几种典型带电体的场强和电势公式

几种电荷分布所产生的场强和电势
1、均匀分布的球面电荷（球面半径为R ，带电量为q ）
电场强度矢量：⎪⎩
⎪⎨⎧<=>=）（球面内，即。

）（球面外，即R r r E R r r r q r E 0)( , 41)( 3
επ 电势分布为：()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
==（球内）。

（球外）， 41 41 0 0R q
r U r q r U επεπ
2、均匀分布的球体电荷（球体的半径为R,带电量为q ）
电场强度矢量：⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
>=<=）（球体外，即。

）（球体内，即，R r r r
q r E R r R r q r E 41)( 41)( 3030 επεπ 电势分布为：()()()
⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
<-=>=即球内）（。

即球外）（， 3 81 41 3
2
20 0 R r R r R q r U R r r q r U επεπ 3、均匀分布的无限大平面电荷（电荷面密度为σ）
电场强度矢量：离无关。

）
（平板两侧的场强与距 ) (2)(0
i x E ±=εσ
电势分布为：
()()r r r U -=
00
2εσ
其中假设0r 处为零电势参考点。

若选取原点（即带电平面）为零电势参考点。

即00=U 。

那么其余处的电势表达式为：
()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≤=≥-=0 2 0 2 00x x x U x x x U εσ
εσ 4、均匀分布的无限长圆柱柱面电荷（圆柱面的半径为R ，单位长度的带电量
为λ。

）
电场强度矢量 ⎪⎩
⎪⎨⎧
<=>=，即在柱面内）（。

即在柱面外）（，R r r E R r r r r E 0)( , 2 )( 2
επλ
电势分布为：()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧
<=>=即柱体内）
（。

即柱体外）（ ln 2 , ln 2 00R r R r r U R r r r r U a a επλεπλ
其中假设a r 处为零电势参考点。

且a r 处位于圆柱柱面外部。

（即a r >R ）。

若选取带电圆柱柱面处为零电势参考点。

（即()0=R U ）。

那么，其余各处的电势表达式为：
()()()()⎪⎩
⎪⎨⎧≥-=≤≤=即在圆柱面外即在圆柱面内 ln 2 0 0 0R r R r r U R r r U επλ 5、均匀分布的无限长带电圆柱体（体电荷密度为ρ、半径为R 。

）
电场强度矢量： ()()()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
≥=≤≤=圆柱体外圆柱体内 2 0 2 2
020
R r r r R r E R r r r E
ερερ
电势： ()()()()⎪⎪⎩⎪
⎪⎨⎧≥+-=≤≤-=圆柱体外圆柱体内
ln 2 4 0 4
02
0202
R r r R R R r U R r r r U ερερερ 其中假设圆柱体轴线处为零电势参考点。

即()00==r U 。

6、均匀分布的带电圆环（带电量为q ；圆环的半径为R 。

）在其轴线上x 处的电场强度和电势
电场强度矢量： ()()
02
3
2
2
41x R
x
qx
x E
+=
επ。

其中0x
为轴线方向的单位
矢量。

讨论： （a ）当 2
0 4 )( x i
q x E x R x p επ ≅
∞→>>时或。

此时带电圆
环可视为点电荷进行处理。

（b ）当0)0( 0 =→<<p E x R x 时或 。

即，带电圆环在其圆心处的电场强度为零。

电势： ()()
2
1
2
20 41R x q x U +=
επ 。

其中电势的零参考点位于无穷远处。

带电圆环在其圆心处的电势为： R
q x U x 004)(πε=
= 。

7、均匀分布的带电直线（其中，线电荷密度λ，直线长为l ） （1）在直线的延长线上，与直线的端点距离为d 的P 点处：
电场强度矢量： ()()i d l d i d l d l d E p
⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=+=11 4 400επλεπλ 。

()d
d
l d U p +=
ln
40επλ 。

（2）在直线的中垂线上，与直线的距离为d 的Q 点处：
电场强度矢量为：
()j d l d l
j d l d l d E Q 2202
2042 42 4+=+⎪⎭
⎫ ⎝⎛=επλεπλ 。

电势：
()2
22
2022
22
44ln
42222ln
4d l l d l l d l l d l l d U Q ++-++=+⎪⎭
⎫
⎝⎛+-+⎪⎭⎫
⎝⎛+=επλεπλ。

（3）在直线外的空间中任意点处：
电场强度矢量： ()j E i E r y x
+= 。

其中：
()()⎪⎪⎩
⎪
⎪⎨⎧
-=-=210120 4 4 θθεπλ
θθεπλCos Cos E Sin Sin E y x 。

或者改写为另一种表示式:
即: k E r E z r E z r p
+=0
),( 。

其中：
⎪⎪⎪
⎪⎪
⎩
⎪⎪⎪⎪⎪⎨
⎧⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++--+=⎥⎥⎥⎥⎦⎤⎢⎢⎢⎢⎣⎡++++++--++-+-=2222022
2222220)2(1
)2(1 4 )2()2()2(1)2()2()2(1 4 l z r l z r E l z r l z r l z l z r l z r l z r E z r επλεπλ
电势： 2
22
20)2
(2)2(2ln 4l
z r l z l
z r l z U p -++-++++
=
επλ 。

（4）若带电直线为无限长时，那么，与无限长带电直线的距离为d 的P 点处： 电场强度矢量： ()()r
r r E d d d E p p 2
000 2 2επλ
επλ==或 。

电势： ()()r
r r U d d d U p p 0000ln 2 ln 2επλεπλ==
或 。

其中假设d 0或（r 0）为电势的零参考点。

（5）半无限长带电直线在其端点处：（端点与带电直线的垂直距离为d ）
电场强度矢量：d
E E j E i E E y x y x 0 4 επλ
==+=其中。

。

8、电偶极子P
的电场强度和电势
（1）在电偶极子的延长线上x 处：其中（X >>l ）
电场强度矢量：()()3
0302 41 2 41r
P
r E x P x E
επεπ==或 。

电势： ()()2
020 41r U 41r
P
x P x U επεπ==
或 。

（2）在电偶极子的中垂线上y 处：其中（Y >>l ）
电场强度矢量： ()3
0 41y
P
y E
επ-= 。

电势： ()0 410=⎪⎭
⎫
⎝⎛-+=
r q r q y U επ 。

（3）在空间中任意点r 处：其中（r >>l ）
电场强度矢量：（采用平面极坐标系）
()13 4 2 412
2
003030+=⎪⎭
⎫ ⎝⎛+=
θεπθθθεπCos r P E r PSin r r pCos r E 其大小为 ， 方向为⎪⎭⎫ ⎝⎛=⎪
⎪⎭
⎫ ⎝⎛==--θϕθθtg tg E E tg E E
arctg r
r 2111。

其中ϕ为E 与0
r 之间的夹角。

电势：()3
02 41 41r r
P r Cos P r U o
∙=
=επθεπ 。

电场强度矢量的另一种表达式为：
上式电场强度矢量的表达式就是将电场强度E 矢量分解在电偶极矩e P 和矢径r
的方向上。

可以证明：该表达式与电场强度的平面极坐标表达式是相等的。

若采用二维笛卡尔坐标系（平面直角坐标系）：
因为各物理量之间的关系为：。

， r
x Cos 2
2
222y
x x y x r +==
+=θ 所以电势的表达式为： ()()
2
3
2
20 41y x Px
r U +=
επ 。

而电场强度的表达式为： j E i E E y x
+= 。

其中：
()
()()。

， 3 41 2 412
5
2
202522220y x Pxy y U E y x y x P x U E y
x +=∂∂-=+-=∂∂-=επεπ
其大小为：()
2222
2022
4 41y
x y
x P E E E y
x
++=+=επ 。

若采用三维笛卡尔坐标系（即三维直角坐标系）则有如下关系式：。

， 2
2
2
2222z
y x z r
z
Cos z y x r ++==++=θ 那么，电势的表达式为： ()()
2
3
2
220 41z y x z
P r U ++=
επ 。

而电场强度的表达式为： k E j E i E E z y x
++= 。

其中：
()
()
; z x 3 4 3 42
5
2
2202
5
2
220++=
∂∂-
=++=
∂∂-
=y z
y P y U E z y x z
x P x U E y x επεπ；
()[]r p r p r E e e ˆˆ3413
0 ⋅+-=επ方向的单位矢量。

为矢径式中：r r r 0ˆ=
(
)
(
)。

2 42
52222
220z y x y x z P z U E z ++--=∂∂-=επ
9、带电圆盘在其轴线上距离圆心为x 点处：
电场强度矢量： i R x x
x E p
⎪⎪⎭⎫ ⎝⎛+-=
220
12)(εσ。

对上式结果进行讨论：
（a ）当 02
020 4)( 4)( x r r
q
r E i x q x E R x p p επεπ≅≅∞→>>或时或 此时带电圆盘可视为点电荷进行处理。

（b ）当。

则，时或 2)( 0 0
i x E x R x p
εσ≅→<<即此时带电圆盘可视为无限大带电平板进行处理。

电势： ()
x x R
x U p -+=
22
2)(εσ 。

带电圆盘在其圆心处附近处的电势为：　。

02)(εσR x U x =
= 10、均匀分布的带电半球面在其球心处：（球面的面电荷密度为σ，球面的半径为R 。

）
电场强度矢量： i E
04εσ=。

电势： 。

42 )(00R
Q
R x U p επεσ==
此时电势并不是⎰∞∙=0)(r d E x U o p ，因为0
4)()(εσ
=≠x E x E o 。