吉林大学《高等数学》教学大纲

2013版公共基础课程设置一览表大学数学课程模块
吉林大学本科生公共数学课程
教学大纲
课程编号：ac131931001---3
课程名称：高等数学AI---AIII
课程英文名称：Advanced Mathematics AI---AIII
学时/学分：256/12.0(理论讲授192学时，习题课64学时) 课程类别：普通教育课程
课程性质：必修课
适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业
开课学期：第Ⅰ---Ⅲ学期
考核方式：考试(闭卷)
执笔人：白岩
编写日期：2013年10月
吉林大学本科生公共数学课程教学大纲
课程编号：ac13931001---3
课程名称：高等数学AI---AIII
课程英文名称：Advanced Mathematics AI---AIII
学时/学分：256/12.0(理论讲授192学时，习题课64学时)
课程类别：普通教育课程
课程性质：必修课
适用专业：计算机、软件、物理、材料、电子等专业
开课学期：第Ⅰ---Ⅲ学期
考核方式：考试(闭卷)
一、课程的对象和课程性质
高等数学A课程我校计算机、软件、物理、材料、电子等专业学生必修的一门重要的基础理论课。

通过本课程的学习，使学生获得微积分(包括无穷级数和微分方程)的基本概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。

通过本课程的教学，培养学生的数学素质和抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

目的在于为培养我国需要的高素质创新人才，满足社会的需要服务。

二、课程的教学内容及学时分配(授课+习题课)
1、预备知识(4+0)
实数集，函数，常用逻辑符号简介。

2、极限与连续(16+6)
数列极限的概念，数列极限的性质，函数极限的定义，函数极限的性质，极限的四则运算法则和复合运算法则，极限存在准则和两个重要极限，无穷小的性质，无穷小比较，无穷大，连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质,一致连续。

3、导数与微分(12+4)
导数的定义，求导举例，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数求导法则，初等函数的导数，高阶导数，隐函数及参数方程所确定的函数的导数，微分的定义，微分的几何意义，微分的计算。

4、中值定理与导数的应用(16+6)
Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L’Hospital法则，Taylor公式，函数单调性判别法，函数的极值与最值，函数的凸凹性与拐点，弧
微分与平面曲线的曲率。

5、不定积分(12+4)
原函数与不定积分，不定积分的性质，基本积分公式，第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数的积分，三角函数有理式的积分。

6、定积分(16+6)
定积分的定义，定积分的性质，积分上限函数与原函数存在定理，Newton-Leibniz公式，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的元素法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，无穷区间上的反常积分，无界函数的反常积分。

7、空间解析几何(12+6)
空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积和向量积，平面及其方程，直线及其方程，直线与平面、直线与直线、平面与平面的位置关系。

柱面与旋转曲面，曲面及其方程，曲线及其方程，常见的二次曲面。

8、多元函数的极限和连续性(6+2)
平面点集，多元函数，二重极限，极限的运算法则，多元连续函数，有界闭区域上连续函数的性质，多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学(22+6)
偏导数，高阶偏导数，全微分，多元复合函数微分法，隐函数的微分法，方向导数与梯度，空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程，多元函数的Tayloy公式，多元函数的件极值问题，条件极值问题。

10、重积分(12+4)
二重积分的概念，二重积分的几何意义和性质，直角坐标下计算二重积分，在极坐标系下计算二重积分，二重积分的换元法，三重积分的概念，在直角坐标系下计算三重积分，在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分，含参变量的积分，反常重积分，Γ函数和B函数。

11、第一型曲线积分与曲面积分(6+2)
第一型曲线积分的概念和性质，第一型曲线积分的计算，第一型曲面积分的概念和性质，曲面面积的计算，第一型曲面积分的计算，几何形体上积分的应用举例。

12、第二型曲线积分与曲面积分(16+4)
第二型曲线积分的概念和性质，两种曲线积分之间的关系，第二型曲线积分的计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第二型曲面积分的概念和性质，第二型曲面积分的计算，Gauss公式及其应用，散度，Stokes公式，旋度。

13、无穷级数(22+6)
数项级数的概念，数项级数的性质，正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法，Cauchy收敛准则，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，函数项级数的概念，幂级数及其收敛性，幂级数的运算，函数展开成幂级数，幂级数的应用，三角函数系的正交性，以 2为周期的函数的Fourier级数，奇、偶函数的展开，函数展开成正弦级数或余弦级数，以l2为周期的函数的Fourier级数。

14、常微分方程与差分方程(20+8)
常微分方程的基本概念，可分离变量方程，齐次方程，一阶齐次线性微分方程，一阶非齐次线性微分方程，Bernoulli方程，全微分方程，可降阶的高阶微分方程，高阶齐次线性微分方程的通解的结构，高阶齐次线性微分方程的通解的求
法，常系数齐次线性微分方程，高阶非齐次线性微分方程的解的结构和求法，二阶常系数非齐次线性微分方程，Euler方程，应用举例，差分方程。

三、教学内容基本要求
1、预备知识
(1)理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

(2)理解复合函数和反函数的概念。

(3)熟悉基本初等函数的性质及其图形。

(4)会建立简单实际问题中的函数关系式。

2、极限与连续
(1)理解数列极限的概念,掌握数列极限的性质，掌握数列极限的四则运算法则，掌握数列极限存在的单调有界原理，夹挤定理。

(2)理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质，掌握函数极限的四则运算法则，掌握复合函数极限运算法则，理解海涅定理，会用两个重要极限求极限。

(3)理解无穷小及无穷小的阶的概念,掌握无穷小的性质，会用等价无穷小求极限。

理解无穷大的定义，理解无穷大与无穷小的关系，了解无穷大与无界的关系。

(4)理解函数的连续(一点处、区间)的概念；了解一点处左、右连续的概念；了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点及其类型。

(5)了解连续函数的运算和初等函数的连续性。

(6)理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题中应用这些性质。

(7)了解一致连续的概念
3、导数与微分
(1)理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法
线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式。

(2)掌握函数和、差、积、商四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。

(3)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数,掌握两个函数相乘高阶导数的Leibniz公式。

(4)掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。

(5)理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导的关系；了解一阶微分形式不变性。

4、中值定理与导数的应用
(1)理解Rolle(罗尔)定理、Lagrange(拉格朗日)中值定理；了解Cauchy(柯西)中值定理、会用中值定理证明简单的等式或不等式。

(2)掌握用L’Hospital(洛必达)法则求未定式极限的方法。

(3)理解Taylor(泰勒)定理。

(4)掌握用导数判别函数的单调性和求极值和最值的方法。

(5)会用导数判断函数图形的凹凸性和求函数图形的拐点。

(6)会求平面曲线的水平渐近线、铅直渐近线和斜渐近线；会描绘简单函数的图形。

(7)掌握弧微分；理解曲率和曲率半径的概念，会计算曲率和曲率半径。

5、不定积分
(1)理解原函数和不定积分的概念；掌握不定积分的基本公式。

(2)掌握不定积分的第一换元积分法和第二换元积分法。

(3)掌握不定积分的分部积分法。

(4)会计算简单有理函数的积分，会计算简单三角有理式的积分。

6、定积分
(1)理解定积分的概念，掌握定积分的性质及定积分的中值定理；理解定积分的几何意义；了解函数可积的充分条件。

(2)理解积分上限函数的性质，会对其求导数；掌握微积分基本定理—Newton-Leibniz公式。

(3)掌握换元积分法和分部积分法。

(4)理解定积分的元素法，会求平面图形的面积、旋转体的体积、平面曲线的弧长。

(5)理解无穷区间上的反常积分和无界函数的积分的概念；会计算反常积分，会判断反常积分的收敛性。

7、空间解析几何
(1)理解空间直角坐标系。

(2)理解向量的概念，掌握向量的坐标表示法，会求单位向量、方向数、方向余弦和向量在坐标轴上的投影；掌握向量的运算(线性运算、数量积、向量积和混合积)；掌握两个向量垂直、平行的条件。

(3)理解平面方程和直线方程的概念；会求平面方程和直线方程；会求平面与平面、平面与直线、直线与直线之间的夹角；会求点到平面、点到直线的距离；会判断平面与平面之间的位置关系(平行、垂直、)；会判断直线与直线之间的位置关系(平行、垂直、相交)；会判断平面与直线之间的位置关系(平行、垂直、直线在平面上)。

(4)理解曲面方程和曲线方程的概念。

(5)了解常用的二次曲面方程及其图形；会求以坐标轴为旋转轴的旋转曲面及母线平行于坐标轴的柱面方程；了解空间曲线的参数方程和一般式方程；了解空间曲线在坐标平面上的投影，并会求其方程。

8、多元函数的极限和连续性
(1)理解n维点集特别是平面点集的概念；理解多元函数的概念；理解二元函数的几何意义。

(2)了解二元函数的极限的概念；了解二元函数极限的运算法则；会求简单二元函数的极限；会证明二元函数极限不存在。

(3)了解二元函数连续性的概念，了解闭区域上连续函数的性质，了解多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学
(1)理解多元函数偏导数的概念；掌握偏导数的求法；会求高阶偏导数。

(2)理解全微分的概念；掌握全微分的求法；了解全微分存在的充分条件和必要
条件。

(3)掌握多元复合函数一、二阶偏导数的求法。

(4)会求由方程式确定的隐函数的导数或偏导数；会求由方程组确定的隐函数的导数或偏导数。

(5)理解方向导数与梯度的概念；会求方向导数和梯度。

(6)了解空间曲线的切线和法平面及曲面的法线和切平面的概念，会求它们的方程。

(7)了解n 元函数的二阶泰勒公式和二元函数的n 阶泰勒公式；理解多元函数极值和条件极值的概念；掌握多元函数极值存在的必要条件和二元函数极值存在的充分条件；会求二元函数极值；会用拉格朗日乘数法求条件极值；会求多元函数的最值，并会解决一些应用问题。

10、重积分
(1)理解二重积分的概念；了解重积分的性质和二重积分中值定理。

(2)掌握二重积分的计算方法(直角坐标、极坐标)；了解二重积分换元法。

(3)理解三重积分概念；会计算三重积分(直角坐标、柱面坐标、球面坐标)。

(4)了解含参变量积分确定函数的概念和性质。

了解反常重积分的概念。

了解Γ函数和B 函数的定义和性质。

11、第一型曲线积分与曲面积分
(1)理解第一型曲线的概念和性质，掌握第一型曲线积分的计算。

(2)理解第一型曲面的概念和性质，掌握第一型曲面积分的计算。

(3)了解几何形体上积分的概念；会用重积分和两类线面积分求一些几何量与物理量(体积、曲面面积、弧长、质量、质心、转动惯量等)。

12、第二型曲线积分与曲面积分
(1)理解第二型曲线积分的概念，了解第二型曲线积分的性质；了解两类曲线积分之间的关系；掌握第二型曲线积分的计算方法。

(2)掌握Green 公式；掌握平面曲线积分与路径无关的条件；会求全微分的原函数。

(3)理解第二型曲面积分的概念，了解第二型曲面积分的性质；了解两类曲面积分之间的关系；掌握第二型曲面积分的计算方法。

(4)掌握Gauss 公式；了解散度的概念。

(5)了解Stokes 公式；了解旋度的概念。

13、无穷级数
(1)理解数项级数收敛和发散的概念；理解收敛级数和的概念；掌握级数收敛的必要条件和级数收敛的基本性质；掌握几何级数与调收敛与发散的条件。

(2)掌握正项级数收敛性的比较判别法、比值判别法，会根值法和积分判别法。

(3)掌握交错级数的莱布尼兹判别法；了解任意项级数绝对收敛与条件收敛的概念。

(4)理解函数项级数的收敛域及和函数的概念；理解函数项级数的一致收敛性。

(5)掌握幂级数的收敛半径、收敛区间及收敛域的求法；掌握幂级数运算规则，会求一些幂级数在收敛区间内的和函数；了解函数展开成Taylor 级数的充分必要
条件；掌握)1ln(,cos ,sin ,x x x e x +和m
x )1(+的Maclaurin 展式，会利用它们将一些
函数间接展开成幂级数。

(6)理解Fourier 级数的概念；了解Fourier 级数的收敛定理；了解三角函数系
的正交性；掌握将以２π为周期的函数展开成Fourier 级数的方法；了解将以2l 为周期的函数展开成Fourier 级数；会将函数展开成正弦级数和余弦级数。

14、常微分方程与差分方程
(1)理解微分方程及其解、阶、通解、初始条件、初值问题和特解等概念。

(2)掌握可分离变量的方程、齐次方程、准齐次方程的解法。

(3)会解一阶线性方程；了解常数变易法；会解伯努利方程。

(4)会解全微分方程。

(5)会用降阶法解高阶微分方程，形如：
)()(x f y n =.),x (y f y '=''),(y y f y '=''
(6)理解线性微分方程的性质和解的结构；掌握二阶常系数齐次线性方程的解法。

(7)理解非齐次线性微分方程解的结构和叠加原理。

会解自由项为多项式、指数函数、正弦函数、余弦函数以及它们的和与积的二阶常系数非齐次线性微分方程；会解Euler 方程；会应用微分方程解决一些实际问题。

(8)理解差分方程的概念，会解简单的差分方程。

四、 选用教材与主要参考书
1、选用教材
大学数学——微积分(上、下册)第二版，普通高等教育“十一五”国家级规划教材，李辉来等编，高等教育出版社2010年出版。

2、主要教学参考书
(1)高等数学(上、中、下)，欧维义等编，吉林大学出版社，2000年出版。

(2)微积分(上、下)，同济大学应用数学系编，高等教育出版社，2002年出版。

五、 关于本大纲的说明
1、本大纲依据教育部颁发的教学基本要求，按照吉林大学本科课程教学大
纲管理条例(校教字[2003]16号)，并结合我校相关专业需求的具体情况拟定的，适合于对数学知识需求较多的专业使用。

2、“教学内容”中打*的部分和相应条目的内容是供选讲或可略讲的内容。

任课教师可根据教学实际情况适当处理，亦可根据教学对象适当增加少量大纲规定之外的内容。

3、该课程以课堂讲授为主、习题课教学为辅助环节，课堂讲授以教材内容、为主，习题课以解题方法、作业的总结和讨论为主。

教学过程以板书或多媒体为手段，由浅入深，循序渐进，启发式教学，全部内容授课结束后，以闭卷的形式进行期末考试，并对结果进行试卷分析和总结。

吉林大学本科生公共数学课程
教学大纲
课程编号：ac13931004---5
课程名称：高等数学BI---BII
课程英文名称：Advanced Mathematics BI---BII
学时/学分：208/10 (理论讲授176学时，习题课32学时) 课程类别：普通教育课程
课程性质：必修课
适用专业：工科、化学、生物、环境等专业
开课学期：第Ⅰ---Ⅱ学期
考核方式：考试(闭卷)
先修课程：初等数学
执笔人：孙毅
编写日期：2013年10月
吉林大学本科生公共数学课程教学大纲
课程编号：ac13931004---5
课程名称：高等数学BI---BII
课程英文名称：Advanced Mathematics BI---BII
学时/学分：208/10 (理论讲授176学时，习题课32学时)
课程类别：普通教育课程
课程性质：必修课
适用专业：工科、化学、生物、环境等专业
开课学期：第Ⅰ--Ⅱ学期
考核方式：考试(闭卷)
一、课程的对象和课程性质
高等数学B是我校各工科专业、化学、生物、环境等专业学生的普通教育必修课，通过本课程的学习，使学生获得微积分(包括无穷级数和微分方程)的基本概念、理论和方法，为学习后续课程和进一步获得数学知识奠定基础。

通过本课程的教学，培养学生的数学素质和抽象思维能力、逻辑推理能力、空间想象能力、运算能力和综合运用所学知识分析问题和解决问题的能力。

目的在于为培养我国需要的高素质创新人才，满足社会的需要服务。

二、课程的教学内容及学时分配(授课+习题课)
1、预备知识(4+0)
实数集，函数，常用逻辑符号简介。

2、极限与连续(16+4)
数列极限的概念，数列极限的性质，函数极限的定义，函数极限的性质，极限的四则运算法则和复合运算法则，极限存在准则和两个重要极限，无穷小的性质，无穷小比较，无穷大，连续函数的概念，函数的间断点，连续函数的运算与初等函数的连续性，闭区间上连续函数的性质。

3、导数与微分(12+2)
导数的定义，求导举例，导数的几何意义，函数的可导性与连续性之间的关系，函数的和、差、积、商的求导法则，反函数的求导法则，复合函数求导法则，初等函数的导数，高阶导数，隐函数及参数方程所确定的函数的导数，微分的定义，微分的几何意义，微分的计算。

4、中值定理与导数的应用(16+2)
Rolle中值定理，Lagrange中值定理，Cauchy中值定理，L’Hospital法则，Taylor公式，函数单调性判别法，函数的极值与最值，函数的凸凹性与拐点，弧
微分与平面曲线的曲率。

5、不定积分(12+2)
原函数与不定积分，不定积分的性质，基本积分公式，第一换元积分法，第二换元积分法，分部积分法，简单有理函数的积分，三角函数有理式的积分。

6、定积分(14+4)
定积分的定义，定积分的性质，积分上限函数与原函数存在定理，Newton-Leibniz公式，定积分的换元积分法，定积分的分部积分法，定积分的元素法，平面图形的面积，旋转体的体积，平面曲线的弧长，无穷区间上的反常积分，无界函数的反常积分。

7、空间解析几何(14+2)
空间直角坐标系，向量的概念，向量的线性运算，向量的坐标，向量的数量积和向量积，平面及其方程，直线及其方程，直线与平面、直线与直线、平面与平面的位置关系。

柱面与旋转曲面，曲面及其方程，曲线及其方程，常见的二次曲面。

8、多元函数的极限和连续性(6+0)
平面点集，多元函数，二重极限，极限的运算法则，多元连续函数，有界闭区域上连续函数的性质，多元初等函数的连续性。

9、多元函数微分学(16+4)
偏导数，高阶偏导数，全微分，多元复合函数微分法，隐函数的微分法，方向导数与梯度，空间曲线的切线和法平面方程，曲面的切平面和法线方程，多元函数的Taylor公式，多元函数的件极值问题，条件极值问题。

10、重积分(14+2)
二重积分的概念，二重积分的几何意义和性质，直角坐标下计算二重积分，在极坐标系下计算二重积分，二重积分的换元法，三重积分的概念，在直角坐标系下计算三重积分，在柱面坐标和球面坐标下计算三重积分，含参变量的积分，反常重积分，Γ函数和B函数。

11、第一型曲线积分与曲面积分(6+2)
第一型曲线积分的概念和性质，第一型曲线积分的计算，第一型曲面积分的概念和性质，曲面面积的计算，第一型曲面积分的计算，几何形体上积分的应用举例。

12、第二型曲线积分与曲面积分(14+2)
第二型曲线积分的概念和性质，两种曲线积分之间的关系，第二型曲线积分的计算，Green公式，平面曲线积分与路径无关的条件，第二型曲面积分的概念和性质，第二型曲面积分的计算，Gauss公式及其应用，散度，Stokes公式，旋度。

13、无穷级数(16+4)
数项级数的概念，数项级数的性质，正项级数的比较判别法、比值判别法和根值判别法，Cauchy收敛准则，Leibniz判别法，绝对收敛与条件收敛，函数项级数的概念，幂级数及其收敛性，幂级数的运算，函数展开成幂级数，幂级数的应用，三角函数系的正交性，以 2为周期的函数的Fourier级数，奇、偶函数的展开，函数展开成正弦级数或余弦级数，以l2为周期的函数的Fourier级数。

14、常微分方程与差分方程(16+2)
常微分方程的基本概念，可分离变量方程，齐次方程，一阶齐次线性微分方程，一阶非齐次线性微分方程，Bernoulli方程，全微分方程，可降阶的高阶微分方程，高阶齐次线性微分方程的通解的结构，高阶齐次线性微分方程的通解的求
法，常系数齐次线性微分方程，高阶非齐次线性微分方程的解的结构和求法，二阶常系数非齐次线性微分方程，Euler方程，应用举例。

三、教学内容基本要求
1、预备知识
(1)理解函数的概念及函数奇偶性、单调性、周期性、有界性。

(2)理解复合函数和反函数的概念。

(3)熟悉基本初等函数的性质及其图形。

(4)会建立简单实际问题中的函数关系式。

2、极限与连续
(1)理解数列极限的概念,掌握数列极限的性质，掌握数列极限的四则运算法则，掌握数列极限存在的单调有界原理，夹挤定理。

(2)理解函数极限的概念，掌握函数极限的性质，掌握函数极限的四则运算法则，掌握复合函数极限运算法则，理解海涅定理，会用两个重要极限求极限。

(3)理解无穷小及无穷小的阶的概念,掌握无穷小的性质，会用等价无穷小求极限。

理解无穷大的定义，理解无穷大与无穷小的关系，了解无穷大与无界的关系。

(4)理解函数的连续(一点处、区间)的概念；了解一点处左、右连续的概念；了解函数在一点连续和极限存在的关系；会判断函数间断点及其类型。

(5)了解连续函数的运算和初等函数的连续性。

(6)理解闭区间上连续函数的有界性定理、最值定理和介值定理，会在实际问题中应用这些性质。

3、导数与微分
(1)理解导数的概念；了解导数的几何意义，会求平面曲线在一点处的切线、法
线方程；掌握可导性和连续性的关系；掌握基本初等函数的求导公式。

(2)掌握函数和、差、积、商四则运算求导法则和复合函数的求导法则，会求反函数的导数；了解左、右导数的概念，会求分段函数的导数。

(3)理解高阶导数的概念，会求简单函数的n阶导数,掌握两个函数相乘高阶导数的Leibniz公式。

(4)掌握隐函数和由参数方程所确定的函数的一、二阶导数，会对数求导法。

(5)理解微分的概念；掌握微分的运算法则，会求函数的微分；掌握可微与可导的关系；了解一阶微分形式不变性。

4、中值定理与导数的应用
(1)理解Rolle(罗尔)定理、Lagrange(拉格朗日)中值定理；了解Cauchy(柯西)中值定理、会用中值定理证明简单的等式或不等式。