江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考（理数）

江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考（理数）
江西省重点中学盟校2017届高三第二次联考
数学（理科）
第Ⅰ卷（共60分）
一、选择题：本大题共12个小题,每小题5分,共60分.在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的.
1．复数()2
2
11i i
+++的共轭复数的虚部是（） A ．i
B ．i -
C ．1-
D ．1
2．已知集合{}
{}24,13M x x N x x =>=<<，则R N C M ?=（） A ．{}21x x -≤< B ．{}12x x <≤ C ．{}22x x -≤≤ D ．{}2x x < 3．下列命题中真命题的个数是（）①若p q ?是假命题，则q p ,都是假命题；
②命题“32,10x R x x ?∈-+≤”的否定是“32000,10x R x x ?∈-+>”；③若1
:1,:
1p x q x
≤<，则p ?是q 的充分不必要条件．④设随机变量X 服从正态分布()3,7N ，若()()11P X C P X C >+=>-，则3=C ． A ．1
B ．2
C ．3
D ．4
4．一个几何体的三视图如所示，则该几何体的外接球表面积为（）
A ．3π
B ．5π
C ．10π
D ．20π
5．“更相减损术”是出自《九章算术》的一种求最大公约数的算法，如下框图中若输入的a 、
b 分别为198、90，则输出的i 为（）
A ．3
B ．4
C ．5
D ．6
6．如图，在边长为2的正方形ABCD 中，M 是AB 的中点，过D M C ,,三点的抛物线与CD
围成阴影部分，则向正方形内撒一粒黄豆落在阴影部分的概率是（）
A ．
1
6
B ．13
C ．
12
D ．
23
7．函数()()sin 0,2f x x πω?ω=+>< 的图象如图所示，为了得到()cos 3g x πω?
=+ ??
的
图象，则只将()f x 的图象（）
A ．向左平移
4π
个单位 B ．向右平移4
π
个单位 C ．向左平移12
π
个单位
D ．向右平移12
π
个单位
8．如果实数y x ,满足关系10
200
x y x y y -+≥??
+-≤??≥?
，又273x y c x +-≥-恒成立，则c 的取值范围为（）
A ．9,5??-∞
B ．](,3-∞
C ．)9
,5
+∞??
D ．[)3,+∞
9．将E D C B A ,,,,这5名同学从左至右排成一排，则A 与B 相邻且A 与C 之间恰好有一名
同学的排法有（） A ．18
B ．20
C ．21
D ．22 10．若非零向量,a b
的夹角为锐角θ，且cos a b θ= ，则称a 被b “同余”．已知b 被a “同余”，
则a b - 在a
上的投影是（）
A ．22a b a
-
B ．222a b a
-
C ．22b a a -
D ．22a b b
-
11．已知O 为坐标原点，F 是双曲线()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>的左焦点，B A ，分别为左、
右顶点，过点F 做x 轴的垂线交双曲线于点Q P 、，连结PB 交y 轴于点E ，连接AE QF 于点M ，若M 是线段QF 的中点，则双曲线C 的离心率（）
A ．2
B ．
5
2
C ．3
D ．
72
12．已知函数()()()2
3221,2log 2log 4x x f x x g x t =+=-+-，若函数()()()1F x f g x =-在区
间??上恰有两个不同的零点，则实数t 的取值范围（）
A ．5,42??
B ．59,22
C ．94,2
D ．94,2
第Ⅱ卷（共90分）
二、填空题（每题5分，满分20分，将答案填在答题纸上）
13．已知函数()41
,05log ,0x f x x x x ?≤?
=-??>?则()3f f -= ．
14．在多项式()()6
5
121x y ++的展开式中，3xy 项的系数为．
15．已知ABC ?中，AC AB =，120BAC ∠= ，4=BC ，若点P 是边BC 上的动点，且P
到AB ，AC 距离分别为n m ,，则
41
m n
+的最小值为． 16．已知数列{}n a 中，设()111,31n n a a a n N ++==+∈，若()2
312
n n n n n
b a -=
-?，n T 是{}n b 的前n 项和，若不等式122n n n T n λ-<+对一切的n N +∈恒成立，则实数λ的取值范围是．
三、解答题（本大题共6小题，共70分.解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤.）
17．设锐角三角形ABC 的内角C B,A,的对边分别为c b,a,，222=+b a c ．（1）求B 的大小；
（2）求cos sin A C +的取值范围．
18．通过对某城市一天内单次租用共享自行车的时间50分钟到100钟的n 人进行统计，按照租车时间[)50,60，[)60,70，[)70,80，[)80,90，[)90,100分组做出频率分布直方图，并作出租用时间和茎叶图（图中仅列出了时间在[)50,60，[)90,100的数据）．
（1）求n 的频率分布直方图中的y x ,；
（2）从租用时间在80分钟以上（含80分钟）的人数中随机抽取4人，设随机变量X 表示所抽取的4人租用时间在[)80,90内的人数，求随机变量X 的分布列及数学期望．
19．如图，在正四面体ABCD 中，O 是BCD ?的中心，F E ，分别是AC AB ，上的动点，
且(),1BE BA CF CA λλ==- ．
（1）若OE 平面ACD ，求实数λ的值；
（2）若1
2
λ=
，正四面体ABCD 的棱长为求平面DEF 和平面BCD 所成的角余弦值．
20．已知椭圆()22
22:10,0x y C a b a b
-=>>右顶点()2,0A ，离心率e =．
（1）求椭圆C 的方程；
（2）设B 为椭圆上顶点，P 是椭圆C 在第一象限上一点，直线PA 与y 轴交于点M ，直线PB 与x 轴交于点N ，问PMN ?与PAB ?面积之差是否为定值？说明理由．
21．设常数()2
0,0,ln x a f x a x x
λλ>>=-+．
（1）若()f x 在x λ=处取得极小值为0，求λ和a 的值；
（2）对于任意给定的正实数λ、a ，证明：存在实数0x ，当0x x >时，()0f x >．
请考生在22、23两题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题记分.
22．选修4-4：坐标系与参数方程
在平角直角坐标系xOy 中，以O 为极点，x 轴非负半轴为极轴建立坐标系，曲线M 的极坐标方程为4cos ρθ=，直线l 的参数方程为cos sin x m t y t α
α=+??=?
（t 为参数，0απ≤<），
射线,,4
4
π
π
θ?θ?θ?==+
=-
与曲线M 交于C B A ,,三点（异于O 点）．（1）求证：OB OC OA +；
（2）当12
π
=
时，直线l 经过C B ,两点，求m 与α的值
23．选修4-5：不等式选讲
若关于x 的不等式26ax -<的解集为4833x x ??
-<<
．
（1）求a 的值；
（2）若1=b
数学（理科）参考答案
一、选择题
1-5:CBCBD 6-10: DAABA 11、12：CC
12.答案：C 解析因为函数1))(()(-=x g f x F 的零点为方程
1)4log 2)(log 2(222=-+-t x x f 的根，易知1)0(=f ，所以
)0(4log 2)log 2(222f t x x f =-+-，故04log 2)(log 2222=-+-t x x .令t m 2log =，
则
]23,0[∈m ，问题转化为04222=-+-t m m 在]23
,0[∈m 上有两个不同的实解，即
4222++-=m m t 在]23,0[∈m 上有两个不同的实解.令4222++-=m m y )2
30(≤≤m ，
则)230(29)2
1
(22
≤≤+
--=m m y ，29max =y ，结合图像可知)2
9,4[∈t . 二、填空题
13.23-
14.120 15.2
9
16.)1,(-∞ 三、解答题
17．(1)由ac c a b 32
2
2
-+=,根据余弦定理得2
3
cos =B . 又B 为锐角三角形ABC ?的内角，得6
π
=B .
(2)由（1）知
)3
sin(3)65sin(
cos sin cos ππ+=-+=+A A A C A ，由ABC ?为锐角三角形且6
π
=
B 知2
6
π
π
>
+
A ，故
2
3
π
π
<
∴
65332πππ<+
3
)3sin(323<+<πA ，故C A sin cos +的取值范围为)2
3
,23(
. 18.解：(1)由题意可知，样本容量
004.010
502
,5010016.08=?==?=
y n ,
030.0040.0016.0010.0004.0100.0=----=z .
(2)由题意可知，租用时间在)90,80[内的人数为5，租用时间在]100,90[内的人数为2，共7人.抽取的4人中租用时间在)90,80[内的人数X 的可能取值为4,3,2，则
72
3510)2(472225====C C C X P ，743520)3(4
71
235====C C C X P ，7
1
355)4(4
70245====C C C X P .
故7
20
714743722)(=?+?+?
=X E . 19.解：（1）取CD 的中点G ，连接AG BG ，,
∵O 是正BCD ?的中心∴点O 在BG 上，且2=OG
BO
，∵当AG OE ∥时，∥OE 平面ACD , ∴
2==OG BO EA BE ∴BA BE 32=,即3
2
=, ∴3
2
=
λ. （2）当2
1
=
λ时，点F E ，分别是AC AB ，的中点. 建立如图所示的空间直角坐标系xyz O -，依题设
2=OB ，则)0,1,3(),0,1,3(),22,0,0(),0,2,0(--D C A B ,)2,2
1
,23(
),2,1,0(F E -, 则)2,2,3()2,2
1
,23(
-==，, 设平面DEF 的法向量为),,(z y x n =则
⊥⊥FE
n ,
∴=+-=+0
2230
33z y x y x , 不妨令1=z ，则)1,5
2,56(-
=n ，又平面BCD 的一个法向量为)1,0,0(=.
设所求二面角为θ
，则33
33
5cos =
=
θ. 20. 解：⑴依题意得=-==,
,23,2222c b a a c
a 解得==12
b a ，则椭圆C 的方程为14
22
=+y x . ⑵设)0,0)(,(0000>>y x y x P ，则442
020=+y x ，
)2(2:00--=x x y y PA ，
令0=x 得2200--=x y y M ，则2211100
---=-==x y y y -BM M M , 11:00+-=
x x y y PB ，令0=y 得100--=
y x x N ，则1
21200
---=-==y x x x -AN N N ,
∴BM AN OB OM AN S S PAB PMN ??=-??=
-??2
1
)(21 22
2884421224844421)221)(12(2100000000000000002 020
0000=+--+--?=+--+--++?=------=y x y x y x y x y x y x y x y x y x x y y x .
21.x
a x x x x a x x x x x f -++=-+-+='2222)(2)()(2)(λλλλ
2
2
23222)
(2)2()()()2(x x a ax x a x x x x a x x +---+=++-+=λλλλλλλ，∵0243)(3
2
3=='λλλλa -f ，∴
λ43=a . 将λ4
3
=
a 代入得 2
2222223)
(4)
394)(()(43654)(x x x x x x x x x x f +++-=+--+='λλλλλλλλλ 当),0(λ∈x 时,0)(<'x f ,)(x f 递减；
),(+∞∈λx 时,0)(>'x f ,)(x f 递增；
故当λ=x 时,)(x f 取极小值λλλλln 4
3
21)(-=
f , 令0)(=λf ,解得32
3
2
4
3
,e a e ==λ.
(Ⅱ)因为x a x x a x
x x a x x x f ln ln ln )(2
2-->-++-=-+=
λλλλλ, 记x a x x h ln )(--=λ,故只需证明:存在实数0x ,当0x x >时,0)(>x h , [方法1] )ln (ln )(x x a x a x x a x x h -+--=--=λλ, 设0,ln >-=
x x x y ,则x
x x x
y 22
121-=-
=
'. 易知当4=x 时,02ln 22min >-=y ,故0ln >-=
x x y .
又由0≥--λx a x 解得:242λ++≥a a x ,即2
2)24(λ++≥a a x
取2
20)2
4(λ++=a a x ,则当0x x >时, 恒有0)(>x h .
即当0x x >时, 恒有0)(>x f 成立.
[方法2] 由x a x x h ln )(--=λ,得:x
a x x a x h -=-
='1)(, 故)(x h 是区间),(+∞a 上的增函数.令2,,2≥∈=n N n x n , 则2ln 2)2()(an h x h n n --==λ,因为2
2
12)1(1)11(2n n n n n
n
>-++≥+=, 故有λλ-->
--==n a n an h x h n
n
)2ln (2
12ln 2)2()(2
, 令0)2ln (212
≥--λn a n ,解得: 2
8)4ln (2ln 22λ++≥a a n , 设0n 是满足上述条件的最小正整数,取020n
x =,则当0x x >时, 恒有0)(>x h , 即0)(>x f 成立.
22.（Ⅰ）由已知：?π
π
cos 4),4
cos(4),4cos(4=-=+=OA OC OB ,
∴OA co OC OB 24
cos 8)4cos(4)4cos(4==-++=+π
π?π
.
（Ⅱ）当12
π
=
时，点C B,的极角分别为6
4
,3
4
π
π
π
π
-
=-
=
+
，
代入曲线M 的方程得点C B ，的极径分别为：32)6
cos(4,23cos
4=-===π
ρπ
ρC B ,
∴点C B ，的直角坐标为：)3,3(),3,1(-C B ，则直线l 的斜率为3-=k ，方程为0323:=-+y x l ，与x 轴交与点)0,2(；
由?
=+=αα
sin cos t y t m x l ：，知α为其倾斜角，直线过点)0,(m ，∴3 2,2π
α=
=m . 23. (1) 依题意知34-
和3
8
是方程62=-ax 的两个根，则
=-=--62386234
a a ，∴??
-==-==2336
3a a a a 或或，∴3=a . （2）62)4)(11(3)4(33123=+-+≤+-=++-t t t t t t
当且仅当t t =-4，即2=t 时等号成立.。