现代控制理论第一章-控制系统数学模型

注：如果输入项的导数阶次和输出项导数阶次相同，则有d。
Y R ( (s s ) ) a b n n s s n n a b 1 1 s s b a 0 0 d b n a n 1 s s n n 1 a 1 b s 1 s a b 0 0
.
例1-4 已知描述系统的微分方程为 y 1 y 8 1y 9 6 2 y 4 1 0 u 6 60 u 40
xn
.
（二）辅助变量法 设 n 阶微分方程为： y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b n 1 u ( n 1 ) b 1 u b 0 u Laplace变换，求传递函数
U Y((ss))bn s1s nn 1a n b 1n s n 2 s1n 2 a 1sb 1sa 0b0
系统的状态方程和输出方程一起，称为系统状态空间表达式，或称 为系统动态方程，或称系统方程。
.
设： x1 i(t) x2 uC(t)
C0 1
x
x1
x
2
A
-
R
L 1
-
1 L
0
C
x Ax Bu
则可以写成状态空间表达式：
y Cx
1
B
L 0
推广到一般形式：
x Ax Bu y Cx Du
试求系统的状态空间表达式。
解 （1）待定系数法
选择状态变量如下
x1 y 0u x 2 x1 1u x 3 x 2 2 u
其中
0 b3 0
1b2a20 0
2 b1a10a0116019206400160
3 b0a00a11a22 640181602240
.
于是系统的状态空间表达式为
.
1.2.1 微分方程中不含有输入信号导数项
首先考察三阶系统，其微分方程为
y a 2 y a 1y a 0y b 0 u
选取状态变量 x1 y
x2 y
x3 y
则有 x1 x2 x2 x3 x 3 a 0 x 1 a 1 x 2 a 2 x 3 b 0 u
写成矩阵形式
x1 0 1 0 x1 0 x2 0 0 1 x20u x3 a0 a1 a2x3 b0
选择状态变量： x1y0u x2 y0u1ux11u x3 y0u1u2ux2 2u
其中，待定系数为： 0 b3 1 b2 a20 2 b1 a10 a21 3 b0 a00 a11 a22
.
于是
x1 x2 1u x2 x3 2u x3 a0x1 a1x2 a2x3 3u
写成矩阵形式
x1
y 1
0
0
x
2
x3 .
状态图如下：
一般情况下，n 阶微分方程为： y (n ) a n 1 y (n 1 ) a 1 y a 0 y b 0 u
选择状态变量如下：
x1 y x1 x 2 y x 2 x 3 y
┆ x n 1xny(n 1) x ny(n)a0x1a1x2 an 1xnb0u
引入辅助变量 z
.
返回到微分方程形式： z (n ) a n 1 z (n 1 ) a 1 z a 0 z u
以及 b n 1 z(n 1 ) b 1 z b 0zy
选择状态变量如下：
x1 z x1 x 2 z x 2 x 3 z
┆ x n1xnz(n1) x nz(n)a0x1a1x2 an1xnu
bb404014离散系统的数学描述141状态空间表达式首先考察三阶差分方程bb4141可以表示为bb4242推广到n阶线性定常差分方程所描述的系统输出方程bb4343先考察3阶线性定常差分方程选择状态变量bb4444cxbb4545多输入多输出线性时变离散系统状态空间表达式的诸元素与时刻无关时即得线性定常离散系统状态空间表达式hugxducx142脉冲传递函数矩阵对线性定常离散系统状态空间表达式进行z变换hugx如果存在则bb4646其中为系统状态对输入量的脉冲传递函数矩阵如果初始松弛则ducx例19已知线性定常离散系统方程为bb4747对于siso线性定常离散系统cx系统脉冲传递函数为bb484815线性变换我们知道系统确定后状态变量的个数是确定的但状态变量的选取是非唯一的
例1-5 系统状态空间表达式为
x06 15x10u
y1 1x
求系统传递函数。
解：
g(s)C sIA 1b11 6 s
1 10 s5 1
.
写成矩阵形式：
xxx1n2000a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
a10n1xxx1n2b000u
系统的状态图如下：
x1
y 1
0
0
xn
.
1.2.2 微分方程中含有输入信号导数项 （一）待定系数法 首先考察三阶系统，其微分方程为
y a 2 y a 1 y a 0 y b 3 u b 2 u b 1 u b 0 u
6、组合系统的数学描述 7、利用MATLAB进行模型之间的变换
.
1.1 状态空间表达式
1.1.1 状态、状态变量和状态空间 状态——动态系统的状态是一个可以确定该系统行为的信息集合。
状态变量——确定系统状态的最小一组变量，如果知道这些变量
在任意初始时刻 t 0 的值以及 t ≥ t 0 的系统输入，便能够完整地 确定系统在任意时刻 t 的状态。（状态变量的选择可以不同）
x1 0
1 0x1 0
x2 0
0
1x2 160u
x3 64019218 x3 224 0
x1
y 1
0
0
x
2
x3
（2）辅助变量法 引入辅助变量z
z 1 z 8 1z 9 6 2 z 4 u 0 y16z064z0
选择状态变量 x1 z x2 zx1 x3 zx2
.
线性化：当 和 较小时 ，有 sin cos1 2 0
化简后，得
(Mm )ymlu
mymlmg
求解得： ymg 1 u
MM
(Mm)g1u
Ml Ml
.
选择状态变量 x1 y，x2 x1y，x3 ，x4 x3
u为系统输入， y为系统输出
x1 0 1 0 0x1 1
x2 xx43
0 0 0
x Ax Bu
y Cx du
在初始松弛时，求Laplace变换，并且化简
状态变量对输入量的G 传x(u 递s)函 数sIA 1bd ad s s e I I tjA A b
输出量对输入量的传递函数（即：传递函数）
g y(u s ) C s I A 1 b d C d as s d I I e A A t jb d .
duC(t) 1i(t) dt C
该方程描述了电路的状态变量 和输入量之间的关系，称为该 电路的状态方程，这是一个矩 阵微分方程。
uC(t)0 1uiC(t()t)
如果将电容上的电压作为电路的输出量，则 该方程是联系输出量和状态变量关系的方程， 称为该电路的输出方程或观测方程。这是一 个矩阵代数方程。
.
严格地说，一切物理系统都是非线性的。可以用下面的状态方程 和输出方程表示。如果不显含 t，则称为非线性定常系统。
x f (x,u,t) y g(x,u,t)
x f ( x,u)
y
g(
x,u)
.
1.1.3 状态变量的选取 （1） 状态变量的选取可以视问题的性质和输入特性而定
（2）状态变量选取的非惟一性
在前面的例子中，如果重新选择状态变量 x1 uC x2 x1uC
则其状态方程为
xx1 2L 01C1R Lxx1 2L1 0C u
输出方程为：
y 1
0
x1 x2
（3）系统状态变量的数目是惟一的
.
1.1.4 状态空间表达式建立的举例
例1-1 建立右图所示机械系统的状态空间表达式（注： 质量块 m 的重量已经和弹簧 k 的初始拉伸相抵消）
在水平方向，应用牛顿第二定律： Md d2t2 ymddt22(ylsin)u
对摆球来说，在垂直于摆杆方向，应用牛顿第二定律：
md2 (ylsin)msgin
.
dt2
而有：
d(sin)(co)s
dt
d dt22(si)n (sin )2co s
d(co)s(sin)
dt
d d t2 2(co )s(co )s2(sin )
x 1 0 1 0x1 1 x x20 0 1x22uA xbu
x3 a0 a1 a2x3 3
x1
yx10u1 0 0x20uCxdu
x3
.
系统的状态图
.
一般情况下，n 阶微分方程为：
y ( n ) a n 1 y ( n 1 ) a 1 y a 0 y b n u ( n ) b n 1 u ( n 1 ) b 1 u b 0 u
.
可选择电枢电流 i D 和角速度 为状态变量，电动机的电 枢电压 u D 为输入量，角速度 为输出量。
状态空间表达式 状态图如下：
diD
ddt
KRLmDD
dt JD
KLJfD De iDL10DuD
y 0
1iD
.
例1-3 建立单极倒立摆系统的状态空间表达式。 单级倒立摆系统是许多重要的宇宙空间应用的一个简单模型。
y 1
0
x1 x2
该系统的状态图如下
.
例1-2 建立电枢控制直流他励电动机的状态空间表达式
电枢回路的电压方程为
LDddD itRDiDKeuD 系统运动方程式为 KmiDfJDddt
（式中， K e 为电动势常数； K m 为转矩常数； J D 为折合到电动
机轴上的转动惯量； f 为折合到电动机轴上的粘性摩擦系数。）
状态空间——以所选择的一组状态变量为坐标轴而构成的正交线 性空间，称为状态空间。
.
例：如下图所示电路，u (t ) 为输入量， uC (t ) 为输出量。
建立方程： Ldd(ti)tR(ti)uC(t)u(t)
i C duC(t) dt
初始条件：
i(t) tt0
i(t0)
uC(t)tt0 uC(t0)
0 0 0
mMg 0
(Mm)g Ml
0x2
1 M
u
;
10xx43
0 M1 l
x1
y 1
0
0
0
x
2
x x
3 4
状态图为
.
1.2 由微分方程求状态空间表达式
一个系统，用线性定常微分方程描述其输入和输出的关系。通过选 择合适的状态变量，就可以得到状态空间表达式。 这里分两种情况： 1、微分方程中不含输入信号导数项，（即1.2.1 中的内容） 2、微分方程中含有输入信号导数项，（即1.2.2 中的内容）
i(t ) 和 uC (t ) 可以表征该电路系统的行为，就是该系统的一组状态
变量
.
1.1.2 状态空间表达式
前面电路的微分方程组可以改写如下，并且写成矩阵形式：
d(ti)Ri(t)uC(t)u(t) dt L L L
ddduC(it(t)t)1R L dt C
0L1uiC(t()t)L10u(t)
第1章 控制系统数学模型
本课程的任务是系统分析和系统设计。而不论是系统分析还是系 统设计，本课程所研究的内容是基于系统的数学模型来进行的。因 此，本章首先介绍控制系统的数学模型。
本章内容为： 1、状态空间表达式 2、由微分方程求出系统状态空间表达式 3、传递函数矩阵 4、离散系统的数学模型 5、线性变换(状态变量选取非唯一）
于是系统的状态空间表达式为
x1 0
1 0 x1 0
Baidu Nhomakorabeax2 0
0
1 x20u
x3 64019218 x3 1
x1
y 640
160
0x2
x3
.
1.3 传递函数矩阵
传递函数——系统初始松弛（即：初始条件为零）时，输出量的 拉氏变换式与输入量的拉氏变换式之比。
1.3.1 传递函数
单入-单出线性定常系统的状态空间表达式为
选择 n 个状态变量为 系统方程为
x1 y 0u x 2 x 1 1 u x 3 x 2 2 u
x n x n 1 n 1 u
xxx1n2000a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
a100n1xxx1n2n1n21u
.
x1
y 1
0
0
0u
系统状态图如下
根据牛顿第二定律
dy d2y FFkyf dtmd2t
即：
mdd2t2yf
dykyF dt
选择状态变量 x1 y x2 yx1
则：
x1 x2
x 2 m ky m fd d y tm 1F m kx 1 m fx 2 m 1F
.
机械系统的系统方程为
xx120m k 1m fxx12m 10F
y b n 1 z ( n 1 ) b 1 z b 0 z b 0 x 1 b 1 x 2 b n 1 x n
.
写成矩阵形式
xxx1n2000a0
1 0 0 a1
0 1 0 a2
0 0 0 a3
0
0
a10n1xxx1n2100u
x1
y b0
b1
bn1
xn
x1
x
x
2
x
n
u1
u
u
2
u
r
y1
y
y2
y
m
.
a11 a1n
A
an1 ann nn
c11 c1n
C
cm1 cmnmn
b11 b1r
B
bn1 anr nr
d11 d1r
D
dm1 dmrmr
.
如果矩阵A, B, C, D中的所有元素都是实常数时，则称这样 的系统为线性定常（LTI，即：Linear Time-Invariant）系统。 如果这些元素中有些是时间 t 的函数，则称系统为线性时变 系统。系统状态图和信号流图如下：