． 当1t β<<时，即311111*********()()()()[()()]()122332232323232t T T t =-------+--，解得3t =． 方法3：∵11(,)33A ，11(,)22B ， ∴||AB =．设在△ABM 中以AB 为底的高为h ，则h y x =向上或向下平移1144个单位，得31144y x =-，41144y x =+．解3y 与2y 的交点，得1512t =，解4y 与2y 的交点，得2t =3t =．注：第二问的每一种解法都充分利用了数形结合数学思想，特别是利用直线y =x 的本质特征，使T 、t 转化为统一级别的量再运算. (Ⅲ)由已知，得222b c b c T t bt c αααβββ=++=++=++，，.()()T t t b ααα∴-=-++， ()()T t t b βββ-=-++，()()22b c b c αβααββ-=++-++，化简得()()10b αβαβ-++-=.01αβ<<<，得0αβ-≠， 10b αβ∴++-=.有1010b b αββα+=->+=->，. 又01t <<，0t b α∴++>，0t b β++>，∴当0t a <≤时，T αβ≤≤；当t αβ<≤时，T αβ<≤； 当1t β<<时，T αβ<<.第(Ⅲ)问：图象分析法 ①当对称轴在y 轴左侧时，在0＜x ＜1，y 随x 的增大而增大， ②当对称轴在y 轴右侧时，当α＜t ≤β时，α＜T ≤β； 当β＜t ＜1时，α＜β＜T ．6. (2008·天津)已知抛物线c bx ax y ++=232，(Ⅰ)若1==b a ，1-=c ，求该抛物线与x 轴公共点的坐标； (Ⅱ)若1==b a ，且当11<<-x 时，抛物线与x 轴有且只有一个公共点，求c 的取值范围； (Ⅲ)若0=++c b a ，且01=x 时，对应的01>y ；12=x 时，对应的02>y ，试判断当10<<x 时，抛物线与x 轴是否有公共点？若有，请证明你的结论；若没有，阐述理由．解(Ⅰ)当1==b a ，1-=c 时，抛物线为1232-+=x x y ， 方程01232=-+x x 的两个根为11-=x ，312=x ． ∴该抛物线与x 轴公共点的坐标是()10-，和103⎛⎫ ⎪⎝⎭，． (Ⅱ)当1==b a 时，抛物线为c x x y ++=232，且与x 轴有公共点．对于方程0232=++c x x ，判别式c 124-=∆≥0，有c ≤31．①当31=c 时，由方程031232=++x x ，解得3121-==x x ． 此时抛物线为31232++=x x y 与x 轴只有一个公共点103⎛⎫- ⎪⎝⎭，． ②当31<c 时， 11-=x 时，c c y +=+-=1231， 12=x 时，c c y +=++=5232．由已知11<<-x 时，该抛物线与x 轴有且只有一个公共点，考虑其对称轴为31-=x ，应有1200.y y ⎧⎨>⎩≤， 即1050.c c +⎧⎨+>⎩≤，解得51c -<-≤． 综上，31=c 或51c -<-≤．第(Ⅱ)问解法二(图象法)或103c ∆=⇒=； 或 01010x y x y ∆>⎧⎪=-≤⇒⎨⎪=>⎩时时51c -<-≤综上，31=c 或51c -<-≤． (Ⅲ)对于二次函数c bx ax y ++=232，由已知01=x 时，01>=c y ；12=x 时，0232>++=c b a y ， 又0=++c b a ，∴b a b a c b a c b a +=++++=++22)(23． 于是02>+b a ．而c a b --=，∴02>--c a a ，即0>-c a ．∴0>>c a ．∵关于x 的一元二次方程0232=++c bx ax 的判别式0])[(412)(4124222>+-=-+=-=∆ac c a ac c a ac b ，∴抛物线c bx ax y ++=232与x 轴有两个公共点，顶点在x 轴下方． 又该抛物线的对称轴abx 3-=， 由0=++c b a ，0>c ，,c a b o ∴-=+<b a ∴<- 又02>+b a ， 得a b a -<<-2，∴32331<-<a b ． 又由已知01=x 时，01>y ；12=x 时，02>y ，观察图象， 可知在10<<x 范围内，该抛物线与x 轴有两个公共点． 说明：适时画出图象草图更能说明问题，体现数形结合.。
压轴题冲刺 几何综合题第二讲：三角形与四边形的平移
直击中考
A．（45，77） C．（32，46）
B．（45，39） D．（32，23）
A．502
B．503
C．504
D．505
A．51
B．70
C．76
D．81
解题技巧
常用方法
比较系数法
代入特殊值法
比较系数法
通过比较等式两端项的系数而得到方 程（组），从而使问题获解． 例如：已知x23=(1A) x2＋Bx＋C， 求A，B，C的值，解答此题，并不 困难，只需将右式与左式的多项式 中对应项的系数加以比较后，就可 得到A，B，C的值（这里的A，B， C就是有待于确定的系数）．
讲师：王保爱
直击中考
A．（45，77） C．（32，46）
B．（45，39） D．（32，23）
A．502
B．503
C．504
D．505
A．51
B．70
C．76
D．81
解题技巧
常用方法
比较系数法
代入特殊值法
比较系数法
通过比较等式两端项的系数而得到方 程（组），从而使问题获解． 例如：已知x23=(1A) x2＋Bx＋C， 求A，B，C的值，解答此题，并不 困难，只需将右式与左式的多项式 中对应项的系数加以比较后，就可 得到A，B，C的值（这里的A，B， C就是有待于确定的系数）．
1.作对称轴的垂线 2.构建相似三角形 3.构建直角三角形
辅助线
例 1（2013 年天津市 10 分）在平面直角坐标系中，已知点 A( 2, 0) ，点 B(0, 4) ，点 E 在 OB 上，且∠OAE＝∠OBA.
【考点分析】本题考查了相似三角形的判定与性质，平移的性质，勾股定理等知识点，综合性较强
2013年天津中考物理真题卷含答案解析
2013年天津市初中毕业生学业考试试卷物理试题（含答案全解全析）第Ⅰ卷一、单项选择题(本大题共10小题,每小题2分,共20分。
每小题给出的四个选项中,只有一项最符合题意)1.吹奏笛子时,演奏者抬起压在不同出气孔上的手指,是为了改变所发乐音的()A.音调B.响度C.音色D.振幅2.某同学站在竖直放置的平面镜前1m处,他在镜中的像与他相距()A.0.5mB.1mC.2mD.3m3.开发和利用可再生能源是解决能源危机的有效途径,下列属于可再生能源的是()A.石油B.天然气C.煤炭D.太阳能4.下列现象由光的折射形成的是()A.桥在水中形成“倒影”B.手在灯光下形成影子C.池水看起来比实际浅D.汽车后视镜可扩大视野5.图1中,水的三态之间转化过程所对应的物态变化名称,标注都正确的是()图16.下面事例中,通过热传递方式改变物体内能的是()A.双手相互摩擦,手会变暖和B.用热水袋焐手,手会变暖和C.反复弯折铁丝,弯折处变热D.气缸内气体被压缩,温度升高7.图2是一种水位自动报警器的原理图,当水位到达金属块A时(一般的水能导电),电路中()图2A.绿灯亮,红灯不亮B.红灯亮,绿灯不亮C.红灯和绿灯都亮D.红灯和绿灯都不亮8.图3为用瓶起开启瓶盖的情景,图4中关于该瓶起使用时的杠杆示意图正确的是()图3图49.某同学在探究“电阻上的电流跟两端电压的关系”时,利用图5所示电路,在a、b两点间分别接入定值电阻R1、R2,通过调节滑动变阻器测得了多组数据,并根据数据绘制了两个电阻的U-I关系图象,如图6所示。
若将R1、R2组成并联电路,当通过R1的电流为1A时,通过R2的电流为()图5图6A.0.5AB.1AC.2AD.3A10.学完密度知识后,一位普通中学生对自己的身体体积进行了估算,下列估算值最接近实际的是()A.30dm3B.60dm3C.100dm3D.120dm3二、多项选择题(本大题共4小题,每小题3分,共12分。
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由对称得到的垂直平分关系，根据图中隐藏的菱形，结 合勾股定理或相似，将坐标所对应的线段所满足的等量 关系转化为所求的函数关系.
欲使y1<y2恒成立，则需 要使两者之差所得到的 代数式恒为负
解决压轴题的主要关注点：
关于中考压轴问题，每年考察的方向 和意图都会有变化，且可选择的重难点 较多，一味的押题是效率低下的 ，只要 我们熟练掌握基础知识，掌握常用的一 些解题方法、技巧，分析问题时，赋予 联想，将问题恰当、快速地转化到我们 熟知的数学模型上去，问题就能很快的 得到解决。即便拿不到全分，能力体现 出来了，也能完美的使学生自我实现。
——第18、25、26题的解析
2013压轴题的特点：
• 如同以往，18题为图形的实验操作题，25题 为图形变换类的几何综合题，26为二次函数的代 数综合题，它们依然是每个学生的主要失分点． • 整体难度略有下降，但依然只有少部分优秀 学生能在这三个题里拿到较多的分数．
18题：设计作图，实现效果
通过分析我们发现问题集中在两个环节上： ①符合题意面积最大的正方形在什么位置； ②这个位置上的正方形，如何只用直尺和三角尺来画．
C
可以考虑用计算的方法 来求出适合的位置
A B
若是结合位似知识，可以使作图变得更为容易
25题：图形变换，几何综合
通过分析我们发现问题的解决可以分为三个阶段： ①利用相似求线段长，既而得到点E的坐标； ②用含m的式子表示两条线段的平方和，必然要使用勾股定理，需要 把平移量m转化为所需的各线段长，再对该表达式做最值分析； ③对两个根式之和做最值分析，被开放数为平方和形式，可考虑数形 结合，求折线段和最短的值．