第四十五节 抛物线

第七节 抛物线

1．掌握抛物线的定义、几何图形、标准方程． 2．掌握抛物线的简单性质．

授课提示：对应学生用书第142页

◆ 教材通关 ◆

1．抛物线的定义

满足以下三个条件的点的轨迹是抛物线： (1)在平面内；

(2)动点到定点F 的距离与到定直线l 的距离相等； (3)定点不在定直线上．

2．抛物线的标准方程和几何性质

抛物线焦点弦的几个常用结论

设AB 是过抛物线y 2＝2px (p >0)焦点F 的弦，若A (x 1，y 1)，B (x 2，y 2)，则(1)x 1x 2＝p 2

4，y 1y 2＝－p 2.

(2)弦长|AB |＝x 1＋x 2＋p ＝2p

sin 2 α

(α为弦AB 的倾斜角)． (3)1|F A |＋1|FB |＝2p

. (4)以弦AB 为直径的圆与准线相切．

[小题诊断]

1．抛物线y ＝4x 2的焦点坐标是( ) A.⎝⎛⎭⎫116，0 B ．(1,0) C.⎝⎛⎭

⎫0，116 D ．(0,1)

解析：抛物线的标准方程为x 2＝14y ，则p ＝1

8，所以焦点坐标是⎝⎛⎭⎫0，116. 答案：C

2．若抛物线y ＝4x 2上的一点M 到焦点的距离为1，则点M 的纵坐标是( ) A.17

16 B ．1516

C.78

D ．0

解析：M 到准线的距离等于M 到焦点的距离，又准线方程为y ＝－1

16，设M (x ，y )，则

y ＋116＝1，∴y ＝1516

. 答案：B

3．(2018·唐山模拟)已知抛物线的焦点F (a,0)(a <0)，则抛物线的标准方程是( ) A ．y 2＝2ax B ．y 2＝4ax C ．y 2＝－2ax

D ．y 2＝－4ax

解析：以F (a,0)为焦点的抛物线的标准方程为y 2＝4ax . 答案：B

4．已知抛物线C ：y 2＝x 的焦点为F ，A (x 0，y 0)是C 上一点，|AF |＝5

4x 0，则x 0＝( )

A ．4

B ．2

C ．1

D ．8

解析：由y 2＝x ，得2p ＝1，即p ＝12，因此焦点F ⎝⎛⎭⎫14，0，准线方程为l ：x ＝－1

4.设A 点到准线的距离为d ，由抛物线的定义可知d ＝|AF |，从而x 0＋14＝5

4

x 0，解得x 0＝1，故选C.

答案：C

5．(2018·西安中学模拟)如图，过抛物线y ＝1

4x 2的焦点F 的直线l 与抛物线和圆x 2＋(y

－1)2＝1交于A ，B ，C ，D 四点，则AB →·DC →

＝________.

解析：不妨设直线AB 的方程为y ＝1，联立⎩⎪⎨⎪

⎧

y ＝1，y ＝14x 2，解得x ＝±2，则A (－2,1)，D (2,1)，

因为B (－1,1)，C (1,1)，所以AB →＝(1,0)，DC →＝(－1,0)，所以AB →·DC →

＝－1.

答案：－1

◆ 易错通关 ◆

1．抛物线的定义中易忽视“定点不在定直线上”这一条件，当定点在定直线上时，动点的轨迹是过定点且与直线垂直的直线．

2．抛物线标准方程中参数p 易忽视只有p >0，才能证明其几何意义是焦点F 到准线l 的距离，否则无几何意义．

[小题纠偏]

1．抛物线y ＝ax 2的准线方程是y ＝1，则a 的值为( ) A.1

4 B ．－14

C ．4

D ．－4

解析：由题意知抛物线的标准方程为x 2＝1a y ，所以准线方程y ＝－14a ＝1，解得a ＝－1

4.

答案：B

2．动圆过点(1,0)，且与直线x ＝－1相切，则动圆的圆心的轨迹方程为________． 解析：设动圆的圆心坐标为(x ，y )，则圆心到点(1,0)的距离与到直线x ＝－1的距离相等，根据抛物线的定义易知动圆的圆心的轨迹方程为y 2＝4x .

答案：y 2＝4x

授课提示：对应学生用书第143页

考点一 抛物线标准方程及几何性质 自主探究 基础送分考点——自主练透

[题组练通]

1．(2018·宜宾诊断)顶点在原点，对称轴为坐标轴，且过点P (－4，－2)的抛物线的标准方程是( )

A ．y 2＝－x

B ．x 2＝－8y

C ．y 2＝－8x 或x 2＝－y

D ．y 2＝－x 或x 2＝－8y

解析：若焦点在x 轴上，设抛物线方程为y 2＝ax ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得a ＝－1，所以抛物线的标准方程为y 2＝－x ；若焦点在y 轴上，设方程为x 2＝by ，将点P (－4，－2)的坐标代入，得b ＝－8，所以抛物线的标准方程为x 2＝－8y .故所求抛物线的标准方程是y 2＝－x 或x 2＝－8y .

答案：D

2．(2018·兰州双基过关考试)抛物线y 2＝2px (p >0)上横坐标为6的点到此抛物线焦点的距离为10，则该抛物线的焦点到准线的距离为( )

A ．4

B ．8

C ．16

D ．32

解析：设抛物线的准线方程为x ＝－p 2(p >0)，则根据抛物线的性质有p

2＋6＝10，解得p

＝8，所以抛物线的焦点到准线的距离为8，故选B.

答案：B

3．(2017·高考全国卷Ⅱ)已知F 是抛物线C ：y 2＝8x 的焦点，M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N .若M 为FN 的中点，则|FN |＝________.

解析：法一：依题意，抛物线C ：y 2＝8x 的焦点F (2,0)，准线x ＝－2，因为M 是C 上一点，FM 的延长线交y 轴于点N ，M 为FN 的中点，设M (a ，b )(b >0)，所以a ＝1，b ＝22，所以N (0,42)，|FN |＝4＋32＝6.

法二：如图，不妨设点M 位于第一象限内，抛物线C 的准线交x 轴于点A ，过点M 作准线的垂线，垂足为点B ，交y 轴于点P ，∴PM ∥OF .