2024年高考数学---三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式

例1 (2011课标,5,5分)已知角θ的顶点与原点重合,始边与x轴的非负半轴
重合,终边在直线y=2x上,则cos 2θ=( )
A.- 4
5
解析
B.- 3 C. 3 D. 4
5
5
5
解法一:由三角函数定义知,tan
θ=2,则cos
2θ=
cos2θ cos2θ
sin 2θ sin 2θ
1
=1
tan 2θ tan 2θ
(x,y),它与原点的距离为r,则sin α= y ,cos α= x ,tan α= y (x≠0).
r
r
x
2)三角函数值在各象限内的符号
记忆口诀:一全正,二正弦,三正切,四余弦. 二、同角三角函数的基本关系 1.平方关系:sin2α+cos2α=1.
2.商数关系:tan
α=
sin α cos α
基础篇
考点 三角函数的概念、同角三角函数的基本关系及诱导公式 一、三角函数的概念 1.象限角
第一象限角 的集合
第二象限角 的集合
第三象限角 的集合
第四象限角 的集合
|
2kπ
π 2
2kπ,
k
Z
α
|
2k
2
α
2k
,k
Z
α
|
2k
α
2k
3 2
,k
Z
α
|
2k
3 2
α
2k
2 , k
Z
2.终边相同的角 所有与角α终边相同的角,连同角α在内,构成的角的集合是{β|β=k·360+α, k∈Z}或{β|β=α+2kπ,k∈Z}. 3.弧长与扇形面积公式 1)弧长公式:l=|α|r;
0,
2
,tan
2α=
2
cos α sin
α
,则tan
α=
()
A. 15
15
B. 5
5
C. 5
3
D. 15
3
解析
∵tan
2α=
2
cos α sin
α
,且α∈
0,
2
,∴
sin 2α cos 2α
=
α=cos
α
cos 2α+sin αsin 2α,即4sin αcos α=cos(2α-α)=cos α,又cos α≠0,∴4sin α=1,
2)扇形面积公式:S= 1 lr=1 |α|r2.(其中|α|为圆心角弧度数的绝对值,r为扇形
22
半径) 4.三角函数的定义 1)任意角三角函数的定义
①借助单位圆:设α是一个任意角,α∈R,它的终边OP与单位圆交于点
P(x,y),那么sin α=y;cos α=x;tan α= y (x≠0).
x
②借助终边上点的坐标:设角α终边上任意一点P(原点除外)的坐标为
正切 tan α
tan α -tan α -tan α
口诀 函数名不变,符 号看象限
函数名改变,符 号看象限
综合篇
考法一 三角函数定义的应用 1.已知角α终边上一点P的坐标,求三角函数值:先求出点P到原点的距离r, 然后利用三角函数的定义求解;若含参数,则需对参数进行讨论. 2.已知角α的终边所在直线的方程(角α的终边为射线,此处给的是直线方 程),求三角函数值:一般地,由于不确定终边所在象限,故在终边上任取一 个异于原点的点时应分两种情况,然后利用三角函数的定义求解;若直线 的倾斜角为特殊角,则可直接写出角α的三角函数值.
α
2
k
,
k
Z
.
三、三角函数的诱导公式
公式
角
正弦
一
2kπ+α
sin α
(k∈Z)
二
π+α
-sin α
三
-α
-sin α
四
π-α
sin α
五
-α
cos α
2
六
2 +α
cos α
七
3
2 π+α
-cos α
八
3
2 π-α
-cos α
余弦 cos α
-cos α cos α -cos α sin α -sin α sin α -sin α
=- 3 .
5
解法二:由三角函数定义知,tan θ=2,即sin θ=2cos θ,则sin2θ=4cos2θ.从而有
cos2θ=1 .故cos 2θ=2cos2θ-1=-3 .
5
5
答案 B
例2 (2022 江苏盐城开学测,14)在平面直角坐标系中,角α的终边过点
A(3,4),则tan α=
;将射线OA(O为坐标原点)按逆时针方向旋转 后
cos α
以实现角α的弦切互化. 2.sin α,cos α的齐次式的应用 1)已知tan α的值,求关于sin α与cos α的齐n次分式的值:分子、分母同除以 cosnα,转化为关于tan α的式子求解. 2)“1”的代换问题:含有sin2α,cos2α及sin α·cos α的整式求值问题,可将所 求式子的分母看作“1”,利用“sin2α+cos2α=1”代换后转化为“切”,然 后求解. 3.同角三角函数基本关系式的常用变形 1)sin2α=1-cos2α,cos2α=1-sin2α.
2)(sin α±cos α)2=1±2sin αcos α.
3)sin α=cos αtan α. 4)sin2α= sin2α = tan2α .
sin2α cos2α 1 tan2α
5)cos2α= cos2α = 1 .
sin2α cos2α 1 tan2α
例3
(2021全国甲,理9,文11,5分)若α∈
2
得到角β的终边,则sin β=
.
解析
∵角α的终边过点A(3,4),则tan
α=
4 3
.将射线OA(O为坐标原点)按逆
时针方向旋转
2
后得到角β的终边,则β=α+
2
,则sin
β=sin
α
2
=cos
α=
3 5
.
答案 4 3
35
考法二 同角三角函数基本关系式的应用 1.利用sin2α+cos2α=1可以实现角α的正弦、余弦的互化,利用 sin α =tan α可
即sin α= 1 ,
4
∴cos α= 15 ,∴tan α= 15 .故选A.
4
15
答案 A