吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题(较难题)知识点分类

吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难
题）知识点分类
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
三．反比例函数的应用（共1小题）
3．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个
数及对应的m的取值范围．
5．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
五．四边形综合题（共3小题）
6．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范
围．
7．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是 ．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC 或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图
③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的
面积为 ．
8．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
七．解直角三角形的应用（共2小题）
10．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC 长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE 的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
11．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O 作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（ ）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB× （填“sin B”或“cos B”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400× （填相应的三角函数值）
≈ （km）（结果取整数）．
八．条形统计图（共1小题）
12．（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．
2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表
年龄20162017201820192020
增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是 亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是 ．
（3）下列推断合理的是 （填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量
应低于2020年的快递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递
业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．
九．折线统计图（共1小题）
13．（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：
（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）
注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．
回答下列问题：
（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是 %．
（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为　万人．（只填算式，不计算结果）
（3）下列推断较为合理的是 （填序号）．
①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口
城镇化率高于64.72%．
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年
年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口
城镇化率低于64.72%．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2023•吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
吉林省2021-2023三年中考数学真题分类汇编-03解答题（较难
题）知识点分类
参考答案与试题解析
一．二元一次方程组的应用（共1小题）
1．（2023•吉林）2022年12月28日查干湖冬捕活动后，某商家销售A，B两种查干湖野生鱼，如果购买1箱A种鱼和2箱B种鱼需花费1300元：如果购买2箱A种鱼和3箱B 种鱼需花费2300元．分别求每箱A种鱼和每箱B种鱼的价格．
【答案】每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．
【解答】解：设每箱A种鱼的价格每箱x元，B种鱼的价格每箱y元，由题意得，
，
解得，
答：每箱A种鱼价格是700元，每箱B种鱼的价格300元．
二．一次函数的应用（共1小题）
2．（2021•吉林）疫苗接种，利国利民．甲、乙两地分别对本地各40万人接种新冠疫苗．甲地在前期完成5万人接种后，甲、乙两地同时以相同速度接种，甲地经过a天后接种人数达到25万人，由于情况变化，接种速度放缓，结果100天完成接种任务，乙地80天完成接种任务，在某段时间内，甲、乙两地的接种人数y（万人）与各自接种时间x（天）之间的关系如图所示．
（1）直接写出乙地每天接种的人数及a的值；
（2）当甲地接种速度放缓后，求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范围；
（3）当乙地完成接种任务时，求甲地未接种疫苗的人数．
【答案】（1）0.5，40．
（2）y＝x+15（40≤x≤100）．
（3）5万人．
【解答】解：（1）乙地接种速度为40÷80＝0.5（万人/天），
0.5a＝25﹣5，
解得a＝40．
（2）设y＝kx+b，将（40，25），（100，40）代入解析式得：
，
解得，
∴y＝x+15（40≤x≤100）．
（3）把x＝80代入y＝x+15得y＝×80+15＝35，
40﹣35＝5（万人）．
三．反比例函数的应用（共1小题）
3．（2022•吉林）密闭容器内有一定质量的气体，当容器的体积V（单位：m3）变化时，气体的密度ρ（单位：kg/m3）随之变化．已知密度ρ与体积V是反比例函数关系，它的图象如图所示．
（1）求密度ρ关于体积V的函数解析式．
（2）当V＝10m3时，求该气体的密度ρ．
【答案】（1）ρ＝；
（2）该气体的密度为1kg/m3．
【解答】解：（1）设ρ＝，
将（4，2.5）代入ρ＝得2.5＝，
解得k＝10，
∴ρ＝．
（2）将V＝10代入ρ＝得ρ＝1．
∴该气体的密度为1kg/m3．
四．二次函数综合题（共2小题）
4．（2021•吉林）如图，在平面直角坐标系中，二次函数y＝x2+bx+c的图象经过点A（0，﹣），点B（1，）．
（1）求此二次函数的解析式；
（2）当﹣2≤x≤2时，求二次函数y＝x2+bx+c的最大值和最小值；
（3）点P为此函数图象上任意一点，其横坐标为m，过点P作PQ∥x轴，点Q的横坐标为﹣2m+1．已知点P与点Q不重合，且线段PQ的长度随m的增大而减小．
①求m的取值范围；
②当PQ≤7时，直接写出线段PQ与二次函数y＝x2+bx+c（﹣2≤x＜）的图象交点个
数及对应的m的取值范围．
【答案】（1）y＝x2+x﹣．
（2）y最小值为﹣2，y最大值为．
（3）①m＜．
②﹣2≤m＜，
﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
【解答】解：（1）将A（0，﹣），点B（1，）代入y＝x2+bx+c得：
，
解得，
∴y＝x2+x﹣．
（2）∵y＝x2+x﹣＝（x+）2﹣2，
∵抛物线开口向上，对称轴为直线x＝﹣．
∴当x＝﹣时，y取最小值为﹣2，
∵2﹣（﹣）＞﹣﹣（﹣2），
∴当x＝2时，y取最大值22+2﹣＝．
（3）①PQ＝|﹣2m+1﹣m|＝|﹣3m+1|，
当﹣3m+1＞0时，PQ＝﹣3m+1，PQ的长度随m的增大而减小，
当﹣3m+1＜0时，PQ＝3m﹣1，PQ的长度随m增大而增大，
∴﹣3m+1＞0满足题意，
解得m＜．
②∵0＜PQ≤7，
∴0＜﹣3m+1≤7，
解得﹣2≤m＜，
如图，当m＝﹣时，点P在最低点，PQ与图象有1交点，
m增大过程中，﹣＜m＜，点P与点Q在对称轴右侧，PQ与图象只有1个交点，
直线x＝关于抛物线对称轴直线x＝﹣对称后直线为x＝﹣，
∴﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点，
当﹣2≤m≤﹣时，PQ与图象有1个交点，
综上所述，﹣2≤m≤﹣或﹣≤m时，PQ与图象交点个数为1，﹣＜m＜﹣时，PQ与图象有2个交点．
5．（2023•吉林）如图，在平面直角坐标系中，抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），点P，Q在此抛物线上，其横坐标分别为m，2m（m＞0），连接AP，AQ．
（1）求此抛物线的解析式．
（2）当点Q与此抛物线的顶点重合时，求m的值．
（3）当∠PAQ的边与x轴平行时，求点P与点Q的纵坐标的差．
（4）设此抛物线在点A与点P之间部分（包括点A和点P）的最高点与最低点的纵坐标的差为h1，在点A与点Q之间部分（包括点A和点Q）的最高点与最低点的纵坐标的差
为h2，当h2﹣h1＝m时，直接写出m的值．
【答案】（1）y＝﹣x2+2x+1；
（2）；
（3）点P与点Q的纵坐标的差为1或8；
（4）或．
【解答】解：（1）∵抛物线y＝﹣x2+2x+c经过点A（0，1），
∴c＝1，
∴抛物线解析式为y＝﹣x2+2x+1；
（2）∵y＝﹣x2+2x+1
＝﹣（x﹣1）2+2，
∴顶点坐标为（1，2），
∵点Q与此抛物线的顶点重合，点Q的横坐标为2m，
∴2m＝1，
解得：；
（3）①AQ∥x轴时，点A，Q关于对称轴x＝1对称，
x Q＝2m＝2，
∴m＝1，
则﹣12+2×1+1＝2﹣22+2×2+1＝1，
∴P（1，2），Q（2，1），
∴点P与点Q的纵坐标的差为2﹣1＝1；
②当AP∥x轴时，则A，P关于直线x＝1对称，x P＝m＝2，x Q＝2m＝4，则﹣42+2×4+1＝﹣7，
∴P（2，1），Q（4，﹣7）；
∴点P与点Q的纵坐标的差为1﹣（﹣7）＝8；
综上所述，点P与点Q的纵坐标的差为1或8；
（4）①如图所示，当P，Q都在对称轴x＝1的左侧时，
则0＜2m＜1，
∴0＜m，
∵P（m，﹣m2+2m+1），
∴Q（2m，﹣4m2+4m+1），
∴＝﹣m2+2m，
h2＝y Q﹣y A＝﹣4m2+4m+1﹣1＝﹣4m2+4m，
∴h2﹣h1＝﹣4m2+4m+m2﹣2m＝m，
解得：或m＝0（舍去）；
②当P，Q在对称轴两侧或其中一点在对称轴上时，
则2m≥1，m≤1，即，
则h2＝2﹣1＝1，
∴1+m2﹣2m＝m 1，
解得：（舍去）或（舍）；
③当点P在x＝1的右侧且在直线y＝0 方时，即1＜m＜2，
∵h1＝2﹣1＝1，
，
∵4m2﹣4m+1﹣1＝m，
解得：或m＝0（舍去）；
④当p在直线y＝1上或下方时，即m≥2，
，
∴4m2﹣4m+1﹣（m2﹣2m+1）＝m，
解得：m＝1（舍去）或m＝0（舍去），
综上所述，或．
五．四边形综合题（共3小题）
6．（2021•吉林）如图，在矩形ABCD中，AB＝3cm，AD＝cm．动点P从点A出发沿折线AB﹣BC向终点C运动，在边AB上以1cm/s的速度运动；在边BC上以cm/s的速度运动，过点P作线段PQ与射线DC相交于点Q，且∠PQD＝60°，连接PD，BD．设
点P的运动时间为x（s），△DPQ与△DBC重合部分图形的面积为y（cm2）．
（1）当点P与点A重合时，直接写出DQ的长；
（2）当点P在边BC上运动时，直接写出BP的长（用含x的代数式表示）；
（3）求y关于x的函数解析式，并写出自变量x的取值范
围．
【答案】（1）1cm．
（2）（x﹣3）．
（3）y＝．
【解答】解：（1）如图，
在Rt△PDQ中，AD＝cm，∠PQD＝60°，
∴tan60°＝＝，
∴DQ＝AD＝1cm．
（2）点P在AB上运动时间为3÷1＝3（s），
∴点P在BC上时PB＝（x﹣3）．
（3）当0≤x≤2时，点P在AB上，作PM⊥CD于点M，PQ交AB于点E，作EN⊥CD 于点N，
同（1）可得MQ＝AD＝1cm．
∴DQ＝DM+MQ＝AP+MQ＝（x+1）cm，
当x+1＝3时x＝2，
∴0≤x≤2时，点Q在DC上，
∵tan∠BDC＝＝，
∴∠BDC＝30°，
∵∠PQD＝60°，
∴∠DEQ＝90°．
∵sin30°＝＝，
∴EQ＝DQ＝，
∵sin60°＝＝，
∴EN＝EQ＝（x+1）cm，
∴y＝DQ•EN＝（x+1）×（x+1）＝（x+1）2＝x2+x+（0≤x≤2）．
当2＜x≤3时，点Q在DC延长线上，PQ交BC于点F，如图，
∵CQ＝DQ﹣DC＝x+1﹣3＝x﹣2，tan60°＝，
∴CF＝CQ•tan60°＝（x﹣2）cm，
∴S△CQF＝CQ•CF＝（x﹣2）×（x﹣2）＝（x2﹣2x+2）cm2，
∴y＝S△DEQ﹣S△CQF＝x2+x+﹣（x2﹣2x+2）＝（﹣x2+ x﹣）cm2（2＜x≤3）．
当3＜x≤4时，点P在BC上，如图，
∵CP＝CB﹣BP＝﹣（x﹣3）＝（4﹣x）cm，
∴y＝DC•CP＝×3（4﹣x）＝6﹣x（3＜x≤4）．
综上所述，y＝
7．（2023•吉林）【操作发现】如图①，剪两张对边平行的纸条，随意交叉叠放在一起，使重合的部分构成一个四边形EFMN．转动其中一张纸条，发现四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是　两组对边分别相平行的四边形是平行四边形　．
【探究提升】取两张短边长度相等的平行四边形纸条ABCD和EFGH（AB＜BC，FG≤BC），其中AB＝EF，∠B＝∠FEH，将它们按图②放置，EF落在边BC上，FG，EH与边AD分别交于点M，N．求证：▱EFMN是菱形．
【结论应用】保持图②中的平行四边形纸条ABCD不动，将平行四边形纸条EFGH沿BC
或CB平移，且EF始终在边BC上，当MD＝MG时，延长CD，HG交于点P，得到图③．若四边形ECPH的周长为40，sin∠EFG＝（∠EFG为锐角），则四边形ECPH的面积为　80　．
【答案】【操作发现】两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；
【探究提升】见解析；
【结论应用】80．
【解答】【操作发现】解：如图①，四边形EFMN总是平行四边形．其判定的依据是两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；
故答案为：两组对边分别相平行的四边形是平行四边形；
【探究提升】证明：∵四边形纸条ABCD和EFGH是平行四边形，
∴MN∥EF，EN∥FM，
∴四边形EFMN是平行四边形，
∵∠B＝∠FEH，
∴AB∥NF，
∵AN∥BE，
∴四边形ABEN是平行四边形，
∴AB＝EN，
∵AB＝EF，
∴EN＝EM，
∴▱EFMN是菱形；
【结论应用】解：∵将平行四边形纸条EFGH沿BC或CB平移，
∴四边形GFCP是平行四边形，
∴PG＝CF，PG∥CF，
∵DM∥CF，
∴DM∥PG，
∴四边形PDMG是平行四边形，
∵MD＝MG，
∴四边形PDMG是菱形，
∴PG＝PD，
由【探究提升】知▱EFMN是菱形，
∴FM＝EF，
∴EF＝CD，
∴CE＝CP，
∴四边形ECPH是菱形，
∵四边形ECPH的周长为40，
∴HE＝PC＝10，
∴FG＝HE＝10，
过G作GQ⊥BC于Q，
∵sin∠EFG＝＝，
∴GQ＝8，
∴四边形ECPH的面积为CE•GQ＝10×8＝80．
故答案为：80．
8．（2021•吉林）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，∠A＝60°，CD是斜边AB上的中线，点E为射线BC上一点，将△BDE沿DE折叠，点B的对应点为点F．
（1）若AB＝a．直接写出CD的长（用含a的代数式表示）；
（2）若DF⊥BC，垂足为G，点F与点D在直线CE的异侧，连接CF，如②，判断四边形ADFC的形状，并说明理由；
（3）若DF⊥AB，直接写出∠BDE的度数．
【答案】（1）a；
（2）四边形ADFC是菱形，理由见解答；
（3）45°或135°．
【解答】解：（1）如图①，在Rt△ABC中，∠ACB＝90°，
∵CD是斜边AB上的中线，AB＝a，
∴CD＝AB＝a．
（2）四边形ADFC是菱形．
理由如下：
如图②∵DF⊥BC于点G，
∴∠DGB＝∠ACB＝90°，
∴DF∥AC；
由折叠得，DF＝DB，
∵DB＝AB，
∴DF＝AB；
∵∠ACB＝90°，∠A＝60°，
∴∠B＝90°﹣60°＝30°，
∴AC＝AB，
∴DF＝AC，
∴四边形ADFC是平行四边形；
∵AD＝AB，
∴AD＝DF，
∴四边形ADFC是菱形．
（3）如图③，点F与点D在直线CE异侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°；
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE＝∠FDE＝∠BDF＝×90°＝45°；如图④，点F与点D在直线CE同侧，
∵DF⊥AB，
∴∠BDF＝90°，
∴∠BDE+∠FDE＝360°﹣90°＝270°，
由折叠得，∠BDE＝∠FDE，
∴∠BDE+∠BDE＝270°，
∴∠BDE＝135°．
综上所述，∠BDE＝45°或∠BDE＝135°．
六．作图—应用与设计作图（共1小题）
9．（2023•吉林）图①、图②、图③均是5×5的正方形网格，每个小正方形的顶点称为格点，线段AB的端点均在格点上．在图①、图②、图③中以AB为边各画一个等腰三角形，使其依次为锐角三角形、直角三角形、钝角三角形，且所画三角形的顶点均在格点上．
【答案】见解答．
【解答】解：如图：
图①△ABC即为所求锐角三角形；
图②△ABD即为所求直角三角形；
图③△ABCF为所求钝角三角形．
七．解直角三角形的应用（共2小题）
10．（2022•吉林）动感单车是一种新型的运动器械．图①是一辆动感单车的实物图，图②是其侧面示意图．△BCD为主车架，AB为调节管，点A，B，C在同一直线上．已知BC 长为70cm，∠BCD的度数为58°．当AB长度调至34cm时，求点A到CD的距离AE 的长度（结果精确到1cm）．（参考数据：sin58°≈0.85，cos58°≈0.53，tan58°≈1.60）
【答案】点A到CD的距离AE的长度约88cm．
【解答】解：∵AB＝34cm，BC＝70cm，
∴AC＝AB+BC＝104cm，
在Rt△ACE中，sin∠BCD＝，
∴AE＝AC•sin∠BCD≈104×0.85≈88cm．
答：点A到CD的距离AE的长度约88cm．
11．（2021•吉林）数学小组研究如下问题：长春市的纬度约为北纬44°，求北纬44°纬线的长度，小组成员查阅了相关资料，得到三条信息：
（1）在地球仪上，与南，北极距离相等的大圆圈，叫赤道，所有与赤道平行的圆圈叫纬
线；
（2）如图，⊙O是经过南、北极的圆，地球半径OA约为6400km．弦BC∥OA，过点O
作OK⊥BC于点K，连接OB．若∠AOB＝44°，则以BK为半径的圆的周长是北纬44°纬线的长度；
（3）参考数据：π取3，sin44°＝0.69，cos44°＝0.72．
小组成员给出了如下解答，请你补充完整：
解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（　两直线平行，内错角相等　）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×　cos B　（填“sin B”或“cos B”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×　0.72　（填相应的三角函数值）
≈　27648　（km）（结果取整数）．
【答案】两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．
【解答】解：因为BC∥OA，∠AOB＝44°，
所以∠B＝∠AOB＝44°（两直线平行，内错角相等）（填推理依据），
因为OK⊥BC，所以∠BKO＝90°，
在Rt△BOK中，OB＝OA＝6400．
BK＝OB×cos B（填“sin B”或“cos B”）．
所以北纬44°的纬线长C＝2π•BK．
＝2×3×6400×0.72（填相应的三角函数值）
≈27648（km）（结果取整数）．
故答案为：两直线平行，内错角相等；cos B；0.72；27648．
八．条形统计图（共1小题）
12．（2021•吉林）2020年我国是全球主要经济体中唯一实现经济正增长的国家，各行各业蓬勃发展，其中快递业务保持着较快的增长．给出了快递业务的有关数据信息．
2016﹣2020年快递业务量增长速度统计表
年龄20162017201820192020
增长速度51.4%28.0%26.6%25.3%31.2%说明：增长速度计算办法为：增长速度＝×100%
根据图中信息，解答下列问题：
（1）2016﹣2020年快递业务量最多年份的业务量是　833.6　亿件．
（2）2016﹣2020年快递业务量增长速度的中位数是　28.0%　．
（3）下列推断合理的是　②　（填序号）．
①因为2016﹣2019年快递业务量的增长速度逐年下降，所以预估2021年的快递业务量
应低于2020年的快递业务量；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递
业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上．
【答案】（1）833.6；
（2）28.0%；
（3）②．
【解答】解：（1）由2016﹣2020年快递业务量统计图可知，2020年的快递业务量最多是
833.6亿件，
故答案为：833.6；
（2）将2016﹣2020年快递业务量增长速度从小到大排列处在中间位置的一个数是28.0%，因此中位数是28.0%，
故答案为：28.0%；
（3）①2016﹣2019年快递业务量的增长速度下降，并不能说明快递业务量下降，而业务量也在增长，只是增长的速度没有那么快，因此①不正确；
②因为2016﹣2020年快递业务量每年的增长速度均在25%以上．所以预估2021年快递
业务量应在833.6×（1+25%）＝1042亿件以上，因此②正确；
故答案为：②．
九．折线统计图（共1小题）
13．（2022•吉林）为了解全国常住人口城镇化率的情况，张明查阅相关资料，整理数据并绘制统计图如下：
（以上数据来源于《中华人民共和国2021年国民经济和社会发展统计公报》）
注：城镇化率＝×100%．例如，城镇常住人口60.12万人，总人口100万人，则城镇化率为60.12%．
回答下列问题：
（1）2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率的中位数是　62.71　%．
（2）2021年年末全国人口141260万人，2021年年末全国城镇常住人口为　141260×
64.72%　万人．（只填算式，不计算结果）
（3）下列推断较为合理的是　①　（填序号）．
①2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，估计2022年年末全国常住人口
城镇化率高于64.72%．
②全国常住人口城镇化率2020年年末比2019年年末增加1.18%，2021年年末比2020年
年末增加0.83%，全国常住人口城镇化率增加幅度减小，估计2022年年末全国常住人口城镇化率低于64.72%．
【答案】（1）62.71；
（2）141260×64.72%；
（3）①．
【解答】解：（1）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率分别为60.24%，61.50%，
62.71%，63.89%，64.72%，
∴中为数是62.71%，
故答案为：62.71．
（2）∵2021年年末城镇化率为64.72%，
∴常住人口为141260×64.72%（万人），
故答案为：141260×64.72%．
（3）∵2017﹣2021年年末，全国常住人口城镇化率逐年上升，
∴估计2022年年末全国常住人口城镇化率高于64.72%．
故答案为：①．
一十．列表法与树状图法（共1小题）
14．（2023•吉林）2023年6月4日，“神舟”十五号载人飞船返回舱成功着陆，某校为弘扬爱国主义精神，举办以航天员事迹为主题的演讲比赛，主题人物由抽卡片决定，现有三张不透明的卡片，卡片正面分别写着费俊龙、邓清明、张陆三位航天员的姓名，依次记作A，B，C，卡片除正面姓名不同外，其余均相同．三张卡片正面向下洗匀后，甲选手从中随机抽取一张卡片，记录航天员姓名后正面向下放回，洗匀后乙选手再从中随机抽取一张卡片，请用画树状图或列表的方法，求甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率．
第31页（共31页）【答案】．
【解答】解：根据题意列表如下：A
B C A
AA BA CA B
AB BB
CB C AC BC CC
共有9种等可能结果，其中甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员有3情况，∴甲、乙两位选手演讲的主题人物是同一位航天员的概率为：＝．。