第六讲：万有引力及应用解析版

第六讲:万有引力及应用一、开普勒三定律
1．内容
定律内容图示或公式
开普勒第一定律(轨道定律)所有行星绕太阳运动的轨道都是椭圆，太阳处在椭圆的一个焦点上
开普勒第二定律
(面积定律)对任意一个行星来说，它与太阳的连线在相等的时间内扫过的面积相等
开普勒第三定律(周期定律)所有行星的轨道的半
长轴的三次方跟它的
公转周期的二次方的
比值都相等
a3
T2＝k，k是一个
与行星无关的
常量
(1)．行星绕太阳的运动通常按圆轨道处理．
(2)．开普勒行星运动定律也适用于其他天体，例如月球、卫星绕地球的运动．
(3)．开普勒第三定律a3
T2＝k中，k值只与中心天体的质量有关，不同的中心天体k值不同．但该定律只能用在同一中心天体的两星体之间．
二、万有引力定律
1、表达式：F＝G m1m2
r2例题、下列关于行星绕太阳运动的说法中正确的是()
A．所有行星都在同一椭圆轨道上绕太阳运动
B．离太阳越近的行星运动周期越短C．行星在椭圆轨道上绕太阳运动的过程中，其速度与行星和太阳之间的距离有关，距离小时速度小，距离大时速度大
D．行星绕太阳运动时，太阳位于行星
例题、如图所示，两球间的距离为r0，两球的质量分布均匀，质量分别为m1、m2，半径分别为r1、r2，则两球间的万有引力大小为()
2、适用条件
(1)公式适用于质点间的相互作用．当两个物体间的距离远远大于物体本身的大小时，物体可视为质点．
(2)质量分布均匀的球体可视为质点，r 是两球心间的距离．
三、万有引力与重力的关系
1、考虑天体自转
地球对物体的万有引力F 表现为两个效果：一是重力mg ，二是提供物体随地球自转的向心力F 向．
(1)在赤道上：G Mm
R 2＝mg ＋mω2R .
(2)在两极上：G Mm
R
2＝mg .
(3)在一般位置：万有引力G Mm
R 2等于重力mg 与向心力F 向
的矢量和． 2、不考虑天体自转
由于物体随地球自转角速度较小，所需的向心力较小，常认为万有引力近似等于重力，即GMm
R 2＝mg .
3、星体表面上的重力加速度
(1)在地球表面附近的重力加速度g (不考虑地球自转)： mg ＝G mM R 2，得g ＝GM R
2.
(2)在地球上空距离地心r ＝R ＋h 处的重力加速度为g ′， mg ′＝GMm (R ＋h )2，得g ′＝GM
(R ＋h )2 所以g g ′
＝(R ＋h )2R 2
例题、万有引力定律能够很好地将天体运行规律与地球上物体运动规律具有的内在一致性统一起来.用弹簧测力计称量一个相对于地球静止的质量为m 的小物体的重力，随称量位置的变化可
能会有不同的结果.已知地球质量为M ，引力常量为G .将地球视为半径为R 、质量均匀分布的球体.下列说法正确的是( )
A.在北极地面称量时，弹簧测力计读数为F 0＝G Mm
R
2
B.在赤道地面称量时，弹簧测力计读数为F 1＝G Mm R
2
C.在北极上空高出地面h 处称量时，弹簧测力计读数为F 2＝G Mm (R ＋h )2
D.在赤道上空高出地面h 处称量时，弹
Mm
四、万有引力定律的应用
1．万有引力等于重力
已知天体表面的重力加速度g 和天体半径R . (1)由G Mm R 2＝mg ，得天体质量M ＝gR 2
G .
(2)天体密度ρ＝M V ＝M 43πR 3＝3g
4πGR
.
2．万有引力充当向心力
测出卫星绕中心天体做匀速圆周运动的半径r 和周期T . (1)由G Mm r 2＝m 4π2T 2r ，得M ＝4π2r 3
GT 2.
(2)若已知天体的半径R ，则天体的密度 ρ＝M V ＝M 43
πR 3＝3πr 3
GT 2R 3
.
(3)若卫星绕天体表面运行时，可认为轨道半径r 等于天体半径R ，则天体密度ρ＝
3π
GT 2
.故只要测出卫星环绕天体表面运动的周期T ，就可估算出中心天体的密度．
针对训练
题型1：开普勒定律
1．火星和木星沿各自的椭圆轨道绕太阳运行，根据开普勒行星运动定律可知（ ） A ．太阳位于木星运行轨道的中心
B ．火星和木星绕太阳运行速度的大小始终相等
C ．火星与木星公转周期之比的平方等于它们轨道半长轴之比的立方
例题、美国的“洞察”号火星探测器曾在2018年11月降落到火星表面．假设该探测器在着陆火星前贴近火星表面运行一周用时为T ，已知火星的半径为R 1，地球的半径为R 2，地球的质量为M ，地球表面的重力加速度为g ，引力常量为G ，则火星的质量为( ) A.4π2R 13M gR 22T 2 B.gR 22T 2M 4π2R 13 B.C.gR 12G D.gR 22G
D．相同时间内，火星与太阳连线扫过的面积等于木星与太阳连线扫过的面积
【解答】解：A、第一定律的内容为：所有行星分别沿不同大小的椭圆轨道绕太阳运动，太阳处于椭圆的一个焦点上。

故A错误；
B、第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等。

行星
在此椭圆轨道上运动的速度大小不断变化，故B错误；
C、若行星的公转周期为T，则常量K与行星无关，与中心体有关，故C正确；
D、第二定律：对每一个行星而言，太阳行星的连线在相同时间内扫过的面积相等，是对
同一个行星而言，故D错误；
故选：C。

2．飞船沿半径为R的圆周绕地球运动，其周期为T．如果飞船要返回地面，可在轨道上的某一点A处，将速率降低到适当数值，从而使飞船沿着以地心为焦点的椭圆轨道运动，椭圆和地球表面在B点相切，如图所示，如果地球半径为R0，求飞船由A点到B点所需的时间．
【解答】解：根据题意得椭圆轨道的半长轴r＝．
根据开普勒第三定律得，＝，
因为r＝，解得T′＝T．
则飞船由A点到B点的运动时间t＝＝T．
答：飞船由A点到B点所需的时间是T．
题型2：万有引力理解
3．下列关于万有引力的说法正确的是（）
A．万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用
B．重力和引力是两种不同性质的力
C．当两物体间有另一质量不可忽略的物体存在时，则这两个物体间万有引力将增大D．当两个物体间距为零时，万有引力将无穷大
【解答】解：A、万有引力是普遍存在于宇宙空间中所有具有质量的物体之间的相互作用，具有普遍性，故A正确；
B、重力源自于万有引力，是同种性质的力，故B错误；
C、根据万有引力定律，两个质点间的万有引力的大小与它们质量的乘积成正比，与其余
物体无关，故C错误；
D、当两个物体间距为零时，两个物体不能简化为质点，万有引力定律不再适用，故D错
误。

故选：A。

4．有一质量为M半径为R的密度均匀球体，在距离球心O为2R的地方有一质量为m的质点，现在从M中挖去一半径为的球体，如图所示，
（1）求剩下部分对m的万有引力F为多大？
（2）若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，则质点m所受到的万有引力为多大？
【解答】解：（1）没挖去前，球体对质点m的万有引力，
根据m＝，可知挖去部分的质量是球体质量的，则挖去部分对质点m的引力＝，
则剩下部分对m的万有引力F＝。

（2）若挖去的小球中填满原来球的密度的2倍的物质，该物质的质量为，
则该物质对质点m的万有引力，
所以质点所受的万有引力＝。

答：（1）剩下部分对m的万有引力F为；
（2）质点m所受到的万有引力为。

题型3：万有引力与重力的关系
5．某行星的自转周期T＝6h，用弹簧测力计在该行星的“赤道”和“两极”处测同一物体的重力，弹簧测力计在赤道上的读数比在两极上的读数小10%（行星视为球体）。

（1）求行星的平均密度；
（2）设想该行星自转角速度加快到某一值时，在“赤道”上的物体会“飘”起来，求此
时的自转周期。

【解答】解：（1）放在行星两极处的物体，其万有引力等于重力，即G＝mg
赤道上的物体万有引力提供了其向心力及重力，即在赤道上，我们把物体所受到的万有引力分解为自转所需的向心力和重力
G＝mg'+m R
则mg﹣mg'＝0.1G＝m R
所以该行星的质量M＝
行星的密度ρ＝＝
代入数据解得ρ≈3.0×103 kg/m3。

（2）对物体原来有0.1G＝m R，
当物体“飘”起来时有G＝m R，
联立解得T1＝T＝×6 h≈1.9 h。

答：
（1）行星的平均密度是3.0×103 kg/m3。

（2）此时的自转周期是1.9 h。

6．地球的半径为R，地球表面处物体所受的重力为mg，近似等于物体所受的万有引力，关
于物体在下列位置所受万有引力大小的说法中，正确的是（）
A．离地面高度R处为4mg B．离地面高度R处为
C．离地面高度2R处为D．离地面高度处为4mg
【解答】解：AB、由于近似等于物体所受的万有引力，得：＝mg
则当物体离地面高度R时的万有引力：F引＝＝，故AB错误。

C、离地面高度2R时的万有引力：F引＝＝，故C正确。

D、离地面高度R时的万有引力：F引＝＝，故D错误。

故选：C。

7．如图所示，火箭内平台上放有测试仪，火箭从地面启动后，以加速度竖直向上匀加速运动，升到某一高度时，测试仪对平台的压力为启动前压力的．已知地球半径为R，g为地面附近的重力加速度．求火箭此时离地面的高度h．
【解答】解：由牛顿第二定律可知：mg﹣mg′＝m
解得：mg′＝mg﹣mg＝mg；
根据万有引力提供向心力：＝mg′；
在地球表面的物体受到的重力等于万有引力：G ＝mg；
联立解得：h＝R
答：火箭此时离地面的高度为R．
题型4：万有引力定律应用
8．有一星球的密度跟地球密度相同，但它表面处的重力加速度是地面上重力加速度的4倍，则该星球的质量将是地球质量的（）
A．倍B．4倍C．16倍D．64倍
【解答】解：根据万有引力等于重力，列出等式：
＝mg
g＝，其中M是地球的质量，r应该是物体在某位置到球心的距离。

根据密度与质量关系得：M＝ρ•πR3，星球的密度跟地球密度相同，
＝＝＝4
＝＝64
故选：D。

9．宇航员在地球表面某一高度以一定初速度水平抛出一小球，经过时间t，小球落至地面；
若他在某星球表面以相同高度和初速度水平抛出同一小球，需经过时间5t，小球落至星球表面．（取地球表面重力加速度g＝10m/s2，空气阻力不计）
（1）求该星球表面附近的重力加速度g′；
（2）已知该星球的半径与地球半径之比为R星：R地＝1：4，求该星球的质量与地球质量之比M星：M地．
【解答】解：（1）由h＝得，g＝．
h相同，则g与t2成反比，则
解得g′＝0.4m/s2．
（2）地球表面有，
解得M＝
星球的半径与地球半径之比为R星：R地＝1：4，则星球的质量与地球质量之比M星：M地＝1：400．
答：（1）该星球表面附近的重力加速度为0.4m/s2．
（2）星球的质量与地球质量之比为1：400．
10．假设“天问一号”绕火星做匀速圆周运动，若其线速度的平方与轨道半径倒数的图象如图中实线，该直线斜率为k，已知万有引力常量为G，r0火星的半径，则（）
A．火星的密度ρ＝
B．火星的自转周期为T＝
C．火星表面的重力加速度大小g＝
D．“天问一号”绕火星的最大速度v0＝
【解答】解：根据万有引力提供向心力得：G＝m
解得：v2＝，由题意k＝GM
A、分析图象可知，“天问一号”的轨道半径最小为r0，所以火星的半径为r0
根据ρ＝＝＝，故A正确；
B、根据万有引力提供向心力知只能求环绕火星的周期，无法求火星自转的周期，故B错误；
C、根据万有引力提供向心力得：G＝mg
解得：g＝，故C错误；
D、根据万有引力提供向心力得：G＝解得：v0＝，故D错误。

故选：A。