双曲线的标准方程与性质(优质课)教案

x2 y2 程，求双曲线的标准方程，可设有公共渐近线的双曲线方程为a2－b2＝λ(λ≠0)，再由条件求出λ 的值即可．
练习 2：根据下列条件，求双曲线的标准方程： 5
(1)虚轴长为 12，离心率为4； (2)焦距为 26，且经过点 M(0，12)； (3)经过两点 P(－3，2 7)和 Q(－6 2，－7)． 【答案】(1)设双曲线的标准方程为
D. x2 − y2 = 1 34
2.【2015 高考新课标 2，理 11】已知 A，B 为双曲线 E 的左，右顶点，点 M 在 E 上，∆ABM 为 等腰三角形，且顶角为 120°，则 E 的离心率为（ ）
A． 5
B． 2
C． 3
D． 2
【答案】D
3.【2015
高考福建，理
3】若双曲线 E
:
x2 9
【答案】根据题意可以知道椭圆
的焦点在 y 轴上,且
,故焦点坐标为
由双曲线的定义可得
,故
,
,故所求双曲线的标准方程为
因此，本题正确答案是:
规律方法 待定系数法求双曲线方程具体过程是先定形，再定量，即先确定双曲线标准方程的 形式，然后再根据 a，b，c，e 及渐近线之间的关系，求出 a，b 的值．如果已知双曲线的渐近线方
分别是双曲线左、右焦点，若|PF1|＝9，则
|PF2|＝( )
A．1
B．17
C．1 或 17
D．以上答案均不对
【答案】B
练习
3：已知
F
x2 y2 是双曲线 4 －12＝1
的左焦点，A(1，4)，P
是双曲线右支上的动点，则|PF|＋
|PA|的最小值为( )
A．5 【答案】D
B．5＋4 3
C．7
D．9
类型二 双曲线的标准方程
33
A.（- ， ）
33
【答案】A
B.（-
3
，
3
）
C.（ − 2
2 ，2
2 ） D.（ − 2 3 ， 2 3 ）
66
33
33
5.【2015 高考湖北，理 8】将离心率为 e1 的双曲线 C1 的实半轴长 a 和虚半轴长 b (a b) 同时增
加 m (m 0) 个单位长度，得到离心率为 e2 的双曲线 C2 ，则（ ）
【答案】解：(1)设椭圆方程为 x2 a2
+
y2 b2
= 1，双曲线方程为
xa，b，m，n>0，且 a>b)，
a－m＝4
则 13
13
7· a ＝3· m ，
解得：a＝7，m＝3，∴b＝6，n＝2，
∴椭圆方程为 x2 + y2 = 1，双曲线方程为 x2 − y2 = 1.
线；当二次项系数不等于 0 时，用判别式Δ来判定．(2)近几年高考对直线与双曲线的考查降低了
要求，一般与双曲线的几何性质结合考查．
练习 1：(2014·湖北卷)设 a，b 是关于 t 的方程 t2cosθ＋tsinθ＝0 的两个不等实根，则过
A(a，a2)，B(b，b2)两点的直线与双曲线cosx22
之和小于 0，解得,
【答案】(1)
,
,
,C 的方程为
(2)由
与
消去 y,得
,方程有解,判别式大于 0,两
根之和小于 0，解得,
研究直线与双曲线位置关系的通法：将直线代入双曲线的方程，消元，得到关于 x 或 y 的一元
二次方程．当二次项系数等于 0 时，直线与双曲线相交于某支上一点，这时直线平行于一条渐近
即e121＋e322＝4.所以由柯西不等式得e11＋e122＝e11＋
1 × 3
e232≤e121＋e3221＋13＝136.所以e11＋e12
≤4 3 3. 7.中心在原点，焦点在 x 轴上的一椭圆与一双曲线有共同的焦点 F1，F2，且 F1F2＝2 13，椭圆
的半长轴长与双曲线半实轴长之差为 4，离心率之比为 3∶7. (1)求这两曲线方程； (2)若 P 为这两曲线的一个交点，求△F1PF2 的面积．
【答案】 2 2
1.【2015 高考广东，理 7】已知双曲线 C ： x2 a2
−
y2 b2
= 1 的离心率 e =
5 4
，且其右焦点
F2 (5, 0) ，则双曲线 C 的方程为（ ）
A． x2 − y2 = 1 43
【答案】B
B. x2 − y2 = 1 16 9
C. x2 − y2 = 1 9 16
线段 A1A2 叫做双曲线的实轴，它的长|A1A2|＝2a；线段 B1B2 叫做双 曲线的虚轴，它的长|B1B2|＝2b；a 叫做双曲线的半实轴长，b 叫做双 曲线的半虚轴长
c2＝a2＋b2(c＞a＞0，c＞b＞0)
系
类型一 双曲线的定义及应用 例 1：(1)已知圆 C1：(x＋3)2＋y2＝1 和圆 C2：(x－3)2＋y2＝9，动圆 M 同时与圆 C1 及圆 C2 相外
切，则动圆圆心 M 的轨迹方程为________．
【解析】利用动圆 M 同时与圆 及圆 外切,可得的轨迹为到定点 , 距离差为常数
2 的点的集合,即双曲线的左支,从而可得方程.
【答案】动圆 的圆心为
,动圆 的圆心为
动圆 M 同时与圆 及圆 外切,
动圆 M 的半径
,即
的轨迹为到定点 , 距离差为常数 2 的
A．对任意的 a, b ， e1 e2
B．当 a b 时，；当 a b 时， e1 e2
C．对任意的 a, b ， e1 e2
D．当 a b 时， e1 e2 e1 e2 ；当 a b 时，
e1 e2
【答案】D
6.（2014·湖北卷）已知 F1，F2 是椭圆和双曲线的公共焦点，P 是它们的一个公共点，且∠ F1PF2＝π3 ，则椭圆和双曲线的离心率的倒数之和的最大值为__________.
【解析】等腰三角形
中
,
到 的距离为 2a
化简得
所以渐近线方程
【答案】C x2 y2
练习 1：(2014·浙江卷)设直线 x－3y＋m＝0(m≠0)与双曲线a2－b2＝1(a＞0，b＞0)的两条渐近
线分别交于点 A，B.若点 P(m，0)满足|PA|＝|PB|，则该双曲线的离心率是________．
【答案】： 5 2
y2 x2 a2－b2＝1 (a>0，b>0)
图形
性质 范围 对称性 顶点 渐近线 离心率
实虚轴
a，b，c 的关
x≥a 或 x≤－a，y∈R
x∈R，y≤－a 或 y≥a
对称轴：坐标轴；对称中心：原点
A1(－a，0)，A2(a，0) y＝±bax
A1(0，－a)，A2(0，a) y＝±abx
e＝ca，e∈(1，＋∞)
类型四 直线与双曲线的位置关系
例 4:已知中心在原点的双曲线 C 的右焦点为(2，0)，实轴长为 2 3. (1)求双曲线 C 的方程； (2)若直线 l：y＝kx＋ 2与双曲线 C 左支交于 A，B 两点，求 k 的取值范围．
【解析】(1)
,
,
,C 的方程为
由
与
消去 y,得
,方程有解,判别式大于 0,两根
y2 θ－sin2
θ＝1
的公共点的个数为(
)
A．0
B．1
C．2
D．3
【答案】A
P 练习 2：【2015 江苏高考，12】在平面直角坐标系 xOy 中，
为双曲线 x2 − y2 = 1 右支
上的一个动点。若点 P 到直线 x − y +1 = 0 的距离大于 c 恒成立，则是实数 c 的最大值为
__________________.
∴P 的坐标为( 5，4)．
又∵双曲线的一个焦点为 F1(－ 5，0)，
∴另一个焦点为 F2( 5，0)．
D. x2 − y2 = 1 32
∴2a＝||PF1|－|PF2||＝2.∴a＝1. 又∵c＝ 5，∴b2＝c2－a2＝4. ∴双曲线方程为 x2－y42＝1. 【答案】B
x2 y2 练习 1：设双曲线与椭圆27＋36＝1 有共同的焦点，且与椭圆相交，一个交点的坐标为( 15， 4)，则此双曲线的标准方程是________．
双曲线的标准方程与性质（优质课）教案
教学目标： 1. 了解双曲线的定义、几何图形和标准方程及简单性质． 2. 了解双曲线的实际背景及双曲线的简单应用． 3. 理解数形结合的思想．
教学过程：
1．双曲线的定义
平面内动点与两个定点 F1，F2(|F1F2|＝2c＞0)的距离差的绝对值等于常数(小于|F1F2|大于 零)，则点的轨迹叫双曲线．这两个定点叫双曲线的焦点，两焦点间的距离叫焦距．集合 P＝
_________________________________________________________________________________ _________________________________________________________________________________
基础巩固
1.【2015 高考安徽，理 4】下列双曲线中，焦点在 y 轴上且渐近线方程为 y = 2x 的是
（）
A． x2 − y2 = 1 B. x2 − y2 = 1
4
4
C. y2 − x2 = 1 4
D. y2 − x2 = 1 4
－ ＝1 或 － ＝1(a＞0，b＞0)．
由题意知，2b＝12，e＝ ＝ .∴b＝6，c＝10，a＝8.
∴双曲线的标准方程为 － ＝1 或 － ＝1. (2)∵双曲线经过点 M(0,12)，∴M(0,12)为双曲线的一个顶点，故焦点在 y 轴上，且 a＝12. 又 2c＝26，∴c＝13.∴b2＝c2－a2＝25. ∴双曲线的标准方程为 － ＝1. (3)设双曲线方程为 mx2－ny2＝1(mn＞0)．
例 2:已知双曲线中心在原点且一个焦点为 F1(－ 5，0)，点 P 位于该双曲线上，线段 PF1 的 中点坐标为(0,2)，则双曲线的方程是( )
A. x2 − y2 = 1 4
B． x2 − y2 = 1 4
C. x2 − y2 = 1 23
【解析】∵F1(－ 5，0)，PF1 的中点坐标为(0,2)，
−
y2 16
= 1的左、右焦点分别为 F1, F2
，点 P
在双曲
线 E 上，且 PF1 = 3，则 PF2 等于（ ）
A．11
B．9
C．5
D．3
【答案】B
4.【2015
高考新课标
1，理
5】已知
M（
x0 ,
y0
）是双曲线
C：
x2 2
−
y2
= 1 上的一点， F1, F2
是 C 上的两个焦点，若 MF1 • MF2 0 ，则 y0 的取值范围是( )
【答案】设|PF1|＝r1，|PF2|＝r2，r1>r2，椭圆的长半轴长为 a1，双曲线的实半轴长为 a2，椭 圆、双曲线的离心率分别为 e1，e2.则由椭圆、双曲线的定义，得 r1＋r2＝2a1，r1－r2＝2a2，平方得 4a21＝r21＋r22＋2r1r2，4a22＝r21－2r1r2＋r22.又由余弦定理得 4c2＝r21＋r22－r1r2，消去 r1r2，得 a21＋3a22＝ 4c2，
点的集合,即双曲线的左支 的轨迹方程为
因此，本题正确答案是:
练习 1：已知双曲线 x2－y2＝1，点 F1，F2 为其两个焦点，点 P 为双曲线上一点，若 PF1⊥PF2， 则|PF1|＋|PF2|的值为________．
【答案】 2 3
练习
2：设
P
x2 y2 是双曲线16－20＝1
上一点，F1，F2
练习 2：设 a>1，则双曲线 x2 a2
−
y2 (a + 1)2
= 1的离心率 e 的取值范围是(
)
A．( 2，2)
B．( 2， 5)
C．(2,5)
D．(2， 5)
【解析】e＝ca＝ 1＋a＋a 12＝
1 ∵a>1，∴0<a<1，
1＋1＋1a2.
∴1<1＋1a<2，
∴ 2<e< 5，故选 B. 【答案】B
{M|||MF1|－|MF2||＝2a}，|F1F2|＝2c，其中 a，c 为常数且 a>0，c>0：
(1)若 a<c 时，则集合 P 为双曲线；
(2)若 a＝c 时，则集合 P 为两条射线；
(3)若 a>c 时，则集合 P 为空集．
2．双曲线的标准方程和几何性质
标准方程
x2 y2 a2－b2＝1 (a>0，b>0)
49 36
94
(2)不妨设 F1，F2 分别为左、右焦点，P 是第一象限的一个交点，则 PF1＋PF2＝14，PF1－PF2＝ 6，
∴PF1＝10，PF2＝4， 4
∴cos∠F1PF2＝5，
3 ∴sin∠F1PF2＝5.
1
1
3
∴S△F1PF2＝2PF1·PF2sin∠F1PF2＝2·10·4·5＝12.
∴
∴双曲线的标准方程为 － ＝1.
类型三 双曲线的几何性质
例 3：(1)设 F1，F2 分别为双曲线
的左、右焦点．若在双曲线右支上存在
点 P，满足|PF2|＝|F1F2|，且 F2 到直线 PF1 的距离等于双曲线的实轴长，则该双曲线的渐近线方程为 ()
A．3x±4y＝0 B．3x±5y＝0 C．4x±3y＝0 D．5x＋4y＝0