可靠度计算方法

一次二阶矩法

当基本状态变量X i (i =1,2,···,n )的概率密度未知，或者在概率密度函数复杂不易求其分布参数的积分时，可利用泰勒级数展开后忽略二次以上的项，只考虑它们的一阶原点矩和二阶中心矩这两个特征参数，近似地计算状态函数的均值和方差，求得可靠指标和破坏概率，故称作一次二阶矩法(First order second moment method)，包括中心点法和验算点法。

中心点法

中心点法[56]是早期结构可靠度研究所提出的分析方法，只考虑随机变量的平均值和标准差，作为一种简单的计算方法，对于结构功能函数为

S R Z -=

的可靠度问题，可靠度指标为

Z

Z

σμβ=

当随机变量R 和S 服从正态分布时，式可变为

22S

R

S R σ

σμμβ+-=

上式表示的是两个随机变量的情形，对于多个随机变量的一般形式的结构功能函数

),,,(21n X X X X g Z =

其中：X 1,X 2,···,X n 为结构中的n 个相互独立的随机变量，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。

将功能函数在随机变量的平均值处展开泰勒级数展开，取一次项近似

)()

(),,,(121i X i n

i i

n X L X X g g Z Z μμμμμ-∂∂+=≈∑

= 函数的均值和方差分别为

),,,(21n X Z Z g EZ μμμμμ ==≈

∑=⎪⎪⎭

⎫

⎝⎛∂∂=-=≈n

i X i X Z L Z

Z i L L

X

g Z E 12

2)()(σμμσσ 由中心点法的可靠度指标的定义，从而有

∑=⎪

⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂≈=n i X i

X X X X X Z Z i

n

X g g 1

2

)()

,,,(2

1

σμμμμσμβ 从式和的推导可以看出，中心点法使用了结构功能函数的的一次泰勒级数展开式和随机变量的的前两阶矩(均值和方差)，故称为一次二阶矩方法，早期也称

为二阶矩模式。中心点法的优点是显而易见的，即计算简便，不需要进行迭代求解。作为一种简单的计算方法，并没有适当的准则来决定最佳展开的。因此其缺点也是非常明显的，主要表现在如下三个方面：①功能函数在平均值处展开不仅合理；②对于力学意义相同、但数学表达形式不同的结构功能函数，由中心点法计算的结果可能不同；③没有考虑随机变量的概率分布。

验算点法

针对中心点法缺点和不足，1974年Hasofer 和Lind [57]等人对中心点法进行改进，更加科学地对可靠度指标进行了定义，将可靠度指标β定义为标准正态空间中，坐标原点到极限状态面的最短距离，并引入验算点的概念，即验算点法。验算点法是国际结构安全度联合委员会所推荐的一种可靠性分析理论，也被称为JC 法。作为可靠度分析计算中最为常用的一种解析方法，可以求解基本变量为非正态分布、多变量、极限状态函数非线性的可靠性问题。

假定结构设计中存在着n 个相互独立且服从正态分布的基本随机变量X 1,X 2,···,X n ，其平均值为n X X X μμμ,,,21 ，标准差为n X X X σσσ,,,21 。则极限状态函数表示的是以O —X 1,X 2,···,X n 为坐标系的n 维正态空间上的一个曲面。为求解可靠度指标，将基本随机变量(X 1,X 2,···,X n )标准化，形成一组新的服从标准正态分布的随机变量(x 1,x 2,···,x n )，即：

i

i

X

X i i X x σμ-=

根据Hasofer 和Lind 等人对可靠度指标新的定义，可靠度指标β 为标准正态空间中，坐标原点到极限状态的曲面的最短距离，如图2.3中OA *的长度，并将曲面上的A 点称为验算点。这样将可靠指标的求解转化成标准化随机变量空间的几何求解问题。显然，不管结构极限状态方程的数学表达式如何，只要具有相同的力学或物理含义，在标准正态坐标系中，所表示的都是同一曲面，曲面上与坐标原点距离最近的点也只有一个，因而，所得到的可靠度指标是唯一的，可靠度指标只与极限状态曲面有关，而不随结构极限状态函数数学表达形式而变。

图2 可靠度指标的几何意义及验算点

根据前面所述，将结构功能函数Z 在假定验算点X *=),,,(**2*1

n x x x 处运用泰勒级数展开且只保留线性项：

)(),,,(),,(*1**2

*

1

21i i n

i A

i

X n

X n X x X X g x x x g X X X g Z -∂∂+≈=∑

=

其中：

i X i X i i

i

X

i X x g dX dx x g X g σ1⋅∂∂=⎪⎪⎭

⎫ ⎝⎛∂∂=∂∂

结构功能函数的平均值和标准差为

)(),,,(*1

**2

*

1

*

i X n

i X

i

X n

X Z x X g x x x g i -∂∂+=∑

=μμ

*2

1i n X

z X X i i

g

X σσ=⎛⎫∂= ⎪

∂⎝⎭∑ 从而可靠度指标可表示为

*

*

****1

2

1

2

1(,,

,)()

i i

n

X X n

X i X

i i

n

X X X

i i

g g x x x x X g X μβσ==∂+-∂=

⎛⎫

∂ ⎪

∂⎝⎭

∑

∑

由可靠度指标的几何意义，验算点和可靠度指标之间具有如下关系：

*cos i i i X X i x μβσθ=+

在标准化正态空间中，由其中的几何关系可以得到极限状态曲面在假定验算点X *处法线方向余弦cos θi ：