考研数学基础知识串讲班
考研数学真题大串讲-微积分
例2（0 2012数一）grad
xy
z y
2,1,1
例2（1 1991数一）设n是曲面2x2 3y2 z2 6在点P 1,1,1处指向外侧的法向量,
求u= 6x2 8y2 在P处沿n的方向的方向导数 z
6）几何应用（曲线的切线与法平面，曲面的切平面与法线）
例2（ 2 2014数一）曲面z x2 1sin y y2 1sin x在点1,0,1处的切平面方程为
x, y 0,0
A连续,偏导存在 B连续,偏导不存在 C 不连续,偏导存在
D不连续,偏导不存在
注 : 对二重极限的三类情形
xy
1) lim
x, y0,0
x2
y2
不存在
取不同的路径如y kx会有不同的极限值
2） lim x, y0,0
x2
x
y2
不存在
3） lim x, y0,0
2
3) 1
2
例（4 2012数一）如果f x, y在点0, 0处连续,则下列命题正确的是
A若极限lim f x, y 存在,则f x, y在点0, 0处可微
x0 x y
y0
B若极限lim x0
f x
2
x,
y
y2
存在,
则f
x,
y在点0, 0处可微
y0
C 若f x, y在点0, 0处可微,则极限lim f x, y 存在
例1（5 2015数二）已知f x, y满足fxy x, y 2 y 1ex , fx x, 0 x 1ex, f 0, y y2 2y 求f x, y的极值
（2009数二）设z f (x, y)的全微分dz xdx ydy,则点（0, 0）
数学分析考研辅导班讲义1
n
2n p
p
11 2n1 2n2
1 2n
p
1 2n1
1
1 2p
1
1 2
1 2n
1 n
，
故 0 ， N 1 0 ，当 n N 时， 自然数 p ，由以上不等式知
an p an
1 n
，
故an 收敛. 定理 1.2.2 数列an 收敛 an 的任意两个子数列都收敛，且都收敛于同一
1
2 n2 n
n
1 n2 1
2 n2
2
n n2
n
1
2 n2 1
n
nn 1
2 n2 1
而
lim n n 1
n 2 n2 1
1 2
，故原极限
1 2
.
例 1.2.8 设 0 x1 1, xn1 xn 1 xn , n 1, 2, ， 证 明 xn 收 敛 ， 并 求
第 3 步 写出 u 在不同区间段上 x 所对应的变化区间；
第 4 步 将第 3 步中所得结果代入 y f (u) 中，便得 y f (g(x)) 的
表达式及相应 x 的变化区间 .
练习题
1
设
f
(x)
1, 0,
x 1 x 1
，
g(x)
2 x2,
2,
x 2 x 2
ab
b 0 不存在 b 0 不定 a 0 不存在 a 0 不定
不确定
lim an b n n
考研辅导班课程设计
考研辅导班课程设计一、课程目标知识目标：1. 理解并掌握考研数学/英语/政治/专业课的核心知识点和概念；2. 掌握各科目试题的常见题型和解题方法；3. 了解考研整体趋势和历年考题的变化特点。
技能目标：1. 提高学生的数学/英语/政治/专业课解题能力，熟练运用所学知识解决实际问题；2. 培养学生的逻辑思维和分析问题的能力；3. 提升学生的自主学习能力和团队合作能力。
情感态度价值观目标：1. 培养学生对所学专业的兴趣和热情，激发学生的学习积极性；2. 培养学生面对挑战和困难的勇气和毅力，增强学生的自信心；3. 培养学生具备良好的学习习惯和时间管理能力，形成严谨的学术态度。
课程性质：考研辅导课程旨在帮助学生巩固和拓展学科知识，提高考研成绩。
学生特点：参加辅导的学生具备一定的学科基础，但存在知识盲点和薄弱环节，需要针对性的指导。
教学要求：结合学生实际情况，采用启发式教学，注重培养学生的解题能力和自主学习能力，同时关注学生的情感态度和价值观的培养。
通过本课程的学习，使学生能够达到上述具体的学习成果。
二、教学内容数学：1. 高等数学：极限、导数、积分、级数、常微分方程等核心知识点；2. 线性代数：矩阵运算、线性方程组、特征值与特征向量等；3. 概率论与数理统计：随机事件、随机变量、数学期望、方差、假设检验等。
英语：1. 阅读理解：提高快速阅读和长难句分析能力，掌握文章结构和主旨大意；2. 新闻听力：提高听力理解能力，掌握新闻报道的基本格式和常用表达；3. 完型填空与翻译：提高词汇和语法运用能力，锻炼逻辑推理和语境理解能力；4. 作文：训练学生写作思路和表达技巧，提高作文质量。
政治：1. 马克思主义基本原理：研究马克思主义的基本观点和理论体系；2. 毛泽东思想和中国特色社会主义理论体系：学习毛泽东思想、邓小平理论、三个代表重要思想、科学发展观等内容；3. 时事政治：关注国内外热点问题，分析政策动态。
专业课：根据不同专业，选取相应的核心知识点进行深入讲解，如：1. 经济学：微观经济学、宏观经济学、国际经济学等；2. 法学：宪法、刑法、民法、诉讼法等；3. 管理学：管理学原理、市场营销、人力资源管理等。
考研数学春季基础班线性代数辅导讲义汤家凤)
2013考研数学春季基础班线性代数辅导讲义-主讲：汤家凤第一讲 行列式一、基本概念定义1 逆序—设j i ,是一对不等的正整数，若j i >，则称),(j i 为一对逆序。
定义2 逆序数—设n i i i 21是n ,,2,1 的一个排列，该排列所含逆序总数称为该排列的逆序数，记为)(21n i i i τ，逆序数为奇数的排列称为奇排列，逆序数为偶数的排列称为偶排列。
定义3 行列式—称nnn n nna a a a a a a a a D212222111211=称为n 阶行列式，规定n nn nj j j j j j j j j a a a D 21212121)()1(∑-=τ。
定义 4 余子式与代数余子式—把行列式nnn n nna a a a a a a a a D 212222111211=中元素ij a 所在的i 行元素和j 列元素去掉，剩下的1-n 行和1-n 列元素按照元素原来的排列次序构成的1-n 阶行列式，称为元素ij a 的余子式，记为ij M ，称ij ji ij M A +-=)1(为元素ij a 的代数余子式。
二、几个特殊的高阶行列式1、对角行列式—形如na a a 00000021称为对角行列式，n n a a a a a a212100000=。
2、上（下）三角行列式—称nnn na a a a a a 022211211及nnn n a a a a aa212221110为上（下）三角行列式，nn nnnn a a a a a a a a a221122211211000=，nn nnn n a a a a a a a a a2211212221110=。
3、||||B A BO O A ⋅=，||||B A BO C A ⋅=，||||B A BCO A ⋅=。
4、范得蒙行列式—形如112112121111),,,(---=n nn n nn a a a a a a a a a V称为n 阶范得蒙行列式，且ni j j i n nn n nn a a a a a a a a a a a V ≤<≤----==1112112121)(111),,,(。
考研数学高分导学班讲义汤家凤
考研数学高分导学班讲义汤家凤课程配套讲义说明1、配套课程名称2013年考研数学高分导学（汤家凤，16课时）2、课程内容此课件为汤家凤老师主讲的2013考研数学高分导学班课程。
此课程包含线代和高数，请各位学员注意查看。
3、主讲师资汤家凤——文都独家授课师资，数学博士，教授，全国著名考研数学辅导专家，全国唯一一个能脱稿全程主讲的数学辅导老师，全国大学生数学竞赛优秀指导老师。
汤老师对数学有着极其精深的研究，方法独到。
汤老师正是凭借多年从事考研阅卷工作的经验，通过自己的归纳总结，在课堂上为学生列举大量以往考过的经典例子。
深入浅出，融会贯通，让学生真正掌握正确的解题方法。
严谨的思维、激情的课堂，轻松的学习，这是汤老师课堂的特色！主讲：高等数学、线性代数。
4、讲义20页（电子版）文都网校2011年9月15日2013考研数学高分导学班讲义线性代数部分—矩阵理论一、矩阵基本概念1、矩阵的定义—形如??mn m m n n a a a a a a a a a 212222111211，称为矩阵n m ?，记为n m ij a A ?=)(。
特殊矩阵有（1）零矩阵—所有元素皆为零的矩阵称为零矩阵。
（2）方阵—行数和列数都相等的矩阵称为方阵。
（3）单位矩阵—主对角线上元素皆为1其余元素皆为零的矩阵称为单位矩阵。
（4）对称矩阵—元素关于主对角线成轴对称的矩阵称为对称矩阵。
2、同型矩阵—行数和列数相同的矩阵称为同型矩阵。
若两个矩阵同型且对应元素相同，称两个矩阵相等。
3、矩阵运算（1）矩阵加、减法：=??????? ??=mn m m n n mn m m n n b b b b b b b b b B a a a a a a a a a A 212222111211212222111211,，则±±±±±±±±±=±mn mn m m m m n n n n b a b a ba b a b a b a b a b a b a B A221122222221211112121111。
考研数学之线性代数讲义(考点知识点+概念定理总结)
考研数学之线性代数讲义（考点知识点+概念定理总结）线性代数讲义目录第一讲基本概念矩阵的初等变换与线性矩阵方程的消去完全展开式化零降阶法其它性质克莱姆法则第三讲矩阵乘积矩阵的列向量和行向量矩阵分解矩阵方程逆矩阵伴随矩阵第4讲向量组线性表示向量组的线性相关性向量组的极大无关组和秩矩阵的秩第五讲方程组解的性质解的判别基本解系统和通解第6讲特征向量和特征值的相似性和对角化特征向量与特征值―概念,计算与应用相似对角化―判断与实现附录一内积正交矩阵施密特正交化实对称矩阵的对角化第七讲二次型二次型及其矩阵可逆线性变量取代了实对称矩阵惯性指数正定二次型与正定矩阵的合同标准化与规范化附录二向量空间及其子空间附录III两个线性方程组的解集之间的关系附录四06,07年考题一第一讲基本概念1.线性方程组的基本概念。
线性方程组的一般形式是：a11x1+a12x2++a1nxn=b1，a21x1+a22x2+？+a2nxn=b2，？？？？am1x1+am2x2+？+amnxn=bm，其中未知数的个数n和方程式的个数m不必相等.线性方程组的解是一个n维向量（k1，k2，k，kn）（称为解向量），它满足当每个方程中的未知数席被Ki替换时，它变成一个方程。
线性方程组的解的情况有三种:无解,唯一解,无穷多解.在线性方程组的讨论中有两个主要问题：（1）判断解（2）求解，特别是当存在无穷多个连接时求通解b1=b2=?=bm=0的线性方程组称为齐次线性方程组.n维零向量总是齐次线性方程组的解，称为零解。
因此，齐次线性方程组只有两种解：唯一解（即只要零解）和无限解（即非零解）把一个非齐次线性方程组的每个方程的常数项都换成0，所得到的齐次线性方程组称为原方程组的导出齐次线性方程组，简称导出组.2.矩阵和向量（1）基本概念矩阵和向量都是描写事物形态的数量形式的发展.是M吗？一张表有M行和N列，以N个数字排列，两边用括号或方括号括起来，就变成了M？例如N型矩阵2-101111102254-29333-18是4吗？5矩阵对于上述线性方程组，它被称为矩阵a11a12?a1na11a12?a1nb1a=a21a22?a2n和(a|?)=a21a22?a2nb2??????? am1am2？amnam1am2？amnbm为其系数矩阵和增广矩阵.增广矩阵体现了方程组的全部信息,而齐次方程组只用系数矩阵就体现其全部信息.矩阵中的数字称为其元素，第I行和第J列中的数字称为（I，J）位元素所有元素为0的矩阵称为零矩阵，通常记录为0两个矩阵a和b相等(记作a=b),是指它的行数相等,列数也相等(即它们的类型相同),并且对应的元素都相等.N个数的有序数组称为N维向量，这些数称为其分量书写中可用矩阵的形式来表示向量,例如分量依次是a1,a2,?,an的向量可表示成二a1(a1,a2,?,an)或a2,┆an请注意,作为向量它们并没有区别,但是作为矩阵,它们不一样(左边是1?n矩阵,右边是n?1矩阵).习惯上把它们分别称为行向量和列向量.(请注意与下面规定的矩阵的行向量和列向量概念的区别.)一个M？n的矩阵的每一行是一个n维向量，称为其行向量；每一列都是一个m维向量，称为它的列向量。
【15考研公共课-讲义】2015考研数学导学班辅导讲义-汤家凤20131028-16页
2015考研数学导学班辅导讲义高等数学部分第一章极限与连续第一部分函数的初等特性1、函数的奇偶性—设函数)(x f 的定义域关于原点对称，若)()(x f x f =−，称)(x f 为偶函数；若)()(x f x f −=−，称)(x f 为奇函数。
【例1】判断函数)1ln()(2x x x f ++=的奇偶性，并求其反函数。
2、函数的周期性—设)(x f 的定义域为D ，若存在0>T ，使得对任意的D x ∈，有D T x ∈+且)()(x f T x f =+，称)(x f 为周期函数。
【例2】讨论函数][)(x x x f −=的周期性。
3、函数的单调性—设对任意的D x x ∈21,且21x x <，有)()(21x f x f <，称)(x f 在D 上为单调增函数，反之称为单调减函数。
4、函数的有界性—若存在0>M ，对任意的D x ∈，有M x f ≤|)(|，称)(x f 在D 上有界。
第二部分极限一、定义1、极限的定义（1）数列极限(N −ε)—若对任意的0>ε，总存在0>N ，当N n >时，有ε<−||A a n 成立，称数列}{n a 以A 为极限，记为A a n n =∞→lim 。
（2）函数)(x f 当a x →时的极限（δε−）—若对任意的0>ε，总存在0>δ，当δ<−<||0a x 时，有ε<−|)(|A x f 成立，称A 为)(x f 当a x →时的极限，记为A x f ax =→)(lim 。
（3）函数)(x f 当∞→x 时的极限（X −ε）—若对任意的0>ε，存在0>X ，当X x >||时，有ε<−|)(|A x f成立，称A 为)(x f 当∞→x 时的极限，记为A x f x =∞→)(lim 。
【注解】（1）a x →的含义为⎩⎨⎧+→−→≠a x a x ax 和。
考研数学基础串讲讲义
考研数学的命题特点1. 基础性【例一】极限定义1、lim x →∙是什么？（lim n →∞是什么？）①lim x →∙1）“x →∙”存在六种情形 （1）0x x →00,0,x x εδ∃><-< （2）0x x +→00,0,x x εδ∃><-<（3）0x x -→00,0,x x εδ∃><-<(4) x →∞0,,X x X ∃>> (5) x →+∞0,,X x X ∃>> (6) x →-∞0,,X x X ∃><-2极限趋向的“过程性”——若lim x →∙f(x)∃，则f(x)在x →∙时处处有定义（命题A ⇒B ，则B ⇒A ）故有：若f(x)在x →∙时至少一点无定义，⇒lim x →∙f(x)不存在。
（2016）求0lim x →1sin sin()1sin()x x x x⎛⎫ ⎪⎝⎭【分析】x →∙，xsin(1x)→0x ~0, sinx ~x. 狗~0，sin 狗~狗xsin(1x )→0, xsin(1x )~sin(xsin(1x))故原式=1知道为什么这么做不对吗？来看看正解吧!【正解】当x=π1k ，|k|充分大，xsin(1x )=0。
还记得极限的定义吗？0x →时可以取到0嘛？答案当然是不可以！但是却可以取到除零外任意小的点，例如取x=π1k ，此时xsin(1x )的极限=0。
所以xsin(1x)在时0x →不能叫0→，而叫做无穷小量。
故f(x)= 1sin(sin())1sin()x x x x在x=π1k 处无定义，⇒原极限不∃ ②lim n →∞n →∞只有一种情形，专指n →+∞∃N>0, n>N（注意n 是自然数，没有负的，而且都是整数，所以是离散的） 2、极限定义 ①函数极限的定义 若0lim x x →f(x)=A ⇔∀ε>0, ∃δ>0,当0<|x-x0|<δ时，|f(x)-A|<ε②数列极限的定义。
高等数学基础班讲义(张宇)
f
(x) x
dx, 其中f
(x)
=
x
∫1
ln(1 + t
t)
dt
【考点分析】本题核心考察了求解积分的四种基本方法：
凑积分：
把被积分式凑成某个函数的微分的积分方法。
换元积分法： 利用中间变量的代换，得到复合函数的积分法。
分部积分法： ∫ udv = uv − ∫ vdu
有理函数的积分： Pn (t) n < m
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4
课程铸就品质 服务感动学员
( ) 【例】求 lim sin x + 2014 − sin x x→+∞
【答案简析】
对f (t) = sin t在[ x, x + 2014]上用拉格朗日中值定理
⇒ sin x + 2014 − sin x = 1 cos ξ ⋅ 2014 ξ ∈( x, x + 2014)
cos x cos 2x (1− 3 cos 3x )
= lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
+ lim x→0
x2
= 1 +1+ 3 = 3 22
【练习】求 lim1− cos x cos 2x cos 3x 求a,b
x→0
axb
2、加强计算 指标：①准 ②快
1.用思想 2.用知识 3.熟能生巧
a,
b]
∫ 上的一个原函数，则 b a
f
(x)dx
=
F (b)
−
F (a)
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3
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考研辅导书推荐
一、资料选择必备参考书：（后面的星号是推荐星号），下面的计划使用下列参考书，可以用类似的书替换。
数学：1、李永乐李正元《数学复习全书（经济类）》*****，同样效用的有陈文登的《数学复习指南（经济类）》****，不过文登的重技巧，精华在微积分，永乐的重基础，而且从近三年的考试来看，全书更加适合考研，文登的有部分内容超纲。
如果已经买了文登那本复习指南，强烈推荐再买本永乐的《线性代数辅导讲义》*****，因为永乐的线代深入浅出，非常好，可以弥补文登的线代那部分的不足。
想考更高分的战友可以两本都选（个人认为全书是必备的）；2、数学基础过关660题（经济类）*****，不是必备，但是在前期作为打基础的练习非常不错。
3、历年真题。
最好的有两个版本，一个是永乐的《历年试题解析》（数学四）*****，好处在于按章节分类，题目后面还有评注，历年试卷放前面可以自测；另一个西安交大的武忠祥的《历年数学考研试题研究（数学四）》****，好处在于按章节分类，还有考试考点分析和分类统计。
每章后面有同步练习。
如果买不到这两本，其他任何版本的真题都一样***。
还有一个推荐大家买的就是可以单买一本聚焦FOCUS的考研真题集*****，性价比极高，只要2元，多买两本都不会亏，因为真题多做几遍分数就多长几分。
详解就算了。
4、《数学最后冲刺超越135分》（经济类）*****；或者文登的《题型集粹与练习题集》****作为最后冲刺阶段的查漏补缺。
5、李永乐《数学全真模拟经典400题》（数学四）至少做三遍*****。
其他的模拟题不要多买，虽然说是题海战术，但是太多了浪费，而且不做影响心情。
恩波的模拟题***，考试虫的模拟题***，可以下载到合工大的题目最好****，跟真题比较接近6、另外比较好的辅导书有《考研数学单项选择题解题方法与技巧》****和概率论与数理统计讲义（提高篇）****。
有条件的可以下载新东方的网络课件，这个课件已经足够了，最好能下到永乐05年的线性代数讲课*****，非常经典，还有06费允杰的概率讲课也非常经典*****。
涂四利考研数学辅导班典型例题
sin π sin 2nπ n 例14 ( 98 数 1 ) 求 极 限 lim + + n→ ∞ n+ 1 2 n +1 n 例15 求 极 限 lim ∑ n→ ∞ k =1
n
+
sin π . n+ 1 n
. 4n2 − k 2 1 n .
例16 求 极 限 lim
∫
ax − sin x 3 x ln (1 + t )
b
= c (c ≠ 0 ). dt
t
题型 11 由已知极限求另一极限
sin 6 x + xf 例 3 0 ( 0 0 数 2 ) 若 lim x→ 0 x3 ( A)0 (B )6 (C ) 3 6
( x ) = 0, 求 lim
1 1 1 )(1 + 2 ) (1 + 2 ), n ≥ 2, 试 证 ： 数 列 { x n } 收 敛 . 2 n 2 3 xn 例 5设 x1 = 1, x n +1 = 1 + , n ≥ 1, 证 明 数 列 { x n } 收 敛 并 求 极 限 . 1 + xn 例 4 设 x n = (1 + 例 6设 x1 = 2, x n +1 = 2 + 1 , n ≥ 1, 证 明 数 列 { x n } 收 敛 并 求 极 限 . xn
( 4 x + 1) ( 9 x + 2 ) (1) lim 50 x →∞ ( 6 x − 1)
30
20
( 2 ) lim x →∞
x + sin x x − sin x
3
江西师范大学考研数学辅导班强化班讲义典型例题
陈文灯解析考研数学大纲及备考指导
陈文灯解析2010年考研数学大纲及备考指导主持人：各位网友大家好，欢迎来到中国教育在线嘉宾聊天室。
2010年考研数学大纲已正式公布，今天我们非常荣幸邀请到全国考研数学辅导专家陈文灯老师作客我们嘉宾聊天室，陈老师您好。
陈文灯：主持人好，广大的考研朋友，大家下午好。
主持人：2010年考研大纲相比于2009年来说，主要有哪些方面的调整，请您跟我们谈一下这方面的情况。
陈文灯：我昨天晚上花了一个多钟头看了看，仔细比较了一下，基本上没有什么变化。
虽然没有变化，但是我还是要说一下如何利用我们的《大纲》。
我们的《大纲》对于概念、定义、定理、公式要求有两个层次，一个层次是了解、理解，了解当然是低层次的，理解是高层次的，对于计算也有两个层次的要求，低档次就是会，高档次就是掌握。
我们考研朋友千万不要受到《大纲》文字上的影响，认为只有"理解"、"掌握"的才会考，最低层次的"了解"、"会"就不看了，不是这样的，我个人理解《大纲》提出哪个考点和知识点，我们就应该花功夫把这部分内容复习到。
千万不要只复习那些高层次要求的，如果是这样的话，将来我们会后悔的。
所以《大纲》要求的内容要系统的、不遗漏的进行复习。
主持人：针对今年数学大纲没有任何变化，下阶段离考试只剩下几个月的时间了，考生应该怎样来合理和有效的安排自己的复习呢？在这方面，陈老师有什么宝贵的建议？陈文灯：咱们广大考生，我认为现在如果说还没有动手，那应该说稍微晚了，因为数学和其他的课程不一样，其他的课程比方说政治，他是要我们把有些东西牢牢的记一记，侧重面主要是考我们记忆方面的，而我们数学不光是考记忆，主要是考我们理解能力，所以数学相对来说讲，复习起来比较难。
我认为，从现在开始，我们应该找一本比较合适的辅导书，然后如果有条件可以参加一个辅导班，没有条件自己好好的看，也是可以成功的。
06年6月底我到杭州做讲座，在电子科技大学去讲座，开始的时候，见到了一个个子不高的小男孩，见了我深深鞠了一躬，我当时很吃惊，说这是干什么呢？这个小男孩说，我感谢你帮我考好了数学，我说你考多少，他说我考了150分，我说你考的数学几啊，他说数三，我马上问他，你什么时候听我的课，这个小伙子说，我没有听过你的课，我当时心里很沉重，觉得是不是上了别人的课考好了，然后过来奚落我的，这个小伙子可能看出来了，说陈老师我谁的课也没有听，我就看书了，我说你看谁的书，他说我只看你的书，我说我的书你都看了，很多书呢？我说你看的哪本？他说看的《复习指南》，我说你看了几遍，这个小伙子说看了6遍，说着就把身后的手中的书拿出来，我看到书都破了，里面红笔、蓝笔、铅笔都画乱了，我开玩笑说，你可不要把这本书借给你的师弟师妹看，这个小伙子说我才不让他们看呢，我要珍藏起来。
凯哥学员讲义-函数极限计算 (1)
一个有趣的现象是——在学习函数极限计算的时候，总是有人夸大泰勒公式的作用，贬低另外两大方法的 价值，但事实上，纵观考研数学历年真题可以发现，几乎没有出现过非用泰勒公式才能解出函数极限计算题（但 是有些题用泰勒会快很多）。所以，笔者认为，“能等价时先等价；当等价无穷小精度不够时，使用泰勒展开； 洛必达法则偶尔用用，可能会起到奇效”，让每个方法都能发挥自己最大的价值，才能最快速度的解出题目。 做个题而已，千万不要做出优越感来了。
凯哥考研数学——专为西柚学子打造的良心辅导课程
凯哥考研数学专用讲义(习题部分)
第一组习题——入门训练
(本组习题不具体分类，都是一些很常规很容易的题目)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
(9)
(10)
(11)
(12)
(13)
(14)
(15)
(16)
(17)
(18)
(19)
(20)
(21)
杂题 (以下是函数极限中的一些综合题，也是一些杂题，它们难度不一，没有固定的套路方法，需要具体问题 具体分析。这些题目我暂时不讲，你们先自己试着做一遍，思考一下。)
(1)
(2)
(3)
(4)
(5)
(6)
(7)
(8)
凯哥考研数学——专为西柚学子打造的良心辅导课程
在利用三大方法解题时，我们一定要记住游戏规则—— 等价无穷小：在求极限时，如果想对某部分使用等价无穷小，需要保证该部分与其余整体构成乘除关系， 不能在加减中等价，也不能在局部乘除中等价； 泰勒公式：使用泰勒公式的关键，是确定好需要展开的阶数——阶数展少了肯定出错，阶数展多了又没必 要，徒增计算量，至于具体展开到多少阶，需要具体问题具体分析； 洛必达法则：洛必达法则是一个“后验法则”——洛必达能不能用，需要洛完以后才知道。如果 极限 为 ，则 极限也为 ；如果 极限为 ，则 极限也为 ；如果 极限为震荡不存在，则洛 必达法则失效， 的极限有可能存在，也可能不存在，其值需要通过其它方法求解。特别值得注意的是，如 果题干只告诉了函数 可导，未告诉导函数 连续，那么求带有函数 的极限时，千万不能使用洛必
研究生199管理类联考综合-数学知识点讲义
考研管理综合-数学课程精讲班导学第一章算术第二章代数第三章几何第四章数据第五章应用题导学初等数学考什么（1）三边整数（2）直角边a=15答案：C试卷分析题型讲解数学部分：25题，每题3分，共75分。
逻辑部分：30题，每题2分，共60分。
写作部分：论证有效性分析30分，论说文35分。
数学逻辑全部为五选一的单选题1-15题问题求解16-25题条件充分性判断问题求解（2015）若实数a，b，c满足a:b:c=1:2:5,且a+b+c=24，求a2+b2+c2=（）（）A．30B．90C．120D．240E．27答案：E条件充分性判断1.做题方向条件+题干（已知）=题干（结论）示例：（1）某车间有23名工人搬饮料。
（2）某车间有一批工人，共23人。
（3）325 a ba b-=+（4）a>b（5）则能确定a的值2.满足条件的所有情况均叫充分2=1（1）x=1（2）2−3x−4=0答案：A3.当条件为定值时，带入题干验证即可2+2x−3>0（1）x>2（2）x≤−5答案：D4.当条件为范围时，满足条件小范围推题干大范围(a−2）（a+1）>0┤（1）a≥2（2）a=1答案：E5.举反例：满足条件但不满足结论的反例，则该条件不充分题型训练例1直线y=ax+b经过第二象限（1）a=-1，b=1（2）a=1，b=-1答案：A例1（变形）直线y=ax+b经过第二象限（1）a=-1（2）b=1答案：D例2方程210x bx++=有两个不等实根（1）b>2（2）b<-2答案：D例3已知二次函数有两个不等实根（1）a+c=0（2）a+b+c=0答案：A第一章算术本章重难点分析：1.整数（1）整数及其运算（2）整除、公倍数、公约数（3）奇数、偶数（4）质数、合数2.分数、小数、百分数3.比与比例4.数轴与绝对值本章所占比重：2道题本章目录第一节、实数1.整除、公约数、公倍数2.质数合数、奇数偶数第二节、比与比例1.比例定理2.见比设K第三节、数轴与绝对值1.绝对值定义2.绝对值模型3.绝对值性质第一节实数知识点1：整除整除：如果存在一个自然数a，除以另一自然数b，余数为0，我们就称b能a被整除，记做b|a。
杨超2013考研数学导学班讲义
第一部分 考研数学基本情况一．试卷分类及使用专业根据工学、经济学、管理学各学科、专业对硕士研究生入学所应具备的数学知识和能力的不同要求，硕士研究生入学统考数学试卷分为3种，其中针对工学门类的为数学一、数学二，针对经济学和管理学门类的为数学三.招生专业须使用的试卷种类规定如下：1.须使用数学一的招生专业1）工学门类中的力学、机械工程、光学工程、仪器科学与技术、冶金工程、动力工程及工程热物理、电气工程、电子科学与技术、信息与通信工程、控制科学与工程、计算机科学与技术、土木工程、水利工程、测绘科学与技术、交通运输工程、船舶与海洋工程、航空宇航科学与技术、兵器科学与技术、核科学与技术、生物医学工程等20个一级学科中所有的二级学科、专业.2）授工学学位的管理科学与工程一级学科。
2.须使用数学二的招生专业工学门类中的纺织科学与工程、轻工技术与工程、农业工程、林业工程、食品科学与工程等5个一级学科中所有的二级学科、专业。
3.须选用数学一或数学二的招生专业（由招生单位自定）工学门类中的材料科学与工程、化学工程与技术、地质资源与地质工程、矿业工程、石油与天然气工程、环境科学与工程等一级学科中对数学要求较高的二级学科、专业选用数学一，对数学要求较低的选用数学二。
4.须使用数学三的招生专业1）经济学门类的各一级学科。
2）管理学门类中的工商管理、农林经济管理一级学科。
3）授管理学学位的管理科学与工程一级学科。
二.考试形式和试卷结构1.试卷满分及考试时间试卷满分150分，考试时间为180分钟。
2.答题方式答题方式为闭卷、笔试。
3.试卷内容结构数学一： 高等数学 %56线性代数 %22概率论与数理统计 %22数学二： 高等数学 %78线性代数 %22数学三： 微积分 %56线性代数 %22概率论与数理统计 %224.试卷题型结构各卷种试卷题型结构为：单项选择题 8小题，每小题4分，共32分填空题 6小题，每小题4分，共24分解答题（包括证明题） 9大题，共94分三.考研数学全国平均成绩2006年2007年2008年2009年2010年 数学一83.0 62.2 70.7 68.1 70.9数学二91.4 72.3 85.8 77.6 64.7数学三81.2 68.6 69.4 68.3 73.4四.考研数学试题、试卷的特点及对策1.考试内容多、题量大数学一和数学三考三门课（高等数学；线性代数；概率论与数理统计），数学二考两门课（高等数学；线性代数）。
文都数学基础班概率统计 汤家凤
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zO16考 研数学基础班概率统计赭阜讲※
第三章 二维随机变量及其分布
一、基本概念 ∷
1、 联合分布 函数⊥ 设 (X,玢 为二维随Ⅱ机变量 ,称 F← ,力 =P(X兰 峦,y-yl为
(X,y)的 联合分布函数。
2← 二维离散型随机变量的联合分布律∵设(X,y,为 三维离散型随机变量,称
ˉ
理
(一 )离 散型
整 网
惊呼 1、 二项分布一若随机变量 /的 分布律为 P(X=付 =C劳 p钅 (1-`)刀忄⑩ ≤乃兰⑷ ,
骨搬靓:
称随机变量X服 从二项分布,记 为X~刀 ⒄,p)。
2 丶
机变量
3 丶
机 变 旦里
( 1 丶
zO16考 研 数 学基础 班 概 率绕艹轱 阜 济义 称随 称随
-
(C)Flrjr)凡 ←)为 某随机变晕的分布函数;
(D)rl← )尼 ←)为 苯随机变量的密度函数。
2、 设 随 机 变 量 X的 密 度 函数 /(另)为 偶 函 数 ,其 分 布 函 数 为 F(豸),则
]
(/)F← )为 偶函数;
∷
((3)jF(-c)〓 1-l∶ /(艿 )djr;
》 (刀 F(T四)=?尸 (曰 )-1;
`冫
4、 设X~Ⅳ (〃 ,σ 2),则 随σ的增大,概率P(|X-〃 l【 σ)
理 整 网 呼 惊
骺酽
`l
’
〓
第3
设
2 3
∷ 设
)
〓 ∷ 设
4 5
设
⒛16考 研数学基础班概率统#轿 荨许叉。
线代
A,B 均为 n 阶矩阵， A 2, B 3, A1 B* A* B 1 ___
例题 1.7
a 3 1 * 已知 A 7 a 2b 17 , A x 0 的通解为____ 3 b 7
3 范德蒙行列式的计算 ○
1
海天 2013 考研数学冲刺串讲·线性代数 解题方法 5：记忆范德蒙行列式的公式
6 ○
矩阵的等价
2
海天 2013 考研数学冲刺串讲·线性代数
解题方法 9：矩阵 A, B等价 例 1.13
1 . A, B是同型矩阵 2 .r A r B
设 n 阶矩阵 A,B 等价，则下列命题不正确的是____
A 若 A 0, 则 B 0 B 若 A 0，则有可逆矩阵P使PB=E C 若A与E等价，则B是可逆矩阵 D 有可逆矩阵P, Q使得PAQ B
n i A i 1 n i tr A i 1 i 为A的特征值，B=f A 为A的多项式，则B的特征值为f i i 1, 2L n * -1 i 为A的特征值，A 对应特征值为 A i 若r A 1, 则 =tr A , L 0 1 2 3 n
例 2.8 已知 1 , 2 , 3 是方程组 Ax 0的基础解系， 则 a,b 满足什么条件时，可以有
2 +3
a1 b 2 , a 2 b 3 , a 3 b1也是Ax 0的基础解系
例 2.9
1 , 2 , 3 , 4 是四维列向量， A= 1 , 2 , 3 , 4 是 4 阶矩阵， 若方程组 Ax 的
解题方法 1：
齐次方程组Ax=0有非零解 向量组的秩r 1 , 2 L s s 向量组中任何一个向量都不能由其余向量线性表出
考研数学阿赞学长讲义
考研数学阿赞学长讲义一、引言数学是考研数学科目中的一项重要内容，也是许多考生头疼的难点。
为了帮助考生更好地应对数学考试，数学阿赞学长开设了一门独特的数学讲义课程。
本文将介绍数学阿赞学长讲义的特点、优势以及学生们的反馈。
二、数学阿赞学长讲义的特点1. 系统全面：数学阿赞学长讲义涵盖了考研数学的各个方面，包括高等数学、线性代数、概率论与数理统计等。
学长将知识点进行了系统整理，让考生能够全面掌握数学考试的要点。
2. 理论与实践相结合：数学阿赞学长讲义不仅注重理论知识的讲解，还注重实践应用。
学长会通过大量的例题和习题讲解，帮助考生理解和掌握各个知识点的具体应用方法。
3. 重点难点突破：学长深入分析了考研数学的重点和难点，将这些内容进行了重点讲解和针对性突破。
通过学长的讲解和指导，考生能够更好地应对数学考试中的难题。
三、数学阿赞学长讲义的优势1. 教学经验丰富：数学阿赞学长本人是考研数学状元，曾多次参与数学竞赛并获得优异成绩。
他对数学知识的理解深入透彻，能够将复杂的数学概念简单明了地讲解给学生。
2. 学习方法独特：数学阿赞学长总结了自己的学习方法，通过将抽象的数学概念与具体的实例相结合，使学生能够更好地理解和记忆数学知识。
他还总结了一些解题技巧和方法，帮助学生提高解题能力。
3. 学生反馈良好：许多学生在学习数学阿赞学长讲义后取得了优异的成绩。
他们表示，学长的讲解通俗易懂，让他们对数学产生了浓厚的兴趣，也提高了他们的自信心。
四、学生的反馈1. 李同学：在学习数学阿赞学长讲义后，我的数学成绩有了明显的提高。
学长的讲解方式很独特，让我对数学的理解更加深入，也帮助我掌握了解题的技巧。
2. 张同学：数学一直是我最头疼的科目，但是通过学习数学阿赞学长讲义，我对数学的恐惧感慢慢消失了。
学长的讲解很生动有趣，让我对数学产生了浓厚的兴趣。
3. 王同学：数学阿赞学长讲义的习题非常实用，通过大量的练习，我能够更好地掌握各个知识点的应用方法。
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y f ( x)
基本初等函数：幂函数，
y f ( x, y) y f[ g( x) ] x f 1 ( y )
指数函数， 对数函数， （反）三角函数
F ( x, y) 0
y xa
性质：1.1 .图象：
y ax
y ln x
1.2 .奇偶性之判定： 1. 定义域：对称 2. 函数值：奇
情况 II:
x x0
lim f x , lim g x B
x x0
x x0
l i m f x g x
；
；
x x0
lim f x g x
；
f x l i m x x0 g x
（由于约定俗成 是足够小的量， 记作： 1.2.1.3 左右极限 理解： x 从左边或右边接近 x0 标准描述：把 0
f ( x) A 表示 f ( x) 和 A 之间只有
或
那么大的距离，所以“特别近” ）
x x0
lim f ( x) A
当x x ) 0 , f( x
求
h x f 2x f x 1 的定义域
第二节 1.2.1 函数极限的定义 如果自变量特别特别靠近一个值，函数值会不会也跟着特别特别靠近一个值。 注意事项：自变量和函数值的“近” ，永远不会相等。 1.2.1.1 极限
lim f ( x) A
x
理解：如果自变量 x 特别特别大，函数值 标准描述：总存在正数
f [ g ( x)] 和中间函数 g x
2.令 3.把
g ( x) u ， 求它的反函数 x g 1 (u ) f ( x) 把中所有的 x 换成 g 1 (u )
4.整理，附上定义域 1. 设
f (e x 1) e 2 x e x x ，求 f(x).
Step1：找到 Step2：令 Step3：把
一句话记忆：自变量和函数的符号一致即单调递增，相反即单调递减。 判定方法：导数大于零即单调递增，导数小于零即单调递减。 应用：不等式证明。 注意事项：函数的单调性一定是针对区间而言的。标准说法“函数在 **区间内单调递增、减” 。如果说“函数是单调递增的” 默认在全定义域内。 1.5 有界性： 例
lim f x A, lim g x B
x x0
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f x A lim l i m f x g x A B lim f x g x AB ； ； x x0 g x x x0 x x0 B
如果极限是正的，那么当 x 足够接近 x0 时，每一个点的函数值都是正的。 1.2.2.3 局部有界性 设
x x0
lim f ( x) A ，则 0 ， M 0 ，当 0 x x0 时， f ( x) M
1.2.2.4 唯一性 设
x x0
lim f ( x) A ， lim f ( x) B ，则 A B 。
那么大的距离， 所以 “特别特别近” 又0
表示 x 和 x0 之间只有
x x0
，
x x0
，表示
x 只能是靠近 x0 ，而不能等于 x0 。因为， f ( x) 在 x0 点未必有定义，但 f ( x0 ) 没有定义并
不影响极限） 存在
A ，对于任意 0 ，有 f ( x) A
f ( x) 会特别特别靠近一个值 A
X ，当 x 满足 x X 时
（由于约定俗成 X 是足够大的量， 存在
x X 表示 x 特别大，即 x ）
A ，对于任意 0 ，有 f ( x) A
lim f ( x) A
x
记作：
或
当x , f ( x) A
x x0
理解：如果极限大，那么当 x 足够接近 x0 时，每一个点的函数值都大。 1.2.2.2 保号性 设
x x0
lim f ( x) A 且 A 0 ，则 0 ，当 0 x x0 时， f ( x) 0
0 时。
理解：保序性的特例，当 g ( x)
的定义域。
Step1: 列不等式组： 新华考研 255 门考研专业课 1 / 28 报名咨询电话： 0537-4456166 4456177
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Step2: 解不等式，求交集：3.求 Step1: 列不等式组： Step2: 解不等式，求交集： II. 求解复合函数： 常规题型：
1.2.1.2
x x0
lim f ( x) A
f ( x) 也会特别特别靠近一个值 A 。
理解：如果自变量 x 特别特别靠近一个特定的值 x0 ，函数值 标准描述：总存在正数 ，当 x 满足 0 （由于约定俗成 是足够小的量，x x0 而不是 0
x x0 时，
n n
n
0, 当 n N 时， yn xn zn ，若 lim yn lim zn A ，则 lim xn A
1.2.3.2 单调有界定理 用途：几乎所有的数列极限存在题都用单调有界定理。 证明方法：证明单调：比较 x n 和 xn 1 的大小。 证明有界：主流方法为均值不等式。 （单调递增的关注其上界，单调递减的关注其下界。 ） 求递推数列的极限：利用原理 lim xn
ye
1 3 3 x 1
的值域。
步骤：1.找到外层函数和中间函数 2.把外层函数自变量的位置换成中间函数 3.代入内层函数表达式 4.附上定义域（先求定义域再整理） 1.已知
f ( x)
1 x ，求 f . x 1 f ( x) 1
Step1: 找到外层函数
f x 和中间函数 g x
a a
1.4. 单调性之定义： 增函数：在某区间内，若有 x1 减函数：在某区间内，若有 x1
x2 （ x1 x2 ） ，则有 f ( x1 ) f ( x2 ) （ f ( x1 ) f ( x2 ) ） ； x2 （ x1 x2 ） ，则有 f ( x1 ) f ( x2 ) （ f ( x1 ) f ( x2 ) ）
A
x x0 改成 0 x x0 和 x x0 0
f ( x) 在 x0 点没有定义，
2.
仅在下列情况下需要考虑： 1. 1.2.2 函数极限的性质
f ( x) 是分段函数，而且 x0 是分界点 3.
证明极限存在。
核心思想：在全实数域内，极限值不能决定每一点的函数值。 但是当自变量落入合适的范围内时，每一个点的函数值将和极限有相同的性质。 新华考研 255 门考研专业课 3 / 28 报名咨询电话： 0537-4456166 4456177
f [ g ( x)] 和中间函数 g x
g ( x) u ，求它的反函数 x g 1 (u )
f ( x) 把中所有的 x 换成 g 1 (u )
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n
lim xn1 。
n
1. 令
lim xn A ；
n
2. 对递推公式两边取极限，把 lim xn 和 lim xn 1 都改成
n n
A ，解出 A 。
例：设 0
x0 1 ， xn 1 xn (2 xn ) ，求证 { xn } 收敛并求 lim xn 。
f ( x) M
函数定，求证 f x 有界练习： 1.
I. 求定义域、值域： 步骤：1.不等式：偶次根式（ 0 ） ；对数（ 0 ） ；分母（ 0 ） ；反三角函数（ [ 1,1] ） 2.解不等式，求交集。
Step2: 把外层函数自变量的位置换成中间函数 Step3: 代入中间函数的表达式 Step4：附上定义域 2.设
f ( x)
x 1 x2
，求
f f ( x)
Step1: 找到外层函数
f x 和中间函数 g x
Step2: 把外层函数自变量的位置换成中间函数 Step3: 代入中间函数的表达式 Step4：附上定义域 反向题型： 步骤：1.找到
f [ g ( x)] 和中间函数 g x
g ( x) u ，求它的反函数 x g 1 (u ) f ( x) 把中所有的 x 换成 g 1 (u )
f (e x ) xe x ，且 f (1) 0 ，求 f(x)
Step4：整理，附上定义域 2. 已知 Step1：找到 Step2：令 Step3：把
f ( x) f ( x) ；偶 f ( x) f ( x)
初等函数的奇偶性 : 1. 幂函数： a 是奇数就是奇函数， a 是偶数就是偶函数； 2. 用途：求定积分。 1.3 .周期性： 三角函数： sin 是奇函数， cos 是偶函数。
b b
f ( x) f ( x T ) ； f ( x)dx f ( x T )dx ； f '( x0 ) f '( x0 T )
x x0
理解：一个函数在一个点上只能有一个极限。 1.2.3 极限的存在定理 1.2.3.1 夹逼定理 函数：设
0 ，当 0 x x0 时， g x f x h x