高考数学——抛物线-考点复习

【名师点睛】本题主要考查了抛物线的定义，抛物线的标准方程，属于中档题. @#网
典例 2 抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 上的动点 Q 到其焦点的距离的最小值为 1，则 p =
1
A．
2
C．2
B．1 D．4
【答案】C
本题选择 C 选项. 【名师点睛】本题主要考查抛物线的定义及其应用，意在考查学生的转化能力和计算求解能力.由题意结合 抛物线的定义确定点的位置，然后求解 p 的值即可.
3
B．
2 9
D．
4
8．曲线 y = 2x2 上两点 A( x1, y1 )、B ( x2 , y2 ) 关于直线 y=
3
A．
2 5
C．
2
B． 2 D． 3
x
+
m 对称，且
x1
⋅
x2
=− 1 2
，则
m
的值为
9．已知抛物线 y2=2px(p>0)的焦点为 F,抛物线上的两个动点 A,B 始终满足∠AFB=60°,过弦 AB 的中点 H 作抛
PF= x + p 或 PF= y + p ，使问题简化．
2
2
3
典例 1 平面内动点 P 到点 F (0, 2) 的距离和到直线 l ： y = −2 的距离相等，则动点 P 的轨迹方程为是
_____________.
【答案】 x2 = 8 y
【解析】由题意知，该点轨迹是以 F (0, 2) 为焦点，y = −2 为准线的抛物线，其中 p = 4 ，所以方程为 x2 = 8 y .
则 △OFM 的周长为
A． 4
B． 2 5 +1
C． 5 + 2 或 4
D． 5 +1或 4
7． F 是抛物线 y2 = 2x 的焦点，以 F 为端点的射线与抛物线相交于点 A ，与抛物线的准线相交于点 B ，
FFF FFF FFF FFF 若 FB = 4FA ，则 FA⋅ FB =
A．1 C． 2
1．已知 F 是抛物线 y2 = 4x 的焦点， M ,N 是该抛物线上两点， MF + NF = 6 ，则 MN 的中点到准线的
距离为
3
A．
2
C．3
B．2 D．4
考向二 求抛物线的标准方程
1．求抛物线标准方程的常用方法是待定系数法，其关键是判断焦点的位置、开口方向，在方程的类型已
经确定的前提下，由于标准方程只有一个参数 p ，只需一个条件就可以确定抛物线的标准方程.
焦半径公式
| PF=|
p 2
+
x0
| PF=|
p 2
−
x0
| PF=|
p 2
+
y0
| PF=|
p 2
−
y0
3．抛物线的焦点弦 抛物线的焦点弦即过焦点 F 的直线与抛物线所成的相交弦． 焦点弦公式既可以运用两次焦半径公式得到，也可以由数形结合的方法求出直线与抛物线的两交点坐标，
再利用两点间的距离公式得到，设 AB 为焦点弦， A(x1, y1) ， B(x2 , y2 ) ，则
典例 5 已知等腰三角形 OPM 中，OP⊥MP，O 为抛物线 y2 =2px(p>0)的顶点，点 M 在抛物线的对称轴上，
点 P 在抛物线上，则点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离是
A．2 2 p
5
B． p
2
C．2p
D． 2 p
【答案】B
【解析】由题意得 yP = xP ∴ xP2 = 2 pxP ∴ xP = 2 p, 因此点 P 与抛物线的焦点 F 之间的距离为
典例 8 如图,已知点
及抛物线 y = x2 上的动点
,则
4
的最小值是
8
A．2 C．4 【答案】A
B．3 D．
典例 9 已知抛物线的方程为 x2=8y,F 是焦点,点 A(-2,4),在此抛物线上求一点 P,使|PF|+|PA|的值最小. 【解析】∵(-2)2<8×4,∴点 A(-2,4)在抛物线 x2=8y 的内部. 如图所示,设抛物线的准线为 l,过点 P 作 PQ⊥l 于点 Q,过点 A 作 AB⊥l 于点 B,连接 AQ.
A．充分不必要条件
B．必要不充分条件
C．充分必要条件
D．既不充分也不必要条件
3．以 x 轴为对称轴,通径长为 8,顶点为坐标原点的抛物线方程是
A．y2=8x
B．y2=-8x
C．y2=8x 或 y2=-8x
D．x2=8y 或 x2=-8y
4．已知抛物线 y2＝4x 上一点 M 与该抛物线的焦点 F 的距离|MF|＝4，则点 M 的横坐标 x＝
2．用待定系数法求抛物线标准方程的步骤：
4
若无法确定抛物线的位置，则需分类讨论.特别地，已知抛物线上一点的坐标，一般有两种标准方程.
典例 3 若点 A,B 在抛物线 y2=2px(p>0)上,O 是坐标原点,若正三角形 OAB 的面积为 4 ,则该抛物线的方程 是
A．y2= 2
3
x
3
B．y2= x
学习目标
（1）了解抛物线的实际背景，了解抛物线在刻画现实世界和解决实际问题中的作用. （2）掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程及简单性质.
知识整合
一、抛物线的定义和标准方程 1．抛物线的定义
平面内与一个定点 F 和一条定直线 l(l 不经过点 F) 距离相等的点的轨迹叫做抛物线． 点 F 叫做抛物线的焦点，直线 l 叫做抛物线的准线．抛物线关于过焦点 F 与准线垂直的直线对称，这条 直线叫抛物线的对称轴，简称抛物线的轴． 注意：直线 l 不经过点 F，若 l 经过 F 点，则轨迹为过定点 F 且垂直于定直线 l 的一条直线． 2．抛物线的标准方程
B．2 D．4
考向五 抛物线中的最值问题
1.抛物线中经常根据定义把点到焦点的距离和点到准线的距离进行互相转化，从而求解. 2.有关抛物线上一点 M 到抛物线焦点 F 和到已知点 E（E 在抛物线内）的距离之和的最小值问题，可依 据抛物线的图形，过点 E 作准线 l 的垂线，其与抛物线的交点到抛物线焦点 F 和到已知点 E 的距离之和 是最小值. 学@！
典例 6 过抛物线 y2=4x 的焦点作直线交抛物线于点 A(x1,y1)，B(x2，y2)，若|AB|=7，求 AB 的中点 M 到抛物 线准线的距离. 学@#
典例 7 已知过抛物线 y2=2px(p>0)的焦点,斜率为 2 的直线交抛物线于 A(x1,y1),B(x2,y2)(x1<x2)两点,且
（1）y1y2＝－p2，x1x2＝p42.
（2）|AB|＝x1＋x2＋p，x1＋x2≥ 2 x1x2 ＝p，即当 x1＝x2 时，弦长最短为 2p.
11
2
（3）|AF|＋|BF|为定值 p.
2p （4）弦长 AB＝sin2α(α 为 AB 的倾斜角)．
（5）以 AB 为直径的圆与准线相切．
（6）焦点 F 对 A，B 在准线上射影的张角为 90°.
注意：抛物线标准方程中参数 p 的几何意义是抛物线的焦点到准线的距离，所以 p 的值永远大于 0，当 抛物线标准方程中一次项的系数为负值时，不要出现 p＜0 的错误. 二、抛物线的几何性质 1．抛物线的几何性质
标准方程 = y2 2 px( p > 0) y2 = −2 px( p > 0) = x2 2 py( p > 0) x2 = −2 py( p > 0)
（1）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴正半轴上的抛物线的标准方程= 为 y2 2 px( p > 0) ； （2）顶点在坐标原点，焦点在 x 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 y2 = −2 px( p > 0) ； （3）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴正半轴上的抛物线的标准方程= 为 x2 2 py( p > 0) ； （4）顶点在坐标原点，焦点在 y 轴负半轴上的抛物线的标准方程为 x2 = −2 py( p > 0) .
e =1
2．抛物线的焦半径
抛物线上任意一点 P(x0 , y0 ) 与抛物线焦点 F 的连线段，叫做抛物线的焦半径．
根据抛物线的定义可得焦半径公式如下表：
y ≤ 0, x ∈ R
关于 y 轴对称
F (0, − p ) 2
y= p 2
抛物线方程= y2 2 px( p > 0) y2 = −2 px( p > 0)= x2 2 py( p > 0) x2 = −2 py( p > 0)
C．y2=2 x 【答案】A
D．y2=
3
x
3
典例 4 求满足下列条件的抛物线的标准方程，并求出对应抛物线的准线方程．
（1）过点 (−3，2) ； 学@# （2）焦点在直线 x − 2 y − 4 =0 上．
5
2．顶点在原点，且过点 (−4，4) 的抛物线的标准方程是
A． y2 = −4x
B． x2 = 4 y
|AB|=9.
（1）求该抛物线的方程;
（2）O 为坐标原点,C 为抛物线上一点,若
+λ ,求 λ 的值.
7
4．过抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 的焦点的直线 l 与抛物线交于 A，B 两点，以 AB 为直径的圆的方程为
( x − 3)2 + ( y − 2)2 = 16 ，则 p =
A．1 C．3
2
其中，通过抛物线的焦点作垂直于对称轴而交抛物线于 A，B 两点的线段 AB，称为抛物线的通径．
对于抛物= 线 y2 2 px( p > 0) ，由 A( p , p) ， B( p , − p) ，可得| AB |= 2 p ，故抛物线的通径长为 2p．
2
2
4．必记结论
直线 AB 过抛物= 线 y2 2 px( p > 0) 的焦点，交抛物线于 A(x1，y1)，B(x2，y2)两点，如图：
C． y2 = −4x 或 x2 = 4 y
D． y2 = 4x 或 x2 = −4 y
考向三 抛物线的简单几何性质及其应用
确定及应用抛物线性质的关键与技巧： (1)关键：利用抛物线方程确定及应用其焦点、准线等性质时，关键是将抛物线方程化成标准方程． (2)技巧：要结合图形分析，灵活运用平面几何的性质以图助解.
A．0
B．3
C．2
D．4
5．已知点 M(-3,2)是坐标平面内一定点,若抛物线 y2=2x 的焦点为 F,点 Q 是该抛物线上的一动点,则|MQ|-|QF|
的最小值是
10
7
A．
2 5
C．
2
B．3 D．2
6．设 F 为抛物线 C ： y2 = 4x 的焦点， M 为抛物线 C 上的一点， O 为原点，若△OFM 为等腰三角形，
Hale Waihona Puke 抛物线方程 = y2 2 px( p > 0) y2 = −2 px( p > 0) = x2 2 py( p > 0) x2 = −2 py( p > 0)
焦点弦公式 | AB |=p + (x1 + x2 ) | AB |=p − (x1 + x2 ) | AB |=p + ( y1 + y2 ) | AB |=p − ( y1 + y2 )
考向一 抛物线的定义和标准方程
1．抛物线定义的实质可归结为“一动三定”：一个动点 M，一个定点 F（抛物线的焦点），一条定直线 l（抛 物线的准线），一个定值 1（抛物线的离心率）.
2．抛物线的离心率 e＝1，体现了抛物线上的点到焦点的距离等于到准线的距离，因此，涉及抛物线的焦半
径、焦点弦的问题，可以优先考虑利用抛物线的定义将点到焦点的距离转化为点到准线的距离，即
6
xP
+
p 2
=5 p 2
，选
B.
【名师点睛】（1）凡涉及抛物线上的点到焦点距离时，一般运用定义转化为到准线距离处理．（2）解答本
题的关键是画出图形，利用抛物线的简单几何性质转化求解即可．
3．已知抛物线= C : x2 2 py ( p > 0) 的焦点为 F ，抛物线 C 的准线与 y 轴交于点 A ，点 M (1, y0 ) 在抛物线
9
5．已知抛物线 y2 = 4x ，过焦点 F 作直线与抛物线交于点 A ， B ，设∣AF∣= m ，∣BF∣= n ，则 m + n 的
最小值为
A． 2
B． 3
C． 3
D． 4
1．抛物线 y = 1 x2 的准线方程是 4
A． y = −1
B． y = 1
C． x = −1
D． x = 1
2．已知 m, n ∈ R ，则“ mn < 0 ”是“抛物线 mx2 + ny = 0 的焦点在 y 轴正半轴上”的
1
图形
范围
对称性
几 焦点
何
性 准线方程
质 顶点
离心率
x ≥ 0, y ∈ R
关于 x 轴对称
F ( p , 0) 2
x= −p 2
x ≤ 0, y ∈ R
y ≥ 0, x ∈ R
关于 x 轴对称
关于 y 轴对称
F (− p , 0) 2
x= p 2
F (0, p ) 2
y= −p 2
坐标原点(0，0)
C 上， MF = 5y0 ，则 tan∠FAM = 4
2
A．
5 4
C．
5
5
B．
2 5
D．
4
考向四 焦点弦问题
与抛物线的焦点弦长有关的问题，可直接应用公式求解.解题时，需依据抛物线的标准方程，确定弦长公式 是由交点横坐标定还是由交点纵坐标定，是 p 与交点横（纵）坐标的和还是与交点横（纵）坐标的差，这 是正确解题的关键.