平面直角坐标系中点的面积问题专项训练(30道)(举一反三)(浙教版)(解析版)

专题4.2 平面直角坐标系中点的面积问题专项训练（30道）
【浙教版】
考卷信息：
本套训练卷共30题，题型针对性较高，覆盖面广，选题有深度，涵盖了平面直角坐标系中的规律问题所有类型！
一．选择题（共10小题）
1．（2022春•龙泉驿区期末）如图，在平面直角坐标系中，将折线AEB 向右平移得到折线CFD ，则折线
AEB 在平移过程中扫过的面积是（ ）
A ．15
B ．20
C ．24
D ．25
【分析】折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱ACFE +S ▱BDFE ，再根据平行四边形的面积公式求解即可．
【解答】解：折线AEB 在平移过程中扫过的面积＝S ▱ACFE +S ▱BDFE
＝5×3+5×2
＝15+10
＝25，
故选：D ．
2．（2022春•商南县期末）已知点A 的坐标为（0，0），点B 的坐标为（4，0），点C 在y 轴上，△ABC
的面积是10，则点C 的坐标可能是（ ）
A ．（0，10）
B ．（5，0）
C ．（0，﹣5）
D ．（0，4）
【分析】首先求得AB 的长，根据三角形的面积公式，即可求得C 的纵坐标，进而得到C 的坐标．
【解答】解：设点C 坐标是（0，y ）根据题意得，12AB ×AC ＝10即1
2×4×|y |＝10，
解得y ＝±5．
所以点C 坐标是：（0，5）或（0，﹣5）．
故选：C ．
3．（2022•市中区二模）平面直角坐标系中，P （x ，y ）的横坐标与纵坐标的绝对值之和叫做P （x ，y ）的
勾股值，记为「P」，即「P」＝|x|+|y|．若点B在第一象限且满足「B」＝4，则满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为（）
A．2B．4C．6D．8
【分析】由勾股值的定义可得方程x+y＝4（x＞0，y＞0），变形得y＝﹣x+4，求出此函数与坐标轴的交点坐标即可求面积．
【解答】解：设点P坐标为（x，y），由点B在第一象限且满足「B」＝4，
∴x+y＝4（x＞0，y＞0）．
即y＝﹣x+4，
∵y＝﹣x+4与x轴交点为（4，0），与y轴交点为（0，4），
∴满足条件的所有B点与坐标轴围成的图形的面积为1
2
×4×4=8．
故选：D．
4．（2022春•江夏区校级月考）如图所示，直角坐标系中四边形的面积是（）
A．15.5B．20.5C．26D．31
【分析】图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，分别计算其面积并求和即可．【解答】解：图中四边形可以视为由两个直角三角形和一个梯形构成，则其面积为：
1 2×2×3+1
2
（3+4）×3+1
2
×1×4＝3+21
2
+2＝15.5．
故选：A．
5．（2022春•汇川区期末）如图，点A、B的坐标分别为（﹣5，6）、（3，2），则三角形ABO的面积为（）
A．12B．14C．16D．18
【分析】作AC⊥x轴、BD⊥x轴，根据A、B坐标得出AC、BD及CD的长，根据S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△AOC
﹣S△BOD可得答案．
【解答】解：如图，作AC⊥x轴于点C，作BD⊥x轴于点D，
∵A（﹣5，6）、B（3，2），
∴AC＝6、OC＝5，BD＝2、OD＝3，
则CD＝OC+OD＝8，
∴S△AOB＝S梯形ABDC﹣S△AOC﹣S△BOD
=1
2×（2+6）×8−1
2
×5×6−1
2
×2×3
＝32﹣15﹣3
＝14，
故选：B．
6．（2022春•沙河市期中）在网格图中有一个面积为10的△ABC，△ABC的三个顶点均在网格的格点上，墨墨在网格图中建立了适当的直角坐标系，并知道点A的坐标为（2，3），点B的坐标为（﹣3，﹣2），后来墨墨不小心在该图洒上了墨水，如图所示，点C的坐标看不清了，但他记得线段AC与y轴平行，则点C的坐标为（）
A．（2，1）B．（1，2）C．（2，﹣1）D．（﹣1，2）
【分析】根据三角形的面积公式求出AC，再根据网格结构确定出点C的坐标即可．
【解答】解：∵A（2，3），B（﹣3，﹣2），线段AC与y轴平行，
∴点B到AC的距离为2+3＝5，
∴S△ABC=1
2
AC•5＝10，
解得AC＝4，
∴点C的纵坐标为3﹣4＝﹣1，
∴点C的坐标为（2，﹣1）．
故选：C．
7．（2022春•嘉祥县期末）若△ABC三个顶点的坐标分别为A（﹣3，﹣1），B（2，﹣1），C（1，3），则△ABC的面积为（）
A．7.5B．10C．15D．20
【分析】构造平面直角坐标系，标出点A、B、C在坐标系中的位置，过点C向AB作垂线，垂足为D，
根据S△ABC=1
2
AB×CD，即可得到答案．
【解答】解：过点C向AB作垂线，垂足为D，如下图所示：
则AB＝2﹣（﹣3）＝5，
CD＝3+1＝4，
S△ABC=1
2AB×CD=1
2
×5×4＝10，
故选：B．
8．（2022秋•历下区期中）如图，由8个边长为1的小正方形组成的图形，被线段AB平分为面积相等的两部分，已知点A的坐标是（1，0），则点B的坐标为（）
A．(11
3，3)B．(10
3
，3)C．(15
4
，3)D．(18
5
，3)
【分析】如图，设BC＝x，根据题意列方程即可得到结论．【解答】解：如图，设BC＝x，
由题意得，1
2×3×（2+x）=1
2
×8，
解得：x=2
3
，
3+2
3=11
3
，
∴点B的坐标为（11
3
，3），
故选：A．
9．（2022春•重庆期末）已知点P的坐标为（a，b）（a＞0），点Q的坐标为（c，2），且|a﹣c|+√b−8=0，将线段PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，那么a+b+c的值为（）
A．12B．14C．16D．20
【分析】利用非负数的性质求出b的值，推出a＝c，推出PQ＝6，根据PQ向右平移a个单位长度，其扫过的面积为24，推出a＝4即可解决问题．
【解答】解：∵|a﹣c|+√b−8=0，
又∵|a﹣c|≥0，√b−8≥0，
∴a ﹣c ＝0，b ﹣8＝0，
∴a ＝c ，b ＝8，
∴P （a ，8），Q （a ，2），
∴PQ ＝6，
∵线段PQ 向右平移a 个单位长度，其扫过的面积为24，
∴a ＝4，
∴a ＝c ＝4，
∴a +b +c ＝4+8+4＝16，
故选：C ．
10．（2022春•嘉祥县期末）我们定义：过点（0，a ）且平行于x 轴的直线为y ＝a ，若A （﹣2，0），B （1，
2），点P 为直线y ＝4上一动点，且△P AB 的面积为6平方单位，则点P 的坐标为（ ）
A ．（﹣2，4）
B ．（0，4）或（10，4）
C ．（﹣2，4）或（10，4）
D ．（9，4） 【分析】设直线AB 交直线y ＝4于C ．求出点C 坐标，设P （m ，4），构建方程即可解决问题；
【解答】解：∵A （﹣2，0），B （1，2），设直线AB 交直线y ＝4于C ．
∴直线AB 的解析式为y =23x +4
3， ∵直线PC 的解析式为y ＝4，
∴C （4，4），设P （m ，4），
由题意：12•|4﹣m |•4−1
2•|4﹣m |•2＝6，
解得m ＝﹣2或10，
∴P （﹣2，4）或（10，4）
故选：C ．
二．填空题（共6小题）
11．（2022春•金乡县期末）在平面直角坐标系中，对于任意三点A，B，C的“矩面积”，给出如下定义：“水平底”a：任意两点横坐标差的最大值，“铅垂高”h：任意两点纵坐标差的最大值，则“矩面积”S ＝ah．例如，三点坐标分别为A（0，3），B（﹣3，4），C（1，﹣2），则“水平底”a＝4，“铅垂高”
h＝6，“矩面积”S＝ah＝24．若D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）三点的“矩面积”为20，则m的值为3或﹣2．
【分析】根据矩面积的定义表示出水平底”a和铅垂高“h，利用分类讨论对其铅垂高“h进行讨论，从而列出关于m的方程，解出方程即可求解．
【解答】解：∵D（2，2），E（﹣2，﹣1），F（3，m）
∴“水平底”a＝3﹣（﹣2）＝5
“铅垂高“h＝3或|1+m|或|2﹣m|
①当h＝3时，三点的“矩面积”S＝5×3＝15≠20，不合题意；
②当h＝|1+m|时，三点的“矩面积”S＝5×|1+m|＝20，
解得：m＝3或m＝﹣5（舍去）；
③当h＝|2﹣m|时，三点的“矩面积”S＝5×|2﹣m|＝20，
解得：m＝﹣2或m＝6（舍去）；
综上：m＝3或﹣2
故答案为：3或﹣2
12．（2022春•平泉市期末）如图，两个形状、大小完全相同的直角三角形叠放在一起，将直角三角形ABC 沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置．已知点A（1，5），点B（1，1），DG＝1，平移距离为2．
（1）点G的坐标为（3，4）；
（2）阴影部分的面积S＝7．
【分析】（1）求出BE，GE的长度即可得出答案；
（2）根据平移的性质得S△ABC＝S△DEF，从而S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，梯形ABEG的面积＝阴影部
分的面积，求梯形的面积即可得到阴影部分的面积．
【解答】解：（1）∵A（1，5），点B（1，1），
∴AB＝4，
∵平移距离为2，
∴BE＝2，DE＝AB＝4，
∵DG＝1，
∴GE＝DE﹣DG＝4﹣1＝3，
∴G（3，4）；
故答案为：G（3，4）；
（2）∵将直角三角形ABC沿着x轴正方向平移到直角三角形DEF的位置，
∴S△ABC＝S△DEF，
∴S△ABC﹣S△CEG＝S△DEF﹣S△CEG，
∴梯形ABEG的面积＝阴影部分的面积，
×（AB+EG）×BE
∴S=1
2
×（4+3）×2
=1
2
＝7．
故答案为：7．
13．（2022春•仙居县期末）如图，在平面直角坐标系中，点A（1，1），点B（3，0）．现将线段AB平移，使点A，B分别平移到点A′，B'，其中点A′（1，4），则四边形AA'B'B的面积为6．
【分析】把四边形AA′B′B的面积转化为特殊四边形的面积求解即可．
【解答】解：如图，过点B′作B′E⊥AA′于点E，延长A′A交OB于点F．
由题意得，AB＝A′B′，AB∥A′B′，
∵点A（1，1），点B（3，0），点A′（1，4），
∴AA′＝BB′＝3，
∵B′E⊥AA′，
∴四边形B′EFB是长方形，
∴AA′＝EF＝3，
∴四边形AA′B′B的面积＝四边形B′EFB的面积＝3×2＝6，
故答案为：6．
14．（2022春•海淀区校级期中）如图，在平面直角坐标系中，曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积是3．
【分析】曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积可以看成是底为1，高为3的平行四边形的面积．
【解答】解：曲线f向上平移1个单位形成曲线g的过程中所扫过的面积＝1×3＝3，
故答案为：3．
15．（2022春•昌黎县期末）如图，在直角坐标系中，A（﹣1，2），B（3，﹣2），则△AOB的面积为2．
【分析】直接利用A，B点坐标，再利用△AOB所在直角三角形面积减去周围图形面积得出答案．
【解答】解：△AOB的面积为：1
2×4×4−1
2
×1×2﹣2−1
2
×2×3＝2．
故答案为：2．
16．（2022•漳州校级一模）已知：如图△ABC的顶点坐标分别为A（﹣4，﹣3），B（0，﹣3），C（﹣2，1），如将B点向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点，若设△ABC的面积为S1，△AB1C 的面积为S2，则S1，S2的大小关系为s1＝s2（填“＜”、“＞”、“＝”）．
【分析】直接利用平移中点的变化规律求解即可．
平移中点的变化规律是：横坐标右移加，左移减；纵坐标上移加，下移减．
【解答】解：原来点的横坐标是0，纵坐标是﹣3，向右平移2个单位后再向上平移4个单位到达B1点的
横坐标是0+2＝2，纵坐标为﹣3+4＝1．那么原三角形的面积是：1
2×4×4＝8，新三角形的面积为：1
2
×4
×4＝8，∴两三角形的面积相等，即s1＝s2．
三．解答题（共14小题）
17．（2022春•上蔡县月考）如图，六边形ABCDE在平面直角坐标系内．
（1）写出点A、B、C、D、E、F的坐标：A（2，3）、B（﹣2，3）、C（﹣4，0）、D（3，﹣3）、E（）2，﹣3）；、F（3，0）；；
（2）六边形ABCDE的面积为34.5．
【分析】（1）根据图形直接写出坐标；
（2）根据点点坐标利用割补法即可求出六边形ABCDE的面积．
【解答】解：（1）A（2，3）、B（﹣2，3）、C（﹣4，0）、D（﹣3，﹣3）、E（2，﹣3）、F（3，0）；故答案为：（2，3）、（﹣2，3）、（﹣4，0）、（﹣3，﹣3）、（2，﹣3）、（3，0）；
（2）四边形ABCD的面积为：6×7−1
2×2×3−1
2
×1×3−1
2
×1×3−1
2
×1×3=34.5
故答案为：34.5．
18．（2022春•莆田期末）对于平面直角坐标系中的图形M上的任意点P（x，y），给出如下定义：将点P （x，y）平移到P′（x+e，y﹣e）称为将点P进行“e型平移”，点P′称为将点P进行“e型平移”的对应点；将图形M上的所有点进行“e型平移”称为将图形M进行“e型平移”．例如，将点P（x，y）平移到P′（x+1，y﹣1）称为将点P进行“1型平移”．
（1）已知点A（﹣1，2），B（2，3），将线段AB进行“1型平移”后得到对应线段A′B′．
①画出线段A′B′，并直接写出A′，B′的坐标；
②四边形ABB′A′的面积为4（平方单位）；
（2）若点A（2﹣a，a+1），B（a+1，a+2），将线段AB进行“2型平移”后得到对应线段A′B′，当四边形ABB′A′的面积为8平方单位，试确定a的值．
【分析】（1）①根据定义平移即可；
②根据平移后的图形，写出坐标即可；
（2）利用割补法求四边形的面积．
【解答】解：（1）①A（﹣1，2）“1型平移”后得到A'（0，1），B（2，3）“1型平移”后得到B'（3，2）；
②S四边形ABB′A′＝S△ABB'+S△AB'A'=1
2×4×1+1
2
×4×1＝4，
故答案为：4；
（2）A（2﹣a，a+1）“2型平移”后得到A'（4﹣a，a﹣1），
B（a+1，a+2）“2型平移”后得到B'（a+3，a），
如图，在四边形外作矩形CDEF，
∴C（2﹣a，a+2），D（2﹣a，a﹣1），E（a+3，a﹣1），F（a+3，a+2），
∴BC＝2a﹣1，AC＝1，BF＝2，B'F＝2，AD＝2，A'D＝2，AE＝2a﹣1，BE'＝1，∴CF＝2a+1，CD＝3，
∴S四边形ABB′A′＝3（2a+1）−1
2×（2a﹣1）×1×2−1
2
×2×2×2＝4a，
∵四边形ABB′A′的面积为8平方单位，∴4a＝8，
∴a＝2．
19．（2022春•雨花区校级月考）如图所示，在平面直角坐标系中，点A、B的坐标分别为A（a，0）和B （b，0），且a，b满足|a+4|+√8−b=0，点C的坐标为（0，3）．
（1）求a，b的值及S△ABC；
S△ABC，试求点M的坐标．
（2）若点M在x轴上，且S△ACM=1
3
【分析】（1）由|a+4|+√8−b=0结合绝对值、算术平方根的非负性即可得出a、b的值，再结合三角形的面积公式即可求出S△ABC的值；
S△ABC，即可得出点（2）设出点M的坐标，找出线段AM的长度，根据三角形的面积公式结合S△ACM=1
3
M 的坐标．
【解答】解：（1）由|a +4|+√8−b =0，可知，a +4＝0，8﹣b ＝0，
∴a ＝﹣4，b ＝8，
∴点A （﹣4，0），点B （8，0），
又∵点C （0，3），
∴AB ＝|﹣4﹣8|＝12，CO ＝3，
∴S △ABC =12AB •CO =1
2×12×3＝18．
（2）设点M 的坐标为（x ，0），则AM ＝|x ﹣（﹣4）|＝|x +4|，
又∵S △ACM =13S △ABC ， ∴12AM •OC =1
3×18，
∴12|x +4|×3＝6，
∴|x +4|＝4，
即x +4＝±4，
解得：x ＝0或﹣8，
故点M 的坐标为（0，0）或（﹣8，0）．
20．（2022春•长白县期中）如图，在平面直角坐标系中，点A （﹣3b ，0）为x 轴负半轴上一点，点B （0，
4b ）为y 轴正半轴上一点，其中b 满足方程3（b +1）＝6．
（1）求点A ，B 的坐标；
（2）点C 为y 轴负半轴上一点，且△ABC 的面积为12，求点C 的坐标；
【分析】（1）解一元一次方程，可得结论．
（2）利用三角形的面积公式求出OC 的长，可得结论．
【解答】解：（1）解方程3（b+1）＝6，得到b＝1，
∴A（﹣3，0），B（0，4）．
（2）∵A（﹣3，0），B（0，4），
∴OA＝3，OB＝4，
•BC•OA＝12，
∵S△ABC=1
2
∴BC＝8，
∵点C在y轴的负半轴上，
∴OC＝4，C（0，﹣4）．
21．（2022春•新市区期末）如图，已知A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）（1）求点C到x轴的距离；
（2）求△ABC的面积；
（3）点P在y轴上，当△ABP的面积为6时，请直接写出点P的坐标．
【分析】（1）点C的纵坐标的绝对值就是点C到x轴的距离解答；
（2）根据三角形的面积公式列式进行计算即可求解；
×6×|x−3|=6，（3）设点P的坐标为（0，y），根据△ABP的面积为6，A（﹣2，3）、B（4，3），所以1
2即|x﹣3|＝2，所以x＝5或x＝1，即可解答．
【解答】解：（1）∵C（﹣1，﹣3），
∴|﹣3|＝3，
∴点C到x轴的距离为3；
（2）∵A（﹣2，3）、B（4，3）、C（﹣1，﹣3）
∴AB ＝4﹣（﹣2）＝6，点C 到边AB 的距离为：3﹣（﹣3）＝6，
∴△ABC 的面积为：6×6÷2＝18．
（3）设点P 的坐标为（0，y ），
∵△ABP 的面积为6，A （﹣2，3）、B （4，3），
∴12×6×|y ﹣3|＝6，
∴|y ﹣3|＝2，
∴y ＝1或y ＝5，
∴P 点的坐标为（0，1）或（0，5）．
22．（2022春•思明区校级期中）在平面直角坐标系中，点A ，B 在y 轴正半轴上，且点A 在B 的下方，将
线段AB 进行平移得到线段CD ，点A 的对应点为点D ，点B 的对应点为点C ，
（1）若点A （0，1），B （0，3），D （3，2），求点C 的坐标；
（2）点E 是第二象限上的一个动点，过点E 作EF 垂直x 轴于F ，连接DF ，DE ，EC ．若点A （0，12m ），B （0，b ），C （a +b +1，12m +3），D （m ，﹣2m +3），三角形DEF 的面积为S △DEF =−38a +338，点D 到直线EF 的距离为3，试问是否存在m ，使得S △BCE =13S △ACE ？若存在，请求出m 的值；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）求出AB 的长，利用平移的性质解决问题即可．
（2）利用平移变换的性质构建方程组求出a ，b （用m 表示），利用三角形的面积公式构建方程求出m 即可解决问题．
【解答】解：（1）∵A （0，1），B （0，3），D （3，2），
∴AB ＝3﹣1＝2＝CD ，
∴C （3，4）．
（2）由题意：{b −12m =12m +3−(−2m +3)a +b +1=m
， 解得{a =−2m −1b =3m
， ∴C （m ，12m +3），
∵S △DEF =EF×3
2=−38a +338， ∴EF =−14a +114
=12m +3，
∴EC ⊥y 轴，
∴A 到CE 的距离为：12m +3−1
2m ＝3， ∵S △BEC =1
3S △ACE ，
∴B 到CE 的距离为：3×13=1， ∴|3m ﹣（1
2m +3）|＝1，
解得m =85或45， 故存在m ，使得S △BCE =13S △ACE ，此时m =85或4
5．
23．（2022春•大同期末）已知坐标平面内的三个点A （1，3），B （3，1），O （0，0），求△ABO 的面
积．
【分析】过A ，B 分别作y 轴，x 轴的垂线，则三角形ABC 的面积可以转化为梯形和三角形的面积的和差的问题解决．
【解答】解：如图所示，
过A ，B 分别作y 轴，x 轴的垂线，垂足为C ，E ，两线交于点D ，
则C （0，3），D （3，3），E （3，0）．
又因为O （0，0），A （1，3），B （3，1），
所以OC ＝3，AC ＝1，OE ＝3，BE ＝1，
AD ＝DC ﹣AC ＝3﹣1＝2，
BD ＝DE ﹣BE ＝3﹣1＝2，
则四边形OCDE 的面积为3×3＝9，
△ACO和△BEO的面积都为1
2×3×1=3
2
，
△ABD的面积为1
2
×2×2＝2，
所以△ABO的面积为9﹣2×3
2
−2＝4．
24．（2022春•罗平县校级期中）在直角坐标系中，△ABC的顶点坐标分别是A（0，0），B（6，0），C （5，6）
（1）求△ABC的面积．
（2）在y轴上是否存在点D，使得△ABD的面积和△ABC的面积相等，若存在，求出点D的坐标．（3）除（2）中的点D，在平面直角坐标系中，还能不能找到别的点D，会满足△ABD的面积和△ABC 的面积相等，这样的点有多少个？它们的坐标有什么特点？直接写出答案．
【分析】（1）由已知条件和三角形面积公式容易得出结果；
（2）由三角形的面积关系得出点D的纵坐标绝对值为6，即可得出结果；
（3）由题意得出满足条件的点D的纵坐标绝对值为6，即可得出结论．
【解答】解：（1）∵A（0，0），B（6，0），C（5，6），
∴OB＝6，△ABC的面积=1
2
×6×6＝18；
（2）存在，理由如下：
∵△ABD的面积＝△ABC的面积=1
2
×6×6＝18，
∴点D的坐标为（0，6）或（0，﹣6）；
（3）能找到别的点D，满足△ABD的面积和△ABC的面积相等，这样的点有无数个，它们的纵坐标为±6．
25．（2022春•崆峒区期末）在直角坐标系中，已知线段AB，点A的坐标为（1，﹣2），点B的坐标为（3，0），如图1所示．
（1）平移线段AB到线段CD，使点A的对应点为D，点B的对应点为C，若点C的坐标为（﹣2，4），求点D的坐标；
（2）平移线段AB到线段CD，使点C在y轴的正半轴上，点D在第二象限内，连接BC，BD，如图2所示．若S△BCD＝7（S△BCD表示三角形BCD的面积），求点C、D的坐标．
（3）在（2）的条件下，在y轴上是否存在一点P，使S△PCD
S△BCD =2
3
（S△PCD表示三角形PCD的面积）？若
存在，求出点P的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）利用平移得性质确定出平移得单位和方向；
（2）根据平移得性质，设出平移单位，根据S△BCD＝7（S△BCD建立方程求解，即可，
（3）设出点P的坐标，表示出PC用S△PCD
S△BCD =2
3
，建立方程求解即可．
【解答】解：（1）∵B（3，0）平移后的对应点C（﹣2，4），
∴设3+a＝﹣2，0+b＝4，
∴a＝﹣5，b＝4，
即：点B向左平移5个单位，再向上平移4个单位得到点C（﹣2，4），∴A点平移后的对应点D（﹣4，2），
（2）∵点C 在y 轴上，点D 在第二象限，
∴线段AB 向左平移3个单位，再向上平移（2+y ）个单位，符合题意，
∴C （0，2+y ），D （﹣2，y ），
连接OD ，
S △BCD ＝S △BOC +S △COD ﹣S △BOD
=12OB ×OC +12OC ×2−12OB ×y ＝7，
∴y ＝2，
∴C （0，4）．D （﹣2，2）；
（3）设点P （0，m ），
∴PC ＝|4﹣m |，
∵S △PCD
S △BCD
=23， ∴1
2|4﹣m |×2=23×7，
∴|4﹣m |=
143， ∴m =−2
3或m =263，
∴存在点P ，其坐标为（0，−23）或（0，263）．
26．（2022春•通川区期末）已知在平面直角坐标系中，O 为坐标原点，点A 的坐标为（2，a ），点B 的
坐标为（b ，2），点C 的坐标为（c ，0），其中a ，b 满足（a +b ﹣10）2+|a ﹣b +2|＝0．
（1）求A ，B 两点的坐标；
（2）当△ABC 的面积为10时，求点C 的坐标；
（3）当2≤S △ABC ≤12时，则点C 的横坐标c 的取值范围是 ﹣2≤c ≤8或12≤c ≤22 ．
【分析】（1）根据非负数的性质即可得到A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2）；
（2）求得直线AB 与x 轴的交点为D （10，0），于是得到S △ABC ＝S △ACD ﹣S △BCD ，列方程即可得到结论；
（3）根据已知条件列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a +b ﹣10）2+|a ﹣b +2|＝0，
∴（a +b ﹣10）2＝0，|a ﹣b +2|＝0，
解得：a ＝4，b ＝6，
∴A 点的坐标（2，4），B 点的坐标（6，2）；
（2）∵A点的坐标（2，4），B点的坐标（6，2），
如图，
过点A作AD⊥x轴于D，∴D（2，0），AD＝4，过点B作BE⊥x轴于E，∴E（6，0），BE＝2，∴DE ＝4，
设C（c，0），当c＞10时，
∴CE＝c﹣6，CD＝c﹣2
∴S△ABC＝S△ACD﹣S△BCE﹣S梯形ABED=1
2×4×（c﹣2）−1
2
×2×（c﹣6）−1
2
×（2+4）×4＝c﹣10＝10，
∴c＝20
当c＜10时，
同上的方法得，c＝0，
∴点C的坐标（0，0）或（20，0）；
（3）由（2）知，①1
2×（10﹣c）×4−1
2
（10﹣c）×2＝2或1
2
×（c﹣10）×4−1
2
（c﹣10）×2＝2，
解得：c＝8或12，
②1
2×（10+c）×4−1
2
（10+c）×2＝12或1
2
×（|c|﹣10）×4−1
2
（c﹣10）×2＝12，
解得：c＝﹣2或c＝22，
∴当2≤S△ABC≤12时，则点C的横坐标c的取值范围是﹣2≤c≤8或12≤c≤22，
故答案为﹣2≤c≤8或12≤c≤22．
27．（2022春•宁都县期末）已知：如图，△ABC的三个顶点位置分别是A（1，0）、B（﹣2，3）、C（﹣3，0）．
（1）求△ABC的面积是多少？
（2）若点A、C的位置不变，当点P在y轴上时，且S△ACP＝2S△ABC，求点P的坐标？
（3）若点B、C的位置不变，当点Q在x轴上时，且S△BCQ＝2S△ABC，求点Q的坐标？
【分析】（1）根据点A、C的坐标求出AC的长，然后利用三角形的面积列式计算即可得解；
（2）分点P在y轴正半轴和负半轴两种情况讨论求解；
（3）分点Q在C的左边和右边两种情况讨论求解．
【解答】解：（1）∵A（1，0），B（﹣2，3），C（﹣3，0），
∴AC＝1﹣（﹣3）＝1+3＝4，
点B到AC的距离为3，
×4×3＝6；
∴△ABC的面积=1
2
（2）∵S△ACP＝2S△ABC＝12，
∴以AC为底时，△ACP的高＝12×2÷4＝6，
∴点P在y轴正半轴时，P（0，6）；
点P在y轴负半轴时，P（0，﹣6）；
（3）∵S△BCQ＝2S△ABC＝12，
∴以CQ为底时，△BCQ的高为3，底边CQ＝12×2÷3＝8，
∴点Q在C的左边时，Q（﹣3﹣8，0），即Q（﹣11，0）；
点Q在C的右边时，Q（﹣3+8，0），即Q（5，0）．
28．（2022春•河北期末）如图，在平面直角坐标系中，已知点A（0，4），B（8，0），C（8，6）三点．（1）求△ABC的面积；
（2）如果在第二象限内有一点P（m，1），且四边形ABOP的面积是△ABC的面积的两倍；求满足条件的P点的坐标．
【分析】（1）由点的坐标得出BC ＝6，即可求出△ABC 的面积；
（2）求出OA ＝4，OB ＝8，由S 四边形ABOP ＝S △AOB +S △AOP 和已知条件得出方程，解方程即可．
【解答】解：（1）∵B （8，0），C （8，6），
∴BC ＝6，
∴S △ABC =1
2×6×8＝24；
（2）∵A （0，4），B （8，0），
∴OA ＝4，OB ＝8，
∴S 四边形ABOP ＝S △AOB +S △AOP
=12×4×8+12×4（﹣m ）＝16﹣2m ， 又∵S 四边形ABOP ＝2S △ABC ＝48，
∴16﹣2m ＝48，
解得：m ＝﹣16，
∴P （﹣16，1）．
29．（2022春•上杭县期末）在平面直角坐标系中（单位长度为1cm ），已知点M （m ，0），N （n ，0），
且√m +n −3+|2m +n |＝0．
（1）求m ，n 的值；
（2）若点E 是第一象限内一点，且EN ⊥x 轴，点E 到x 轴的距离为4，过点E 作x 轴的平行线a ，与y 轴交于点A ．点P 从点E 处出发，以每秒2cm 的速度沿直线a 向左移动，点Q 从原点O 同时出发，以每秒1cm 的速度沿x 轴向右移动．
①经过几秒PQ 平行于y 轴？
②若某一时刻以A ，O ，Q ，P 为顶点的四边形的面积是10cm 2，求此时点P 的坐标．
【分析】（1）根据平方根和绝对值的性质得出 {m +n −3=02m +n =0
，解方程组即可； （2）①设x 秒后PQ 平行于y 轴，由于AP ∥OQ ，所以当AP ＝OQ 时，四边形AOQP 是平行四边形，那么PQ 平行于y 轴，根据AP ＝OQ 列出关于x 的方程，解方程即可；
②设y 秒后四边形AOQP 的面积为10cm 2，根据四边形AOQP 的面积=1
2（OQ +AP ）•OA 列出关于y 的方程，进而求出点P 的坐标．
【解答】解：（1）依题意，得 {m +n −3=02m +n =0
， 解得{m =−3n =6
； （2）①设经过x 秒PQ 平行于y 轴，
依题意，得6﹣2x ＝x 解得x ＝2，
②当点P 在y 轴右侧时，
依题意，得(6−2x)+x
2×4=10，
解得x ＝1，
此时点P 的坐标为（4，4），
当点P 在y 轴左侧时，
依题意，得
(2x−6)+x 2×4=10， 解得x =11
3，
此时点P 的坐标为(−4
3，4)．
30．（2022春•武清区期中）已知点A （a ，0）、B （b ，0），且√a +4+|b ﹣2|＝0．
（1）求a 、b 的值．
（2）在y 轴的正半轴上找一点C ，使得三角形ABC 的面积是15，求出点C 的坐标．
（3）过（2）中的点C 作直线MN ∥x 轴，在直线MN 上是否存在点D ，使得三角形ACD 的面积是三角形ABC 面积的1
2？若存在，求出点D 的坐标；若不存在，请说明理由．
【分析】（1）根据非负数的性质列方程即可得到结论；
（2）由A （﹣4，0）、B （2，0），得到AB ＝6，根据三角形ABC 的面积是15列方程即可得到即可；
（3）根据三角形ABC 的面积是15列方程即可得到结论．
【解答】解：（1）∵（a +4）2+|b ﹣2|＝0，
∴a +4＝0，b ﹣2＝0，
∴a ＝﹣4，b ＝2；
（2）如图1，
∵A （﹣4，0）、B （2，0），
∴AB ＝6，
∵三角形ABC 的面积是15，
∴12AB •OC ＝15， ∴OC ＝5，
∴C （0，5）；
（3）存在，如图2，
∵三角形ABC 的面积是15，
∴S △ACD =1
2CD •OC ＝15，
∴12CD ×5=12×15，
∴CD＝3，
∴D（3，5）或（﹣3，5）．。