考点解析：北师大版七年级数学下册第四章三角形专项攻克试题(含解析)

北师大版七年级数学下册第四章三角形专项攻克
考试时间：90分钟；命题人：数学教研组
考生注意：
1、本卷分第I卷（选择题）和第Ⅱ卷（非选择题）两部分，满分100分，考试时间90分钟
2、答卷前，考生务必用0.5毫米黑色签字笔将自己的姓名、班级填写在试卷规定位置上
3、答案必须写在试卷各个题目指定区域内相应的位置，如需改动，先划掉原来的答案，然后再写上新的答案；不准使用涂改液、胶带纸、修正带，不按以上要求作答的答案无效。

第I卷（选择题 30分）
一、单选题（10小题，每小题3分，共计30分）
1、如图，点F，C在BE上，AC＝DF，BF＝EC，AB＝DE，AC与DF相交于点G，则与2∠DFE相等的是（）
A．∠A+∠D B．3∠B C．180°﹣∠FGC D．∠ACE+∠B
2、以下列各组长度的线段为边，能构成三角形的是（）
A．1cm，1cm，8cm B．3cm，3cm，6cm
C．3cm，4cm，5cm D．3cm，2cm，1cm
3、如图，若MB＝ND，∠MBA＝∠NDC，下列条件中不能判定ABM CDN
≌的是（）
A．AM＝CN B．AM CN
∥C．AB＝CD D．∠M＝∠N
4、有两根长度分别为7cm，11cm的木棒，下面为第三根的长度，则可围成一个三角形框架的是
（）
A．3cm B．4cm C．9cm D．19cm
5、如图，在正方形ABCD中，E，F分别为AD，CD上的点，且AE＝CF，则下列说法正确的是（）
A．∠1﹣∠2＝90° B．∠1＝∠2＋45° C．∠1＋∠2＝180°D．∠1＝2∠2
6、如图，为了估计一池塘岸边两点A，B之间的距离，小颖同学在池塘一侧选取了一点P，测得
==，那么点A与点B之间的距离不可能是（）
PA PB
100m,90m
A．20m B．120m C．180m D．200m
7、如图，点C 在∠AOB 的OB 边上，用尺规作出了∠NCE =∠AOD ，作图痕迹中，弧FG 是( )
A ．以点C 为圆心，OD 为半径的弧
B ．以点
C 为圆心，DM 为半径的弧
C ．以点E 为圆心，O
D 为半径的弧
D ．以点
E 为圆心，DM 为半径的弧
8、如图，图形中的x 的值是（ ）
A ．50
B ．60
C ．70
D ．80
9、将一副三角板按如图所示的方式放置，使两个直角重合，则∠AFD 的度数是（ ）
A ．10°
B ．15°
C ．20°
D ．25°
10、如图，在ABC ∆中，已知点D ，E ，F 分别为BC ，AD ，CE 的中点，且4ABC S ∆=，则∆BEF 的面积是（ ）
A．1-B．1 C．5 D．5-
第Ⅱ卷（非选择题 70分）
二、填空题（5小题，每小题4分，共计20分）
1、如图，在△ABC中，点D为BC边延长线上一点，若∠ACD＝75°，∠A＝45°，则∠B的度数为
__________．
2、如图，在△ABC中，∠ACB＝90°，AC＝8，BC＝10，点P从点A出发沿线段AC以每秒1个单位长度的速度向终点C运动，点Q从点B出发沿折线BC﹣CA以每秒3个单位长度的速度向终点A运动，P、Q 两点同时出发．分别过P、Q两点作PE⊥l于E，QF⊥l于F，当△PEC与△QFC全等时，CQ的长为
______．
3、如图，已知AB＝12m，CA⊥AB于点A，DB⊥AB于点B，且AC＝4m，点P从点B向点A运动，每分钟走1m，点Q从点B向点D运动，每分钟走2m．若P，Q两点同时出发，运动 _____分钟后，△CAP与△PQB全等．
4、如图，已知AB AD =，请添加一个条件，使得ABC ADC ≅△△，则添加的条件可以为___（只填写一个即可）．
5、如图，∠AOB ＝90°，OA ＝OB ，直线l 经过点O ，分别过A 、B 两点作AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，若AC ＝5，BD ＝3，则CD ＝_______．
三、解答题（5小题，每小题10分，共计50分）
1、如图，点B ，F ，C ，E 在一条直线上，AB =DE ，∠B =∠E ，BF =CE ．求证：AC =DF ．
2、如图，在△ABC 中，D 为BC 的中点，过D 点的直线GF 交AC 于点F ，交AC 的平行线BG 于点G ，DE ⊥GF ，并交AB 于点E ，连接EG ，EF ．
（1）求证：BG＝CF．
（2）请你猜想BE+CF与EF的大小关系，并说明理由．
3、如图1，在长方形ABCD中，AB＝CD＝6cm，BC＝10cm，点P从点B出发，以2cm/s的速度沿BC向点C运动，设点P的运动时间为t s，且t≤5
（1）PC＝ cm（用含t的代数式表示）
（2）如图2，当点P从点B开始运动时，点Q从点C出发，以v cm/s的速度沿CD向点D运动，是否存在这样的v值，使得以A﹑B﹑P为顶点的三角形与以P﹑Q﹑C为顶点的三角形全等？若存在，请求出v 的值；若不存在，请说明理由．
4、已知AM∥CN，点B在直线AM、CN之间，AB⊥BC于点B．
（1）如图1，请直接写出∠A和∠C之间的数量关系：．
（2）如图2，∠A和∠C满足怎样的数量关系？请说明理由．
（3）如图3，AE平分∠MAB，CH平分∠NCB，AE与CH交于点G，则∠AGH的度数为．
5、如图△ABC中，已知∠A＝60°，角平分线BD、CE交于点O．
（1）求∠BOC的度数；
（2）判断线段BE、CD、BC长度之间有怎样的数量关系，请说明理由．
-参考答案-
一、单选题
1、C
【详解】
由题意根据等式的性质得出BC＝EF，进而利用SSS证明△ABC与△DEF全等，利用全等三角形的性质得出∠ACB＝∠DFE，最后利用三角形内角和进行分析解答．
【分析】
解：∵BF＝EC，
∴BF+FC＝EC+FC，
∴BC ＝EF ，
在△ABC 与△DEF 中，
AC DF AB DE BC EF =⎧⎪=⎨⎪=⎩
， ∴△ABC ≌△DEF （SSS ），
∴∠ACB ＝∠DFE ，
∴2∠DFE ＝180°﹣∠FGC ，
故选：C ．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定与性质，其中全等三角形的判定方法有：SSS ；SAS ；ASA ；AAS ；以及HL （直角三角形的判定方法）．
2、C
【分析】
根据三角形的三边关系“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”，进行分析．
【详解】
解：A 、1+1＝2＜8，不能组成三角形，故此选项不合题意；
B 、3+3＝6，不能组成三角形，故此选项不符合题意；
C 、3+4＝7＞5，能组成三角形，故此选项符合题意；
D 、1+2＝3，不能组成三角形，故此选项不合题意；
故选：C ．
【点睛】
本题考查了构成三角形的条件，掌握“任意两边之和大于第三边，任意两边之差小于第三边”是解题的关键．
3、A
【分析】
根据两个三角形全等的判定定理，有AAS、SSS、ASA、SAS四种．逐条验证．
【详解】
解：A、根据条件AM=CN，MB=ND，∠MBA=∠NDC，不能判定△ABM≌△CDN，故A选项符合题意；
B、AM∥CN，得出∠MAB=∠NCD，符合AAS，能判定△ABM≌△CDN，故B选项不符合题意；
C、AB=CD，符合SAS，能判定△ABM≌△CDN，故C选项不符合题意；
D、∠M=∠N，符合ASA，能判定△ABM≌△CDN，故D选项不符合题意．
故选：A．
【点睛】
本题重点考查了三角形全等的判定定理，两个三角形全等共有四个定理，即AAS、ASA、SAS、SSS，直角三角形可用HL定理，本题是一道较为简单的题目．
4、C
【分析】
已知两边，则第三边的长度应是大于两边的差且小于两边的和，这样就可求出第三边长的范围．
【详解】
解：依题意得：11﹣7＜x＜7+11，
即4＜x＜18，9cm适合．
故选：C．
【点睛】
本题考查三角形三边关系，是重要考点，掌握相关知识是解题关键．
5、C
【分析】
由“SAS ”可证△ABE ≌△CBF ，可得∠AEB ＝∠2，即可求解．
【详解】
解：∵四边形ABCD 是正方形，
∴AB ＝BC ，∠A ＝∠C ＝90°，
在△ABE 和△CBF 中，
AB BC A C AE CF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ABE ≌△CBF （SAS ），
∴∠AEB ＝∠2，
∵∠AEB ＋∠1＝180°，
∴∠1＋∠2＝180°，
故选：C ．
【点睛】
本题考查了正方形的性质，全等三角形的判定和性质，证明三角形全等是解题的关键．
6、D
【分析】
首先根据三角形的三边关系：两边之和大于第三边，两边之差小于第三边，求出AB 的取值范围，然后再判断各选项是否正确．
【详解】
解：∵PA ＝100m ，PB ＝90m ，
∴根据三角形的三边关系得到：PA PB AB PA PB -<<+，
∴10m 190m AB <<，
∴点A 与点B 之间的距离不可能是20m ，
故选A ．
【点睛】
本题主要考查了三角形的三边关系，掌握三角形两边只差小于第三边、两边之和大于第三边是解题的关键．
7、D
【分析】
根据作一个角等于已知角的步骤即可得．
【详解】
解：作图痕迹中，弧FG 是以点E 为圆心，DM 为半径的弧，
故选：D ．
【点睛】
本题主要考查作图-尺规作图，解题的关键是熟练掌握作一个角等于已知角的尺规作图步骤．
8、B
【分析】
根据三角形外角的性质：三角形一个外角的度数等于与其不相邻的两个内角的度数和进行求解即可．
【详解】
解：由题意得：()1070x x x ++=+
∴1070x x x ++=+，
∴60x =，
故选B ．
【点睛】
本题主要考查了三角形外角的性质，解一元一次方程，熟知三角形外角的性质是解题的关键．
9、B
【分析】
根据三角板各角度数和三角形的外角性质可求得∠BFE ，再根据对顶角相等求解即可．
【详解】
解：由题意，∠ABC =60°，∠E =45°，
∵∠ABC =∠E +∠BFE ，
∴∠BFE =∠ABC －∠E =60°－45°=15°，
∴∠AFD =∠BFE =15°，
故选：B ．
【点睛】
本题考查三角板各角的度数、三角形的外角性质、对顶角相等，熟知三角板各角的度数，掌握三角形的外角性质是解答的关键．
10、B
【分析】
根据三角形面积公式由点D 为BC 的中点得到122ABD ADC ABC S S S ∆∆∆===，同理得到112EBD EDC ABD S S S ∆∆∆===，则2BEC S ∆=，然后再由点F 为EC 的中点得到1
12
BEF BEC S S ∆∆==． 【详解】 解：点D 为BC 的中点，
122
ABD ADC ABC S S S ∆∆∆∴===， 点E 为AD 的中点，
112
EBD EDC ABD S S S ∆∆∆∴===， 2EBC EBD EDC S S S ∆∆∆∴=+=，
点F 为EC 的中点，
112
BEF BEC S S ∆∆∴==． 故选：B ．
【点睛】
本题考查了三角形的中线与面积的关系，解题的关键是掌握是三角形的中线把三角形的面积平均分成两半．
二、填空题
1、30°
【分析】
根据三角形的外角的性质，即可求解．
【详解】
解：∵ACD A B ∠=∠+∠ ，
∴B ACD A ∠=∠-∠ ，
∵∠ACD ＝75°，∠A ＝45°，
∴30B ∠=︒ ．
故答案为：30°
【点睛】
本题主要考查了三角形的外角性质，熟练掌握三角形的一个外角等于与它不相邻的两个内角的和是解题的关键．
2、7或3.5
【分析】
分两种情况：（1）当P在AC上，Q在BC上时；（2）当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时；【详解】
解：当P在AC上，Q在BC上时，
∵∠ACB=90°，
∴∠PCE+∠QCF=90°，
∵PE⊥l于E，QF⊥l于F．
∴∠PEC=∠CFQ=90°，
∴∠EPC+∠PCE=90°，
∴∠EPC=∠QCF，
∵△PEC与△QFC全等，
∴此时是△PCE≌△CQF，
∴PC=CQ，
∴8-t=10-3t，
解得t=1，
∴CQ=10-3t=7；
当P在AC上，Q在AC上时，即P、Q重合时，则CQ=PC，
由题意得，8-t=3t-10，
∴CQ =3t -10=3.5，
综上，当△PEC 与△QFC 全等时，满足条件的CQ 的长为7或3.5，
故答案为：7或3.5．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的性质，根据题意得出关于t 的方程是解题的关键．
3、4
【分析】
根据题意CA ⊥AB ，DB ⊥AB ，则90A B ∠=∠=︒，则分CAP PBQ ≌△△或CAP QBP ≌两种情况讨论，根据路程等于速度乘以时间求得,PB BQ 的长，根据全等列出一元一次方程解方程求解即可
【详解】 解：CA ⊥AB ，DB ⊥AB
∴90A B ∠=∠=︒，
点P 从点B 向点A 运动，每分钟走1m ，点Q 从点B 向点D 运动，每分钟走2m ，设运动时间为t ，且AC ＝4m ，
∴,12,2PB t PA AB PB t BQ t ==-=-=，
当CAP PBQ ≌△△时
则PA BQ =，4PB AC ==
即122t t -=，4t =
解得4t =
当CAP QBP ≌时，
则PA PB =，4AC QB ==
即12t t -=，42t =
不符合题意，故舍去
综上所述4
t=
即4分钟后，△CAP与△PQB全等．
故答案为：4
【点睛】
本题考查了三角形全等的性质，根据全等的性质列出方程是解题的关键．
4、BAC DAC
∠=∠或CB CD
=
【分析】
根据全等三角形的判定方法即可解决问题．
【详解】
解：由题意AB AD
=，
=，AC AC
∴根据SAS，可以添加BAC DAC
∠=∠，使得ABC ADC
∆≅∆，
根据SSS，可以添加CB CD
=，使得ABC ADC
∆≅∆．
故答案为：BAC DAC
=
∠=∠或CB CD
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定，熟练掌握全等三角形的判定方法——边角边、角边角、角角边、边边边是解题的关键．
5、2
【分析】
首先根据同角的余角相等得到∠A＝∠BOD，然后利用AAS证明△ACO≌△ODB，根据全等三角形对应边相等得出AC＝OD＝5，OC＝BD＝3，根据线段之间的数量关系即可求出CD的长度．
【详解】
解：∵AC ⊥l 于点C ，BD ⊥l 于点D ，
∴∠ACO ＝∠ODB ＝90°，
∵∠AOB ＝90°，
∴∠A ＝90°﹣∠AOC ＝∠BOD ，
在△ACO 和△ODB 中，
ACO ODB A BOD OA OB ∠=∠⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△ACO ≌△ODB （AAS ），
∴AC ＝OD ＝5，OC ＝BD ＝3，
∴CD ＝OD ﹣OC ＝5﹣3＝2，
故答案为：2．
【点睛】
此题考查了全等三角形的性质和判定，同角的余角相等，解题的关键是根据题意证明△ACO ≌△ODB ．
三、解答题
1、见解析
【分析】
先由BF =CE 说明BC= EF ．然后运用SAS 证明△ABC ≌△DEF ，最后运用全等三角形的性质即可证明．
【详解】
证明：∵BF= CE ，
∴BC= EF ．
在△ABC 和△DEF 中，
,,,AB DE B E BC EF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
∴△ABC ≌△DEF （SAS ）．
∴AC =DF ．
【点睛】
本题主要考查了全等三角形的判定与性质，正确证明△ABC ≌△DEF 是解答本题的关键．
2、（1）见解析；（2）BE +CF ＞EF ．见解析
【分析】
（1）利用平行关系以及BC 的中点，求证△CFD ≌△BGD ，进而证明BG ＝CF ．
（2）在△BGE 中，利用三边关系得到BG +BE ＞EG ，利用△CFD ≌△BGD ，将不等式中的BG 、EG 用CF 、EF 替换，即可证明．
【详解】
（1）证明：∵BG ∥AC ，
∴∠C ＝∠GBD ，
∵D 是BC 的中点，
∴BD ＝DC ，
在△CFD 和△BGD 中
C GB
D CD BD
CDF BDG ∠=∠⎧⎪=⎨⎪∠=∠⎩
， ∴△CFD ≌△BGD ()ASA ，
∴BG ＝CF ．
（2）解：BE +CF ＞EF ，
理由如下：
∵△CFD ≌△BGD ，
∴CF ＝BG ，
在△BGE 中，BG +BE ＞EG ，
∵△CFD ≌△BGD ，
∴GD ＝DF ，ED ⊥GF ，
∴EF ＝EG ，
∴BE +CF ＞EF ．
【点睛】
本题主要是考查了全等三角形的判定和性质以及三角形的三边关系，通过题目所给条件，正确找到证明三角形全等的条件，进而应用全等三角形性质以及三边关系解题，是解决本题的关键．
3、（1）(10﹣2t )；（2）当v =1或v =2.4时，△ABP 和△PCQ 全等．
【分析】
（1）根据题意求出BP ，然后根据PC =BC -BP 计算即可；
（2）分△ABP ≌△QCP 和△ABP ≌△PCQ 两种情况，根据全等三角形的性质解答即可．
【详解】
解：（1）∵点P 的速度是2cm /s ，
∴t s 后BP =2t cm ，
∴PC=BC −BP =(10−2t )cm ，
故答案为：(10﹣2t )；
（2）由题意得：cm CQ vt ，∠B=∠C =90°，
∴只存在△ABP ≌△QCP 和△ABP ≌△PCQ 两种情况，
当△ABP≌△PCQ时，
∴AB=PC，BP=CQ，
∴10−2t=6，2t=vt，
解得，t=2，v=2，
当△ABP≌△QCP时，
∴AB=QC，BP=CP，
∴2t=10-2t， vt=6，
解得，t=2.5，v=2.4，
∴综上所述，当v=1或v=2.4时，△ABP和△PCQ全等．
【点睛】
本题考查了全等三角形的性质，解题的关键在于能够利用分类讨论的思想求解．
4、（1）∠A+∠C＝90°；（2）∠C﹣∠A＝90°，见解析；（3）45°
【分析】
（1）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（2）过点B作BE∥AM，利用平行线的性质即可求得结论；
（3）利用（2）的结论和三角形的外角等于和它不相邻的两个内角的和即可求得结论．【详解】
（1）过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN，
∴∠C＝∠CBE，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠A+∠C＝∠ABE+∠CBE＝∠ABC＝90°．
故答案为：∠A+∠C＝90°；
（2）∠A和∠C满足：∠C﹣∠A＝90°．理由：过点B作BE∥AM，如图，
∵BE∥AM，
∴∠A＝∠ABE，
∵BE∥AM，AM∥CN，
∴BE∥CN，
∴∠C+∠CBE＝180°，
∴∠CBE＝180°﹣∠C，
∵AB⊥BC，
∴∠ABC＝90°，
∴∠ABE+∠CBE＝90°，
∴∠A+180°﹣∠C＝90°，
∴∠C﹣∠A＝90°；
（3）设CH与AB交于点F，如图，
∵AE平分∠MAB，
∴∠GAF＝1
2
∠MAB，
∵CH平分∠NCB，
∴∠BCF＝1
2
∠BCN，
∵∠B＝90°，
∴∠BFC＝90°﹣∠BCF，∵∠AFG＝∠BFC，
∴∠AFG＝90°﹣∠BCF．∵∠AGH＝∠GAF+∠AFG，
∴∠AGH＝1
2∠MAB+90°﹣1
2
∠BCN＝90°﹣1
2
（∠BCN﹣∠MAB）．
由（2）知：∠BCN﹣∠MAB＝90°，
∴∠AGH＝90°﹣45°＝45°．
故答案为：45°．
【点睛】
本题考查平行线的性质以及三角形外角的性质，由题作出辅助线是解题的关键．
5、（1）120°；（2）BC ＝BE ＋CD ，理由见解析
【分析】
（1）利用角平分线的定义以及三角形内角和定理计算即可；
（2）只要证明∠BOF ＝∠BOE ＝60°，可得∠COD ＝∠COF ＝60°即可证明．
【详解】
解：（1）在△ABC 中，∠A ＝60°，BD 和CE 分别平分∠ABC 和∠ACB ，
∴∠OBC ＋∠OCB ＝12（∠ABC ＋∠ACB ）＝1
2（180°﹣60°）＝60°，
∴∠BOC ＝180°﹣60°＝120°．
（2）BC ＝BE ＋CD ．理由如下：
在BC 上截取BF ＝BE ，连接OF ，
∵BD 平分∠ABC ，
∴∠EBO ＝∠FBO ，
在△OBE 和△OBF 中，
OB OB OBE OBF BE BF =⎧⎪∠=∠⎨⎪=⎩
， ∴△OBE ≌△OBF （SAS ），
∴∠BOE ＝∠BOF ，
∵∠BOC ＝120°，
∴∠BOE＝60°，
∴∠BOF＝∠COF＝∠COD＝60°，
∵OC＝OC，∠OCD＝∠OCF，
∴△COD≌△COF（ASA）．
∴CF＝CD，
∴BC＝BF＋CF＝BE＋CD．
【点睛】
本题考查全等三角形的判定和性质、角平分线的定义等知识，解题的关键是正确寻找全等三角形全等的条件，属于中考常考题型．。