函数与导数经典例题高考压轴题含答案

函数与导数
1. 已知函数32()4361,f x x tx tx t x R =+-+-∈，其中t R ∈．
（Ⅰ）当1t =时，求曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程；
（Ⅱ）当0t ≠时，求()f x 的单调区间；
（Ⅲ）证明：对任意的(0,),()t f x ∈+∞在区间(0,1)内均存在零点．
【解析】（19）本小题主要考查导数的几何意义、利用导数研究函数的单调性、曲线的切线
方程、函数的零点、解不等式等基础知识，考查运算能力及分类讨论的思想方法，满分14分。

（Ⅰ）解：当1t =时，322()436,(0)0,()1266f x x x x f f x x x '=+-==+-
(0) 6.f '=-所以曲线()y f x =在点(0,(0))f 处的切线方程为6.y x =-
（Ⅱ）解：22()1266f x x tx t '=+-，令()0f x '=，解得.2
t x t x =-=或
因为0t ≠，以下分两种情况讨论：
（1）若0,,2
t
t t x <<-则当变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝
⎭的单调递减区间是,2t t ⎛⎫
- ⎪⎝⎭。

（2）若0,2
t
t t >-<
则，当x 变化时，(),()f x f x '的变化情况如下表：
所以，()f x 的单调递增区间是(),,,;()2t t f x ⎛⎫-∞-+∞ ⎪⎝⎭
的单调递减区间是,.2t t ⎛
⎫- ⎪⎝⎭
（Ⅲ）证明：由（Ⅱ）可知，当0t >时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内的单调递减，在,2t ⎛⎫
+∞ ⎪⎝⎭
内单
调递增，以下分两种情况讨论：
（1）当
1,22
t
t ≥≥即时，()f x 在（0，1）内单调递减， 所以对任意[2,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

（2）当01,022t t <
<<<即时，()f x 在0,2t ⎛⎫ ⎪⎝⎭内单调递减，在,12t ⎛⎫
⎪⎝⎭
内单调递增，若33177(0,1],10.244t f t t t ⎛⎫
∈=-+-≤-< ⎪⎝⎭
所以(),12t f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
在内存在零点。

若()3377(1,2),110.244t t f t t t ⎛⎫
∈=-+-<-+< ⎪⎝⎭
所以()0,2t f x ⎛⎫
⎪⎝⎭
在内存在零点。

所以，对任意(0,2),()t f x ∈在区间（0，1）内均存在零点。

综上，对任意(0,),()t f x ∈+∞在区间（0，1）内均存在零点。

2. 已知函数21()3
2
f x x =+，()h x =．
（Ⅰ）设函数F (x )＝18f (x )－x 2[h (x )]2，求F (x )的单调区间与极值；
（Ⅱ）设a ∈R ，解关于x 的方程33lg[(1)]2lg ()2lg (4)24
f x h a x h x --=---；
（Ⅲ）设*n ∈N ，证明：1()()[(1)(2)()]6
f n h n h h h n -+++≥L ．
本小题主要考查函数导数的应用、不等式的证明、解方程等基础知识，考查数形结合、函数与方程、分类与整合等数学思想方法及推理运算、分析问题、解决问题的能力．
解：（Ⅰ）223()18()[()]129(0)F x f x x h x x x x =-=-++≥，
2()312F x x '∴=-+．
令()0F x '∴=，得2x =（2x =-舍去）．
当(0,2)x ∈时．()0F x '>；当(2,)x ∈+∞时，()0F x '<，
故当[0,2)x ∈时，()F x 为增函数；当[2,)x ∈+∞时，()F x 为减函数．
2x =为()F x 的极大值点，且(2)824925F =-++=．
（Ⅱ）方法一：原方程可化为4223
3log [(1)]log ()log (4)24
f x h a x h x --=---，
即为4222
log (1)log log 4log 4a x x a x x x
--=---=-，且,
14,x a x <⎧⎨
<<⎩
①当14a <≤时，1x a <<，则14a x
x x
--=
-，即2640x x a -++=， 364(4)2040a a ∆=-+=->，此时620435a
x a ±-=
=±-，∵1x a <<，
此时方程仅有一解35x a =--．
②当4a >时，14x <<，由14a x
x x
--=
-，得2640x x a -++=，364(4)204a a ∆=-+=-， 若45a <<，则0∆>，方程有两解35x a =±-；
若5a =时，则0∆=，方程有一解3x =；
若1a ≤或5a >，原方程无解．
方法二：原方程可化为422log (1)log (4)log ()x h x h a x -+-=-，
即222
1log (1)log 4log 2
x x a x -+-=-，10,
40,
0,(1)(4).
x x a x x x a x ->⎧⎪->⎪⇔⎨
->⎪⎪--=-⎩2
14,(3) 5.x x a a x ⎧<<⎪
⇔<⎨⎪=--+⎩ ①当14a <≤时，原方程有一解35x a =--；
②当45a <<时，原方程有二解35x a =±-； ③当5a =时，原方程有一解3x =；
④当1a ≤或5a >时，原方程无解．
（Ⅲ）由已知得(1)(2)()]h h h n +++=+L L
11
()()66
f n h n -
=． 设数列{}n a 的前n 项和为n S ，且1
()()6
n S f n h n =-（*n ∈N ）
从而有
111a S ==，当2100k ≤≤时，1k k k a S S -=-=
又1
[(4(4
6
k a k k =+-2216=
10
6=
>．
即对任意2k ≥时，有k a >，又因为11a ==，所以12n a a a +++≥+L L
则(1)(2)()n S h h h n ≥+++L ，故原不等式成立．
3. 设函数ax x x a x f +-=22ln )(，0>a
（Ⅰ）求)(x f 的单调区间；
（Ⅱ）求所有实数a ，使2)(1e x f e ≤≤-对],1[e x ∈恒成立．
注：e 为自然对数的底数．
【解析】（21）本题主要考查函数的单调性、导数运算法则、导数应用等基础知识，同时考
查抽象概括、推理论证能力。

满分15分。

（Ⅰ）解：因为22()ln .0f x a x x ax x =-+>其中
所以2()(2)()2a x a x a f x x a x x
-+'=-+=- 由于0a >，所以()f x 的增区间为(0,)a ，减区间为(,)a +∞
（Ⅱ）证明：由题意得，(1)11,f a c a c =-≥-≥即
由（Ⅰ）知()[1,]f x e 在内单调递增，
要使21()[1,]e f x e x e -≤≤∈对恒成立，
只要222
(1)11,
()f a e f e a e ae e =-≥-⎧⎨=-+≤⎩
解得.a e =
4. 设2
1)(ax e x f x
+=，其中a 为正实数.
（Ⅰ）当3
4
=
a 时，求()f x 的极值点； （Ⅱ）若()f x 为R 上的单调函数，求a 的取值范围.
【解析】（18）（本小题满分13分）本题考查导数的运算，极值点的判断，导数符号与函数单调变化之间的关系，求解二次不等式，考查运算能力，综合运用知识分析和解决问题的能力.
解：对)(x f 求导得.)
1(1)(2
22ax ax
ax e x f x
+-+=' ①
（I ）当34
=
a ，若.2
1,23,0384,0)(212===+-='x x x x x f 解得则 综合①,可知
所以,231=
x 是极小值点,2
1
2=x 是极大值点. （II ）若)(x f 为R 上的单调函数，则)(x f '在R 上不变号，结合①与条件a>0，知
0122≥+-ax ax
在R 上恒成立，因此,0)1(4442≤-=-=∆a a a a 由此并结合0>a ，知.10≤<a
5. 已知a ，b 为常数，且a ≠0，函数f （x ）=-ax+b+axlnx ，f （e ）=2（e=2．71828…是自
然对数的底数）。

（I ）求实数b 的值；
（II ）求函数f （x ）的单调区间；
（III ）当a=1时，是否同时存在实数m 和M （m<M ），使得对每一个t ∈[m ，M]，直线y=t
与曲线y=f （x ）（x ∈[1e
，e]）都有公共点？若存在，求出最小的实数m 和最大的
实数M ；若不存在，说明理由。

【解析】22．本小题主要考查函数、导数等基础知识，考查推理论证能力、抽象概括能力、
运算求解能力，考查函数与方程思想、数形结合思想、化归与转化思想、分类与整合思想，满分14分。

解：（I ）由()22,f e b ==得
（II ）由（I ）可得()2ln .f x ax ax x =-++
从而'()ln .f x a x =
0a ≠因为，故：
（1）当0,a >时由f'(x)>0得x>1,由f'(x)<0得0<x<1;
（2）当0,'()001,'()0 1.a f x x f x x <><<<>时由得由得
综上，当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为(1,)+∞，
单调递减区间为（0，1）；
当0a >时，函数()f x 的单调递增区间为（0，1），
单调递减区间为(1,)+∞。

（III ）当a=1时，()2ln ,'()ln .f x x x x f x x =-++=
由（II ）可得，当x 在区间1
(,)e e
内变化时，'(),()f x f x 的变化情况如下表：
又21
22,'()([,])f x x e e e
-
<=∈所以函数的值域为[1，2]。

据经可得，若1,2m M =⎧⎨=⎩，则对每一个[,]t m M ∈，直线y=t 与曲线1()([,])y f x x e e =∈都有
公共点。

并且对每一个(,)(,)t m M ∈-∞+∞U ，直线y t =与曲线1
()([,])y f x x e e
=∈都没有公共点。

综上，当a=1时，存在最小的实数m=1，最大的实数M=2，使得对每一个[,]t m M ∈，直线y=t
与曲线1
()([,])y f x x e e
=∈都有公共点。

6. 设函数32()2f x x a x b x a =+++，2
()32
gx x x =-+，其中x R ∈，a 、b 为常数，已知曲线()y f x =与()y g x =在点（2,0）处有相同的切线l 。

（I ） 求a 、b 的值，并写出切线l 的方程；
（II ）若方程()()f x g x m x +=有三个互不相同的实根0、x 、x ，其中12x x <，且对任意的[]12,x x x ∈，()()(1)fx
g x m x +<-恒成立，求实数m 的取值范围。

【解析】20．本题主要考查函数、导数、不等式等基础知识，同时考查综合运用数学知识
进行推理论证的能力，以及函数与方程和特殊与一般的思想，（满分13分）
解：（Ⅰ）2()34,()2 3.f x x ax b g x x ''=++=-
由于曲线()()y f x y g x ==与在点（2，0）处有相同的切线，
故有(2)(2)0,(2)(2) 1.f g f g ''====
由此得8820,2,1281, 5.a b a a a b b +++==-⎧⎧⎨⎨
++==⎩⎩解得
所以2,5a b =-=，切线l 的方程为20x y --=
（Ⅱ）由（Ⅰ）得32()452f x x x x =-+-，所以32()()32.f x g x x x x +=-+
依题意，方程2(32)0x x x m -+-=有三个互不相同的实数120,,x x ，
故12,x x 是方程2320x x m -+-=的两相异的实根。

所以1
94(2)0,.4
m m ∆=-->>-即
又对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-成立，
特别地，取1x x =时，111()()f x g x mx m +-<-成立，得0.m <
由韦达定理，可得12121230,20,0.x x x x m x x +=>=-><<故
对任意的1221[,],0,0,0x x x x x x ∈≤-≥>有x-x
则12111()()()()0,()()0f x g x mx x x x x x f x g x mx +-=--≤+-=又
所以函数12()()[,]f x g x mx x x x +-∈在的最大值为0。

于是当0m <时，对任意的12[,],()()(1)x x x f x g x m x ∈+<-恒成立，
综上，m 的取值范围是1(,0).4-。