人教版七年级上册数学专题培优训练：找规律之图形变化类(二)(含答案)

七年级上册数学专题培优训练：找规律之图形变化类（二）
1．问题提出：
某校要举办足球赛，若有5支球队进行单循环比赛（即全部比赛过程中任何一队都要分别与其他各队比赛一场且只比赛一场），则该校一共要安排多少场比赛？
构建模型：
生活中的许多实际问题，往往需要构建相应的数学模型，利用模型的思想来解决问题．为解决上述问题，我们构建如下数学模型：
（1）如图①，我们可以在平面内画出5个点（任意3个点都不在同一条直线上），其中每个点各代表一支足球队，两支球队之间比赛一场就用一条线段把他们连接起来．由于每支球队都要与其他各队比赛一场，即每个点与另外4个点都可连成一条线段，这样一共连成5×4条线段，而每两个点之间的线段都重复计算了一次，实际只有＝10条线段，所以该校一共要安排10场比赛．
（2）若学校有6支足球队进行单循环比赛，借助图②，我们可知该校一共要安排场比赛；
（3）根据以上规律，若学校有n支足球队进行单循环比赛，则该校一共要安排场比赛．
实际应用：
（4）9月1日开学时，老师为了让全班新同学互相认识，请班上42位新同学每两个人都相互握一次手，全班同学总共握手次．
拓展提高：
（5）往返于青岛和济南的同一辆高速列车，中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车
站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），那么在这段线路上往返行车，要准备车票的种数为种．
2．观察下列图形与等式：
⇒22﹣12＝2×1+1×1；
图（1）
⇒32﹣22＝3×1+2×1；
图（2）
⇒42﹣32＝4×1+3×1；
图（3）
⇒？
图（4）
……
根据图形面积与等式的关系找出规律，并结合其中的规律解决下列问题：
（1）根据规律，图（4）对应的等式为；
（2）请你猜想图（n）对应的等式（用含n的等式表示），并证明．
3．如图是智多星同学用一模一样的三角形摆放的图案：
（1）按照这样的规律，求出第4堆三角形的个数；
（2）请帮智多星同学求出第n堆三角形的个数．
4．用黑白两种颜色的正六边形地砖按如图所示的规律拼成若干图案．
（1）当黑砖n＝1时，白砖有块；
当黑砖n＝2时，白砖有块；
当黑砖n＝3时，白砖有块．
（2）第100个图案中，白色地砖共块．
5．用黑白两种颜色的正方形纸片，按黑色纸片数逐渐加1的规律拼成一系列图案，请仔细观察，并回答下列问题：
（1）第4个图案中有白色纸片多少张？
（2）第n个图案中有白色纸片多少张？
（3）第几个图案有白色纸片有2011张？（写出必要的步骤）
6．如图是一组有规律的图案，它们是由边长相等的等边三角形组合而成，第1个图案有4个三角形，第2个图案有7个三角形，第3个图案有10个三角形…照此规律摆下去：
（1）照此规律，摆成第5个图案需要个三角形．
（2）照此规律，摆成第n个图案需要个三角形．（用含n的代数式表示）（3）照此规律，摆成第2020个图案需要几个三角形？
7．用围棋子按下面的规律摆图形
（1）第4个图形需用棋子枚；
（2）第n个图形需用棋子（用n的代数式表示）枚；
（3）求第2018个图形需用棋子多少枚？
8．用火柴棒拼成如图所示的几何图形．图1由6根火柴棒拼成，图2由11根火柴棒拼成，图3由16根火柴棒拼成…
（1）图4由根火柴棒拼成．
（2）根据规律猜想并用含n的代数式表示图n火柴棒的根数．
9．用3根火柴棒搭成1个三角形，接着用火柴棒按如图所示的方式搭成2个三角形，再用火柴棒搭成3个三角形、4个三角形…
（1）若这样的三角形有6个时，则需要火柴棒根；
（2）若这样的三角形有n个时，则需要火柴棒根；
（3）若用了2021根火柴棒，则可组成这样图案的三角形有个．
10．在数学活动课上，某活动小组用棋子摆出了下列图形：
（1）探索新知：
①第5个图形需要枚棋子；②第n个图形需要枚棋子．
（2）思维拓展：
小明说：“我要用360枚棋子摆出一个符合以上规律的图形”，你认为小明能摆出吗？
如果能摆出，请问摆出的是第几个图形；如果不能，请说明理由．
参考答案
1．解：（2）学校有6支足球队进行单循环比赛，
借助图②可知，
该校一共要安排（场）比赛．
故答案为15；
（3）根据以上规律可知：
学校有n支足球队进行单循环比赛，
则该校一共要安排（场）比赛．
故答案为：；
（4）班上42位新同学每两个人都相互握一次手，
全班同学总共握手：（次）．
故答案为：861；
（5）中途经青岛北站、潍坊、青州、淄博4个车站（每种车票票面都印有上车站名称与下车站名称），
那么在这段线路上往返行车，
要准备车票的种数为：6×5＝30（种）．
故答案为：30．
2．解：观察上边图形面积与等式的关系：
（1）图（4）对应的等式为：
52﹣42＝5×1+4×1，
故答案为：52﹣42＝5×1+4×1；
（2）根据（1）发现规律：
图（n）对应的等式为：
（n+1）2﹣n2═（n+1）×1+n×1
证明：左边＝n2+2n+1﹣n2＝2n+1，
右边＝2n+1，
∴左边＝右边，
即（n+1）2﹣n2＝（n+1）×1+n×1．
3．解：观察图形可知：
（1）第1堆三角形的个数是5个，即5＝3×1+2；
第2堆三角形的个数是8个，即8＝3×2+2；
第3堆三角形的个数11个，11＝3×3+2；
所以第4堆三角形的个数为：3×4+2＝14（个）；
（2）根据（1）发现规律：
第n堆三角形的个数为（3n+2）个．
4．解：（1）当黑砖n＝1时，白砖有6块，即4×1+2＝6；
当黑砖n＝2时，白砖有10块，即4×2+2＝10；
当黑砖n＝3时，白砖有14块，即4×3+2＝14．
故答案为：6；10；14；
（2）根据（1）可知：
第n个图案中，白色地砖共（4n+2）块．
所以第100个图案中，白色地砖共4×100+2＝402（块）．故答案为：402．
5．解：（1）观察图形的变化可知：
第1个图案中有白色纸片张数为：3×1+1＝4；
第2个图案中有白色纸片张数为：3×2+1＝7；
第3个图案中有白色纸片张数为：3×3+1＝10；
第4个图案中有白色纸片张数为：3×4+1＝13；
（2）根据（1）发现规律：
第n个图案中有白色纸片张数为：（3n+1）张．
（3）根据（2）可知：
3n+1＝2011，
解得n＝670．
答：第670个图案有白色纸片有2011张．
6．解：设摆成第n（n为正整数）个图案需要a n个三角形．
（1）∵a
1＝4，a
2
＝7，a
3
＝10，a
4
＝13，
∴a
2﹣a
1
＝a
3
﹣a
2
＝a
4
﹣a
3
＝3，
∴a
5＝a
4
+3＝16．
故答案为：16．
（2）由（1）可知：a n＝（a
2﹣a
1
）+（a
3
﹣a
2
）+（a
4
﹣a
3
）+…+（a n﹣a n
﹣1
）+a
1
＝3（n﹣1）
+4＝3n+1．
故答案为：（3n+1）．
（3）当n＝2020时，a
2020
＝3×2020+1＝6061，∴摆成第2020个图案需要6061个三角形．7．解：设第n个图形需用a n枚棋子（n为正整数）．
（1）∵a
1＝3+2＝5，a
2
＝3×2+2＝8，a
3
＝3×3+2＝11，
∴a
4
＝3×4+2＝14．故答案为：14；
（2）∵a
1＝3+2＝5，a
2
＝3×2+2＝8，a
3
＝3×3+2＝11，a
4
＝3×4+2＝14，…，
∴a n＝3n+2．
故答案为：（3n+2）．
（3）当n＝2018时，a
2018
＝3×2018+2＝6056．8．解：（1）由图可知，
图1中的火柴棒有：1+5×1＝6（根），
图2中的火柴棒有：1+5×2＝11（根），
图3中的火柴棒有：1+5×3＝16（根），
则图4中的火柴棒有：1+5×4＝21（根），
故答案为：21；
（2）∵图1中的火柴棒有：1+5×1＝6（根），图2中的火柴棒有：1+5×2＝11（根），
图3中的火柴棒有：1+5×3＝16（根），
…，
∴图n火柴棒的根数为：1+5n．
9．解：（1）由图可知，
搭成1个三角形需要火柴棒：1+2×1＝3（根），搭成2个三角形需要火柴棒：1+2×2＝5（根），搭成3个三角形需要火柴棒：1+2×3＝7（根），
搭成4个三角形需要火柴棒：1+2×4＝9（根），
…，
故这样的三角形有6个时，则需要火柴棒1+2×6＝13（根），故答案为：13；
（2）由（1）可得，
若这样的三角形有n个时，则需要火柴棒（2n+1）根，
故答案为：（2n+1）；
（3）令2n+1＝2021，
解得n＝1010，
故答案为：1010．
10．解：（1）①由图可知，
第1个图形中棋子的个数为：1+3×1＝4，
第2个图形中棋子的个数为：1+3×2＝7，
第3个图形中棋子的个数为：1+3×3＝10，
第4个图形中棋子的个数为：1+3×4＝13，
故第5个图形中棋子的个数为：1+3×5＝16，
故答案为：16；
②第n个图形需要：（1+3n）枚棋子；
故答案为：（1+3n）；
（2）小明用360枚棋子不能摆出一个符合以上规律的图形，理由：令1+3n＝360，得n＝119，
∵n为整数，
∴n＝119不符合实际，
∴小明用360枚棋子不能摆出一个符合以上规律的图形．。