河北省石家庄市第一中学2019_2020学年高一数学上学期期末考试试题(含解析)

河北省石家庄市第一中学2019-2020学年高一数学上学期期末考试试
题（含解析）
注意事项：
1．本试卷分第Ⅰ卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分．
2．答题前，考生务必将自己的姓名、准考证号填写在本试卷相应的位置． 3．全部答案写在答题卡上，写在本试卷上无效． 4．本试卷满分150分，测试时间120分钟．
5．考试范围：必修一：第1章～第3章，必修四：第1章～第3章．
第Ⅰ卷
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的．
1.如果集合{|42,}S x x n n ==+∈N ，{|42,}T x x k k ==-∈Z ，则（ ） A. S T
B. T S
C. S T =
D.
S T ⋂=∅
【答案】A 【解析】 【分析】
利用列举法,表示出两个集合的若干个元素,根据元素特征即可判断两个集合的关系. 【详解】因为{|42,}S x x n n ==+∈N 则{2,6,10,14}S =⋅⋅⋅
{|42,}T x x k k ==-∈Z
则{6,2,2,6,10,14}T =⋅⋅⋅--⋅⋅⋅ 根据集合与集合的关系可知S T 故选:A
【点睛】本题考查了集合与集合关系的判断,数集表示的意义,属于基础题. 2.函数cos(2)6
y x π
=+
的图象的对称轴方程可能是（ ）
A. 6
x π
=-
B. 12
x π
=-
C. 6
x π
=
D. 12
x π
=
【答案】B 【解析】 【分析】
先利用y ＝cos x 的对称轴方程以及整体代入思想求出y ＝cos （2x 6
π
+）的所有对称轴方程的表达式，然后看哪个答案符合要求即可． 【详解】∵y ＝cos x 的对称轴方程为x ＝k π，
∴函数y ＝cos （2x 6
π
+）中， 令2x 6π+=k π⇒x 212
k ππ
=
-，k ∈Z 即为其对称轴方程． 上面四个选项中只有12
π
-符合．
故选B ．
【点睛】本题主要考查余弦函数的对称性以及整体代入思想的应用．解决这类问题的关键在于牢记常见函数的性质并加以应用． 3.若点2sin ,cos
6
3
π
π⎛⎫
⎪⎝
⎭
在角α的终边上,则tan α的值为（ ）
A. 1
B. 1-
D.
【答案】B 【解析】 【分析】
先求出2sin
,cos
63
π
π
的值，确定点的坐标，结合定义求解tan α的值.
【详解】因为121sin ,cos 6232ππ==
=-，所以点的坐标为11(,)22-，所以tan 1y
x
α==-，故选B.
【点睛】本题主要考查三角函数的定义，已知角终边上一点，结合定义可求三角函数值,属于容易题.
4.已知向量a ，b 满足0a b ⋅=，1a =，3b =，则a b -=（ ）
A. 0
B. 2
C.
【答案】D 【解析】 【分析】
根据向量数量积的运算,代入化简即可求解. 【详解】因为向量a ,b 满足0a b ⋅=,1a =,3b = 则2
a b a b -=
-
222a a b
b =
-⋅
+
==故选:D
【点睛】本题考查了向量数量积的运算,属于基础题.
5.已知函数2
(13)2(0)
()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩
，在(,)-∞+∞上是减函数，则实数a 的取值范围为（ ） A. ()2,3 B. [)1,3
C. ()1,3
D. []1,3
【答案】B 【解析】 【分析】
分段函数在R 上单调递减,两段函数各自递减,且满足在左段的右端点大于等于右段的左端点,即在整个实数集内为单调递减,即可求得实数a 的取值范围.
【详解】因为函数2
(13)2(0)
()(3)2(0)a x a x f x a x x -+<⎧=⎨-+≥⎩,在(,)-∞+∞上是减函数 由函数的图像与性质可知,实数a 需满足1303022a a a -<⎧⎪
-<⎨⎪≥⎩
解不等式组可得1331
a a a ⎧<⎪⎪
⎨<⎪⎪≥⎩,即13a ≤<
所以[)1,3a ∈ 故选:B
【点睛】本题考查了一次函数与二次函数单调性性质,分段函数单调性的判断方法,属于基础题.
6.已知扇形的周长为12cm ，圆心角为4rad ，则此扇形的面积为（ ） A. 24cm B. 26cm
C. 28cm
D. 210cm
【答案】C 【解析】 【分析】
设扇形所在圆的半径为r ,扇形的弧长为l ,根据弧度定义求得r 与l 的关系.再根据扇形的面积公式即可求解.
【详解】设扇形所在圆的半径为r ,扇形的弧长为l 由弧度定义可知4l
r
=
,即4l r
而扇形的周长为2C l r =+ 代入可得12426r r r =+= 解得2,8r l == 所以扇形面积为11
82822
S lr ==⨯⨯= 2cm 故选:C
【点睛】本题考查了扇形的弧长与半径关系,扇形面积公式的求法,属于基础题. 7.已知定义在R 上的函数()f x 满足()()22f x f x +=，当[]
0,2x ∈时，
()22,[0,1)
2,[1,2]
x x x f x x x ⎧-+∈=⎨-∈⎩，则函数()y f x =在[]2,4上的大致图象是（ ）
A. B.
C. D.
【答案】B 【解析】 【分析】 由
()()22f x f x +=,令2x x =-代入可得()()22f x f x =-,即可由
()22,[0,1)2,[1,2]
x x x f x x x ⎧-+∈=⎨-∈⎩求得[]2,4x ∈时的解析式.再根据函数的解析式判断函数图像即
可.
【详解】由题意函数()f x 满足()()22f x f x += 则()()22f x f x =- 若[]
2,4x ∈，则[]20,2x -∈
因为当[]0,2x ∈时,()22,[0,1)
2,[1,2]x x x f x x x ⎧-+∈=⎨-∈⎩
所以当[]2,4x ∈时, ()()()()22242,[2,3)
422,[3,4]x x x f x x x ⎧--+-∈⎪=⎨--∈⎪⎩,化简可得
()()2
232,[2,3)82,[3,4]
x x f x x x ⎧--+∈⎪=⎨-∈⎪⎩
由函数解析式可知,函数图像在[)2,3为以抛物线,对称轴为2x =,顶点坐标为()2,2 函数在[]3,4上为一直线,与x 轴交点为()4,0,结合选项可知B 为正确选项 故选:B
【点睛】本题考查了分段函数图像与性质的综合应用,求得函数的解析式并判断图像,属于中档题.
8.设函数()(0)1
x
f x x x =
>+，记1()()f x f x =，()21()()f x f f x =，…，1()[()]n n f x f f x +=，则2019()f x 等于（ ） A.
20191x
x +
B.
2019
x
x +
C.
201920191
x
x +
D.
20191
x x
+ 【答案】A 【解析】 【分析】
根据函数的解析式及函数定义,依次求得
123()(,,)()()n f x f x f x f x ⋅⋅⋅.由规律即可求得
2019()f x 的解析式.
【详解】函数()(0)1
x
f x x x =>+ 则1()()1
x f x f x x =
+=
21()121
11x
x x x f x f x x x x ⎛⎫+=== ⎪++⎝⎭++ ()2321()()31121
x
x
x f x f f x x x x +===+++
⋅⋅⋅
()1()()1
n n x f x f f x nx -==
+ 所以2019()20191
x
f x x =+
故选:A
【点睛】本题考查了函数的定义及解析式的应用,通过前几项找函数解析式的规律,属于基础题.
9.定义新运算2()3a b a a b ⊗=+-，若方程)(cos )2x x ⊗=在(0,)x π∈上的解为
1x ，2x ，则()12cos x x -的值为（ ）
C. 2
D. 1
【答案】B 【解析】 【分析】
根据定义,将方程化简.结合余弦的降幂公式及正弦二倍角公式化简,即可得
()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭.由正弦函数的图像与性质,即可求得其在(0,)x π∈内的一条对称轴,
可得1x ，2x 的等量关系,进而带入()12cos x x -利用诱导公式化简即可求解. 【详解】根据定义,2()3a b a a b ⊗=+-
则)(cos )2x x ⊗=可化为)
2cos 32x
x x +-=
23cos 2x x -=
由辅助角公式化简可得sin 233
x π⎛
⎫-=
⎪⎝
⎭ 令()sin 23πf x x ⎛⎫=-
⎪⎝
⎭
当512
x π
=
时,函数55sin 2sin 1121232f ππππ⎛⎫⎛⎫
=⨯-== ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭
所以512x π=
为()sin 23πf x x ⎛
⎫=- ⎪⎝
⎭的一条对称轴
所以(0,)x π∈时,12552126x x ππ+=⨯=,且2sin 233x π⎛⎫-= ⎪⎝
⎭ 即1256
x x π
=
- 所以()12cos x x -
25cos 26x π⎛⎫=- ⎪⎝⎭
由诱导公式化简可知
25cos 26x π⎛⎫- ⎪⎝⎭
2cos 223x ππ⎛⎫=+- ⎪⎝⎭
2sin 23x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭
2sin 23x π⎛
⎫=-=
⎪⎝⎭
故选:B
【点睛】本题考查了新定义的应用,由三角函数降幂公式、二倍角公式及辅助角公式化简三角函数式,三角函数诱导公式化简求值,属于中档题.
10.已知偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增，则满足()f f x <的x 取值范围是（ ） A. (3,)+∞ B. (,1)(3,)-∞-+∞
C. 3,1(3,)2⎡⎫
-
-⋃+∞⎪⎢⎣⎭
D. ()1,3-
【答案】C 【解析】 【分析】
根据偶函数性质可判断()f x 在区间(],0-∞上单调递减,结合条件即可得关于x 的不等式,解不等式即可求得满足条件的x 取值范围.
【详解】因为偶函数()f x 在区间[0,)+∞上单调递增 则()f x 在区间(],0-∞上单调递减
不等式()f f x <成立
则
230
23
x
x x
+≥
⎧⎪
⎨
+<
⎪⎩
,化简可得
()()
3
2
310
x
x x
⎧
≥-
⎪
⎨
⎪-+>
⎩
解得
3
1
2
x
-≤<-或3
x>
即()
3
,13,
2
x
⎡⎫
∈--⋃+∞
⎪
⎢⎣⎭
故选:C
【点睛】本题考查了偶函数的性质与单调性的综合应用,由单调性解不等式,属于基础题.
11.将函数()2sin()0,||
2
f x x
π
ωϕωϕ
⎛⎫
=+><
⎪
⎝⎭
的图像向右平移
1
6
个单位长度后得到函数()
y g x
=的图像.如图是()
y g x
=的部分图像，其中,A B是其与x轴的两个交点，C是其上的点，||1
OA=，且ABC是等腰直角三角形.则ω与ϕ的值分别是（）
A.
2
π
ω=，
5
12
π
ϕ= B.
2
π
ω=，
7
12
π
ϕ= C.
4
π
ω=，
5
24
π
ϕ= D.
4
π
ω=，7
24
π
ϕ=
【答案】D
【解析】
【分析】
先由()
y f x
=求出()sin(())
1
y g x2x
6
ωϕ
==-+，然后根据ABC是等腰直角三角
形，求得1
C
x=，得到周期求出ω的值，将A点代入函数中去，解出ϕ.
【详解】解：将函数()()
2sin0,
2
f x x
π
ωϕωϕ
⎛⎫
=+><
⎪
⎝⎭
的图像向右平移
1
6
个单位长度后
得到函数()y g x =为()sin(())sin()1g x 2x 2x 66
ωωϕωϕ=-+=-+， 因为ABC 是等腰直角三角形， 所以1AC k =，即()
C 20
1x 1-=--，解得1C x =，
所以周期24
T
=，即8T =， 故
28π
ω
=，解得4
π
ω=
，
当1x =-时，()0g x =，
即sin(
())104
24
π
π
ϕ⨯--
+=，
解得：,7k k z 24
π
ϕπ-
+=∈， 因为||2π
ϕ≤
，
所以724
π
ϕ=，故选D.
【点睛】本题考查了根据三角函数图像求解参数的问题，三角函数中常见的几个参数的一般解法是：由T 的值可以解出ω的值，由最值可以得出A 的值，由特殊点可以得出ϕ的值. 12.在ABC 中，D 为线段AC 的中点，点E 在边BC 上，且1
2
BE EC =，AE 与BD 交于点O ，则AO =（ ）
A. 11
24AB AC + B.
11
44AB AC + C. 11
42
AB AC +
D. 11
22
AB AC +
【答案】A 【解析】 【分析】
根据向量共线基本定理,可设,BO OD AO AE λμ==.由向量线性运算,用不同方法表示出
AO ,可得关于λ和μ的方程组,解方程即可求得λ和μ的值,进而得AO 的表示形式.
【详解】根据题意, 在ABC
∆中,D为线段AC的中点,点E在边BC上,且
1
2
BE EC
=,AE与BD 交于点O,如下图所示:
因为A O E
、、共线, B O D
、、共线
可设,
BO OD AO AE
λμ
==
则()1
=
3
AO AE AB BE AB BC
μμμ⎛⎫
=+=+
⎪
⎝⎭
()
1
3
AB AC AB
μ⎡⎤
=+-
⎢⎥
⎣⎦
2
33
AB AC
μμ
=+
同时AO AB BO AB BD
λ
=+=+
()
AB AD AB
λ
=+-
1
2
AB AC AB
λ⎛⎫
=+-
⎪
⎝⎭
()
1
2
AB AC
λ
λ
=-+
由上述两式可得
2
1
3
32
μ
λ
μλ
⎧
=-
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
,解得
1
2
3
4
λ
μ
⎧
=
⎪⎪
⎨
⎪=
⎪⎩
所以代入()
1
2
AO AB AC
λ
λ
=-+
11
24
AB AC
=+
故选:A
【点睛】本题考查平面向量共线基本定理的应用,平面向量线性运算的应用,属于中档题.
第Ⅱ卷
二、填空题：本大题共4小题，每小题5分．
13.集合{}6,,,A x y z =，{}1,,,B xy yz xz =，若A B =⊆N ，则x y z ++=________．
【答案】6
【解析】
【分析】
根据集合的互异性原则,可知1A ∈.令1x =,再由集合的互异性及6B ∈可得6yz =,即可解方程求得,,x y z 的值,进而求得x y z ++的值.
【详解】因为{}6,,,A x y z =,{}1,,,B xy yz xz =,且A B =⊆N
因为在集合A 与集合B 中,,,x y z 是等价的
所以由A B =可知, 1A ∈
不妨设1x =
则{}6,1,,A y z =,{}1,,,B y yz z =
而由A B =可知6B ∈ 由集合互异性和集合{}6,1,,A y z =
可知6,6y z ≠≠ 所以6yz =
而A B =⊆N
所以解得16y z =⎧⎨=⎩,23y z =⎧⎨=⎩,32y z =⎧⎨=⎩或61y z =⎧⎨=⎩
根据集合互异性可知23y z =⎧⎨=⎩或32
y z =⎧⎨=⎩符合要求 即此时1236x y z ++=++=
故答案为:6
【点睛】本题考查了集合互异性原则的应用,属于基础题.
14.已知单位向量1e ，2e 不共线，当()()1212324e e e e -⊥+时，1e 与2e 的夹角为________． 【答案】3
π 【解析】
【分析】
根据向量垂直的数量积为0,结合向量的数量积运算,即可求得1e 与2e 的夹角.
【详解】单位向量1e ,2e 不共线,满足()()1212324e e e e -⊥+
由向量垂直时满足的关系为()()12120324e e e e -⋅=+
展开化简可得22112231080e e e e +⋅-=
设1e 与2e 的夹角为α()0απ<<
由平面向量数量积定义可得221122310c 0os 8e e e e α=+⋅⋅-
因为2111,e e ==
代入求得1cos 2α=
由0απ<<
可得3π
α=
故答案为:3
π 【点睛】本题考查了向量数量积的应用,向量垂直时的关系,属于基础题.
15.若21cos 34πα⎛⎫-
= ⎪⎝⎭
，则sin 26πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭________． 【答案】78
【解析】 【分析】 根据诱导公式,将三角函数式21cos 34πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭化简可得1sin 64
πα⎛⎫-= ⎪⎝⎭,再由诱导公式及余弦的二倍角公式,化简sin 26πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭
即可得解. 【详解】因为21cos 34
πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭
化简可得1cos 624ππα⎛⎫--= ⎪⎝⎭,即1cos 264ππα⎡⎤⎛⎫--= ⎪⎢⎥⎝⎭⎣
⎦ 由诱导公式化简得1sin 64
πα⎛
⎫-= ⎪⎝⎭ 而sin 26πα⎛
⎫+ ⎪⎝⎭ cos 22
6ππα⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ cos 2cos 233ππαα⎛⎫⎛⎫=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ cos 26πα⎛⎫=- ⎪⎝
⎭ 由余弦的二倍角公式可知cos 26πα⎛⎫- ⎪⎝
⎭ 212sin 6πα⎛⎫=-- ⎪⎝
⎭ 2171248
⎛⎫=-⨯= ⎪⎝⎭ 故答案为: 78
【点睛】本题考查了诱导公式在三角函数化简中的应用,余弦二倍角公式的简单应用,属于中档题.
16.定义函数{}12()min (),()f x f x f x =，表示函数1()f x 与2()f x 较小的函数．设函数
1()2x f x =，2()32x p f x -=⋅，p 为正实数，若关于x 的方程()3f x =恰有三个不同的解，
则这三个解的和是________．
【答案】p
【解析】
【分析】
根据新定义,将函数分类讨论确定解析式形式.对p 分类讨论,确定p 的取值范围.进而得符合
题意的解析式.根据解析式判断函数()f x 的单调性,结合函数示意图,即可求得方程的三个根,进而求得三个零点的和. 【详解】因为1()2x f x =,2()32x p f x -=⋅
则12()2x x f x -⎧=⎨⎩
00x x ≤>, 232()32p x x p f x --⎧⨯=⎨⨯⎩ x p x p ≤>()0p > 所以1()0f x >,2()0f x >,21p >
当0x ≤时, 12()211()3232
x p x p f x f x --==<⋅⋅,所以此时12()()f x f x < 则1()()2x f x f x -==
若132p <≤,当0p x <≤时, 122()211221()3233
x x p p p x f x f x --==⨯⨯≤⋅≤,所以此时12()()f x f x ≤,则1()()2x
f x f x ==;当p x <时, 12()221()323x x p p
f x f x -==≤⋅,所以此时12()()f x f x ≤,则1()()2x f x f x ==
综上可知, 1()()2x
f x f x == 此时3()2x f x ==在R 上只有两个根,与题意()3f x =恰有三个不同的解矛盾,所以不成立 因而132p <≤不成立,所以32p <
若32p <,当0p x <≤时, 122()212()323x x p p x f x f x --==⨯⋅,由213
12x p -≤⨯可解得2log 32
p x +≤ 所以此时()232
x p x f x -⎧=⎨⋅⎩22log 3
02log 32p x p x p +<≤+<≤ 当x p >时, 12()221()323
x x p p
f x f x -==>⋅,此时12()()f x f x >,所以2()()32x p f x f x -==⋅
因为32p
<,即2log 3p <
综上可知,此时()222,0log 3
2,02log 332,232,x x p x x p x p x f x p x p x p ---⎧≤⎪+⎪<≤⎪=⎨+⎪⋅<≤⎪⎪⋅>⎩
所以()f x 在(],0-∞上单调递减,此时()[)1,f x ∈+∞
()f x 在2log 30,2p +⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递增,此时()1,32p f x ⎛⎤∈⋅ ⎥⎝⎦ ()f x 在2log 3,2p p +⎛⎤ ⎥⎝⎦
上单调递减,此时()3,32p f x ⎡⎫∈⋅⎪⎢⎣⎭ ()f x 在(),p +∞上单调递增,此时()[)3,f x ∈+∞
函数图像示意图如下图所示:
当()3f x =时,即23,23,x x x p -===
解得22log 3,log 3,x x x p =-==
所以三个零点的和为22log 3log 3p p -++=
故答案为:p
【点睛】本题考查了函数在新定义中的应用,分类讨论确定函数解析式,函数零点的意义及求
法,综合性强,属于难题.
三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤．
17.已知集合{}|14A x x =<<，{}
281|50B x x x =-+<． （1）求集合B 及A B ；
（2）已知集合{}|1C x a x a =<<+，若C B ⊆，求实数a 的取值范围．
【答案】（1）{}|35B x x =<<;{}|15A
B x x =<< （2）[]3,4 【解析】
【分析】
（1）解不等式求得集合B,再根据并集的运算可求得A B .
（2）根据集合与集合的关系,可得关于a 的不等式组,解不等式组即可求得参数a 的取值范围.
【详解】（1）因为{}281|50B x x x =-+<
因为28150x x -+<可化为()()350x x --<
解得35x <<
所以{}|35B x x =<<
因为集合{}|14A x x =<<
所以由集合并集运算可得{}{}{}||143|515A B x x x x x x =<<=⋃<<<<
（2）集合{}|1C x a x a =<<+,集合{}|35B x x =<<
若C B ⊆
则满足315a a ≤⎧⎨+≤⎩
解得34a ≤≤即[]3,4a ∈
【点睛】本题考查了一元二次不等式的解法,集合并集的运算,根据集合的包含关系求参数的取值范围,属于基础题.
18.已知向量1,22a ⎛=- ⎝⎭
，(sin 2,cos 2)b x x =，设函数3()2f x a b =⋅-，x ∈R ．
（1）求()f x 的最小正周期和最大值；
（2）讨论()f x 在区间2,33ππ⎡⎤⎢⎥⎣⎦
上的单调性．
【答案】（1）最小正周期为π ;最大值为12
-（2）当5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时()f x 单调递增;当52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
时, ()f x 单调递减. 【解析】
【分析】
（1）根据平面向量数量积定义,结合辅助角公式,求得函数()f x 的解析式,由周期公式及正弦函数的性质即可求得周期和最大值.
（2）根据自变量的取值范围,先求得23x π-
的范围,结合正弦函数的单调性即可求得()f x 的单调区间.
【详解】（1）因向量1,2a ⎛=- ⎝⎭
,(sin 2,cos 2)b x x = 则3()f x a b =⋅-
1sin 2cos 2222
x x =--
sin 232
x π⎛⎫=-- ⎪⎝⎭ 由周期公式可得最小正周期为22T ππ==
由x ∈R 可得()f x 的最大值为12
- （2）因为2,33x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣
⎦ 则2,33x πππ⎡⎤-
∈⎢⎥⎣⎦
由正弦函数的图像可知,当2,332x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时为单调递增,此时5,312x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦ 2,32x πππ⎡⎤-∈⎢⎥⎣⎦时为单调递减,此时52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦
综上可知,当5,312x ππ⎡⎤∈⎢
⎥⎣⎦时()f x 单调递增;当52,123x ππ⎡⎤∈⎢⎥⎣⎦时, ()f x 单调递减 【点睛】本题考查了平面向量数量积的坐标运算,辅助角公式化简三角函数式,正弦函数的图像与性质的综合应用,属于基础题.
19.已知函数1()()221
x a f x a =+∈+R ． （1）用定义证明函数()f x 在R 上是减函数；
（2）探究是否存在实数a ，使得函数()f x 为奇函数？若存在，求出a 的值；若不存在，请说明理由；
（3）若1a =-，解不等式()
()21240f t f t ++-≤． 【答案】（1）证明见解析;（2）1a =-（3）(][),31,t ∈-∞-⋃+∞
【解析】
【分析】
（1）根据定义,利用作差法可证明函数()f x 在R 上是减函数;
（2）利用奇函数的定义()()f x f x -=-,代入即可求得a 的值.
（3）利用奇函数的定义,将不等式变形,结合函数的单调性即可解不等式,求得t 的取值范围.
【详解】（1）证明: 函数1()221x a f x =
++,定义域为R 任取12,x x R ∈且12x x <
则12()()f x f x -
1211221221x x a a ⎛⎫⎛⎫=+-+ ⎪ ⎪++⎝⎭⎝⎭
()()2112222121x x x x -=++
因为12x x <
所以()()
21122221210,0x x x x ++>>-
则12())0(f x f x ->,即12()()f x f x >
所以函数()f x 在R 上是减函数
（2）若函数()f x 在R 上是奇函数
则满足()()f x f x -=- 即11()221221
x x a a a -⎛⎫-+=+∈ ⎪++⎝⎭R 化简可得11211212121
x x x x a -+--=-=-=+++ 所以当1a =-时函数()f x 在R 上是奇函数
（3）由（2）可知,当1a =-时函数()f x 在R 上是奇函数
则()()21240f t f t ++-≤可变形为()
()()212442f t f t f t --=+≤- 由（1）可知函数()f x 在R 上是减函数
所以不等式可化为2142t t +≥-
即2230t t +-≥
解不等式可得1t ≥或3t ,即(][),31,t ∈-∞-⋃+∞
【点睛】本题考查了利用定义证明函数的单调性,利用奇函数定义求参数的值,并根据奇函数与单调性解不等式,综合性较强,属于中档题.
20.如图，在梯形ABCD 中，AB CD ∥，1AD CD ==，3AB =，
（Ⅰ）若AC AB BD λ+=，求实数λ的值；
（Ⅱ）若AD BC ⊥，求数量积AC BD ⋅的值
【答案】（Ⅰ）43-
（Ⅱ）3- 【解析】
【分析】
（Ⅰ）根据平面向量基本定理求解，（Ⅱ）根据向量数量积定义求解.
【详解】（Ⅰ）因为AC AB BD λ+=，所以AD DC AB BA AD λ++=+,1 03AB AB AB λ++=,
因此43λ=-
， （Ⅱ）
()()()()()22222········3?3 3.AC BD AD DC BC CD AD CD DC BC CD AD BC CD CD AB BC CD BC CD CD CD CD CD CD CD =++=+-=--=++--=-+-=-=-
【点睛】本题考查平面向量基本定理以及向量数量积，考查基本分析判断与求解能力，属中档题.
21.已知函数21()3cos cos 2f x x x x ωωω=-+
(0)>ω，1x ，2x 是函数()f x 的零点，且21x x -的最小值为
2π. （Ⅰ）求ω的值；
（Ⅱ）设,0,2παβ⎛⎫∈ ⎪⎝⎭，若132
35f πα⎛⎫+= ⎪⎝⎭，15521213f πβ⎛⎫-=- ⎪⎝⎭，求cos()αβ-的值. 【答案】(Ⅰ) 1ω= (Ⅱ) ()56cos 65αβ-=
【解析】
【分析】
(Ⅰ)利用二倍角公式和辅助角公式整理出()sin 26f x x πω⎛
⎫=- ⎪⎝⎭
，根据周期求得ω；(Ⅱ)根据()f x 解析式可求解出cos α，sin β；再利用同角三角函数关系求出sin α，cos β；代入两角和差余弦公式求得结果.
【详解】(Ⅰ)(
)211cos 21cos cos 22222x f x x x x x ωωωωω+=-+=-+
12cos 2sin 2226x x x πωωω⎛⎫=-=- ⎪⎝
⎭ 21x x -的最小值为2π 22T π∴=,即22T ππω
== 1ω∴= (Ⅱ)由(Ⅰ)知：()sin 26f x x π⎛
⎫=- ⎪⎝⎭ 123sin sin cos 233625f ππππαααα⎛⎫⎛⎫⎛⎫∴+=+-=+== ⎪ ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎝⎭ ()1555sin sin sin 2126613f πππβββπβ⎛⎫⎛⎫-=--=-=-=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝
⎭ 5sin 13β∴= 又,0,2παβ⎛
⎫∈ ⎪⎝⎭ 4sin 5α∴=，12cos 13β= ()3124556cos cos cos sin sin 51351365
αβαβαβ∴-=+=⨯+⨯= 【点睛】本题考查三角函数解析式的求解及应用问题，关键是考查学生对于二倍角公式、辅助角公式、同角三角函数关系以及两角和差公式的掌握情况，考查学生的运算能力，属于常规题型.
22.已知函数6()4f x x x
=-+． （1）若不等式(ln )ln 0f x a x -≥在21,1e ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭上恒成立，求a 的取值范围； （2）若函数()()
22222log 49log 4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+恰好有三个零点，求b 的值及该函数的零点．
【答案】（1）52
a ≥-
（2）6b =,函数的三个零点分别为0,2,2- 【解析】
【分析】 （1）利用换元法,将不等式变形,构造成二次函数形式,结合二次函数的对称性及单调性即可求得a 的取值范围.
（2）根据零点定义,可得对应的方程.利用换元法,将方程变形,由方程有三个零点和函数的对称性,可确定其中的一个解.将方程的解代入即可求得b 的值,再将b 的值代入即可求得方程的三个根,即函数的三个零点.
【详解】（1）令ln t x =,由21,1e x ⎡⎫∈⎪⎢⎣⎭
可得[)2,0t ∈- 则不等式(ln )ln 0f x a x -≥在21,1e ⎡⎫⎪⎢
⎣⎭上恒成立,可化为()0f t at -≥在[)2,0t ∈-上恒成立 即640t at t -+-≥,变形可得2641a t t
≥-++ 所以2115633
a t ⎛⎫≥--+ ⎪⎝⎭
因为[)2,0t ∈-,则11,2t ⎛⎤∈-∞- ⎥⎝⎦
所以根据二次函数的图像与性质可知
实数a 满足22max
115115566332332a t ⎡⎤⎛⎫⎛⎫⎢⎥≥--+=---+=- ⎪ ⎪⎝⎭⎝⎭⎢⎥⎣⎦ 所以实数a 的范围为52
a ≥- （2）令()
22log 4m x =+,则由对数的性质可知2m ≥ 函数()()22222log 49log 4y f x b x ⎡⎤=++⋅-⎣⎦+的三个零点需满足0y = 所以()()22222log 490log 4f x b x ⎡⎤++⋅-=⎣⎦+,化简可得()290f m b m
+⋅-=
即62490b m m m
-++-= 化简可得25260m m
m b -+-= 因为()()
22222log 490log 4f x b x ⎡⎤++⋅-=⎣⎦+恰好有三个实数根 则必有一根为0x =（否则根据函数的对称性可知会有四个根）
即()2log 042m =+= 代入方程25260m m
m b -+-=可解得6b = 则方程可化为2560m
m m -+=,解方程可得2m =或3m = 当3m =时,即()22log 43x +=,解得2x =±
综上可知,6b =,函数的三个零点分别为0,2,2-
【点睛】本题考查了不等式的
恒成立问题的解法,二次函数图像与性质的综合应用,函数零点的定义及对应方程的解法,综合性强,属于难题.。