2020高考数学一轮复习 课时作业11 函数与方程 理

课时作业11 函数与方程
3.根据下面表格中的数据，可以判定方程e x
－x －2＝0的一个根所在的区间为( )
x
－1 0 1 2 3 e x
0.37 1 2.72 7.39 20.09 x ＋2
1
2
3
4
5
A.(1,2) B ．(0,1) C ．(－1,0) D ．(2,3)
解析：本题考查二分法的应用．令f (x )＝e x
－x －2，则由表中数据可得f (1)＝2.72－3<0，f (2)＝7.39－4>0，所以函数f (x )的一个零点在(1,2)上，即原方程的一个根在区间(1,2)上．
答案：A
4．[2019·安徽安庆模拟]定义在R 上的函数f (x )满足f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2，x ∈[0，1，2－x 2
，x ∈[－1，0，
且f (x
＋1)＝f (x －1)，若g (x )＝3－log 2x ，则函数F (x )＝f (x )－g (x )在(0，＋∞)内的零点个数为( )
A ．3
B ．2
C ．1
D ．0
解析：由f (x ＋1)＝f (x －1)，知f (x )的周期是2，画出函数f (x )和g (x )的部分图象，如图所示，由图象可知f (x )与g (x )的图象有2个交点，故F (x )有2个零点．故选B.
答案：B
5．[2019·河南安阳模拟]设函数f (x )＝ln(x ＋1)＋a (x 2
－x )，若f (x )在区间(0，＋∞)上无零点，则实数a 的取值范围是( )
A ．[0,1]
B ．[－1,0]
C ．[0,2]
D ．[－1,1]
解析：令f (x )＝0，可得ln(x ＋1)＝－a (x 2
－x )，令g (x )＝ln(x ＋1)，h (x )＝－a (x 2
－x )．∵f (x )在区间(0，＋∞)上无零点，∴g (x )＝ln(x ＋1)与h (x )＝－a (x 2
－x )的图象在y 轴右侧无交点．
显然当a ＝0时符合题意；
当a <0时，作出g (x )＝ln(x ＋1)与h (x )＝－a (x 2
－x )的图象如图1所示，
显然两函数图象在y 轴右侧必有一交点，不符合题意；
当a >0时，作出g (x )＝ln(x ＋1)与h (x )＝－a (x 2
－x )的函数图象如图2所示， 若两函数图象在y 轴右侧无交点，则h ′(0)≤g ′(0)，即a ≤1.综上，0≤a ≤1.故选A. 答案：A 二、填空题
6．[2018·全国卷Ⅲ]函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为________． 解析：由题意可知，当3x ＋π6＝k π＋π2(k ∈Z )时，f (x )＝cos ⎝
⎛⎭⎪⎫3x ＋π6＝0.
∵x ∈[0，π]， ∴3x ＋π6∈⎣⎢⎡⎦⎥⎤
π6
，196π，
∴当3x ＋π6取值为π2，3π2，5π
2时，f (x )＝0，
即函数f (x )＝cos ⎝ ⎛⎭⎪⎫3x ＋π6在[0，π]的零点个数为3.
答案：3
7．已知函数f (x )＝x 2
＋x ＋a (a <0)在区间(0,1)上有零点，则a 的范围为________． 解析：由题意f (1)·f (0)<0.∴a (2＋a )<0. ∴－2<a <0. 答案：(－2,0)
8．[2019·宝鸡质检]设函数f (x )＝⎩⎪⎨
⎪⎧
2－x
，x <1
log 2x ，x ≥1
，若函数y ＝f (x )－k 有且只有两个零点，
则实数k 的取值范围是________．
解析：∵当x <1时，2－x >1
2
，当x ≥1时，log 2x ≥0，依题意函数y ＝f (x )的图象和直线y ＝k 的
交点有两个，
∴k >12
.
答案：⎝ ⎛⎭
⎪⎫12，＋∞ 三、解答题
9．设函数f (x )＝ax 2
＋bx ＋b －1(a ≠0)． (1)当a ＝1，b ＝－2时，求函数f (x )的零点；
(2)若对任意b ∈R ，函数f (x )恒有两个不同零点，求实数a 的取值范围． 解析：(1)当a ＝1，b ＝－2时，f (x )＝x 2
－2x －3， 令f (x )＝0，得x ＝3或x ＝－1. ∴函数f (x )的零点为3或－1.
(2)依题意，f (x )＝ax 2
＋bx ＋b －1＝0有两个不同实根， ∴b 2
－4a (b －1)>0恒成立，
即对于任意b ∈R ，b 2
－4ab ＋4a >0恒成立， 所以有(－4a )2
－4×(4a )<0⇒a 2
－a <0，解得0<a <1， 因此实数a 的取值范围是(0,1)．
10．已知y ＝f (x )是定义域为R 的奇函数，当x ∈[0，＋∞)时，f (x )＝x 2
－2x . (1)写出函数y ＝f (x )的解析式；
(2)若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解，求a 的取值范围． 解析：(1)设x <0，则－x >0，
所以f (－x )＝x 2
＋2x .又因为f (x )是奇函数， 所以f (x )＝－f (－x )＝－x 2
－2x .
所以f (x )＝⎩
⎪⎨⎪⎧
x 2
－2x ，x ≥0，－x 2
－2x ，x <0.
(2)方程f (x )＝a 恰有3个不同的解．
即y ＝f (x )与y ＝a 的图象有3个不同的交点．
作出y ＝f (x )与y ＝a 的图象如图所示，故若方程f (x )＝a 恰有3个不同的解只需－1<a <1， 故a 的取值范围为(－1,1)．
[能力挑战]
11．[2019·唐山联考]奇函数f (x )，偶函数g (x )的图象分别如图(1)，(2)所示，函数f (g (x ))，
g (f (x ))的零点个数分别为m ，n ，则m ＋n ＝( )
A ．3
B ．7
C ．10
D ．14
解析：由题中函数图象知f (±1)＝0，f (0)＝0，g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝0，g (0)＝0，g (±2)＝1，g (±1)＝－1，所以f (g (±2))＝f (1)＝0，f (g (±1))＝f (－1)＝0，f ⎝ ⎛⎭
⎪⎫g ⎝ ⎛⎭⎪⎫±32＝f (0)＝0，f (g (0))＝f (0)＝0，所以f (g (x ))有7个零点，即m ＝7.又g (f (0))＝g (0)＝0，g (f (±1))＝g (0)＝0，所以g (f (x ))有3个零点，即n ＝3.所以m ＋n ＝10，选择C.
答案：C
12．[2019·石家庄高中毕业班教学质量检测]已知M 是函数f (x )＝e x 2
－3x ＋
134
－8cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和，则M 的值为( ) A ．3 B ．6 C ．9 D ．12
解析：函数f (x )＝e x 2
－3x ＋
134－8cos ⎣⎢⎡⎦
⎥⎤π⎝ ⎛⎭⎪⎫12－x 在x ∈(0，＋∞)上的所有零点之和，即e x 2
－3x ＋134＝8sinπx 在(0，＋∞)上的所有实数根之和，即e ⎝ ⎛⎭
⎪⎫x －322
＋1＝8sinπx 在(0，＋∞)上的所
有实数根之和．
令g (x )＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322＋1，h (x )＝8sinπx ，易知函数g (x )＝e ⎝ ⎛⎭⎪⎫x －322
＋1的图象关于直线x ＝32对
称，函数h (x )＝8sinπx 的图象也关于直线x ＝3
2对称，作出两个函数的大致图象，如图所示．由图
象知，两个函数的图象有4个交点，且4个交点的横坐标之和为6，故选B.
答案：B
13．[2018·天津卷]已知a >0，函数f (x )＝⎩⎪⎨⎪⎧
x 2
＋2ax ＋a ，x ≤0，
－x 2
＋2ax －2a ，x >0.
若关于x 的方程f (x )＝ax
恰有2个互异的实数解，则a 的取值范围是________．
解析：本题主要考查函数零点的应用．
设g (x )＝f (x )－ax ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x 2
＋ax ＋a ，x ≤0，－x 2
＋ax －2a ，x >0，
方程f (x )＝ax 恰有2个互异的实数解即函数y ＝g (x )有两个零点，即y ＝g (x )的图象与x 轴有2个交点，满足条件的y ＝g (x )的图象有以下两种情况：
情况一：
则⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ1＝a 2
－4a >0，
Δ2＝a 2
－8a <0，∴4<a <8.
情况二：
则⎩
⎪⎨⎪⎧
Δ1＝a 2
－4a <0，Δ2＝a 2
－8a >0，不等式组无解．
综上，满足条件的a 的取值范围是(4,8)． 答案：(4,8)。