2021年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学八模试卷(附答案详解)

2021年陕西省西安市雁塔区曲江一中中考数学八模试卷
1.−1
2
的倒数是()
A. 2
B. −2
C. 1
2D. −1
2
2.如图，在三角形ABC中，CD平分∠ACB，∠1=∠2=36°，则∠3=()
A. 36°
B. 52°
C. 72°
D. 80°
3.2019年，我国国内生产总值约为990870亿元，将数字990870用科学记数法表示为
()
A. 9.9087×105
B. 9.9087×104
C. 99.087×104
D. 99.087×103
4.已知正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)，当x的值增加1时，y的值将()
A. 增加2
B. 增加4
C. 减少2
D. 减少4
5.如图，在△ABC中，∠C=60°，∠B=45°，AD⊥BC，
EF垂直平分AC交AD于点E，交AC于点F，AB=8，
则EF的长为()
A. 3√2
4
B. 3√6
4
C. 4√2
3
D. 4√6
3
6.若直线y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−1,1).且与y轴的交点在x轴的下方.则k
的取值范围是()
A. k<−1
B. k>−1
C. k<1
D. k>1
7.如图，△ABC是等边三角形，AC=6，以点A为圆心，AB长
为半径画弧DE，若∠1=∠2，则弧DE的长为()
A. 1π
B. 1.5π
C. 2π
D. 3π
8.若二次函数y=x2+x+m−1经过第一、二、三象限，则m满足的条件是()
A. 1≤m<5
4B. m>1 C. m≥1 D. 0<m<5
4
9.不等式4(x−1)>x+2的最小整数解是______．
10.若正六边形的边长为3，则其较长的一条对角线长为______．
11.计算：−(1
2
)−2+2sin60°+|√3−2|=______．
12.顶角为36°的等腰三角形称为黄金三角形，即此三角形底边与
腰的比为√5−1
2
.如图，△ABC、△BDC都是黄金三角形，已知AB=
2，则CD=______．
13.如图，在平面直角坐标系中，Rt△ABC的顶点A、C在坐标轴上，∠ACB=90°，OA=
OC=4，AC=2BC，反比例函数y=k
x
的图象经过点B，则k的值为______．
14.如图，在矩形ABCD中，AB=4，BC=6，边AD，BC上分
别有E、F两点，若直线EF恰好平分矩形ABCD的面积，且与
AD的夹角为60°时，则AE的长度为______．
15.解方程：x2−3x−9=0．
16.如图，已知∠ABC=50°，点M在边BC上，请利用直尺和圆
规在AB边上找一点P，使得∠BPM=80°.(保留作图痕迹，不写作法)
17.化简：(4a−4
a−2−a−2)÷a−4
a2−4a+4
．
18.如图，点E是正方形ABCD内部一点，∠ABE=∠DAE，CF⊥BE
于点F.求证：BE=CF．
19.某超市在春节期间开展优惠活动，凡购物者可以通过转动转盘的方式享受折扣和优
惠，在每个转盘中指针指向每个区域的可能性均相同，若指针指向分界线，则重新转动转盘，区域对应的优惠方式如下，A1，A2，A3区域分别对应9折8折和7折优惠，B1，B2，B3，B4区域对应不优惠？本次活动共有两种方式．
方式一：转动转盘甲，指针指向折扣区域时，所购物品享受对应的折扣优惠，指针指向其他区域无优惠；
方式二：同时转动转盘甲和转盘乙，若两个转盘的指针均指向折扣区域时，所购物品享受折上折的优惠，其他情况无优惠．
(1)若顾客选择方式一，则享受优惠的概率为______；
(2)若顾客选择方式二，请用树状图或列表法列出所有可能顾客享受折上折优惠的
概率．
20.第十四届全国运动会将于2021年在古城西安举行，为了调查学生对全运知识的了
解情况，我校随机抽取七年级部分学生进行了相关知识测试，获得了他们的成绩(百分制)，根据调查结果绘制了如图尚不完整的统计图表：
所抽取学生测试成绩在80≤m<90这一组的具体成绩是：80、82、83、83、85、
85、86、86、86、88、89．
根据以上信息，解答下列问题：
(1)填空：a=______，b=______；
(2)本次调查中，所抽取学生的中位数落在落在______组；
(3)我校共有七年级学生1200人，若成绩在85分以上(含85分)的为优秀，假如全部
学生参加次测试，请估计我校七年级学生成绩为优秀的人数．
21.已知抛物线C：y=(x−m)2+m+1．
(1)若抛物线C的顶点在第二象限，求m的取值范围；
(2)若m=−2，求抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积．
22.如图所示，小明与小华计划测量学校隆平楼的高度AB，
小明先站在点E处，用测倾器EF测得逸夫楼CD的顶端D
的仰角为α，然后走到点C处，用测倾器CG测得隆平楼AB
的顶端B的仰角为β，发现α+β=90°.已知AB、EF、CD
均垂直于AC，EF=CG=1.6m，CE=25.2m.逸夫楼高
CD=31.6m，两栋楼之间的距离AC=30m，求隆平楼
的高度AB．
23.2020年是脱贫攻坚的收官之年，某县的扶贫项目“小木耳，大产业”一时红遍全
国．王林及家人为了助力扶贫攻坚，打算去参观该县的“木耳产业园”，并购买新鲜木耳．经了解，进园参观费每人20元，购买新鲜的木耳在2千克以内，每千克70元；超过2千克的，超过部分每千克60元，设王林和爸爸妈妈一家三口进入该木耳产业园参观并购买新鲜的木耳x千克，共付费y元．
(1)求y与x之间的函数关系式；
(2)若王林一家共付费416元，则王林一家共购买了多少千克木耳？
24.如图，在△ABC中，∠C=90°，∠ABC的平分线交AC于点E，过点E作BE的垂线交AB
于点F，圆O是△BEF的外接圆．
(1)求证：AC为圆O的切线；
(2)若tan∠CBE=1
，AE=4，求圆O的半径．
2
25.已知抛物线L：y=x2+bx+c与x轴交于点A和点B(3,0)，与y轴交于点C(0,−3)．
(1)求抛物线L的顶点P的坐标与点A的坐标；
(2)将抛物线L向右平移m个单位长度，得到抛物线L′，其中点A的对应点为M，若点
M、A、P恰好是一个矩形的三个顶点，请求出m的值．
26.(1)如图1，等边△ABC的边长为2，点D为BC边上一点，连接AD，则AD长的最小值
是______；
(2)如图2，已知菱形ABCD的周长为16，面积为8√3，E为AB中点，若P为对角线BD
上一动点，Q为AD边上一动点，计算EP+PQ的最小值：
(3)如图3，已知在四边形ABCD中，∠BAD=75°，∠ABC=∠ADC=90°，AB=BC=
4√2，E为CD边上一个动点，连接AE，过点D作DF⊥AE，垂足为点F，在AF上截
取FP=FD.试问在四边形ABCD内是否存在点P，使得△PBC的面积最小？若存在，请你在图中画出点P的位罝，并求出△PBC的最小面积；若不存在，请说明理由．
答案和解析
1.【答案】B
)=1，
【解析】解：∵−2×(−1
2
∴−1
的倒数是−2。

2
故选：B。

利用倒数的定义：乘积是1的两数互为倒数，进而得出答案。

此题主要考查了倒数的定义，正确把握定义是解题关键。

2.【答案】C
【解析】解：∵∠1=∠2=36°，
∴AC//DE，
∴∠ACB=∠3，
∵CD平分∠ACB，
∴∠ACB=2∠1=72°，
∴∠3=72°．
故选：C．
由平行线的判定定理可得AC//DE，由平行线的性质可得∠ACB=∠3，由平分线的定义可得∠ACB=2∠1=72°，即得∠3的度数．
本题主要考查平行线的判定与性质，解答的关键熟记平行线的性质：两直线平行，同位角相等．
3.【答案】A
【解析】解：990870=9.9087×105，
故选：A．
科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤|a|<10，n为整数．确定n的值时，要看把原数变成a时，小数点移动了多少位，n的绝对值与小数点移动的位数相同．
此题考查科学记数法的表示方法．科学记数法的表示形式为a×10n的形式，其中1≤
|a|<10，n为整数，表示时关键要正确确定a的值以及n的值．
4.【答案】C
【解析】解：∵正比例函数y=kx的图象经过点(2,−4)，
∴−4=2k，
解得k=−2，
∴y=−2x，
∴y=−2(x+1)=−2x−2，
故选：C．
根据待定系数法求得k=−2，由于自变量x的值每增加1时，y=−2(x+1)=−2x−2，可求得结论．
本题考查了正比例函数的性质，一次函数图象上点的坐标特征，待定系数法求得函数的解析式是解题的关键．
5.【答案】C
【解析】解：∵AD⊥BC，
∴∠ADB=∠ADC=90°，
∵∠B=45°，AB=8，
∴AD=BD=√2
2AB=√2
2
×8=4√2，
∵∠C=60°，
∴∠CAD=90°−60°=30°，
∴AC=2DC=8√6
3
，
∵EF垂直平分AC交AD于点E，交AC于点F，
∴∠AFE=90°，AF=CF=1
2AC=4√6
3
，
∴EF=4√2
3
，
故选：C．
由等腰直角三角形的性质可求解AD的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可求解AC 的长，由线段垂直平分线的定义可得∠AFE=90°及AF的长，再根据含30°角的直角三角形的性质可求解．
本题主要考查含30°角的直角三角形的性质，等腰直角三角形，线段的垂直平分线，求解AD，AC的长是解题的关键．
6.【答案】A
【解析】解：∵直线y=kx+b(k≠0)的图象与y轴的交点在x轴的下方，
∴b<0，
∵直线y=kx+b(k≠0)的图象经过点A(−1,1)，
∴1=−k+b，
∴b=1+k<0
∴k<−1．
故选：A．
由直线y=kx+b(k≠0)的图象与y轴的交点在x轴的下方，可得出b<0，由直线y= kx+b(k≠0)的图象经过点A(−1,1)，可得出1=−k+b，结合b<0，即可求出k的取值范围．
本题考查了一次函数图象上点的坐标特征，牢记直线上任意一点的坐标都满足函数关系式y=kx+b是解题的关键．
7.【答案】C
【解析】
【分析】
本题考查了扇形的弧长，等边三角形的性质，找到圆心角∠DAE的度数是解题的关键．先由等边三角形的性质得出AB=AC=6，∠CAB=60°.再由∠1=∠2得到∠CAB=
∠DAE=60°，然后根据弧长公式解答即可．
【解答】
解：∵△ABC是等边三角形，AC=6，
∴AB=AC=6，∠CAB=60°．
∵∠1=∠2，
∴∠1+∠BAD=∠2+∠BAD，
∴∠CAB=∠DAE=60°，
=2π，
∴弧DE的长为60×π×6
180
故选：C．
8.【答案】A
【解析】解：∵抛物线y=x2+x+m−1经过第一、二、三象限，
∴△=12−4(m−1)>0且m−1≥0，
解得1≤m<5
．
4
故选：A．
利用二次函数的性质，抛物线与x轴有2个交点，与y轴的交点不在负半轴上，即Δ>0，且m−1≥0，然后解不等式组即可．
本题考查了二次函数图象与系数的关系，掌握二次函数的性质、二次函数图象与系数的关系是解题的关键．
9.【答案】3
【解析】解：不等式4(x−1)>x+2，
去括号得：4x−4>x+2，
移项合并得：3x>6，
解得：x>2，
故最小整数解3，
故答案为3．
去括号，移项、合并同类项，系数化为1求得不等式解集，再找出最小的整数解即可．本题考查了解一元一次不等式：根据不等式的性质解一元一次不等式．基本操作方法与解一元一次方程基本相同，都有如下步骤：①去分母；②去括号；③移项；④合并同类项；⑤化系数为1．
10.【答案】6
【解析】解：如图所示为正六边形最长的三条对角线，
由正六边形性质可知，△AOB，△COD为两个边长相等的等边三
角形，
∴AD=2AB=6，
故答案为6．
根据正六边形的性质即可得到结论．
该题主要考查了正多边形和圆的性质及其应用问题；解题的关键是灵活运用正多边形和圆的性质来分析、判断、解答．
11.【答案】−2
【解析】解：原式=−4+2×√3
2
+2−√3
=−4+√3+2−√3
=−2，
故答案为：−2．
先化简负整数指数幂，绝对值，代入特殊角三角函数值，然后再计算．
本题考查实数的混合运算，理解a−p=1
a p
(a≠0)，熟记特殊角三角函数值是解题关键．12.【答案】3−√5
【解析】解：∵△ABC、△BDC都是黄金三角形，
∴BC
AB =√5−1
2
，CD
BC
=√5−1
2
，
∴BC=AB×√5−1
2=2×√5−1
2
=√5−1，
CD=BC×√5−1
2=(√5−1)×√5−1
2
=3−√5．
故答案为：3−√5．
根据黄金三角形的腰与底的比值即可求解．
本题考查了黄金三角形，熟记黄金分割的比值是解题的关键．13.【答案】12
【解析】解：过点B作BD⊥x轴，垂足为D，
∵OA=OC=4，
在Rt△AOC中，AC=√OA2+OC2=4√2，
又∵AC=2BC，
∴BC=2√2，
又∵∠ACB=90°，
∴∠OAC=∠OCA=45°=∠BCD=∠CBD，
=2，
∴CD=BD=2√2×√2
2
∴OD=4+2=6，
∴B(6,2)，
代入y=k
得：k=6×2=12，
x
故答案为12．
根据OA=OC=4，可求出AC，由AC=2BC，又可求BC，通过作垂线构造等腰直角三角形，求出点B的坐标，再求出k的值．
本题考查了反比例函数图象上点的坐标特征，直角三角形的性质、勾股定理，等腰三角形性质和判定等，将线段的长与坐标互相转化，使问题得以解决．
14.【答案】3−2√3
3
【解析】解：如图，设AC 交BD 于点O ，过点O 作OH ⊥AD 于点H ．
∵四边形ABCD 是矩形，
∴∠BAD =90°，AD =BC =6，
∵直线EF 平分矩形的面积，
∴直线EF 经过矩形的对角线的交点O ，
∵OH//AB ，OD =OB ，
∴AH =DH =3，
∴OH =12AB =2，
在Rt △OEH 中，∠OEH =60°，
∴EH =OH tan60∘=2√33
， ∴AE =AH =EH =3−
2√33． 故答案为：3−2√33
． 如图，设AC 交BD 于点O ，过点O 作OH ⊥AD 于点H.求出AH ，EH ，可得结论．
本题考查中心对称，矩形的性质，三角形中位线定理等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，构造直角三角形解决问题，属于中考常考题型．
15.【答案】解：x 2−3x −9=0，
这里a =1，b =−3，b =−9，
∵△=9+36=45>0，
∴x =3±√452=3±3√52
， ∴x 1=
3+3√52，x 2=3−3√52
． 【解析】找出a ，b ，c 的值，代入求根公式即可求出解．
本题考查的是一元二次方程的解法−公式法，掌握公式法解一元二次方程的一般步骤是
解题的关键．
16.【答案】解：如图，∠BPM即为所求作．
【解析】作线段BM的垂直平分线交AB于点P，连接PM，∠BPM即为所求作．
本题考查作图−复杂作图，线段的垂直平分线的性质等知识，解题的关键是理解题意，灵活运用所学知识解决问题．
17.【答案】解：原式=4a−4−(a+2)(a−2)
a−2⋅(a−2)2
a−4
=−a2+4a
a−2⋅(a−2)2
a−4
=−a(a+4)
a−2⋅(a−2)2
a−4
=−a(a−2)
=−a2+2a．
【解析】先算括号内的减法，把除法变成乘法，再算乘法即可．
本题考查了分式的混合运算，能正确根据分式的运算法则进行化简是解此题的关键．
18.【答案】解：∵四边形ABCD是正方形，
∴AB=BC，∠ABC=∠BAD=90°，
∴∠BAE+∠EAD=90°，
∵∠ABE=∠DAE，
∴∠ABE+∠BAE=90°，
∴∠AEB=90°，
∵∠ABE+∠CBF=90°，
∴∠BAE=∠CBF，
∵CF⊥BE于点F，
∴∠BFC=90°=∠AEB，
∴△ABE≌△BCF(AAS)，
∴BE=CF．
【解析】先根据正方形的性质和相等角的条件，证明∠ABE+∠BAE=90°，进而得∠AEB=90°，再根据全等三角形的判定得△ABE≌△BCF，得BE=CF．
本题主要考查了正方形的性质，全等三角形的判定与性质，关键是证明三角形全等．
19.【答案】1
2
【解析】解：(1)由题意可得，
顾客选择方式一，则享受优惠的概率为：2
4=1
2
，
故答案为：1
2
；
(2)树状图如下图所示，
则顾客享受折上折优惠的概率是：2
3×4=1
6
，
即顾客享受折上折优惠的概率是1
6
．
(1)根据题意和图形，可以求得顾客选择方式一，享受优惠的概率；
(2)根据题意可以画出相应的树状图，从而可以求得相应的概率．
本题考查列表法与树状图法，解答本题的关键是明确题意，列出相应的树状图，求出相应的概率．
20.【答案】110.32C
【解析】解：(1)调查人数为：3÷0.06=50(人)，
b=16÷50=0.32，
a=50−3−8−16−50×0.24=11(人)，
故答案为：11，0.32；
(2)将这50人成绩从小到大排列，处在第25、26位的两个数都在C组，
故答案为：C；
=360(人)，
(3)1200×7+8
50
答：我校七年级学生成绩为优秀的人数大约为360人．
(1)根据频率=频数
可求出调查人数和b的值，进而求出B组的频数，再根据各组频数之和总数
等于样本容量求出a的值；
(2)根据中位数的定义进行判断即可；
(3)求出样本中“优秀”所占的百分比，进而估计总体中“优秀”所占的百分比，再根
进行计算即可．
据频率=频数
总数
是正确解答的关键．本题考查频数分布表，中位数以及样本估计总体，掌握频率=频数
总数
21.【答案】解：(1)由抛物线y=(x−m)2+m+1可知，顶点坐标为(m,m+1)，
∵抛物线C的顶点在第二象限，
∴{m<0
m+1>0，
解得：−1<m<0，
∴m的取值范围是−1<m<0；
(2)已知m=−2，
∴y=(x+2)2−1，
∴顶点坐标为：(−2,−1)，
令y=0，得x1=−3，x2=−1，
∴抛物线与x轴有两个交点坐标(−3,0)(−1,0)，
令x=0，得y=3，
∴抛物线与y轴有1个交点为(0,3)，
=3．
∴抛物线C与坐标轴的交点围成的三角形的面积为：[−1−(−3)]×3×1
2
【解析】(1)由抛物线解析式求出顶点坐标在的象限，再列出不等式组，求解集即可；
(2)把m=−2先代入抛物线解析式，再令y=0，x=0，求出与坐标轴的交点，再根据
三角形面积公式即可求出．
本题考查了二次函数图象与系数的关系以及点的坐标特征，解题的关键是会求抛物线与
坐标轴的交点．
22.【答案】解：如图，延长GF交AB于点H，
则GH=AC=30m，GF=CE=25.2m.AH=EF=CG=1.6m，∵CD=31.6m，
∴DG=CD−CG=31.6−1.6=30(m)，
∵α+β=90°．
∵DG⊥FG，
∴∠DGF=90°．
∴α+∠D=90°，
∴β=∠D，
∴tanβ=tanD，
∴BH
GH =GF
DG
，
∴BH
30=25.2
30
，
∴BH=25.2(m)，
∴AB=BH+AH=25.2+1.6=26.8(m)．
∴隆平楼的高度AB为26.8m．
【解析】延长GF交AB于点H，根据题意可得GH=AC=30m，GF=CE=25.2m.AH= EF=CG=1.6m，CD=31.6m，所以DG=CD−CG=31.6−1.6=30(m)，证明β=∠D，所以tanβ=tanD，可得BH=25.2(m)，进而得AB的长．
本题考查了解直角三角形的应用−仰角俯角问题，解题的关键是正确的构造直角三角形并选择正确的边角关系解直角三角形．
23.【答案】解：(1)当0<x≤2时，y=20×3+70x=70x+60；
当x>2时，y=20×3+70×2+60(x−2)=60x+80．
综上所述，y 与x 之间的函数关系式y ={70x +60(0<x ≤2)60x +80(x >2)
． (2)∵70×2+60=200(元)，200<416，
∴x >2．
当y =416时，60x +80=416，
解得：x =5.6．
答：王林一家共购买了5.6千克木耳．
【解析】(1)分0<x ≤2及x >2两种情况，根据付费=三人购买门票所需费用+购买木耳的费用，即可得出y 与x 之间的函数关系式；
(2)求出当x =2时y 的值，由该值小于416可得出x >2，再代入y =416求出x 值． 本题考查了一次函数的应用以及一次函数图象上点的坐标特征，解题的关键是：(1)根
据各数量之间的关系，找出y 与x 之间的函数关系式；
(2)代入y =416求出与之对应的x 的值．
24.【答案】解：(1)证明：连结OE ，
∵BE 平分∠ABC ，
∴∠CBE =∠ABE ，
又OB =OE ，∠ABE =∠BEO ，
∴∠CBE =∠BEO ，
∴OE//BC ，
又∠C =90°，
即AC ⊥BC ．
∴OE ⊥AC ，
即AC 是⊙O 的切线；
(2)∵BF 是⊙O 的直径，
∴∠BEF =90°，
∵∠CBE =∠EBF ，
∴tan∠CBE =tan∠EBF =EF BE =12，
∵∠AEF +∠OEF =90°，
∵OE =OF ，
∴∠OEF =∠OFE ，
∴∠OFE +∠AEF =90°，
∵∠OFE +∠FBE =90°，
∴∠AEF =∠FBE ，
∵∠EAF =∠BAE ，
∴△EFA∽△BEA ，
∴EF BE
=AF AE =AE AB ， ∴12=AF 4=4AB ，
∴AF =2，AB =8，
∴BF =6，
∴圆O 的半径为3．
【解析】(1)连结OE ，根据BE 平分∠ABC ，可得∠CBE =∠ABE ，证明OE//AC ，进而可以证明AC 是⊙O 的切线；
(2)证明△EFA∽△BEA ，得出EF BE =AF AE =AE AB ，求出AF ，AB 的长，则答案可求出．
本题考查了切线的判定与性质，角平分线的性质，锐角三角函数，圆周角定理，三角形的外接圆与外心，相似三角形的判定与性质，解决本题的关键是综合运用以上知识． 25.【答案】解：(1)将B 、C 两点代入得{0=9+3b +c c =−3
， 解得{b =−2c =−3
， ∴解析式为y =x 2−2x −3=(x −1)2−4，
∴顶点坐标P(1,−4)，
由于点B(3,0)，由对称性可知A 的坐标为(−1,0)；
(2)平移后点M 坐标为(−1+m,0)，
当M 1为直角顶点时，M 1(1,0)，
∴−1+m =1，m =2．
当M 2为直角顶点时，
∴∠AM1P=∠PM1M2=∠APM2=90°，又∵∠PAM1+∠APM1=90°，
∠M1PM2+∠APM1=90°，
∴∠PAM1=∠M1PM2，
∴△AM1P∽△M1PM2，
∴AM1
M1P =M1P
M1M2
，
∴2
4=4
M1M2
，
∴M1M2=8，
∴M2(9,0)，
∴−1+m=9，m=10．
【解析】(1)待定系数法求出解析式，即可求出P和A点坐标；
(2)A、P是已知点，所以以AP为边和对角线两种情况分类讨论即可．
本题考查了待定系数法求解析式，二次函数平移法则以及二次函数与矩形结合的存在性问题，考查内容比较常规基础，是研究二次函数的必学内容，本题是一道很好的综合问题．
26.【答案】解：(1)√3．
(2)如图2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′=DQ，连接PQ′，AC，EC．
∵四边形ABCD是菱形，周长为16，∴AB=BC=4，∠QDP=∠Q′DP，∴S
菱形ABCD
=BC⋅AH，
∴AH=8√3
4
=2√3，
∴sin∠ABH=AH
AB =√3
2
，
∴∠ABH=60°，
∴△ABC是等边三角形，
∵AE=EB，
∴EC⊥AB，
∵DQ=DQ′，∠PDQ=∠PDQ′，DP=DP，
∴△PDQ≌△PDQ′(SAS)，
∴PQ=PQ′，
∴PE+PQ=PE+PQ′，
根据垂线段最短可知，当E，P，Q′共线，且点Q′与C重合时，
PE+PQ′的值最小，最小值=EC=AH=√3．
∴PE+PQ的值最小，最小值为√3．
(3)存在，理由如下：
如图3中，以AD为斜边在直线AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM 于N，连接AC，PD．
∵BA=BC=4√2，∠ABC=90°，
∴AC=√2AB=8，∠BAC=45°，
∵∠BAD=75°，
∴∠CAD=30°，
∴AD=AC⋅cos30°=4√3，
∵△ADO是等腰直角三角形，
∴OA=OD=2√6，
∵∠ABM=∠NMB=∠ANM=90°，
∴四边形ABMN是矩形，
∴AB=MN=4√2，∠BAN=90°，
∴∠OAN=75°+45°−90°=30°，
∴ON=1
2
OA=√6，
∴OM=√6+4√2，
∵DF⊥AE，FP=FD，
∴∠FPD=45°，
∴∠APD=135°，
∴点P的运动轨迹是AD⏜，
当点P在线段OM上时，PM的值最小，此时△PBC的面积最小，此时PM=OM−OP=√6+4√2−2√6=4√2−√6，
∴△PBC的面积的最小值=1
2⋅BC⋅PM=1
2
⋅4√2⋅(4√2−√6)=16−4√3．
【解析】本题属于四边形综合题，考查了等边三角形的性质，菱形的性质，垂线段最短，矩形的判定和性质等知识，解题的关键是学会添加常用辅助线，学会用转化的思想思考问题，属于中考压轴题．
(1)根据垂线段最短即可解决问题．
(2)如图2中，作AH⊥BC于H，在DC上截取DQ′=DQ，连接PQ′，AC，EC.首先证明△ABC 是等边三角形，证明△PDQ≌△PDQ′(SAS)，可得PQ=PQ′，推出PE+PQ=PE+PQ′，再根据垂线段最短即可解决问题．
(3)存在，如图3中，以AD为斜边在直线AD的下方作等腰直角△ADO，作OM⊥BC于M，AN⊥OM于N，连接AC，PD.证明点P的运动轨迹是AD⏜，当点P在线段OM上时，PM的值最小，此时△PBC的面积最小．。