高考数学总复习 12 命题及其关系、充分条件与必要条件练习 苏教版

高考数学总复习 12 命题及其关系、充分条件与必要
条件练习 苏教版
【A 组】
一、填空题
1．(2012·高考湖南卷)命题“若α＝π
4
，则tan α＝1”的逆否命题是________．
解析：根据原命题与其逆否命题的关系求解．
由命题与其逆否命题之间的关系可知，原命题的逆否命题是：若tan α≠1，则α≠π
4.
答案：若tan α≠1，则α≠π
4
2．(2011·高考湖南卷)“x >1”是“|x |>1”的________条件(用“充分不必要”、“必要不充分”、
“充分必要”等填空)． 解析：∵x >1⇒|x |>1， |x |>1⇒/ x >1，
∴“x >1”是“|x |>1”的充分不必要条件． 答案：充分不必要条件
3．(2011·高考湖北卷)若实数a ，b 满足a ≥0，b ≥0，且ab ＝0，则称a 与b 互补．记φ(a ，
b )＝a 2＋b 2－a －b ，那么φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的________条件(用“充分不必要、
必要不充分、充要、既不充分也不必要”等填空)． 解析：由a 2
＋b 2
＝a ＋b ，可得a 2
＋b 2
＝(a ＋b )2
＝a
2
＋b 2
＋2ab ，即⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab ＝0，
a ＋
b ≥0，即
⎩
⎪⎨
⎪⎧
ab ＝0，
a ≥0，
b ≥0，
故φ(a ，b )＝0是a 与b 互补的充要条件． 答案：充要
4．(2011·高考陕西卷)设n ∈N *
，一元二次方程x 2
－4x ＋n ＝0有整数根的充要条件是n ＝
______
解析：由于方程都是正整数解，由判别式Δ＝16－4n ≥0得“1≤n ≤4”，逐个分析，当n ＝1、2时，方程没有整数解；而当n ＝3时，方程有正整数解1、3；当n ＝4时，方程有正整数解2.
答案：3或4
5．在平面直角坐标系xOy 中，直线x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与直线mx ＋2y ＝－8互相垂直的充
要条件是m ＝________.
解析：x ＋(m ＋1)y ＝2－m 与mx ＋2y ＝－8垂直⇔1·m ＋(m ＋1)·2＝0⇔m ＝－2
3.
答案：－2
3
6．已知p ：x ≤1，q ：1
x
＜1，则綈p 是q 的________条件．(在“充分不必要”“必要不充
分”“充要”“既不充分又不必要”中选择恰当的一个填写) 解析：p ：x ≤1，綈p ：x ＞1，q ：1
x
＜1，即x ＞1或x ＜0. 綈p ⇒q 但q ⇒/ 綈p .故綈p 是q 的充分不必要条件． 答案：充分不必要
7．设A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －1
x ＋1＜0，B ＝{x ||x －b |＜a }，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，则实
数b 的取值范围是________．
解析：A ＝{x |－1＜x ＜1}，当a ＝1时，B ＝{x |b －1＜x ＜b ＋1}，若“a ＝1”是“A ∩B ≠∅”的充分条件，
则有－1≤b －1＜1或－1＜b ＋1≤1，所以b ∈(－2,2)． 答案：(－2,2) 二、解答题
8．设a ，b ，c 为△ABC 的三边，求证：方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0与x 2
＋2cx －b 2
＝0有公共根
的充要条件是∠A ＝90°.
证明：(1)必要性：设方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0与x 2
＋2cx －b 2
＝0有公共根x 0，则x 2
0＋2ax 0＋b 2
＝0，x 2
＋2cx 0－b 2
＝0，两式相减可得x 0＝
b 2
c －a
，将此式代入x 20＋2ax 0＋b 2
＝0可得
b 2＋
c 2＝a 2，故∠A ＝90°.
(2)充分性：∵∠A ＝90°，∴b 2
＋c 2
＝a 2
，b 2
＝a 2
－c 2
. 将此式代入方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0，
可得x 2
＋2ax ＋a 2
－c 2＝0，即(x ＋a －c )(x ＋a ＋c )＝0. 代入方程x 2
＋2cx －b 2
＝0， 可得x 2
＋2cx ＋c 2
－a 2
＝0， 即(x ＋c －a )(x ＋c ＋a )＝0. 故两方程有公共根x ＝－(a ＋c )．
所以方程x 2
＋2ax ＋b 2
＝0与x 2
＋2cx －b 2
＝0有公共根的充要条件是∠A ＝90°.
9．(1)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2
－x －2>0”的充分条件？如果存在，求出p
的取值范围；
(2)是否存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2
－x －2>0”的必要条件？如果存在，求出p 的取值范围．
解：(1)当x >2或x <－1时，x 2
－x －2>0， 由4x ＋p <0得x <－p 4，故－p
4≤－1时，
“x <－p
4
”⇒“x <－1”⇒“x 2
－x －2>0”．
∴p ≥4时，“4x ＋p <0”是“x 2－x －2>0”的充分条件．
(2)若“4x ＋p <0”是“x 2
－x －2>0”的必要条件，则x 2
－x －2>0的解集是4x ＋p <0的解集的子集，由题知不存在．故不存在实数p ，使“4x ＋p <0”是“x 2
－x －2>0”的必要条件．
【B 组】
一、填空题
1．(2012·高考天津卷)设x ∈R ，则“x >12
”是“2x 2
＋x －1>0”的________条件．
解析：因为{x |2x 2
＋x －1>0}＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭⎪⎬⎪⎫x ⎪⎪⎪
x >
1
2或x <－1，所以⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x >
1
2{x |2x 2
＋x －1>0}．
答案：充分不必要
2．(2012·高考上海卷)对于常数m 、n ，“mn ＞0”是“方程mx 2
＋ny 2
＝1的曲线是椭圆”的
________条件．
解析：当m <0，n <0时，mn >0，但mx 2
＋ny 2
＝1没有意义，不是椭圆；反之，若mx 2
＋ny 2
＝1表示椭圆，则m >0，n >0，即mn >0. 答案：必要不充分
3．(2013·南京二模)“a ＝3”是“直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行”的________条件．
解析：本题考查了充分、必要条件的判断及两直线平行的充要条件．解决本题的关键是
牢记两直线平行的充要条件．直线ax ＋3y ＝0与直线2x ＋2y ＝3平行的充要条件是a 2＝
3
2
≠0
3，解得a ＝3. 答案：充要条件
4．(2013·陕西五校第三次联考)已知p ：2x －1≤1，q ：(x －a )(x －a －1)≤0.若p 是q 的充
分不必要条件，则实数a 的取值范围是________．
解析：令A ＝{x |2x －1≤1}，得A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
1
2≤x ≤1
，令B ＝{x |(x －a )(x －a －1)≤0}，得B ＝{x |a ≤x ≤a ＋1}，若p 是q 的充分不必要条件，则A B ，需⎩⎪⎨⎪⎧
a ≤12
，
a ＋1>1或
⎩⎪⎨⎪⎧
a <12，
a ＋1≥1
⇒0≤a ≤1
2
.
答案：⎣⎢⎡⎦
⎥⎤0，12 5．(2013·江苏八所重点高中联考)有下面四个判断：
①命题“设a 、b ∈R ，若a ＋b ≠6，则a ≠3或b ≠3”是一个假命题； ②若“p 或q ”为真命题，则p 、q 均为真命题；
③命题“∀a 、b ∈R ，a 2
＋b 2
≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a 2
＋b 2
≤2(a －b －1)”；
④若函数f (x )＝ln ⎝
⎛⎭
⎪⎫
a ＋
2x ＋1的图象关于原点对称，则a ＝3. 其中正确的有________个．
解析：对于①：此命题的逆否命题为“设a 、b ∈R ，若a ＝3且b ＝3，则a ＋b ＝6”，此命题为真命题，所以原命题也是真命题，①错误；“p 或q ”为真，则p 、q 至少有一个为真命题，②错误；“∀a 、b ∈R ，a 2
＋b 2
≥2(a －b －1)”的否定是“∃a 、b ∈R ，a
2
＋b 2
<2(a －b －1)”，③错误；对于④：若f (x )的图象关于原点对称，则f (x )为奇函数，则f (0)＝ln(a ＋2)＝0，解得a ＝－1，④错误． 答案：0
6．(2013·扬州二模)给出下列命题：
p ：函数f (x )＝sin 4x －cos 4x 的最小正周期是π； q ：∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0；
r ：已知向量a ＝(λ，1)，b ＝(－1，λ2)，c ＝(－1,1)，则(a ＋b )∥c 的充要条件是λ
＝－1.
其中所有的真命题是________．
解析：本题考查简易逻辑中的相关知识．对于p ：f (x )＝sin 4
x －cos 4
x ＝(sin 2
x ＋cos 2
x )·(sin 2
x －cos 2
x )＝－cos 2x ，最小正周期T ＝π，故p 为真命题；对于q ：因为log 2(x ＋1)的范围是R ，所以∃x ∈R ，使得log 2(x ＋1)<0，故q 为真命题；对于r ：由(a ＋b )∥c 得λ－1＋λ2
＋1＝0，∴λ＝0或λ＝－1，故r 为假命题．
答案：p 、q
7．(2013·郑州外国语学校)下列命题中，①△ABC 的三边分别为a ，b ，c ，则该三角形是等
边三角形的充要条件为a 2
＋b 2
＋c 2
＝ab ＋ac ＋bc ；②数列{a n }的前n 项和为S n ，则S n ＝
An 2＋Bn 是数列{a n }为等差数列的必要不充分条件；③A ＝B 是sin A ＝sin B 的充分不必
要条件；④已知a 1，b 1，c 1，a 2，b 2，c 2都是不等于零的实数，关于x 的不等式a 1x 2
＋b 1x ＋c 1>0和a 2x 2
＋b 2x ＋c 2>0的解集分别为P 、Q ，则a 1a 2＝b 1b 2＝c 1
c 2
是P ＝Q 的充分必要条件． 其中正确的命题是________．
解析：△ABC 中，由a 2
＋b 2
＋c 2
＝ab ＋ac ＋bc ，得(a －b )2
＋(a －c )2
＋(b －c )2
＝0，则a ＝b ＝c ；若△ABC 是等边三角形，则a ＝b ＝c ，故ab ＋ac ＋bc ＝a 2
＋b 2
＋c 2
，故①正确．S n ＝An 2
＋Bn 是数列{a n }为等差数列的充要条件，故②错．显然③正确．对于④，由于两不等式的系数不确定，由a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2
不能推出P ＝Q ；反之P ＝Q 时，若P ＝Q ＝∅，则不一定有a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2，故a 1a 2＝b 1b 2＝c 1c 2
是P ＝Q 的既不充分也不必要条件． 答案：①③ 二、解答题
8．(2013·徐州模拟)已知p ：|x －3|≤2，q ：(x －m ＋1)(x －m －1)≤0，若綈p 是綈q 的充分
而不必要条件，求实数m 的取值范围．
解：由题意p ：－2≤x －3≤2，∴1≤x ≤5. ∴綈p ：x <1或x >5.
q ：m －1≤x ≤m ＋1，∴綈q ：x <m －1或x >m ＋1. 又∵綈p 是綈q 的充分而不必要条件， ∴⎩
⎪⎨⎪⎧
m －1≥1，m ＋1≤5.∴2≤m ≤4. 9．(2013·苏州调研)已知全集U ＝R ，非空集合A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －2
x －3a ＋1
<0，B ＝ ⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
x －a 2
－2x －a
<0. (1)当a ＝1
2
时，求(∁U B )∩A ；
(2)命题p ：x ∈A ，命题q ：x ∈B ，若q 是p 的必要条件，求实数a 的取值范围． 解：(1)当a ＝1
2
时，
A ＝⎩⎪⎨⎪
⎧
x ⎪⎪⎪⎪ x －2x －5
2
<0
＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪
⎪⎪
2<x <
5
2，
B ＝⎩⎪⎨⎪⎧
x ⎪⎪⎪ x －94
x －1
2
<0
＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
12
<x <
9
4， ∴∁U B ＝⎩⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪⎫
x ⎪
⎪⎪
x ≤
1
2或x ≥94.
∴(∁U B )∩A ＝⎩
⎪⎨⎪⎧⎭
⎪⎬⎪
⎫x ⎪⎪⎪
94≤x <
5
2. (2)∵a 2
＋2>a ，∴B ＝{x |a <x <a 2
＋2}． ①当3a ＋1>2，即a >1
3时，A ＝{x |2<x <3a ＋1}．
∵p 是q 的充分条件，∴A ⊆B .
∴⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤23a ＋1≤a 2
＋2，即13<a ≤3－5
2
.
②当3a ＋1＝2，即a ＝1
3时，A ＝∅，不符合题意；
③当3a ＋1<2，即a <1
3
时，A ＝{x |3a ＋1<x <2}，
由A ⊆B 得⎩
⎪⎨⎪⎧
a ≤3a ＋1
a 2
＋2≥2，∴－12≤a <1
3
.
综上所述：a ∈⎣⎢⎡⎭⎪⎫－12，13∪⎝ ⎛⎦
⎥
⎤13，3－52。