运筹学最大流问题例题

运筹学最大流问题例题
以下是一个关于运筹学最大流问题的例题：
假设有一个有向图，有两个特殊的节点，分别是源点（S）和
汇点（T）。

图中还有一些其他的节点，表示各个任务或工作。

节点之间有一些带有容量限制的边，表示各个任务之间的关系。

假设需要将尽可能多的任务从源点发送到汇点，但要满足以下条件：
1. 每个任务只能由一个人来执行；
2. 每个人只能执行一个任务；
3. 每个任务只能在特定的时间完成；
4. 每个人只能在特定的时间段内工作。

问题：设计一个算法来确定可以完成的最大任务数。

解法：
1. 为了建立最大流问题的模型，我们需要将图中的节点和边进行转换。

首先，将源点和汇点分别用两个特殊的节点S和T
表示。

2. 对于每个任务节点，将其分解为两个节点v_in和v_out，以
表示任务开始和任务结束的时间点。

3. 对于每个容量限制的边(a, b)，我们将其转换为两条边
(v_out_a, v_in_b)和(v_out_b, v_in_a)，容量为边(a, b)上的容量
限制。

4. 然后，将所有节点和边加入到一个图中，并运用最大流算法（如Ford-Fulkerson算法）来找到从S到T的最大流。

5. 最终的最大流就是可以完成的最大任务数。

这是一个应用最广泛的最大流问题的例题，通过建立合适的模型，可以将实际问题转化为最大流问题，并通过最大流算法来解决。