2011年高考试题——数学理(陕西卷)解析版
2011年陕西高考数学理科试卷(带详解)
2011年普通高等学校招生全国统一考试陕西卷(理科)一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设,a b 是向量，命题“若=-a b ，则=a b ”的逆命题是 （ ） A.若≠-a b ，则≠a b B.若=-a b ，则≠a b C.若≠a b ，则=-a b D.若=a b ，则=-a b 【测量目标】四种命题之间的关系.【考查方式】确定原命题的条件和结论，交换条件和结论的位置即可得到逆命题. 【难易程度】容易 【参考答案】D【试题解析】原命题的条件：=-a b ，作为逆命题的结论，（步骤1） 原命题的结论：=a b ，作为逆命题的条件，（步骤2） 即得逆命题“若，=a b 则”=-a b ，故选D ．（步骤3）2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） A.28y x =- B.28y x = C.24y x =- D.24y x = 【测量目标】抛物线的标准方程.【考查方式】已知抛物线的准线方程和顶点求抛物线的标准方程. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】由准线方程：2x =-22p⇒-=-, 且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），228y px x ∴==．3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图象是 （ ）A BC D 【测量目标】函数图象的判断.【考查方式】确定函数()y f x =的性质，再对选项一一求解. 【难易程度】容易 【参考答案】B【试题解析】()()f x f x ∴-=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；（步骤1）(2)()f x f x += ()y f x ⇒=是周期为2的周期函数，（步骤2）选项D 的图象：最小正周期是4，不符合；选项B 的图象：最小正周期是2，符合，故选B ．（步骤3）4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） A.20- B.15- C.15 D.20 【测量目标】二项式定理.【考查方式】由二项展开式的通项公式直接求出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】62(6)1231666C (4)(2)C 2(2)C 2(1)xrr x r x r r x r xr r x xr r T ------+=-=-=- ，令1230x xr -=，则4r =，4()(1)1x -∴-= 456C 115T ∴== ，故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）第5题图A.2π83-B.π83- C.82π- D.2π3 【测量目标】由三视图求几何体的体积.【考查方式】由三视图想象出空间几何体，利用关几何体体积公式进行计算．【参考答案】A 【难易程度】中等【试题解析】由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是：3212π2π12833V =-⨯⨯⨯=-.第5题图6．函数()cos f x x =在[0,)+∞内 （ ）A.没有零点B.有且仅有一个零点C.有且仅有两个零点D.有无穷多个零点 【测量目标】函数零点的求解和判断. 【考查方式】利用数形结合法进行直观判断. 【难易程度】中等 【参考答案】B【试题解析】方法一：令()cos f x x =0=，cos x =，设函数y =和cos y x =，它们在[0,)+∞的图象如图所示，由图象可知，两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x =在[0,)+∞内有且仅有一个零点；第6题图（方法二）在π[,)2x ∈+∞1>，1cos 1x -剟，()cos f x x ∴0>；（步骤1）在π(0,]2x ∈，()sin 0f x x '=+>，()cos f x x ∴是增函数，（步骤2）又(0)1f =- ，π()02f =>，()cos f x x ∴=在π[0,]2x ∈上有且只有一个零点．（步骤3）7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x ==-∈R ，1i N x x ⎧=-<⎨⎩，i 为虚数单位，x ∈R }，则M N 为 （ ）A.（0，1）B.(0，1]C.[0，1)D.[0，1] 【测量目标】集合的基本运算、同角三角函数的基本关系、二倍角公式. 【考查方式】运用二倍角公式直接求解此题. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】22|cos sin ||cos2|[0,1]y x x x =-=∈，[0,1]M ∴=；（步骤1）1||ix -< |i |x ∴+<|(i)|x --<（步骤2）又x ∈ R ，11x -<<，即(1,1)N =-；[0,1)M N ∴= ，故选C.（步骤3）8．右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于 （ ）第8题图A.11B.10C.8D.7 【测量目标】选择结构的程序框图.【考查方式】按照程序框图的执行流程分析循环过程，得到输出结果. 【难易程度】中等 【参考答案】C【试题解析】16x =，29x =,12||32x x -=…不成立,再输入3x ；（步骤1）点3x 到点1x 的距离小于点3x 到2x 的距离，∴当37.5x <时，3132||||x x x x -<-成立，（步骤2）此时23x x =， 132x x p +∴=，368.52x +∴=，解得311x =7.5>，不合题意；（步骤3）当37.5x …时，3132||||x x x x -<-不成立，此时13x x =，322x x p +∴=，398.52x +⇒=，解得38x =7.5>，故选C ．（步骤4） 9．设1122(,),(,)x y x y ，…，(,)n n x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） A.x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 B.x 和y 的相关系数在0到1之间 C.当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 D.直线l 过点(,)x y第9题图【测量目标】线性回归方程.【考查方式】由线性回归方程直接求出答案. 【难易程度】中等 【参考答案】D 【试题解析】10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ）. A.136 B.19 C.536D.16【测量目标】随机事件与概率.【考查方式】将问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题. 【难易程度】中等 【参考答案】D【试题解析】甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有：44266A A (6543)=⨯⨯⨯ （种），（步骤1）最后一小时他们同在一个景点的情形有：33255A A 6(543)6⨯=⨯⨯⨯ （种），（步骤2）3325544266A A 6(354)61A A (6543)6P ⨯⨯⨯⨯∴===⨯⨯⨯ ．（步骤3） 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）.11．设2lg ,0()3,0ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ． 【测量目标】分段函数，定积分的几何意义.【考查方式】由给出函数值，代入分段函数，求出参数. 【难易程度】中等 【参考答案】1【试题解析】10x => ，(1)lg10f ∴==，（步骤1）又230()3af x x t dt x a =+=+⎰，（步骤2）3(0)f a ∴=，31a ∴=，1a =．（步骤3）12．设n +∈N ，一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n = ． 【测量目标】解含参的一元二次不等式.【考查方式】利用求根公式进行计算，进而用完全平方数、整除等进行判断计算. 【难易程度】中等 【参考答案】3或4【试题解析】由求根公式得：x ==2=（步骤1） x是整数，2x ∴=±4n …，（步骤2） 又n +∈ N ，取1,2,3,4n =，验证可知3,4n =符合题意，反之3n =或4时，可推出一元二次方程240x x n -+=有整数．．根．（步骤3）13．观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n 个等式为 . 【测量目标】合情推理.【考查方式】由等号左边式子的变化规律，进行归纳总结. 【难易程度】中等【参考答案】2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-….行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7… … …2(1)[(21)1](21)n n n n n ∴+++++--=-…，（步骤1） 2(1)(32)(21)n n n n ⇒++++-=-…（步骤2）14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）． 【测量目标】二次函数的模型.【考查方式】把实际问题转化为数学模型,列式转化为函数的最值问题． 【难易程度】较难 【参考答案】2000【试题解析】方法一：设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是：(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10S i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯…… (1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+210(21210)i i =-+，（步骤1） ∴当10i =或11时，S 的值最小，min 1000S =，所以往返路程的最小值是2000米.（步骤2）方法二：根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可.树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002+⨯+++⨯=⨯⨯=…米；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯…… 9(19)10(110)1021029001100200022⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=米，所以路程总和最小为2000米.15．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-…存在实数解，则实数a 的取值范围是 ． 【测量目标】解绝对值不等式.【考查方式】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，进而求解参数a . 【难易程度】中等【参考答案】(,3][3,)-∞-+∞ .【试题解析】当1x -…时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…；（步骤1） 当12x -<…时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=；（步骤2） 当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；（步骤3） 综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要||3a …，解得3a -…或3a …， 即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞ ．（步骤4）B ．（几何证明选做题）如图，B D ∠=∠，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且6AB =，4AC =，AD =12，则BE = ．第15题B 图【测量目标】几何证明选讲.【考查方式】由相似三角形对应边成比例即可算出答案. 【难易程度】中等【参考答案】【试题解析】AE BC ⊥ ，90AEB ACD ∴∠=∠=，又B D ∠=∠ ，AEB ∴△∽ACD △，AC AD AE AB ∴=,（步骤1）64212AB AC AE AD ⨯∴=== ，（步骤2）在Rt AEB △中，BE ===（步骤3） C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值为 ． 【测量目标】坐标系与参数方程.【考查方式】把曲线转化为直角坐标系下的方程，由两曲线位置关系. 【难易程度】中等 【参考答案】3【试题解析】曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩22(3)(4)1x y ⇒-+-=，（步骤1）曲线2C ：1ρ=，221x y ⇒+=，（步骤2112>+=，∴两圆外离.（步骤3）∴||AB 113-=．（步骤4） 三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）如图，在ABC △中，∠ABC =60，∠BAC 90=，AD 是BC 上的高，沿AD 把ABD △折起，使90BDC ∠=．第16题图（1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB夹角的余弦值．【测量目标】面面垂直的判定，平面图形的折叠问题，空间直角坐标系，向量的坐标运算. 【考查方式】利用面面垂直直接判定即可，建立空间直角坐标系，运用向量的坐标运算求解余弦值.【难易程度】较难【试题解析】（1）∵折起前AD 是BC 边上的高，∴当△ABD 折起后，AD ⊥DC ，AD ⊥DB ，（步骤1）又DB DC D = ，∴AD ⊥平面BDC ，（步骤2）∵AD ⊄平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC ．（步骤3）第16题（1）图（2）由∠BDC 90=及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB |=1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D (0,0,0),B (1,0,0),C (0,3,0),AE (12,32,0)，（步骤4）13(,,22AE ∴= ，(1,0,0)DB =，（步骤5）∴1cos ,22AE DBAE DB AE DB<>===AE ∴ 与DB夹角的余弦值是22．（步骤6）第16题（2）图17．（本小题满分12分）如图，设P 是圆2225x y +=上的动点，点D 是P 在x 轴上投影，Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =．第17题图（1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程；（2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 【测量目标】圆锥曲线中的轨迹问题，直线与椭圆的位置关系，点到直线的距离公式. 【考查方式】利用点到直线的距离公式和直线方程与椭圆方程联立求解. 【难易程度】较难【试题解析】（1）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ， 因为点D 是P 在x 轴上投影，Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =，所以p x x =，且54p y y =，(步骤1) ∵P 在圆2225x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=， 即C 的方程是2212516x y +=．（步骤2） （2）过点（3，0）且斜率为45的直线方程是4(3)5y x =-，（步骤3） 设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线方程4(3)5y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：22(3)12525x x -+=，化简得2380x x --=，∴1x =，2x =，（步骤4）所以线段AB 的长度是:||AB =415==， 即所截线段的长度是415．（步骤5） 18．（本小题满分12分）叙述并证明余弦定理． 【测量目标】余弦定理.【考查方式】利用公式、定理、性质进行推导. 【难易程度】中等【试题解析】余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍.或：在△ABC 中，a ，b ，c 为A ，B ，C 的对边，有：2222cos a b c bc A =+-，2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-.证明：证法一: 如图①，()22a BC = ()()AC AB AC AB =--222AC AC AB AB =-+ 222cos AC AC AB A AB =-+ 222cos b bc A c =-+，(步骤1)即: 2222cos a b c bc A =+-同理可证:2222cos b c a ca B =+-，2222cos c a b ab C =+-（步骤2）第18题①图证法二: 如图②已知ABC △中，,,A B C 所对边分别为,,,a b c ，以A 为原点，AB 所在直线为x 轴建立直角坐标系，则(cos ,sin ),(,0)C b A b A B c ，∴222222222||(cos )(sin )cos 2cos sin a BC b A c b A b A bc A c b A ==-+=-++222cos b c bc A =+-，（步骤1）即2222cos a b c bc A =+-同理可证:2222cos b c a ca B =+-， 2222cos c a b ab C =+-.（步骤2）第18题②图19．（本小题满分12分）如图，从点P 1（0，0）作x 轴的垂线交曲线e xy =于点1(0,1)Q ，曲线在1Q 点处的切线与x 轴交于点2P ．再从2P 做x 轴的垂线交曲线于点2Q ，依次重复上述过程得到一系列点：11,P Q ；22,P Q ；…；,n n P Q ，记k P 点的坐标为(,0)k x （0,1,2,,k n =…）．（1）试求k x 与1k x -的关系（2kn 剟）；（2）求112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++…．第19题图 【测量目标】导数的几何意义，数列的通项.【考查方式】根据函数的导数求切线方程. 【难易程度】中等【试题解析】（1）设点1k P -的坐标是1(,0)k x -，∵e x y =，∴e x y '=，∴111(,e )k x k k Q x ---，（步骤1）在点111(,e)k x k k Q x ---处的切线方程是：111e e ()k k x x k y x x ----=-，令0y =，则11k k x x -=-（2kn 剟）．（步骤2）（2）∵10x =，11k k x x --=-，∴(1)k x k =--， ∴(1)||ee kx k k k P Q --==，（步骤3）于是有： 112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++ (1)2(1)11e 1e ee 1e n k -------=++++=-…1e e e 1n--=-， 即112233||||||||n n PQ PQ PQ PQ ++++…1e e e 1n--=-．（步骤4） 20．（本小题满分13分）如图，A 地到火车站共有两条路径1L 和2L ，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在个时间段内的频率如下表：（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？ （2）用X 表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望 .第20题图【测量目标】离散型随机事件的分布列，互斥事件与对立事件.【考查方式】运用对立事件、相互独立事件的概率公式进行计算，列出分布列后即可计算数学期望． 【难易程度】较难【试题解析】（1）i A 表示事件“甲选择路径i L 时，40分钟内赶到火车站”， i B 表示事件“甲选择路径i L 时，50分钟内赶到火车站”，1i =，2．用频率估计相应的概率，则有：1()0.10.20.30.6P A =++=，2()0.10.40.5P A =+=；∵12()()P A P A >，∴甲应选择路径1L ；（步骤1）1()0.10.20.30.20.8P B =+++=，2()0.10.40.40.9P B =++=；∵21()()P B P B >，∴乙应选择路径2L ．（步骤2）（2）X 的取值是0，1，2，12()()0.6,()()0.9,P A P A P B P B ==== ∴(0)()()()0.40.10.04P X P AB P A P B ====⨯=，（步骤3）(1)()()()()()0.40.90.60.10.42P X P AB AB P A P B P A P B ==+=+=⨯+⨯=(2)()()()0.60.90.54P X P AB P A P B ====⨯=，（步骤3） ∴X 的分布列为∴00.0410.4220.54 1.5EX =⨯+⨯+⨯=．（步骤4）21．（本小题满分14分）设函数()f x 定义在(0,)+∞上，(1)0f =，导函数1()f x x'=，()()()g x f x f x '=+．（1）求()g x 的单调区间和最小值； （2）讨论()g x 与1()g x的大小关系； （3）是否存在00x >，使得01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立？若存在，求出0x 的取值范围；若不存在，请说明理由．【测量目标】利用导数判断函数的单调性（单调区间）与最值并求参数范围. 【考查方式】求出原函数，判断函数单调性，再用假设法讨论参数范围. 【难易程度】较难【试题解析】（1）∵1()f x x'=，∴()ln f x x c =+（c 为常数），（步骤1） 又∵(1)0f =，ln10c ∴+=，0c ⇒=，∴()ln f x x =；1()ln g x x x=+，（步骤2） ∴21()x g x x -'=，令()0g x '=，即210x x-=，解得1x =，（步骤3） 当(0,1)x ∈时，()0g x '<，()g x 是减函数，故区间在(0,1)是函数()g x 的单调减区间； 当(1,)x ∈+∞时，()0g x '>，()g x 是增函数，故区间在(1,)+∞是函数()g x 的单调增区间； 所以1x =是()g x 的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，()g x ∴的最小值是(1)1g =．（步骤4） （2）1()ln g x x x =-+，设11()()()2ln h x g x g x x x x =-=-+，则22(1)()x h x x -'=-，（步骤5）当1x =时，(1)0h =，即1()()g x g x=，（步骤6） 当(0,1)(1,)x ∈+∞ 时，()0h x '<，(1)0h '=，（步骤7） 因此函数()h x 在(0,)+∞内单调递减，当01x <<时，()(1)h x h >=0，∴1()()g x g x>； 当1x >时，()(1)h x h <=0，∴1()()g x g x<． （步骤8） （3）满足条件的0x 不存在．证明如下： 证法一：假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立， 即对任意0x >有02ln ()ln x g x x x<<+ ①（步骤9） 但对上述的0x ，取0()1eg x x =时，有10ln ()x g x =，这与①左边的不等式矛盾，因此不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立．（步骤10） 证法二 假设存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立， 由（1）知，()g x 的最小值是(1)1g =， 又1()ln ln g x x x x=+>，而1x >时，ln x 的值域为(0,)+∞， ∴当1x …时，()g x 的值域为[1,)+∞，（步骤9）从而可以取一个值11x >，使10()()1g x g x +…，即10()()1g x g x -…, ∴1011|()()|1g x g x x ->…，这与假设矛盾． ∴不存在00x >，使01|()()|g x g x x-<对任意0x >成立．（步骤10）。
2011年陕西高考数学
2011年陕西高考数学1. 引言2011年陕西高考数学试卷是学生们迎接高考挑战的关键一环。
数学作为高考科目之一，对于学生的综合能力和逻辑思维能力有着重要的考察。
本文将针对2011年陕西高考数学试卷进行详细的分析和解答，帮助学生更好地理解并掌握解题技巧。
2. 试卷概述2011年陕西高考数学试卷由选择题和解答题两部分组成。
选择题共有25道，解答题共有6道。
试卷涉及的内容包括数列、函数、三角函数、导数、几何等多个数学领域，整体难度适中。
3. 选择题解析选择题是考察学生对基础知识的掌握和运用能力。
以下是几道选择题的解析：3.1 第1题题目：已知数列An的前n项和Sn = n²-n-2，求数列An的通项公式。
解析：根据已知条件，我们可以列出递推关系式An = Sn-Sn-1。
将Sn = n²-n-2带入，得到An = n²-n-2 - (n-1)²-(n-1)-2。
简化计算后，得到An = -n+1。
因此，数列An的通项公式为An = -n+1。
3.2 第5题题目：直线y=mx与抛物线y=x²交于A、B两点。
若A、B 两点间的距离为4，则实数m的取值范围是多少？解析：我们需要找到直线和抛物线的交点，可以将直线方程y=mx带入抛物线方程y=x²得到方程mx = x²。
化简后得到x²-mx=0。
由题目已知A、B两点距离为4，可以得到方程(x1-x2)²+(y1-y2)²=4²。
将A、B两点的坐标(x1,mx1)、(x2,mx2)带入方程，进行化简后得到(x1-x2)² + m²(x1-x2)² = 16。
整理化简后得到(1+m²)(x1-x2)² = 16。
由于两点间距离不为0，所以(1+m²)不为0。
因此，可以得到x1-x2 ≠ 0。
综上，解方程(1+m²)(x1-x2)² = 16可以得到实数m的取值范围。
2011年陕西高考数学试题及答案(理科)
国在崛起，全球的制造中心向亚洲的中国倾斜。
整个中国就象一部巨大的机器，日夜不停地轰鸣，源源不断地向世界各国输出着“中国制造”。
然而，在如此让全球仰慕地景气的背后，我们的国人付出的是沉重的代价，其一是生命与健康的损失，其二是环境的破坏。
每年在伤亡事故上的损失相当于GDP增幅的1/5，有13万个家庭承受着由于事故而失去亲人的痛苦，中国的酸雨是世界上最严重的，中国境内的大河没有一条是干净的。
是不是经济景气一定要以生命健康和环境破坏为代价？本课程的重要观点包括：●人的生命= 45万●一次事故相当于丢了一个“大订单”，直接损失和间接损失●事故在其随机偶发的背后是有统计学规律的，海因里希告诉我们●危险是由“危险源”的存在造成的，发现“危险源”●法律的红线不能踩●建立“安全体系”不能自己骗自己●要注意“某些人”的安全行为●向“杜邦”学什么●水气声渣，环境破坏的元凶●污染源和环境污染防治●建立环境管理体系【课程目标】本次课程的主要目的是帮助企业各级主管人员掌握安全管理的一般方法，通过事故案例学习实战经验，了解事故致因理论和安全管理体系的构建过程，以及必要的与安全有关的法律知识；使学员掌握“危险源”辨识的方法，从根本上转变对安全管理的认识。
在环境管理方面，学员将学习有关国家、国际的环境保护标准和法规，环境管理体系的建立以及污染源的辨识。
掌握危害与风险的辨识、评估及控制.结合世界级工厂安全管理方法，掌握内部安全检查与安全隐患审查方法，结合实际工厂案例，对现场及作业设计提出改善思路，从根本上预防安全, 掌握工厂的安全管理体系和自我安全的保障方法与技巧。
【课程大纲】一、安全与职业健康的概念、理念●我国安全管理现状●什么是安全●危险、风险和危险源●安全管理的3E●职业安全与健康涉及的法律法规及行业要求●质量、环境与安全的关系二、事故致因理论与应用●事故致因理论的发展●8种事故致因理论介绍●海因里希的1：29：300●分析事故的方法●控制危险及预防事故的措施三、人的不安全行为●人与事故的关系●人的性格和气质对安全的影响●了解人的特性：感觉、机动能力●事故频发人员的监管●安全培训与安全意识的养成四、工厂“危害源”的辨识、评估及控制●第一、二类危险源：老虎和笼子●危险源辨识的主要工具GB/T13861 ●物理危险源●化学危险源●生物危险源●生理/心理危险源●行为危险源五、内部检查与安全隐患报告系统●内部安全与健康检查体系方法●安全与健康检查表的设计●安全隐患报告体系●升降设备的安全检查●生产重点危险源的安全检查●消防安全检查六、安全成本与收益计算●事故的损失和赔偿计算●生命的价值●工厂事故的间接损失和直接损失●社会事故的间接损失和直接损失●安全投资七、中外工厂安全文化对比●安全与不安全●职业安全工程师与业余爱好者●安全保障体系●工作场地环境的安全保障●安全预警机制和应急准备响应●杜邦公司的安全管理经验八、安全法律法规标准解析●不可跨过的红线●安全法律法规的体系●国际公约和国家法律●法规和行业规定●标准九、安全与健康体系与安全培训●国际安全管理体系●体系的主体结构和管理思路●全体员工的安全与健康培训●培训的管理和效果控制十、环境管理体系●污染源的发现●体系的主体结构和管理思路●环境管理方案●环境管理培训十一、环境管理现状●国际环境保护现状●环境保护公约、法律、法规●环境管理标准●环境污染治理技术安全管理与职业健康安全管理体系介绍国内外先进的安全生产管理经验典型事故案例分析十二、工厂安全表现的衡量●安全事故的分级管理策略●事故的报告与调查●安全工作小时的衡量●安全事故率的衡量十三、工厂安全系统的建立●领导与承诺●工厂设计与施工安全●生产运作与设备维护管理●安全培训与标准操作规程的建立●员工行为管理与现场反馈●事故预防与改进十四、安全管理系统与工作许可证系统●工作安全分析●事故多种原因调查●应急反应程序，医疗应急流程●化学危险品的管理●工作许可证系统●行为观察与反馈系统●个人防护用品的管理●上锁挂牌程序●现场施工管理●技术安全－－电力系统，静电防护，危险能源隔离，安全装置，气瓶安全等●防火－－动火许可范围分级，厂内防火管理十五、工业卫生与安全及行为观察与管理●为什么要管理员工的行为●化学品管理●危险能源的隔离●管理拆开●限入空间●应急管理程序●气瓶管理●洗眼站●PPE选用与管理●85%以上的安全事故是由不恰当的人的行为造成的●怎样进行●控制要点十六、技术安全●什么是技术安全事故●一个安全的设计对以下事故具有健全的有效的预防措施●爆炸●过压●化学品泄漏●人员接触伤害十七、安全管理与职业健康安全管理体系解析与应用十八、国内外先进的安全生产管理经验。
2011年陕西高考数学 (4)
2011年陕西高考数学1. 引言2011年陕西高考数学试卷是陕西省在2011年为学生进行高考的数学科目考试所编制的试卷。
本文将对该试卷进行详细的分析和解读。
2. 试卷结构2011年陕西高考数学试卷由选择题和非选择题两部分组成。
选择题分为单选和多选两种类型，非选择题则涵盖了计算题、解答题和证明题等。
试卷总分为150分。
3. 选择题部分3.1 单选题题目1【题目描述】已知函数 f(x) 在区间 [a, b] 上连续，其中 a<b，且满足 f(a) < 0，f(b) > 0。
函数 f(x) 有连续一阶导数，则下面选项必定正确的是（）A. 在 (a, b) 内，f'(x) < 0。
B. 在 (a, b) 内，f'(x) > 0。
C. 在 [a, b] 内，f'(x) = 0 的点至少存在一个。
D. 在 [a, b] 内，f'(x) = 0 的点不存在。
解析这是一道关于函数极值的问题。
根据给定条件，我们可以得出结论：由于 f(a)< 0 和 f(b) > 0，函数 f(x) 在区间 [a, b] 上必然有一个零点。
根据零点定理，当 f(x)连续，且 f(a) < 0 和 f(b) > 0 时，在 (a, b) 内存在f’(x) = 0 的点。
因此，选项 C 正确。
3.2 多选题题目2【题目描述】若 2^(2x+5)=8，则 x 的值为（）A. -5B. -2C. 3D. 5E. 8解析将等式 2^(2x+5)=8 转化为指数等式，得到 (23)(2x+5)=2^2。
再次化简得到2^(6x+15) = 2^2。
由于底数相等，指数也必须相等，所以 6x+15=2。
解方程得 x = -2。
因此选项 B 正确。
4. 非选择题部分4.1 计算题题目3【题目描述】已知数量关系如下，求 a 的值：10% × (20% × a + 50) = 5计算过程：解答根据题目中的数量关系，我们可以列方程 10% × (20% × a + 50) = 5。
2011年全国统一高考数学真题试卷——陕西省
【本文作者】姓 名：雷春来工作单位：陕西省西乡县第二中学2011年普通高等学校招生全国统一考试(陕西卷)理科数学（必修+选修Ⅱ）第Ⅰ卷一、 选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1、设,a b 是向量，命题“若a = -b ，则∣a ∣= ∣b ∣”的逆命题是 （ ）（A ）若a b ≠-，则∣a ∣≠∣b ∣ （B ）若a b =，则∣a ∣≠∣b ∣（C ）若∣a ∣≠∣b ∣，则∣a ∣≠∣b ∣ （D ）若∣a ∣=∣b ∣，则a = -b 2、设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ）（A ）28y x =- （B ）28y x = (C) 24y x =- (D) 24y x =3.设函数()()f x x R ∈满足()(),(2)(),f x f x f x f x -=+=则()y f x =的图像可能（ ）4. 6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ） （A ）-20 （B ）-15 （C ）15 （D ）205. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（ ）（A ）283π- （B ）83π- (C) 82π- (D) 23π6. 函数f(x)= cos x x 在[0，+∞）内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点（C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点7. 设集合M={y |22|cos sin |y x x =- ，x ∈R},N={x | 1||2x i-<，i 为虚数单位，x ∈R},则M ∩N 为（ ）(A)(0,1) (B)(0,1] (C)[0,1) (D)[0,1]8. 右图中，123,,x x x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P 为该题的最终得分。
当126,9x x ==，p=8.5时，3x等于 （ ）(A)11 (B)10 (C)8 (D)7 9. 设（1x ，1y ），（2x ，2y ），…，（n x ，n y ）是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（ ）（A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率（B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同（D ）直线l 过点(,)x y10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（ ）（A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16 二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11、设20lg ,0()3,0a x x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+≤⎪⎩⎰，若((1))1f f =，则a = . 12、设n N +∈,一元二次方程240x x n -+=有正数根的充要条件是n = .13.观察下列等式 1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .14.植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米。
2011年陕西省高考数学试卷(理科)及解析
2011年陕西省高考数学试卷（理科）一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）设，是向量，命题“若≠﹣，则||=||”的逆命题是（）A．若≠﹣，则||=||”B．若=﹣，则||≠||C．若≠，则||≠||D．||=||，则≠﹣2．（5分）设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=﹣2，则抛物线的方程是（）A．y2=﹣8x B．y2=8x C．y2=﹣4x D．y2=4x3．（5分）设函数f（x）（x∈R）满足f（﹣x）=f（x），f（x+2）=f（x），则y=f（x）的图象可能是（）A．B．C．D．4．（5分）（x2﹣x﹣4）6（x∈R）展开式中的常数项是（）A．﹣20 B．﹣15 C．15 D．205．（5分）某几何体的三视图如图所示，则它的体积是（）A． B．C．8﹣2πD．6．（5分）函数f（x）=﹣cosx在[0，+∞）内（）A．没有零点 B．有且仅有一个零点C．有且仅有两个零点 D．有无穷多个零点7．（5分）设集合M={y|y=|cos2x﹣sin2x|，x∈R}，N={x||x﹣|＜，i为虚数单位，x∈R}，则M∩N为（）A．（0，1）B．（0，1]C．[0，1）D．[0，1]8．（5分）如图中，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，P为该题的最终得分．当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于（）A．11 B．10 C．8 D．79．（5分）设（x1，y1），（x2，y2），…，（x n，y n）是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是（）A．x和y的相关系数为直线l的斜率B．x和y的相关系数在0到1之间C．当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D．直线l过点（，）10．（5分）甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是（）A．B．C．D．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）设f（x）=，若f（f（1））=1，则a=．12．（5分）设n∈N+，一元二次方程x2﹣4x+n=0有整数根的充要条件是n=．13．（5分）观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…照此规律，第n个等式为．14．（5分）植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为（米）．15．（5分）（请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A．（不等式选做题）若不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，则实数a的取值范围是．B．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°，且AB=6，AC=4，AD=12，则AE=．C．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xoy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建极坐标系，设点A，B分别在曲线C1：（θ为参数）和曲线C2：p=1上，则|AB|的最小值为．三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）如图，在△ABC中，∠ABC=60°，∠BAC=90°，AD是高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90°．（Ⅰ）证明：平面ADB⊥平面BDC；（Ⅱ）设E为BC的中点，求与夹角的余弦值．17．（12分）如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|．（Ⅰ）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程（Ⅱ）求过点（3，0）且斜率的直线被C所截线段的长度．18．（12分）叙述并证明余弦定理．19．（12分）如图，从点P1（0，0）做x轴的垂线交曲线y=e x于点Q1（0，1），曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2做x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2…；P n，Q n，记P k点的坐标为（x k，0）（k=1，2，…，n）．（Ⅰ）试求x k与x k﹣1的关系（2≤k≤n）；（Ⅱ）求|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|．20．（13分）如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时（Ⅰ）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径？（Ⅱ）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（Ⅰ）的选择方案，求X的分布列和数学期望．21．（14分）设函数f（x）定义在（0，+∞）上，f（1）=0，导函数f′（x）=，g（x）=f（x）+f′（x）．（Ⅰ）求g（x）的单调区间和最小值；（Ⅱ）讨论g（x）与的大小关系；（Ⅲ）是否存在x0＞0，使得|g（x）﹣g（x0）|＜对任意x＞0成立？若存在，求出x0的取值范围；若不存在请说明理由．2011年陕西省高考数学试卷（理科）参考答案与试题解析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）1．（5分）【考点】四种命题间的逆否关系．【分析】根据所给的原命题，看清题设和结论，把原命题的题设和结论互换位置，得到要求的命题的逆命题．【解答】解：原命题是：“若≠﹣，则||=||”，它的逆命题是把题设和结论互换位置，即逆命题是：若||=||，则≠﹣，故选D．【点评】本题考查四种命题，考查把其中一个看成是原命题，来求出它的逆命题，否命题，逆否命题，本题是一个基础题．2．（5分）【考点】抛物线的标准方程．【分析】根据准线方程求得p，则抛物线的标准方程可得．【解答】解：∵准线方程为x=﹣2∴=2∴p=4∴抛物线的方程为y2=8x故选B【点评】本题主要考查了抛物线的标准方程．考查了考生对抛物线基础知识的掌握．3．（5分）【考点】函数奇偶性的判断；函数的周期性．【分析】由定义知，函数为偶函数，先判断A、C两项，图象对应的函数为奇函数，不符合题意；再取特殊值x=0，可得f（2）=f（0），可知B选项符合要求．【解答】解：∵f（﹣x）=f（x）∴函数图象关于y轴对称，排除A、C两个选项又∵f（x+2）=f（x）∴函数的周期为2，取x=0可得f（2）=f（0）排除D选项，说明B选项正确故答案为B【点评】利用函数图象的对称性是判断一个函数为奇函数或偶函数的一个重要指标，周期性与奇偶性相结合是函数题的一种常规类型．4．（5分）【考点】二项式系数的性质．【分析】利用二项展开式的通项公式求出展开式的通项，令x的指数为0求出展开式的常数项．【解答】解：展开式的通项为T r+1=（﹣1）r C6r x12﹣3r令12﹣3r=0，得r=4所以展开式的常数项为C64=15故选C【点评】本题考查利用二项展开式的通项公式解决二项展开式的特定项问题．5．（5分）【考点】由三视图求面积、体积．【分析】三视图复原的几何体是正方体，除去一个倒放的圆锥，根据三视图的数据，求出几何体的体积．【解答】解：三视图复原的几何体是棱长为：2的正方体，除去一个倒放的圆锥，圆锥的高为：2，底面半径为：1；所以几何体的体积是：8﹣=故选A．【点评】本题是基础题，考查三视图复原几何体的判定，几何体的体积的求法，考查空间想象能力，计算能力，常考题型．6．（5分）【考点】函数零点的判定定理．【分析】根据余弦函数的最大值为1，可知函数在[π，+∞）上为正值，在此区间上函数没有零点，问题转化为讨论函数在区间[0，π）上的零点的求解，利用导数讨论单调性即可．【解答】解：f′（x）=+sinx①当x∈[0．π）时，＞0且sinx＞0，故f′（x）＞0∴函数在[0，π）上为单调增取x=＜0，而＞0可得函数在区间（0，π）有唯一零点②当x≥π时，＞1且cosx≤1故函数在区间[π，+∞）上恒为正值，没有零点综上所述，函数在区间[0，+∞）上有唯一零点【点评】在[0，+∞）内看函数的单调性不太容易，因此将所给区间分为两段来解决是本题的关键所在．7．（5分）【考点】交集及其运算；绝对值不等式的解法．【分析】通过三角函数的二倍角公式化简集合M，利用三角函数的有界性求出集合M；利用复数的模的公式化简集合N；利用集合的交集的定义求出交集．【解答】解：∵M={y|y=|cos2x﹣sin2x|}={y|y=|cos2x|}={y|0≤y≤1}={x|﹣1＜x＜1}∴M∩N={x|0≤x＜1}故选C【点评】本题考查三角函数的二倍角公式、三角函数的有界性、复数的模的公式、集合的交集的定义．8．（5分）【考点】选择结构．【分析】利用给出的程序框图，确定该题最后得分的计算方法，关键要读懂该框图给出的循环结构以及循环结构内嵌套的条件结构，弄清三个分数中差距小的两个分数的平均分作为该题的最后得分．【解答】解：根据提供的该算法的程序框图，该题的最后得分是三个分数中差距小的两个分数的平均分．根据x1=6，x2=9，不满足|x1﹣x2|≤2，故进入循环体，输入x3，判断x3与x1，x2哪个数差距小，差距小的那两个数的平均数作为该题的最后得分．因此由8.5=，解出x3=8．故选C．【点评】本题考查学生对算法基本逻辑结构中的循环结构和条结构的认识，考查学生对赋值语句的理解和认识，考查学生对程序框图表示算法的理解和认识能力，考查学生的算法思想和简单的计算问题．9．（5分）【考点】线性回归方程．【分析】对于所给的线性回归方程对应的直线，针对于直线的特点，回归直线一定通过这组数据的样本中心点，得到结果．【解答】解：直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线，回归直线方程一定过样本中心点，故选D．【点评】本题考查线性回归方程的性质，考查样本中心点一定在回归直线上，本题是一个基础题，不需要运算就可以看出结果．10．（5分）【考点】古典概型及其概率计算公式．【分析】利用分步计数原理求出甲、乙最后一小时他们所在的景点结果个数；利用古典概型概率公式求出值．【解答】解：甲、乙最后一小时他们所在的景点共有6×6=36中情况甲、乙最后一小时他们同在一个景点共有6种情况由古典概型概率公式后一小时他们同在一个景点的概率是P==故选D【点评】本题考查利用分步计数原理求完成事件的方法数、考查古典概型概率公式．二、填空题：（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．（5分）【考点】函数的值．【分析】先根据分段函数求出f（1）的值，然后将0代入x≤0的解析式，最后根据定积分的定义建立等式关系，解之即可．【解答】解：∵f（x）=∴f（1）=0，则f（f（1））=f（0）=1即∫0a3t2dt=1=t3|0a=a3解得：a=1故答案为：1．【点评】本题主要考查了分段函数的应用，以及定积分的求解，同时考查了计算能力，属于基础题．12．（5分）【考点】充要条件；一元二次方程的根的分布与系数的关系．【分析】由一元二次方程有实数根⇔△≥0得n≤4；又n∈N+，则分别讨论n为1，2，3，4时的情况即可．【解答】解：一元二次方程x2﹣4x+n=0有实数根⇔（﹣4）2﹣4n≥0⇔n≤4；又n∈N+，则n=4时，方程x2﹣4x+4=0，有整数根2；n=3时，方程x2﹣4x+3=0，有整数根1，3；n=2时，方程x2﹣4x+2=0，无整数根；n=1时，方程x2﹣4x+1=0，无整数根．所以n=3或n=4．故答案为：3或4．【点评】本题考查一元二次方程有实根的充要条件及分类讨论的策略．13．（5分）【考点】归纳推理．【分析】观察所给的等式，等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2，左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，写出结果．【解答】解：观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49…等号右边是12，32，52，72…第n个应该是（2n﹣1）2左边的式子的项数与右边的底数一致，每一行都是从这一个行数的数字开始相加的，照此规律，第n个等式为n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2，故答案为：n+（n+1）+（n+2）+…+（3n﹣2）=（2n﹣1）2【点评】本题考查归纳推理，考查对于所给的式子的理解，主要看清楚式子中的项与项的数目与式子的个数之间的关系，本题是一个易错题．14．（5分）【考点】等差数列的前n项和．【分析】设在第n个树坑旁放置所有树苗，利用等差数列求和公式，得出领取树苗往返所走的路程总和f（n）的表达式，再利用二次函数求最值的公式，求出这个最值．【解答】解：记公路一侧所植的树依次记为第1棵、第2棵、第3棵、…、第20棵设在第n个树坑旁放置所有树苗，领取树苗往返所走的路程总和为f（n）（n为正整数）则f（n）=[10+20+…+10（n﹣1）]+[10+20+…+10（20﹣n）]=10[1+2+…+（n﹣1）]+10[1+2+…+（20﹣n）]=5（n2﹣n）+5（20﹣n）（21﹣n）=5（n2﹣n）+5（n2﹣41n+420）=10n2﹣210n+2100，∴f（n）=20（n2﹣21n+210），相应的二次函数图象关于n=10.5对称，结合n为整数，可得当n=10或11时，f（n）的最小值为2000米．故答案为：2000【点评】本题利用数列求和公式，建立函数模型，再用二次函数来解题，属于常见题型．15．（5分）【考点】圆的参数方程；绝对值不等式．【分析】A．通过作出函数y=|x+1|+|x﹣2|的图象求出函数的最小值，然后结合图象可知a 的取值范围；B．先证明Rt△ABE∽Rt△ADC，然后根据相似建立等式关系，求出所求即可；C．先根据ρ2=x2+y2，sin2θ+cos2θ=1将极坐标方程和参数方程化成直角坐标方程，根据当两点连线经过两圆心时|AB|的最小，从而最小值为两圆心距离减去两半径．【解答】解：A．先作出函数y=|x+1|+|x﹣2|的图象可知函数的最小值为3，故当a∈[3，+∞）上不等式a≥|x+1|+|x﹣2|存在实数解，故答案为：[3，+∞）B．∵∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90°∴Rt△ABE∽Rt△ADC而AB=6，AC=4，AD=12，根据AD•AE=AB•AC解得：AE=2，故答案为：2C．消去参数θ得，（x﹣3）2+（y﹣4）2=1而p=1，则直角坐标方程为x2+y2=1，点A在圆（x﹣3）2+（y﹣4）2=1上，点B在圆x2+y2=1上则|AB|的最小值为5﹣1﹣1=3故答案为：3【点评】本题主要考查了绝对值函数，以及三角形相似和圆的参数方程等有关知识，同时考查了转化与划归的思想，属于基础题．三、解答题：接答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分）16．（12分）【考点】平面与平面垂直的判定；用空间向量求直线间的夹角、距离．【分析】（Ⅰ）翻折后，直线AD与直线DC、DB都垂直，可得直线与平面BDC垂直，再结合AD是平面ADB内的直线，可得平面ADB与平面垂直；（Ⅱ）以D为原点，建立空间直角坐标系，分别求出D、B、C、A、E的坐标，从而得出向量、的坐标，最后根据空间向量夹角余弦公式，计算出与夹角的余弦值．【解答】解：（Ⅰ）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB，又DB∩DC=D，∴AD⊥平面BDC，∵AD⊂平面ADB∴平面ADB⊥平面BDC（Ⅱ）由∠BDC=90°及（Ⅰ）知DA，DB，DC两两垂直，不防设|DB|=1，以D为坐标原点，分别以、、所在直线x，y，z轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得D（0，0，0），B（1，0，0），C（0，3，0），A（0，0，），E（，，0），∴=，=（1，0，0），∴与夹角的余弦值为cos＜，＞==．【点评】图中DA、DB、DC三条线两两垂直，以D为坐标原点建立坐标系，将空间的几何关系的求解化为代数计算问题，使立体几何的计算变得简单．17．（12分）【考点】轨迹方程；直线与圆相交的性质．【分析】（Ⅰ）由题意P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的射影，M为PD上一点，且|MD|=|PD|，利用相关点法即可求轨迹；（Ⅱ）由题意写出直线方程与曲线C的方程进行联立，利用根与系数的关系得到线段长度．【解答】解：（Ⅰ）设M的坐标为（x，y）P的坐标为（x p，y p）由已知得：∵P在圆上，∴，即C的方程为．（Ⅱ）过点（3，0）且斜率为的直线方程为：，设直线与C的交点为A（x1，y1）B（x2，y2），将直线方程即：，∴线段AB的长度为|AB|===．【点评】此题重点考查了利用相关点法求动点的轨迹方程，还考查了联立直线方程与曲线方程进行整体代入，还有两点间的距离公式．18．（12分）【考点】余弦定理．【分析】先利用数学语言准确叙述出余弦定理的内容，并画出图形，写出已知与求证，然后开始证明．方法一：采用向量法证明，由a的平方等于的平方，利用向量的三角形法则，由﹣表示出，然后利用平面向量的数量积的运算法则化简后，即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；方法二：采用坐标法证明，方法是以A为原点，AB所在的直线为x轴建立平面直角坐标系，表示出点C和点B的坐标，利用两点间的距离公式表示出|BC|的平方，化简后即可得到a2=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【解答】解：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍；或在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2﹣2bccosA，b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．证法一：如图，====b2﹣2bccosA+c2即a2=b2+c2﹣2bccosA同理可证b2=c2+a2﹣2cacosB，c2=a2+b2﹣2abcosC；证法二：已知△ABC中A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x 轴建立直角坐标系，则C（bcosA，bsinA），B（c，0），∴a2=|BC|2=（bcosA﹣c）2+（bsinA）2=b2cos2A﹣2bccosA+c2+b2sin2A=b2+c2﹣2bccosA，同理可证b2=a2+c2﹣2accosB，c2=a2+b2﹣2abcosC．【点评】此题考查学生会利用向量法和坐标法证明余弦定理，以及对命题形式出现的证明题，要写出已知求证再进行证明，是一道基础题．19．（12分）【考点】利用导数研究曲线上某点切线方程；数列的求和．【分析】（Ⅰ）设出p k﹣1的坐标，求出Q k﹣1，利用导数的几何意义函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率，利用点斜式求出切线方程，令y=0得到x k与x k+1的关系．（Ⅱ）求出|P k Q k|的表达式，利用等比数列的前n项和公式求出和．【解答】解：（Ⅰ）设P k﹣1（x k﹣1，0），由y=e x得点Q k﹣1处切线方程为由y=0得x k=x k﹣1﹣1（2≤k≤n）．（Ⅱ）x1=0，x k﹣x k﹣1=﹣1，得x k=﹣（k﹣1），S n=|P1Q1|+|P2Q2|+|P3Q3|+…+|P n Q n|=【点评】本题考查导数的几何意义：函数在切点处的导数值是曲线的曲线的斜率、考查等比数列的前n项和公式求出和．20．（13分）【考点】随机抽样和样本估计总体的实际应用；离散型随机变量的期望与方差．【分析】（Ⅰ）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站”，用频率估计相应的概率P（A1），P（A2）比较两者的大小，及P（B1），P（B2）的从而进行判断甲与乙路径的选择；（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（I）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，且甲、乙相互独立，X可能取值为0，1，2，分别代入相互独立事件的概率公式求解对应的概率，再进行求解期望即可【解答】解：（Ⅰ）A i表示事件“甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站”，B i表示事件“乙选择路径Li时，50分钟内赶到火车站”，i=1，2．用频率估计相应的概率可得∵P（A1）=0.1+0.2+0.3=0.6，P（A2）=0.1+0.4=0.5，∵P（A1）＞P（A2），∴甲应选择L i，P（B1）=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8，P（B2）=0.1+0.4+0.4=0.9，∵P（B2）＞P（B1），∴乙应选择L2．（Ⅱ）A，B分别表示针对（Ⅰ）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（Ⅰ）知P（A）=0.6，P（B）=0.9，又由题意知，A，B独立，，P（x=1）=P（B+A）=P（）P（B）+P（A）P（）=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42，P（X=2）=P（AB）=P（A）（B）=0.6×0.9=0.54，【点评】本题主要考查了随机抽样用样本估计总体的应用，相互独立事件的概率的求解，离散型随机变量的数学期望与分布列的求解，属于基本知识在实际问题中的应用．21．（14分）【考点】利用导数研究函数的单调性；指、对数不等式的解法．【分析】（I）根据题意求出f（x）的解析式，代入g（x）=f（x）+f′（x）．求出g（x），求导，令导数等于零，解方程，跟据g′（x），g（x）随x的变化情况即可求出函数的单调区间和最小值；（Ⅱ）构造函数h（x）=g（x），利用导数求该函数的最小值，从而求得g（x）与的大小关系；（Ⅲ）证法一：假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，解此绝对值不等式，取时，得出矛盾；证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立，转化为求函数的值域，得出矛盾．【解答】解：（Ⅰ）由题设易知f（x）=lnx，g（x）=lnx+，∴g′（x）=，令g′（x）=0，得x=1，当x∈（0，1）时，g′（x）＜0，故g（x）的单调递减区间是（0，1），当x∈（1，+∞）时，g′（x）＞0，故g（x）的单调递增区间是（1，+∞），因此x=1是g（x）的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，∴最小值为g（1）=1；（Ⅱ）=﹣lnx+x，设h（x）=g（x）﹣=2lnx﹣x+，则h′（x）=，当x=1时，h（1）=0，即g（x）=，当x∈（0，1）∪（1，+∞）时，h′（x）＜0，h′（1）=0，因此，h（x）在（0，+∞）内单调递减，当0＜x＜1，时，h（x）＞h（1）=0，即g（x）＞，当x＞1，时，h（x）＜h（1）=0，即g（x）＜，（Ⅲ）满足条件的x0 不存在．证明如下：证法一假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立，即对任意x＞0，有，（*）但对上述x0，取时，有Inx1=g（x0），这与（*）左边不等式矛盾，因此，不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．证法二假设存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|成＜立．由（Ⅰ）知，的最小值为g（x）=1．又＞Inx，而x＞1 时，Inx 的值域为（0，+∞），∴x≥1 时，g（x）的值域为[1，+∞），从而可取一个x1＞1，使g（x1）≥g（x0）+1，即g（x1）﹣g（x0）≥1，故|g（x1）﹣g（x0）|≥1＞，与假设矛盾．∴不存在x0＞0，使|g（x）﹣g（x0）|＜成立．【点评】此题是个难题．考查利用导数研究函数的单调性和在闭区间上的最值问题，对方程f'（x）=0根是否在区间[0，1]内进行讨论，体现了分类讨论的思想方法，增加了题目的难度．其中问题（III）是一个开放性问题，考查了同学们观察、推理以及创造性地分析问题、解决问题的能力．。
2011年普通高等学校招生全国统一考试高考数学教师精校版含详解陕西理
2011年陕西理一、选择题（共10小题；共50分）1. 设a，b是向量，命题"若a=−b，则a=b "的逆命题是 A. 若a≠−b，则a≠bB. 若a=−b，则a≠bC. 若a≠b，则a≠−bD. 若a=b，则a=−b2. 设抛物线的顶点在原点，准线方程为x=−2，则抛物线的方程是 A. y2=−8xB. y2=8xC. y2=−4xD. y2=4x3. 设函数f x x∈R满足f−x=f x，f x+2=f x，则y=f x的图象可能是 A. B.C. D.4. 4x−2−x6x∈R展开式中的常数项是 A. −20B. −15C. 15D. 205. 某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 A. 8−2π3B. 8−π3C. 8−2πD. 2π36. 函数f x=x−cos x在0,+∞内 A. 没有零点B. 有且仅有一个零点C. 有且仅有两个零点D. 有无穷多个零点7. 设集合M=y y=cos2x−sin2x,x∈R，N= x x−1i<2,i为虚数单位,x∈R ，则M∩N= A. 0,1B. 0,1C. 0,1D. 0,18. 如图，x1，x2，x3为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p为该题的最终得分，当x1=6，x2=9，p=8.5时，x3等于 A. 11B. 10C. 8D. 79. 设x1,y1，x2,y2，⋯，x n,y n是变量x和y的n个样本点，直线l是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归直线（如图），以下结论中正确的是 A. x和y的相关系数为直线l的斜率B. x和y的相关系数在0到1之间C. 当n为偶数时，分布在l两侧的样本点的个数一定相同D. 直线l过点x,y10. 甲、乙两人一起去游" 2011西安世园会"，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 A. 136B. 19C. 536D. 16二、填空题（共7小题；共35分）11. 设f x=lg x,x>0,x+∫3t2d ta,x≤0,若f f1=1，则a=．12. 设n∈N+，一元二次方程x2−4x+n=0有整数根的充要条件是n=．13. 观察下列等式1=12+3+4=93+4+5+6+7=254+5+6+7+8+9+10=49⋯照此规律，第n个等式应为．14. 植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米，开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为米．15. 若关于x的不等式 a ≥ x+1+ x−2存在实数解，则实数a的取值范围是．16. 如图，∠B=∠D，AE⊥BC，∠ACD=90∘，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE=．17. 直角坐标系xOy中，以原点为极点，x轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A，B分别在曲线C1:x=3+cosθy=4+sinθ θ为参数和曲线C2:ρ=1上，则 AB 的最小值为．三、解答题（共6小题；共78分）18. 如图，在△ABC中，∠ABC=60∘，∠BAC=90∘，AD是BC上的高，沿AD把△ABD折起，使∠BDC=90∘．（1）证明：平面ADB⊥平面BDC；（2）设E为BC的中点，求AE与DB夹角的余弦值．19. 如图，设P是圆x2+y2=25上的动点，点D是P在x轴上的投影，M为PD上一点，且 MD =45PD ．（1）当P在圆上运动时，求点M的轨迹C的方程；的直线被C所截线段的长度．（2）求过点3,0且斜率为4520. 叙述并证明余弦定理．21. 如图，从点P10,0作x轴的垂线交曲线y=e x于点Q10,1，曲线在Q1点处的切线与x轴交于点P2，再从P2作x轴的垂线交曲线于点Q2，依次重复上述过程得到一系列点：P1，Q1；P2，Q2；⋯；P n，Q n，记P k点的坐标为x k,0k=1,2,⋯,n．（1）试求x k与x k−1的关系2≤k≤n；（2）求P1Q1+P2Q2+P3Q3+⋯+P n Q n．22. 如图，A地到火车站共有两条路径L1和L2，据统计，通过两条路径所用的时间互不影响，所用时间落在各时间段内的频率如下表：时间分钟10∼2020∼3030∼4040∼5050∼60L1的频率0.10.20.30.20.2L2的频率00.10.40.40.1现甲、乙两人分别有40分钟和50分钟时间用于赶往火车站．（1）为了尽最大可能在各自允许的时间内赶到火车站，甲和乙应如何选择各自的路径?（2）用X表示甲、乙两人中在允许的时间内能赶到火车站的人数，针对（1）的选择方案，求X 的分布列和数学期望．，g x=f x+fʹx．23. 设函数f x定义在0,+∞上，f1=0，导函数fʹx=1x（1）求g x的单调区间和最小值；的大小关系；（2）讨论g x与g1x对任意x>0成立?若存在，求出x0的取值范围；（3）是否存在x0>0，使得g x−g x0<1x若不存在，请说明理由．答案第一部分1. D 【解析】原命题的条件是a=−b，作为逆命题的结论；原命题的结论是a=b，作为逆命题的条件，即得逆命题"若a=b，则a=−b "．2. B 【解析】由准线方程x=−2得−p2=−2，且焦点在x轴的正半轴．所以y2=2px=8x．3. B 【解析】由f−x=f x得y=f x是偶函数；由f x+2=f x得y=f x是周期为2的周期函数．4. C5. A【解析】由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥．6. B 【解析】令f x=x−cos x=0，则x=cos x，函数y=x和y=cos x在0,+∞的图象如图所示，显然两函数的图象的交点有且只有一个，所以函数f x=x−cos x在0,+∞内有且仅有一个零点．7. C 8. C 【解析】x1=6，x2=9，x1−x2=3≤2不成立，即为"否"，所以输入x3；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）知不等式x3−x1<x3−x2表示：点x3到点x1的距离小于点x3到x2的距离．所以当x3<7.5时，x3−x1<x3−x2成立，即为"是"，此时x2=x3，所以p=x1+x32，即6+x32=8.5，解得x3=11>7.5，不合题意；当x3≥7.5时，x3−x1<x3−x2不成立，即为"否"，此时x1=x3，所以p=x3+x22，即x3+92=8.5，解得x3=8≥7.5，符合题意．9. D 【解析】记住回归直线永远过x,y．10. D【解析】甲、乙两人各自独立任选4个景点的情形共有A64⋅A64（种），最后一小时他们同在一个景点的情形有A53⋅A53×6（种）．所以P=A53⋅A53×6A64⋅A64=16．第二部分11. 1【解析】因为x=1>0，所以f1=lg1=0.又因为f x=x+3t2d ta=x+a3,所以f0=a3=1,解得a=1.12. 3或4【解析】x=4±16−4n2=2±4−n，因为x是整数，即2±4−n为整数，所以4−n为整数，且1≤n≤4．取n=1,2,3,4验证，可知n=3,4符合题意；反之，n=3,4时，可推出一元二次方程x2−4x+n=0有整数根．13. n+n+1+⋯+3n−2=2n−12【解析】提示：把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n，加数的个数是2n−1；等式右边都是完全平方数（左边式子的中间数的平方）．14. 2000【解析】法一：此题首先可通过实际生活经验得知：树苗放到越靠中间总路程越小，故当树苗放在第10或11个树坑时，路程最小．法二：设树苗放在第x个树坑时，往返所走总路程为y．则前x个人所走路程共20x−1+x−2+⋯+0=10x x−1；后20−x个人所走的路程为201+2+⋯+20−x=1020−x21−x；因此，20名学生所走总路程为y=20x2−420x+4200．15. −∞,−3∪3,+∞【解析】当−1≤x≤2时，在数轴上表示x的点到−1、2表示的点的距离之和为3，所以当x∈R时，x+1+x−2 ≥3．所以，只要a ≥3，此时解得a≤−3或a≥3．16. 42【解析】因为AE⊥BC，所以∠AEB=∠ACD=90∘．又因为∠B=∠D，所以△AEB∽△ACD，所以AC AE =ADAB，所以AE=AB⋅ACAD=6×412=2，在Rt△AEB中，BE= AB2−AE2=62−22=42．17. 3【解析】曲线C1的直角坐标方程是x−32+y−42=1，曲线C2的直角坐标方程是x2+y2=1，两圆外离，所以AB的最小值为3．第三部分18. （1）∵折起前AD是BC边上的高，∴当△ABD折起后，AD⊥DC，AD⊥DB．又DB ∩DC =D ，∴AD ⊥ 平面 BDC ． ∵AD ⊂ 平面 ABD ，∴平面ABD ⊥ 平面 BDC ．（2）由∠BDC =90∘及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设 DB =1，以D 为坐标原点，以DB ，DC ，DA 所在直线为x ，y ，z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：D 0,0,0 ，B 1,0,0 ，C 0,3,0 ，A 0,0, 3 ，E 12,32,0 ， 所以AE = 1,3,− 3 ,DB= 1,0,0 ,所以cos AE ,DB=AE ⋅DB AE ⋅ DB=121×4= 2222,所以AE 与DB夹角的余弦值是 2222． 19. （1）设点M 的坐标是 x ,y ，P 的坐标是 x p ,y p ， 则根据题意得x p =x ,y p =5y ,因为点P 在圆x 2+y 2=25上，所以x 2+ 54y 2=25,整理即得轨迹C 的方程为x 225+y 216=1.（2）过点 3.0 且斜率为45的直线方程是y =45x −3 ,设此直线与C 的交点为A x 1,y 1 ，B x 2,y 2 ，将y =45x −3 代入轨迹C 的方程得x2+x−32=1,化简得x2−3x−8=0,解得x1=3−41,x2=3+412,所以线段AB的长度是AB =122122=x1−x22+16x1−x22=1+1625x1−x22=41×41=41.故所截线段的长度是415．20. 叙述：余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两边平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍．或：在△ABC中，a，b，c为A，B，C的对边，有a2=b2+c2−2bc cos A,b2=c2+a2−2ca cos B,c2=a2+b2−2ab cos C.证法一：如图，a2=BC2= AC−AB⋅ AC−AB=AC2−2AC⋅AB+AB2=AC2−2AC⋅AB cos A+AB2=b2−2bc cos A+c2,即a2=b2+c2−2bc cos A.同理可证b2=c2+a2−2ca cos B,c2=a2+b2−2ab cos C.证法二：已知△ABC中，A，B，C所对边分别为a，b，c，以A为原点，AB所在直线为x轴建立直角坐标系，则C b cos A,b sin A，B c,0，所以a2=BC2=b cos A−c2+b sin A2=b2cos2A−2bc cos A+c2+b2sin2A=b2+c2−2bc cos A,即a2=b2+c2−2bc cos A.同理可证b2=c2+a2−2ca cos B,c2=a2+b2−2ab cos C.21. （1）设P k−1x k−1,0，由yʹ=e x得曲线在Q k−1x k−1,e x k−1点处的切线方程为y−e x k−1=e x k−1x−x k−1.由y=0得x k=x k−1−12≤k≤n.（2）x1=0，x k−x k−1=−1，得x k=−k−1,所以P k Q k=e x k=e−k−1，故P1Q1+P2Q2+P3Q3+⋯+P n Q n=1+e−1+e−2+⋯+e−n−1=1−e−n 1−e−1=e−e1−n.22. （1）A i表示事件"甲选择路径L i时，40分钟内赶到火车站"，B i表示事件"乙选择路径L i时，50分钟内赶到火车站"，i=1,2．用频率估计相应的概率，则有：P A1=0.1+0.2+0.3=0.6,P A2=0.1+0.4=0.5;因为P A1>P A2，所以甲应选择路径L1；P B1=0.1+0.2+0.3+0.2=0.8,P B2=0.1+0.4+0.4=0.9;因为P B2>P B1，所以乙应选择路径L2．（2）用A，B分别表示针对（1）的选择方案，甲、乙在各自允许的时间内赶到火车站，由（1）知P A=0.6,P B=0.9,又事件A，B相互独立，X的取值是0,1,2，所以P X=0=P AB=P A ⋅P B=0.4×0.1=0.04,P X=1=P AB+AB=P A P B+P A P B=0.4×0.9+0.6×0.1=0.42,P X=2=P AB=P A⋅P B=0.6×0.9=0.54,所以X的分布列为X012P0.040.420.54所以EX=0×0.04+1×0.42+2×0.54=1.5.23. （1）∵fʹx=1x，所以f x=ln x+c c为常数,又∵f1=0，所以ln1+c=0,即c=0,所以f x=ln x,g x=ln x+1 x ,所以gʹx=x−12,令gʹx=0，即x−1x2=0,解得x=1,当x∈0,1时，gʹx<0,g x是减函数，故区间0,1是函数g x的减区间；当x∈1,+∞时，gʹx>0,g x是增函数，故区间1,+∞是函数g x的增区间；所以x=1是g x的唯一极值点，且为极小值点，从而是最小值点，所以g x的最小值是g1=1.（2）g 1=−ln x+x,设 x=g x−g1x =2ln x−x+1x，则ʹx=−x−122,当x=1时， 1=0，即g x=g 1 x ,当x∈0,1∪1,+∞时，ʹx<0, ʹ1=0,因此函数 x在0,+∞内单调递减，当0<x<1时，x> 1=0,所以g x>g 1 x;当x>1时，x< 1=0,所以g x<g 1 .（3）满足条件的x0不存在．证明如下：证法一：假设存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立，即对任意x>0有ln x<g x0<ln x+2x, ⋯⋯①但对上述的x0，取x1=e g x0时，有ln x1=g x0,这与①左边的不等式矛盾，因此不存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立．证法二：假设存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立，由（1）知，g x的最小值是g1=1,又g x=ln x+1x>ln x,而x>1时，ln x的值域为0,+∞，∴当x⩾1时，g x的值域为1,+∞，从而可以取一个值x1>1，使g x1⩾g x0+1,即g x1−g x0⩾1,所以g x1−g x0 ⩾1>1 x1 ,这与假设矛盾．∴不存在x0>0，使g x−g x0<1x对任意x>0成立．。
2011年高考试题——数学理(新课标卷)解析版
2011年普通高等学校招生全国统一考试理科数学本试卷分第Ⅰ卷(选择题)和第Ⅱ卷(非选择题)两部分。
第Ⅰ卷1至2页。
第Ⅱ卷3至4页。
考试结束后，将本试卷和答题卡一并交回。
第Ⅰ卷注意事项：1．答题前，考生在答题卡上务必用直径0.5毫米黑色墨水签字笔将自己的姓名、准考证号填写清楚，并贴好条形码。
请认真核准条形码上的准考证号、姓名和科目。
2．每小题选出答案后，用2B 铅笔把答题卡上对应题目的答案标号涂黑，如需改动， 用橡皮擦干净后，再选涂其他答案标号，在试题卷上作答无效。
．．．．．．．．．． 3．第Ⅰ卷共l2小题，每小题5分，共60分。
在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
一、选择题：本大题共12小题，每小题5分，在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的。
(1)复数212ii+-的共轭复数是 （A ）35i - （B ）35i （C ）i - （D ）i（2）下列函数中，既是偶函数、又在（0，）单调递增的函数是 （A ）2y x = (B) 1y x =+ （C ）21y x =-+ (D) 2x y -= （3）执行右面的程序框图，如果输入的N 是6，那么输出的p 是（A ）120（B ）720 （C ）1440 （D ）5040（4）有3个兴趣小组，甲、乙两位同学各自参加其中一个小组，每位同学参加各个小组的可能性相同，则这两位同学参加同一个兴趣小组的概率为（A ）13 （B ）12 （C ）23 （D ）34（5）已知角θ的顶点与原点重合，始边与x 轴的正半轴重合，终边在直线2y x =上，则cos 2θ=（A ）45- （B ）35- （C ）35 （D ）45（6）在一个几何体的三视图中，正视图和俯视图如右图所示， 则相应的俯视图可以为（7）设直线l 过双曲线C 的一个焦点，且与C 的一条对称轴垂直，l 与C 交于 A,B 两点，AB 为C 的实轴长的2倍，则C 的离心率为（A ）2 （B ）3 （C ）2 （D ）3（8）512a x x x x ⎛⎫⎛⎫+- ⎪⎪⎝⎭⎝⎭的展开式中各项系数的和为2，则该展开式中常数项为（A ）-40 （B ）-20 （C ）20 （D ）40 （9）由曲线y x =，直线2y x =-及y 轴所围成的图形的面积为 （A ）103 （B ）4 （C ）163（D ）6 （10）已知a 与b 均为单位向量，其夹角为θ，有下列四个命题12:10,3P a b πθ⎡⎫+>⇔∈⎪⎢⎣⎭ 22:1,3P a b πθπ⎛⎤+>⇔∈ ⎥⎝⎦3:10,3P a b πθ⎡⎫->⇔∈⎪⎢⎣⎭ 4:1,3P a b πθπ⎛⎤->⇔∈ ⎥⎝⎦其中的真命题是（A ）14,P P （B ）13,P P （C ）23,P P （D ）24,P P（11）设函数()sin()cos()(0,)2f x x x πωϕωϕωϕ=+++><的最小正周期为π，且()()f x f x -=，则（A ）()f x 在0,2π⎛⎫ ⎪⎝⎭单调递减 （B ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递减 （C ）()f x 在0,2π⎛⎫⎪⎝⎭单调递增（D ）()f x 在3,44ππ⎛⎫⎪⎝⎭单调递增 (12)函数xy -=11的图像与函数2sin (24)y x x π=-≤≤的图像所有交点的横坐标之和等于（A ）2 (B) 4 (C) 6 (D)8第Ⅱ卷本卷包括必考题和选考题两部分。
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2011年普通高等学校招生全国统一考试·陕西卷(理科)全解全析一、选择题：在每小题给出的四个选项中，只有一项是符合题目要求的（本大题共10小题，每小题5分，共50分）．1．设a ，b 是向量，命题“若a b =- ，则||||a b =”的逆命题是 （ ） （A ）若a b ≠- ，则||||a b ≠ （B ）若a b =- ，则||||a b ≠（C ）若||||a b ≠ ，则a b ≠- （D ）若||||a b =，则a b =-【分析】首先确定原命题的条件和结论，然后交换条件和结论的位置即可得到逆命题。
【解】选D 原命题的条件是a b =- ，作为逆命题的结论；原命题的结论是||||a b =，作为逆命题的条件，即得逆命题“若||||a b =，则a b =- ”，故选D ．2．设抛物线的顶点在原点，准线方程为2x =-，则抛物线的方程是 （ ） （A ）28y x =- （B ）28y x = （C ）24y x =- （D ）24y x = 【分析】由准线确定抛物线的位置和开口方向是判断的关键． 【解】选 B 由准线方程2x =-得22p-=-,且抛物线的开口向右（或焦点在x 轴的正半轴），所以228y px x ==．3．设函数()f x （x ∈R ）满足()()f x f x -=，(2)()f x f x +=，则函数()y f x =的图像是（ ）【分析】根据题意，确定函数()y f x =的性质，再判断哪一个图像具有这些性质．【解】选B 由()()f x f x -=得()y f x =是偶函数，所以函数()y f x =的图象关于y 轴对称，可知B ，D 符合；由(2)()f x f x +=得()y f x =是周期为2的周期函数，选项D 的图像的最小正周期是4，不符合，选项B 的图像的最小正周期是2，符合，故选B ．4．6(42)x x --（x ∈R ）展开式中的常数项是 （ ）（A ）20- （B ）15- （C ）15 （D ）20【分析】根据二项展开式的通项公式写出通项，再进行整理化简，由x 的指数为0，确定常数项是第几项，最后计算出常数项.【解】选C 62(6)1231666(4)(2)222r x r x r r x r xr rx xr r T C C C -----+==⋅⋅=⋅， 令1230x xr -=，则4r =，所以45615T C ==，故选C ．5．某几何体的三视图如图所示，则它的体积是 （ ）（A ）283π- （B ）83π-（C ）82π-（D ）23π【思路点拨】根据已知的三视图想象出空间几何体，然后由几何体的组成和有关几何体体积公式进行计算．【精讲精析】选A 由几何体的三视图可知几何体为一个组合体，即一个正方体中间去掉一个圆锥体，所以它的体积是3218222833V ππ=-⨯⨯⨯=-.6．函数()cos f x x 在[0,)+∞内 （ ）（A ）没有零点 （B ）有且仅有一个零点 （C ）有且仅有两个零点 （D ）有无穷多个零点【分析】利用数形结合法进行直观判断，或根据函数的性质（值域、单调性等）进行判断。
【解】选B （方法一）数形结合法，令()cos f x x =0=，c o s x =，设函数y =和cos y x =，它们在[0,)+∞的图像如图所示，显然两函数的图像的交点有且只有一个，所以函数()cos f x x 在[0,)+∞内有且仅有一个零点；（方法二）在[,)2x π∈+∞1>，cos 1x ≤，所以()cos f x x =0>；在(0,]2x π∈，()sin 0f x x '=+>，所以函数()cos f x x =是增函数，又因为(0)1f =-，()02f π=>，所以()cos f x x =在[0,]2x π∈上有且只有一个零点．7．设集合22{||cos sin |,}M y y x x x R ==-∈，1{|||N x x i=-<i 为虚数单位，x ∈R }，则M N为（ ）（A ）（0，1） （B ）(0，1] （C ）[0，1) （D ）[0，1]【分析】确定出集合的元素是关键。
本题综合了三角函数、复数的模，不等式等知识点。
【解】选C 22|cos sin ||cos2|[0,1]y x x x =-=∈，所以[0,1]M =；因为1||x i-<||x i +<|()|x i --<x ∈R ，所以11x -<<，即(1,1)N =-；所以[0,1)M N = ，故选C.8．右图中，1x ，2x ，3x 为某次考试三个评阅人对同一道题的独立评分，p 为该题的最终得分，当16x =，29x =，8.5p =时，3x 等于（ ）（A ）11 （B ）10 （C ）8 （D ）7【分析】先读懂右图的逻辑顺序，然后进行计算判断，其中判断条件3132||||x x x x -<-是否成立是解答本题的关键．【解】选C 16x =，29x =,12||32x x -=…不成立,即为“否”，所以再输入3x ；由绝对值的意义（一个点到另一个点的距离）和不等式3132||||x x x x -<-知，点3x 到点1x 的距离小于点3x 到2x 的距离，所以当37.5x <时，3132||||x x x x -<-成立，即为“是”，此时23x x =，所以132x x p +=，即368.52x +=，解得311x =7.5>，不合题意；当37.5x …时，3132||||x x x x -<-不成立，即为“否”，此时13x x =，所以322x x p +=，即398.52x +=，解得38x =7.5>，符合题意，故选C ．9．设1122(,),(,)x y x y ，…，33(,)x y 是变量x 和y 的n 个样本点，直线l 是由这些样本点通过最小二乘法得到的线性回归方程（如图），以下结论中正确的是 （ ） （A ）x 和y 的相关系数为直线l 的斜率 （B ）x 和y 的相关系数在0到1之间（C ）当n 为偶数时，分布在l 两侧的样本点的个数一定相同 （D ）直线l 过点(,)x y【分析】根据最小二乘法的有关概念：样本点的中心，相关系数线，性回归方程的意义等进行判断． 【解】选D10．甲乙两人一起去游“2011西安世园会”，他们约定，各自独立地从1到6号景点中任选4个进行游览，每个景点参观1小时，则最后一小时他们同在一个景点的概率是 （ ） （A ）136 （B ）19 （C ）536（D ）16【分析】本题抓住主要条件，去掉次要条件（例如参观时间）可以简化解题思路，然后把问题简化为两人所选的游览景点路线的排列问题．【解】选D 甲乙两人各自独立任选4个景点的情形共有4466A A ⋅（种）；最后一小时他们同在一个景点的情形有33556A A ⋅⨯（种），所以33554466616A A P A A ⋅⨯==⋅．二、填空题：把答案填在答题卡相应题号后的横线上（本大题共5小题，每小题5分，共25分）11．设2lg 0()30ax x f x x t dt x >⎧⎪=⎨+⎪⎩⎰…，若((1))1f f =，则a = ．【分析】分段函数问题通常需要分布进行计算或判断，从1x =算起是解答本题的突破口. 【解】因为10x =>，所以(1)lg10f ==，又因为230()3af x x t dt x a =+=+⎰，所以3(0)f a =，所以31a =，1a =．【答案】112．设n N +∈，一元二次方程240x x n -+=有整数．．根的充要条件是n = ． 【分析】直接利用求根公式进行计算，然后用完全平方数、整除等进行判断计算．【解】42x ±=2=因为x 是整数，即2且4n …，又因为n N +∈，取1,2,3,4n =，验证可知3,4n =符合题意；反之3,4n =时，可推出一元二次方程240x x n -+=有整数．．根． 【答案】3或413．观察下列等式1=1 2+3+4=9 3+4+5+6+7=25 4+5+6+7+8+9+10=49……照此规律，第n 个等式为 .【分析】归纳总结时，看等号左边是子的变化规律，右边结果的特点，然后归纳出一般结论．行数、项数及其变化规律是解答本题的关键． 【解】把已知等式与行数对应起来，则每一个等式的左边的式子的第一个数是行数n ，加数的个数是21n -；等式右边都是完全平方数，行数 等号左边的项数1=1 1 1 2+3+4=9 2 3 3+4+5+6+7=25 3 5 4+5+6+7+8+9+10=49 4 7…… …… …… 所以2(1)[(21)1](21)n n n n n +++++--=- ， 即2(1)(32)(21)n n n n ++++-=- 【答案】2(1)(32)(21)n n n n ++++-=-14．植树节某班20名同学在一段直线公路一侧植树，每人植一棵，相邻两棵树相距10米．开始时需将树苗集中放置在某一树坑旁边，使每位同学从各自树坑出发前来领取树苗往返所走的路程总和最小，这个最小值为 （米）．【分析】把实际问题转化为数学模型,然后列式转化为函数的最值问题． 【解】（方法一）设树苗放在第i 个树坑旁边（如图），1 2 … i … 19 20 那么各个树坑到第i 个树坑距离的和是(1)10(2)10()10[(1)]10(20)10s i i i i i i i =-⨯+-⨯++-⨯++-⨯++-⨯ (1)(20)(120)10[(20)]22i i i i i i i i +-++=⨯⨯--⨯-+ 210(21210)i i =-+，所以当10i =或11时，s 的值最小，最小值是1000，所以往返路程的最小值是2000米.（方法二）根据图形的对称性，树苗放在两端的树坑旁边，所得路程总和相同，取得一个最值；所以从两端的树坑向中间移动时，所得路程总和的变化相同，最后移到第10个和第11个树坑旁时，所得的路程总和达到另一个最值，所以计算两个路程和即可。
树苗放在第一个树坑旁，则有路程总和是19(119)10(1219)210238002+⨯+++⨯=⨯⨯= ；树苗放在第10个（或第11个）树坑旁边时，路程总和是10(129)10(1210)2⨯++++⨯+++⨯9(19)10(110)1021029001100200022⨯+⨯+=⨯⨯+⨯⨯=+=，所以路程总和最小为2000米. 【答案】200015．（考生注意：请在下列三题中任选一题作答，如果多做，则按所做的第一题评分）A ．（不等式选做题）若关于x 的不等式|||1||2|a x x ++-…存在实数解，则实数a 的取值范围是 ．【分析】先确定|1||2|x x ++-的取值范围，再使得a 能取到此范围内的值即可． 【解】当1x -…时，|1||2|12213x x x x x ++-=---+=-+…； 当12x -<…时，|1||2|123x x x x ++-=+-+=； 当2x >时，|1||2|12213x x x x x ++-=++-=->；综上可得|1||2|3x x ++-…，所以只要||3a …，解得3a -…或3a …， 即实数a 的取值范围是(,3][3,)-∞-+∞ ．【答案】(,3][3,)-∞-+∞B ．（几何证明选做题）如图，∠B=∠D ，AE BC ⊥，90ACD ∠=，且AB=6，AC=4，AD=12，则BE= ．【分析】寻找两个三角形相似的条件，再根据相似三角形的对应边成比例求解．【解】因为AE BC ⊥，所以∠AEB=90ACD ∠=，又因为∠B=∠D ，所以△AEB ∽△ACD ，所以AC ADAE AB=, 所以64212AB AC AE AD ⋅⨯===，在Rt △AEB中，BE ==【答案】C ．（坐标系与参数方程选做题）直角坐标系xOy 中，以原点O 为极点，x 轴的正半轴为极轴建立极坐标系，设点A ，B 分别在曲线1C ：3cos 4sin x y θθ=+⎧⎨=+⎩（θ为参数）和曲线2C ：1ρ=上，则||AB 的最小值为 ．【分析】利用化归思想和数形结合法，把两条曲线转化为直角坐标系下的方程．【解】曲线1C 的方程是22(3)(4)1x y -+-=，曲线2C 的方程是221x y +=，两圆外离，所以||AB 的最113-=．【答案】3三、解答题：解答应写出文字说明、证明过程或演算步骤（本大题共6小题，共75分） 16．（本小题满分12分）如图，在△ABC 中，∠ABC=60，∠BAC 90= ，AD 是BC 上的高，沿AD 把△ABD 折起，使∠BDC 90=． （1）证明：平面ADB ⊥平面BDC ；（2）设E 为BC 的中点，求AE 与DB夹角的余弦值． 【分析】（1）确定图形在折起前后的不变性质，如角的大小不变，线段长度不变，线线关系不变，再由面面垂直的判定定理进行推理证明；（2）在（1）的基础上确定出三线两两垂直，建立空间直角坐标系，利用向量的坐标和向量的数量积运算求解．【解】（1）∵折起前AD 是BC 边上的高， ∴当△ABD 折起后， AD ⊥DC ，AD ⊥DB ， 又DB DC D = ，∴AD ⊥平面BDC ，∵AD Ü平面ABD ，∴平面ABD ⊥平面BDC ．（2）由∠BDC 90=及（1）知DA ，DB ，DC 两两垂直，不妨设|DB|=1，以D 为坐标原点，以DB ，DC，DA所在直线为,,x y z 轴建立如图所示的空间直角坐标系，易得：12,32,0)，所以13(,,22AE = ，(1,0,0)DB =，∴1cos ,22AE DBAE DB AE DB<>===⋅所以AE 与DB夹角的余弦值是22．17．（本小题满分12分）如图，设Ｐ是圆2225x y +=上的动点，点Ｄ是Ｐ在x 轴上投影， Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =． （1）当P 在圆上运动时，求点M 的轨迹C 的方程； （2）求过点（3，0）且斜率为45的直线被C 所截线段的长度． 【分析】（1）动点M 通过点P 与已知圆相联系，所以把点P 的坐标用点M 的坐标表示，然后代入已知圆的方程即可；（2）直线方程和椭圆方程组成方程组，可以求解，也可以利用根与系数关系；结合两点的距离公式计算．【解】（1）设点M 的坐标是(,)x y ，P 的坐标是(,)p p x y ， 因为点Ｄ是Ｐ在x 轴上投影， Ｍ为PD 上一点，且4||||5MD PD =，所以p x x =，且54p y y =， ∵P 在圆2225x y +=上，∴225()254x y +=，整理得2212516x y +=， 即C 的方程是2212516x y +=． （2）过点（3，0）且斜率为45的直线方程是4(3)5y x =-， 设此直线与C 的交点为11(,)A x y ，22(,)B x y ，将直线方程4(3)5y x =-代入C 的方程2212516x y +=得：22(3)12525x x -+=，化简得2380x x --=，∴132x =，232x =，所以线段AB 的长度是||AB ==415==，即所截线段的长度是415．18．（本小题满分12分） 叙述并证明余弦定理．【分析思路点拨】本题是课本公式、定理、性质的推导，这是高考考查的常规方向和考点，引导考生回归课本，重视基础知识学习和巩固． 【解】叙述:余弦定理：三角形任何一边的平方等于其他两遍平方的和减去这两边与它们夹角的余弦之积的两倍。