历届高考数学中的“圆锥曲线和方程”单元测试题(供文科使用) (19)

“圆锥曲线与方程”单元测试
(第一卷) 一、选择题：（每小题5分，计50分）
1、(2008海南、宁夏文)双曲线
1102
x y -=的焦距为（ ）
D.
2.（2004全国卷Ⅰ文、理）椭圆14
22
=+y x 的两个焦点为F 1、F 2，过F 1作垂直于x 轴的 直线与椭圆相交，一个交点为P ，则||2PF = （ ）
A ．
2
3
B ．3
C ．27
D ．4
3．（2006辽宁文）方程2
2520x x -+=的两个根可分别作为（ ）
Ａ．一椭圆和一双曲线的离心率 Ｂ．两抛物线的离心率 Ｃ．一椭圆和一抛物线的离心率 Ｄ．两椭圆的离心率 4．（2006四川文、理）直线ｙ＝ｘ－3与抛物线x y 42=交于A 、B 两点，过A 、B 两点向 抛物线的准线作垂线，垂足分别为P 、Q ，则梯形APQB 的面积为（ ） （A ）48. （B ）56 （C ）64 （D ）72.
5.(2007福建理)以双曲线
116
92
2=-y x 的右焦点为圆心，且与其渐近线相切的圆的方程是( )
A . B.
C . D.
6．（2004全国卷Ⅳ理）已知椭圆的中心在原点，离心率2
1
=
e ，且它的一个焦点与抛物线 x y 42-=的焦点重合，则此椭圆方程为（ ）
A ．
13422=+y x B ．16
822=+y x C ．122
2=+y x D ．1422=+y x
7．（2005湖北文、理）双曲线)0(12
2≠=-mn n
y m x 离心率为2，有一个焦点与抛物线x y 42=的焦点重合，则mn 的值为（ ） A ．163 B ．83 C ．316 D ．3
8
8. (2008重庆文)若双曲线22
21613x y p
-=的左焦点在抛物线y 2=2px 的准线上,则p 的值为 ( )
(A)2 (B)3 (C)4
9．（2002北京文）已知椭圆1532222=+n y m x 和双曲线13222
2
2=-n
y m x 有公共的焦点，那么 双曲线的渐近线方程是（ ） A ．y x 2
15±= B ．x y 2
15±
= C ．y x 4
3±
= D ．x y 4
3±
=
10．（2003春招北京文、理）在同一坐标系中，方程)0(01222
22>>=+=+b a by ax b
y a x 与的曲线大
致是( )
二、填空题：（每小题5分，计20分）
11. （2005上海文）若椭圆长轴长与短轴长之比为2，它的一个焦点是()
0,152，则椭圆的
标准方程是_________________________
12．(2008江西文)已知双曲线22221(0,0)x y a b a b -=>>
的两条渐近线方程为y x =，
若顶点到渐近线的距离为1，则双曲线方程为 ．
13.（2007上海文）以双曲线15
42
2=-y x 的中心为顶点，且以该双曲线的右焦点为焦点的 抛物线方程是 ．
14.(2008天津理)已知圆C 的圆心与抛物线x y 42
=的焦点关于直线x y =对称.直线0234=--y x
与圆C 相交于B A ,两点，且6=AB ,则圆C 的方程为 .
“圆锥曲线与方程”单元测试
(第二卷)
11._______________, 12.________________, 13.________________, 14.________________.
三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）
15.（2006北京文）椭圆C:22
221(0)x y a b a b +=>>的两个焦点为F 1,F 2,点P 在椭圆C 上，且
11212414
,||,||.33PF F F PF PF ⊥== （Ⅰ）求椭圆C 的方程；
(Ⅱ)若直线l 过圆x 2+y 2
+4x-2y=0的圆心M , 交椭圆C 于,A B 两点, 且A 、B 关于点M 对称,求直线l
的方程..
16．（2005重庆文）已知中心在原点的双曲线C 的右焦点为（2，0），右顶点为)0,3( （1）求双曲线C 的方程； （2）若直线2:+=kx y l 与双曲线C 恒有两个不同的 交点A 和B ，且2>⋅（其中O 为原点）. 求k 的取值范围.
17.(2007安徽文)设F是抛物线G:x2=4y的焦点.
(Ⅰ)过点P（0，-4）作抛物线G的切线,求切线方程:
(Ⅱ)设A、B为抛物线G上异于原点的两点，且满足0
FA,延长AF、BF分别交抛物线G于点
FB
·=
C,D，求四边形ABCD面积的最小值.
18．(2008辽宁文) 在平面直角坐标系xOy中，点P到两点(0，(0的距离之和等于4，
设点P 的轨迹为C ． （Ⅰ）写出C 的方程；
（Ⅱ）设直线1y kx =+与C 交于A ，B 两点．k 为何值时OA ⊥OB ？此时AB 的值是多少？
19. （2002广东、河南、江苏）A 、B 是双曲线x 2
－y
2
2
＝1上的两点，点N(1,2)是线段AB 的中点
(1)求直线AB 的方程；
(2)如果线段AB 的垂直平分线与双曲线相交于C 、D 两点，那么A 、B 、C 、D 四点是否共圆？为什么？
20.（2007福建理)如图，已知点F（1，0），直线l：x＝－1，P为平面上的动点，过P作直线l的垂线，垂足为点Q，且＝。

(1)求动点P的轨迹C的方程；
（2）过点F的直线交轨迹C于A、B两点，交直线l于点M，
已知，，求的值。

“圆锥曲线与方程”单元测试（参考答案）
一、选择题：（每小题5分，计50分）
11.1208022=+y x ； 12．223144
x y -= ． 13.x y 122=． 14. 22
(1)10x y +-=. 三、解答题：（15—18题各13分，19、20题各14分）
15..解：(Ⅰ)因为点P 在椭圆C 上，所以6221=+=PF PF a ，a=3. 在Rt △PF 1F 2中，,522
1
2221=-=
PF PF F F 故椭圆的半焦距c =5,
从而b 2
=a 2
－c 2
=4, 所以椭圆C 的方程为4
92
2y x +＝1. (Ⅱ)解法一：设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）、（x 2,y 2）.
已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2
=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 从而可设直线l 的方程为 y =k (x +2)+1,
代入椭圆C 的方程得 （4+9k 2）x 2+(36k 2+18k )x +36k 2+36k －27=0.
因为A ，B 关于点M 对称.， 所以.29491822
221-=++-=+k
k
k x x 解得98=k ， 所以直线l 的方程为,1)2(9
8
++=x y
即8x -9y +25=0. (经检验，所求直线方程符合题意)
(Ⅱ) 解法二：已知圆的方程为（x +2）2+(y －1)2=5,所以圆心M 的坐标为（－2，1）. 设A ，B 的坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).由题意x 1≠x 2且
,1492121=+y x ① ,14
92
222=+y
x ②
由①－②得.04
)
)((9))((21212121
=+-++-y y y y x x x x ③ 因为A 、B 关于点M 对称，所以x 1+ x 2=－4, y 1+ y 2=2,
代入③得
2
121x x y y --＝98，即直线l 的斜率为98，所以直线l 的方程为y －1＝98
（x+2）， 即8x －9y +25=0.(经检验，所求直线方程符合题意.)
16．解：（Ⅰ）设双曲线方程为122
22=-b
y a x ).0,0(>>b a
由已知得.1,2,2,32
2
2
2
==+==b b a c a 得再由 故双曲线C 的方程为.13
22
=-y x （Ⅱ）将得代入13
222
=-+=y x kx y .0926)31(22=---kx x k 由直线l 与双曲线交于不同的两点得⎪⎩⎪⎨⎧>-=-+=∆≠-.
0)1(36)31(36)26(,
0312
222
k k k k
即.13
12
2<≠k k 且 ①
设),(),,(B B A A y x B y x A ，则2
2319
,3126k
x x k k x x B A B A --=-=+，,22>+>⋅B A B A y y x x 得由
而2)(2)1()2)(2(2++++=+++=+B A B A B A B A B A B A x x k x x k kx kx x x y y x x
.1
37
3231262319)1(222
22
-+=+-+--+=k k k k k k k
于是解此不等式得即,01
393,213732
222>-+->-+k k k k .3312
<<k ② 由①、②得 .13
12
<<k
故k 的取值范围为).1,33
()33,1(⋃--
17.解：（Ⅰ）设切点,2
).
4,(2
00x
y x x Q ='由知抛物线在Q 点处的切线斜率为20x ， 故所求切线方程为),(2
400
20x x x x y -=-
即.422
00x x x y -= 因为点P （0，-4）在切线上，所以.4,16,4
402
020±==-=-x x x 所以切线方程为y =±2x -4. (Ⅱ)设).,(),,(2211y x C y x A 由题设知，直线AC 的斜率k 存在，由对称性，不妨设k ＞0.
因直线AC 过焦点F （0，1），所以直线AC 的方程为y =kx +1.
点A ，C 的坐标满足方程组⎩⎨⎧=+=,4,12y x kx y 消去y ，得,0442=--kx x
由根与系数的关系知⎩⎨⎧-==+.4,
42
121x x k x x
).1(44)(1)()(2212212221221k x x x x k y y x x AC +=-++=-+-=
.11
1+-=-⊥x k
y BD k BD BD AC 的方程，从而的斜率为，所以因为
同理可求得.)
1(4))41(1(42
22k
k BD +=-+= .32)12(8)1(8212
2
22≥++=+==k k k k BD AC S ABCD
当k =1时，等号成立.所以，四边形ABCD 面积的最小值为32.
18．解：（Ⅰ）设P （x ，y ），由椭圆定义可知，点P 的轨迹C
是以(0(0为焦点，
长半轴为2
的椭圆．它的短半轴1b ==，故曲线C 的方程为2
2
14
y x +=． （Ⅱ）设1122()()A x y B x y ，，，，其坐标满足2
214
1.y x y kx ⎧+
=⎪⎨⎪=+⎩
， 消去y 并整理得22
(4)230k x kx ++-=， 故1212222344
k x x x x k k +=-=-++，． OA OB ⊥
，即12120x x y y +=． 而2121212()1y y k x x k x x =+++，
于是2221212222233241
14444
k k k x x y y k k k k -++=---+=++++． 所以1
2k =±时，12120x x y y +=，故OA OB ⊥ ．
当12k =±时，12417x x += ，1212
17x x =-．
AB ==
而2
2
212112()()4x x x x x x -=+-2322
443413
4171717⨯⨯=+⨯=，
所以AB = ．
19.解：(1)依题意，可设直线方程为y ＝k(x －1)＋2
代入x 2
－y 2
2
＝1，整理得 (2－k)x 2－2k(2－k)x －(2－k)2
－2＝0 ①
记A(x 1,y 1),B(x 2,y 2)，则x 1、x 2是方程①的两个不同的实数根，所以2－k 2
≠0,且x 1＋x 2＝2k(2－k)2－k
2
由N(1,2)是AB 中点得1
2
(x 1＋x 2)＝1
∴ k(2－k)＝2－k 2
，解得k ＝1，所易知 AB 的方程为y ＝x ＋1.
(2)将k ＝1代入方程①得x 2
－2x －3＝0，解出 x 1＝－1,x 2＝3，由y ＝x ＋1得y 1＝0,y 2＝4 即A 、B 的坐标分别为(－1,0)和(3，4)
由CD 垂直平分AB ，得直线CD 的方程为y ＝－(x －1)＋2，即 y ＝3－x ，代入双曲线方程，整理，
得 x 2
＋6x －11＝0 ②
记C(x 3,y 3),D(x 4,y 4)，以及CD 中点为M(x 0,y 0)，则x 3、x 4是方程②的两个的实数根，所以 x 3＋x 4＝－6, x 3x 4＝－11， 从而 x 0＝1
2
(x 3＋x 4)＝－3,y 0＝3－x 0＝6
|CD|＝(x 3－x 4)2
＋(y 3－y 4)2
＝2(x 3－x 4)2
＝2[(x 3＋x 4)2
－4x 3x 4＝410
∴ |MC|＝|MD|＝12
|CD|＝210， 又|MA|＝|MB|＝(x 0－x 1)2＋(y 0－y 1)2
＝4＋36＝210
即A 、B 、C 、D 四点到点M 的距离相等，所以A 、B 、C 、D 四点共圆.
20.（Ⅰ）解法一：设点()P x y ，，则(1
)Q y -，，由＝得：
(10)(2)(1)(2)x y x y y +-=-- ，，，，，化简得2:4C y x =．
（Ⅰ）解法二：由＝得：()0FQ PQ PF +=
，
()()0PQ PF PQ PF ∴-+= ，22
0PQ PF ∴-= ， PQ PF ∴= ．
所以点P 的轨迹C 是抛物线，由题意，轨迹C 的方程为：2
4y x =． （Ⅱ）设直线AB 的方程为：1(0)x my m =+≠．
设11()A x y ，，22()B x y ，，又21M m ⎛
⎫--
⎪⎝⎭
，， 联立方程组241y x x my ⎧=⎨=+⎩，
，
，消去x 得：
2
440y my --=，2
(4)120m ∆=-+>，故1212
44y y m y y +=⎧⎨
=-⎩，
． 由1MA AF λ= ，2MB BF λ= 得：1112y y m λ+=-，2222
y y m
λ+=-，
整理得：1121my λ=--，22
2
1my λ=--，
∴)1
1(222121y y m +--λ+λ＝=2
121·22y y y y m +--=-2-44·2-m m =0.
历届高考中的“圆锥曲线与方程”解答题选讲
28.(2008重庆文) 如图，
M （-2，0）和N （2，0）是平面上的两点，动点P 满足： 2.PM PN -=
(Ⅰ)求点P 的轨迹方程; (Ⅱ)设d 为点P 到直线l:12x =
的距离,若2
2PM PN =,求PM d
的值.
28.解：（I ）由双曲线的定义，点P 的轨迹是以M 、N 为焦点，实轴长2a=2的双曲线.因此半焦距c =2，实半轴a =1，从而虚半轴b
所以双曲线的方程为13
2
2
=-y x . (II)解：设P （x,y ），因|PN |≥1知|PM |=2|PN |2≥2|PN|>|PN |,
故P 在双曲线右支上，所以x ≥1.
由双曲线方程有y 2=3x 2-3.
因此||PN =
==
从而由|PM |=2|PN |得2x+1=2(4x 2-4x +1)，即8x -10x+1=0. 所以x
(舍去x
). 有
, d=x-12
.
故||914PM d +=-=
17.(2008全国Ⅰ卷文、理)双曲线的中心为原点O ,焦点在x 轴上,两条渐近线分别为12l l ，,经过右焦点
F 垂直于1l 的直线分别交12l l ，于A B ，两点.已知OA AB OB 、、成等差数列,且BF 与FA 同向.
(Ⅰ)求双曲线的离心率； (Ⅱ)设AB 被双曲线所截得的线段的长为4, 求双曲线的方程.
17．解：（1）设OA m d =-，AB m =，OB m d =+
由勾股定理可得：222()()m d m m d -+=+
得：14d m =
，tan b AOF a ∠=，4
tan tan 23
AB AOB AOF OA ∠=∠== 由倍角公式∴2
2
431b a b a =⎛⎫
- ⎪⎝⎭，解得12b a =,
则离心率2e = （2）过F 直线方程为()a y x c b =--, 与双曲线方程22
221x y a b
-=联立
将2a b =
，c =
代入，化简有2215210
x x +=
124x =-=
将数值代入，有4= 解得3b = 最后求得双曲线方程为：
22
1369
x y -=
．
26．(2008天津文、理)已知中心在原点的双曲线C 的一个焦点是1(30)F -，，一条渐近线的方程是
20y -=．
（Ⅰ）求双曲线C 的方程；
（Ⅱ）若以(0)k k ≠为斜率的直线l 与双曲线C 相交于两个不同的点M N ，，且线段MN 的垂直平
分线与两坐标轴围成的三角形的面积为
81
2，求k 的取值范围． 26．（Ⅰ）解：设双曲线C 的方程为22
221(00)x y a b a b
-=>>，，由题设得
2292a b b a
⎧+=⎪⎨=⎪⎩， 解得2
245.a b ⎧=⎪⎨=⎪⎩，
所以双曲线C 的方程为
22
145
x y -=． （Ⅱ）解：设直线l 的方程为(0)y kx m k =+≠，点11()M x y ，，22()N x y ，的坐标满足方程组
2
2
1.45
y kx m x y =+⎧⎪⎨-
=⎪⎩， ① ②,将①式代入②式，得22
()145x kx m +-=， 整理,得222(54)84200k x kmx m ----=．
此方程有两个不等实根，于是2
540k -≠，且222(8)4(54)(420)0km k m ∆=-+-+>．
整理得22
540m k +->． ③
由根与系数的关系可知线段MN 的中点坐标00()x y ，满足
12024254x x km x k +==-，002
554m y kx m k
=+=-． 从而线段MN 的垂直平分线的方程为225145454m km y x k k k ⎛⎫
-=-- ⎪--⎝⎭
． 此直线与x 轴，y 轴的交点坐标分别为29054km k ⎛⎫ ⎪-⎝⎭，，29054m k ⎛
⎫ ⎪
-⎝⎭
，． 由题设可得22
199********km m k k =-- ．整理得222
(54)k m k
-=，0k ≠． 将上式代入③式得22
2(54)540k k k
-+->，整理得22(45)(45)0k k k --->，0k ≠．
解得0k <<
54k >．
所以k
的取值范围是55004224⎛⎫⎛⎫⎛⎫⎛⎫---+ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪ ⎪⎝
⎭⎝⎭
⎝⎭⎝⎭ ∞，
，，∞ 16.(2008北京文)已知△ABC 的顶点A ，B 在椭圆22
34x y +=上，C 在直线l :y =x +2上，且AB ∥l .
（Ⅰ）当AB 边通过坐标原点O 时，求AB 的长及△ABC 的面积；
（Ⅱ）当∠ABC =90°，且斜边AC 的长最大时，求AB 所在直线的方程. 16. 解：（Ⅰ）因为AB ∥l ，且AB 边通过点（0，0），所以AB 所在直线的方程为y =x . 设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1）,(x 2,y 2).
由2234,x y y x ⎧+=⎨=⎩
得1,x =±
所以12AB x =-=
又因为AB 边上的高h 等于原点到直线l 的距离，
所以1
2.2
ABC h S AB h =
=
= （Ⅱ）设AB 所在直线的方程为y =x +m .
由2234,x y y x m
⎧+=⎨=+⎩得2246340.x mx m ++-=
因为A ，B 在椭圆上，
所以2
12640.m ∆=-+＞ 设A ，B 两点坐标分别为（x 1,y 1），（x 2,y 2）.
则21212334
,,2
m m x x x x -+=-= 所以12
AB x =-=
又因为BC 的长等于点（0,m ）到直线l 的距离，即BC =
所以2
2
2
22
210(1)11.AC AB BC m m m =+=--+=-++
所以当m =-1时，AC 边最长.（这时12640=-+ ＞） 此时AB 所在直线的方程为y =x -1.
8、(2008海南、宁夏理)在直角坐标系xOy 中，椭圆C 1：22
221(0)x y a b a b
+=>>的左、右焦点分别为
F 1、F 2. F 2也是抛物线C 2：24y x =的焦点，点M 为C 1与C 2在第一象限的交点，且25
||3
MF =。

（1）求C 1的方程；（2）平面上的点N 满足12MN MF MF =+
，直线l ∥MN ，且与C 1交于A 、B
两点，若OA ²OB
=0，求直线l 的方程。

8．解：（Ⅰ）由2C ：24y x =知2(10)F ，．
设11()M x y ，，M 在2C
上，因为253MF =
，所以1513x +=， 得123x =，1y =． M 在1C 上，且椭圆1C 的半焦距1c =，于是222248193 1.a b b a ⎧+=⎪
⎨⎪=-⎩
，
消去2
b 并整理得4293740a a -+=，解得2a =（13
a =不合题意，舍去）．
故椭圆1C 的方程为22
143
x y +=． （Ⅱ）由12MF MF
MN +=
知四边形12MF
NF 是平行四边形，其中心为坐标原点O ， 因为l MN ∥，所以l 与OM 的斜率相同，故l
的斜率323
k ==．
设l 的方程为
)y x m =-．设11()A x y ，，22()B x y ，，
由223412)x y y x m ⎧+=⎪⎨=-⎪⎩，，
消去y 并化简得22916840x mx m -+-=． 12169m x x +=，21284
9m x x -=．
因为OA OB ⊥
，所以12120x x y y +=．
121212126()()x x y y x x x m x m +=+--2121276()6x x m x x m =-++
22841676699
m m
m m -=-+ 21(1428)09m =-=．
所以m =． 此时22(16)49(84)0m m ∆=-⨯->，
故所求直线l
的方程为y -
y =+
11、（2007江苏）如图，在平面直角坐标系xOy 中，过y 轴正方向上一点(0,)C c 任作一直线，与抛物线2y x =相交于AB 两点，一条垂直于x 轴的直线，分别与线段AB 和直线:l y c =-交于,P Q ，
（1）若2OA OB ⋅=
，求c 的值；
(2)若P 为线段AB 的中点,求证：QA 为此抛物线的切线；
(3)试问（2）的逆命题是否成立？说明理由。

11.解：（1）设过C 点的直线为y kx c =+，所以
()20x kx c c =+>，即20x kx c --=，
设A ()()1122,,,x y B x y ，则OA =()11,x y ，()22,OB x y =
，
因为2OA OB ⋅=
，所以
12122x x y y +=，即()()12122x x kx c kx c +++=，
()221212122x x k x x kc x x c +-++=
所以2
2
2c k c kc k c --++=
，即2
20,c c --= 所以()
21c c ==-舍去
（2）设过Q 的切线为()111y y k x x -=-，/
2y x =，所以112k x =，即
2211111222y x x x y x x x =-+=-，它与y c =-的交点为M 11,22x c
c x ⎛⎫-
- ⎪⎝⎭
， 又21212,,2222x x y y k k P c ⎛⎫++⎛⎫=+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，所以Q ,2k c ⎛⎫
- ⎪⎝⎭， 因为12x x c =-,所以21c x x -
=，所以M 12,,222
x x k c c ⎛⎫⎛⎫
+-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭, 所以点M 和点Q 重合，也就是QA 为此抛物线的切线。

（3）（2）的逆命题是成立，由（2）可知Q ,2k c ⎛⎫-
⎪⎝⎭，因为PQ ⊥x 轴，所以,2P k P y ⎛⎫
⎪⎝⎭
因为
1222
x x k
+=，所以P 为AB 的中点。

12．（2007山东文、理）已知椭圆C 的中心在坐标原点，焦点在x 轴上，椭圆C 上的点到焦点距离的最大值为3，最小值为1． （1）求椭圆C 的标准方程；
（2）若直线:l y kx m =+与椭圆C 相交于A B ，两点（A B ，不是左右顶点），且以AB 为直径的圆过椭圆C 的右顶点．求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
12．解：（1）由题意设椭圆的标准方程为22221(0)x y a b a b
+=>>，
由已知得：31a c a c +=-=，， a=2 , c=1 , 3c a b 2
22=-=
∴椭圆的标准方程为22
143
x y +
=．
（2）设1122()()A x y B x y ，，，．
联立22 1.4
3y kx m x y =+⎧⎪
⎨+=⎪⎩， 消去y ，整理得222(34)84(3)0k x mkx m +++-=，则
222222122
2122
6416(34)(3)03408344(3)
.34m k k m k m mk x x k m x x k ⎧
⎪∆=-+->+->⎪
⎪
+=-⎨+⎪
⎪-=⎪+⎩
，即，， 又2222
121212122
3(4)()()()34m k y y kx m kx m k x x mk x x m k
-=++=+++=+． 因为以AB 为直径的圆过椭圆的右顶点(20)D ，
， 1AD BD k k ∴=-，即1212122
y y
x x =--- ．
1212122()40y y x x x x ∴+-++=．
222222
3(4)4(3)1540343434m k m mk k k k --∴+++=+++．
2271640m mk k ∴++=．
解得：12227
k m k m =-=-，，且均满足22
340k m +->．
当12m k =-时，l 的方程(2)y k x =-，直线过点(20)，
，与已知矛盾； 当227k m =-
时，l 的方程为27y k x ⎛⎫=- ⎪⎝⎭，直线过定点207⎛⎫
⎪⎝⎭
，． 所以，直线l 过定点，定点坐标为207⎛⎫
⎪⎝⎭
，．
8．(2007海南、宁夏理)在平面直角坐标系xOy
中，经过点(0且斜率为k 的直线l 与椭圆
2
212
x y +=有两个不同的交点P 和Q ． （I ）求k 的取值范围； （II ）设椭圆与x 轴正半轴、y 轴正半轴的交点分别为A B ，，是否存在常数k ，使得向量OP OQ +
与AB
共线？如果存在，求k 值；如果不存在，请说明理由． 8．解：（Ⅰ）由已知条件，直线l
的方程为y kx =
代入椭圆方程得2
2(12
x kx ++=．
整理得22
1102k x ⎛⎫+++= ⎪⎝⎭
①
直线l 与椭圆有两个不同的交点P 和Q 等价于2
221844202k k k ⎛⎫
∆=-+=->
⎪⎝⎭
，
解得k <
或k >．即k
的取值范围为⎛⎫--+ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
，∞∞． （Ⅱ）设1122()()P x y Q x y ，，，，则1212()OP OQ x x y y +=++
，，
由方程①，122
12x x k +=-
+． ②
又1212()y y k x x +=++ ③
而(01)()A B AB =
，，．
所以OP OQ + 与AB
共线等价于1212)x x y y +=+，
将②③代入上式，解得2
k =．
由（Ⅰ）知2k <
或2
k >，故没有符合题意的常数k ．
26.（2007浙江文、理）（本题14分）如图，直线y kx b =+与椭圆2
214
x y +=交于A B ，两点，记AOB △的面积为S ． （I ）求在0k =，01b <<的条件下，S 的最大值； （II ）当2AB =，1S =时，求直线AB 的方程．
26.本题主要考查椭圆的几何性质、椭圆与直线的位置关系等基础知识，考查解析几何的基本思想方法和综合解题能力．满分14分． （Ⅰ）解：设点A 的坐标为1()x b ，，点B 的坐标为2()x b ，，
由2214
x b +=
，解得12x =±， 所以1212
S b x x =-
2b =22
11b b +-=．
当且仅当2
b =时，S 取到最大值1．
（Ⅱ）解：由22
14
y kx b x y =+⎧⎪⎨+=⎪⎩，，得222
12104k x kbx b ⎛⎫+++-= ⎪⎝
⎭， 2241k b ∆=-+， ①
11||||AB x x =-
224
k ==+．②
设O 到AB 的距离为d ，则21||S d AB ==，
又因为d =，
所以22
1b k =+，代入②式并整理，得42104
k k -+=，
解得212k =，2
32
b =，代入①式检验，0∆>，
故直线AB 的方程是
22y x =+
或22y x =-
或22y x =+
，或22
y x =-．
2.(2006北京理)已知点(2,0),(2,0)M N -，动点P
满足条件||||PM PN -=.记动点P 的轨迹为W . (Ⅰ)求W 的方程； (Ⅱ)若,A B 是W 上的不同两点,O 是坐标原点,求OA OB ⋅
的最小值.
2.解（Ⅰ）由22=-PN PM 知动点P 的轨迹是以M ，N 为焦点的双曲线的右支，
实半轴长2=
a ，又半焦距c=2，故虚半轴长222=-=a c b
所以W 的方程为2,12
22
2≥=-x y x （Ⅱ）解：设A ，B 的坐标分别为（11,y x ），（22,y x ）
当2,,,,212
121212121=-=+=-==⊥y x y y x x OB OA y y x x x AB 从而轴时
当AB 与x 轴不垂直时，设直线AB 的方程为y=kx+m ，与W 的方程联立，消去y 得：
()022122
2
=----m kmx x
k
故1
2
,1222212
21-+=-=+k m x x k km x x 所以2121y y x x OB OA +=⋅
()()m kx m kx x x +++=2121 ()
()2212121m x x km x x k ++++=
()()2
2
22
22
2
1212
1m k
m k
k m
k +-+-++=
142122222-+=-+=k k k 又因为200,01,0221>⋅>->k x x 从而所以
综上，当x AB ⋅⊥,轴时取得最小值2。

10．（2006全国Ⅰ卷理）在平面直角坐标系xOy 中，有一个以(10,F 和(2F 为焦点、离心
C ，动点P 在C 上，C 在点P 处的切线与x y 、轴的交点分别为A 、B,且向量OM OA OB =+ .求：(Ⅰ)点M 的轨迹方程；(Ⅱ)OM
的最小值。

10.解: 椭圆方程可写为: y 2
a 2 + x
2
b
2 =1 式中a>b>0 , 且 ⎩⎪⎨⎪⎧a 2－b 2
=33a =32
得a 2=4,b 2=1, 所以曲线C 的方程为: x 2
+ y 2
4
=1 (x>0,y>0).
y=21－x 2 (0<x<1) y '=－ 2x
1－x
2 设P(x 0,y 0),因P 在C 上,有0<x 0<1, y 0=21－x 02 , y '|x=x0= －
4x 0
y 0
, 得切线AB 的方程为:y=－
4x 0
y 0
(x －x 0)+y 0 . 设A(x,0)和B(0,y),由切线方程得 x=1x 0 , y= 4
y 0
.
由OM →=OA → +OB →
得M 的坐标为(x,y), 由x 0,y 0满足C 的方程,得点M 的轨迹方程为:
1x 2 + 4
y
2 =1 (x>1,y>2) (Ⅱ)| OM →
|2= x 2+y 2, y 2= 41－1x
2
=4+ 4x 2－1 ,
∴| OM →
|2= x 2－1+4x 2－1+5≥4+5=9.且当x 2－1=4x 2－1
,即x=3>1时,上式取等号.
故|OM →
|的最小值为3.
1．（2006上海理）在平面直角坐标系x O y 中，直线l 与抛物线2
y ＝2x 相交于A 、B 两点． （1）求证：“如果直线l 过点T （3，0），那么→
--OA →
--⋅OB ＝3”是真命题；
（2）写出（1）中命题的逆命题，判断它是真命题还是假命题，并说明理由．
1.[解]（1）设过点T(3,0)的直线l 交抛物线y 2=2x 于点A(x 1,y 1)、B(x 2,y 2).
当直线l 的钭率不存在时,直线l 的方程为x=3,此时,直线l 与抛物线相交于点A(3,6)、B(3,－6). ∴OB OA ⋅=3；
当直线l 的钭率存在时,设直线l 的方程为(3)y k x =-，其中0k ≠，
由22(3)
y x y k x =⎧⎨=-⎩得 2122606ky y k y y --=⇒=- 又 ∵ 22
112211,22x y x y ==， ∴2121212121()34
OA OB x x y y y y y y =+=+= ，
综上所述，命题“如果直线l 过点T(3,0)，那么⋅=3”是真命题；
(2)逆命题是：设直线l 交抛物线y 2=2x 于A 、B 两点,如果⋅=3,那么该直线过点T(3,0).
该命题是假命题.
例如：取抛物线上的点A(2,2)，B(2
1
,1)，此时OA OB =3,
直线AB 的方程为：2(1)3
y x =+，而T(3,0)不在直线AB 上；
说明：由抛物线y 2=2x 上的点A (x 1,y 1)、B (x 2,y 2) 满足OB OA ⋅=3，可得y 1y 2=－6，或y 1y 2=2，如果
y 1y 2=－6，可证得直线AB 过点(3,0)；如果y 1y 2=2，可证得直线AB 过点(－1,0),而不过点(3,0).
1．已知抛物线C ：y x 42
=的焦点为F, 不经过坐标原点的直线l 与抛物线C 相交于两不同点A B ，，
且以AB 为直径的圆经过坐标原点O ．
（1）求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
（2）△AFB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
1.解: (1)直线l 的斜率显然存在,又直线l 不经过坐标原点,故可设直线l 的方程为b kx y +=(b ≄0)，
并设),(),,(2211y x B y x A ， 由⎩⎨
⎧=+=y
x b kx y 42
， 消去y ，整理得0442
=--b kx x ① ∴k x x 42
1
=+，② b x x 42
1-= ③
若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则OB OA ⊥， ∴02121=+y y x x ，即 01612
2
212
1=+
x x x x ，④ 将③代入④，得0)4(16
1
42=-+
-b b ， 解得)(04舍去或==b b ，所以162
1-=x x ，⑤
∴直线l 的方程为4+=kx y ，显然，直线l 过定点M （0，4） （2）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=
把②⑤代入上式，得 414||2
2
+⋅+=k k AB ， 设点F （0，1）到直线l ：04=+-y kx 的距离为d ，则1
31
|410|2
2
+=
++-=
k k d ，
∴ 46||212+=⋅⋅=
∆k d AB S
AFB ，
∴ 当0=k 时，AFB
S ∆有最小值，是12，
∴AFB ∆的面积存在最小值，最小值是12 ．
2．已知曲线C 上的任意一点P 到点F （0，1）的距离比它到直线m ：4-=y 的距离小3。

不经过坐标原点的直线l 与曲线C 相交于两不同点A B ，，且以AB 为直径的圆过坐标原点O ． （1）求曲线C 的方程； （2）求证：直线l 过定点，并求出该定点的坐标．
（3）△AFB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由.
（4）设曲线C 在点A 、B 处的切线分别为1
l 、2
l ，证明1l 与2
l 的交点必定在定直线m ：4-=y 上。

2.解：（1）解法一：依题意，可知，曲线C 是“平面内到定点F （0，1）的距离与到定直线1-=y 的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F （0，1）为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线。

所以，曲线C 的方程是y x 42
=。

（1）解法二：设点P 的坐标为（x,y ）, 依题意知点P 必定在直线m 的上方，即y>-4, 于是 |PF|=|y+4|-3=y+4-3=y+1, 所以1)1(2
2
+=-+y y x ，整理得y x 42
=
所以，曲线C 的方程是y x 42
=。

它是以F （0，1）为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线。

（2）直线l 的斜率显然存在,又直线l 不经过坐标原点,故可设直线l 的方程为b kx y +=(b ≄0)，并设),(),,(2211y x B y x A ，
由⎩⎨⎧=+=y
x b kx y 42， 消去y ，整理得0442=--b kx x ① ∴k x x 42
1
=+，② b x x 42
1-= ③
若以AB 为直径的圆过坐标原点O ，则⊥， ∴02121=+y y x x ，即 01612
2
212
1=+
x x x x ，④ 将③代入④，得0)4(16
1
42=-+
-b b ， 解得)(04舍去或==b b ，所以162
1-=x x ，⑤
∴直线l 的方程为4+=kx y ，显然，直线l 过定点M （0，4）
（3）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=
把②⑤代入上式，得 414||2
2
+⋅+=k k AB ， 设点F （0，1）到直线l ：04=+-y kx 的距离为d ，则1
31
|410|2
2
+=
++-=
k k d ，
∴ 46||212+=⋅⋅=
∆k d AB S
AFB ，
∴ 当0=k 时，AFB
S ∆有最小值，是12，
∴AFB ∆的面积存在最小值，最小值是12 ．
（4）曲线C 的方程可化为241x y =
，则x y 21='，1121|1x y k x x ='==，2221|2
x y k x x ='== 所以，1l 的方程为)(21
4111
21x x x x y -=-⑥
2l 的方程为)(2
1
412222x x x x y -=-⑦
解⑥⑦联立方程组，得k x
x x 22
2
1
=+=
，44
2
1-==
x x y
所以1
l 与2
l 的交点为M （2k,-4）,它恒在定直线m ：4-=y 上。

3．已知曲线C 上的任意一点P 到点F （0，1）的距离比它到直线m ：4-=y 的距离小3。

自直线m 上任一点M 做曲线C 的两条切线1
l 、2
l ，切点分别为A 、B 。

（1）求曲线C 的方程；
（2）求证：直线AB 过定点，并求出该定点的坐标． （3）求证：以线段AB 为直径的圆过坐标原点O ．
（4）△AFB 的面积是否存在最小值？若存在，请求出最小值；若不存在，请说明理由. 3.解：（1）解法一：依题意，可知，曲线C 是“平面内到定点F （0，1）的距离与到定直线1-=y 的距离相等的点的轨迹”，所以它是以F （0，1）为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线。

所以，曲线C 的方程是y x 42
=。

（1）解法二：设点P 的坐标为（x,y ）, 依题意知点P 必定在直线m 的上方，即y>-4, 于是 |PF|=|y+4|-3=y+4-3=y+1, 所以1)1(2
2
+=-+y y x ，整理得y x 42
=
所以，曲线C 的方程是y x 42
=。

它是以F （0，1）为焦点，以直线1-=y 为准线的抛物线。

（2）直线AB 的斜率显然存在，故可设直线AB 的方程为b kx y +=，
并设),(),,(2211y x B y x A ， 由⎩⎨
⎧=+=y
x b kx y 42
， 消去y ，整理得0442
=--b kx x ① ∴k x x 42
1
=+，② b x x 42
1-= ③
曲线C 的方程可化为241x y =
，则x y 21='，1121|1x y k x x ='==，2221|2
x y k x x ='== 所以，1l 的方程为)(21
4111
21x x x x y -=-④
2l 的方程为)(2
1
412222x x x x y -=-⑤
解④、⑤联立方程组，得k x x x 222
1=+=，b x x y -==4
21
所以1
l 与2
l 的交点为M （2k,-b ）,而已知M 在定直线m ：4-=y 上。

所以b=4
直线AB 的方程为4+=kx y ，显然，它过定点M （0，4）
（3）由（2）知1642
1-=-=b x x
∴∙=2
1
2
1y y x x +=0)16(16
1
16161222212
1=-+-=+
x x x x ， 所以OB OA ⊥，故以AB 为直径的圆必定经过坐标原点O 。

解得)(04舍去或==b b ，所以162
1-=x x ，⑦
（4）由弦长公式得2122124)(1||x x x x k AB -+⋅+=
把②代入上式，得 414||2
2
+⋅+=k k AB ，
设点F （0，1）到直线l ：04=+-y kx 的距离为d ，则1
31
|410|2
2
+=
++-=
k k d ，
∴ 46||212+=⋅⋅=
∆k d AB S
AFB ，
∴ 当0=k 时，AFB
S ∆有最小值，是12，
∴AFB ∆的面积存在最小值，最小值是12 ．。