北师大版高中数学选修3-4对称与群多项式的对称性
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这是一个关于a、b、c的四次齐次轮 换多项式，可用因式定理分解，易知ab,b-c,c-a是多项式的三个因式，而四次 多项式还有一个因式，由轮换对称性可知 这个一次因式应是a+b+c，故可设：
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a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)=k(a-b)(bc)(c-a)(a+b+c）（其中k为待定系数）， 取a=0,b=1,c=-1可得k=-1，所以 ： 原式= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
由此可知，多项式的对称性就是多 项式在它的元的某些置换下保持不变的 性质。
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一个多元多项式，如果把其中任何 两个元互换，所得的结果都与原式相同， 则称此多项式是关于这些元的对称多项 式。如x²+y²+z²、xy+yz+zx、x²+4y&#习
多项式的对称性在数学应用里有很 重要的作用。
例如，分解因式： a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a 换成c，即为c²(a-b)+a²(b-c)+b²(c-a）， 原式不变，这类多项式称为关于a、b、c 的轮换对称式，轮换对称式的因式分解， 用因式定理及待定系数法比较简单。
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这是一个含有a、b、c三个字母的 三次多项式，现以a为主元，设 f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b），易知 当a=b和a=c时，都有f(a)=0，故a-b和 a-c是多项式的因式，而视b为主元时， 同理可知b-c也是多项式的因式。
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而三次多项式至多有三个因式故可 设a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=k(ab)(b-c)(c-a），其中k为待定系数，令 a=0, b=1,c=-1可得k=-1。
∴a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a).
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又如，分解因式： a³(b-c)+b³(c-a)+ c³(a-b).
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可以证明，方程ƒ (x)=0可用根式解 的充分必要条件是E 对于F 的伽罗瓦群是 可解群。由于伽罗瓦证明了当n≥5时n 次 交错群An 是非交换的单群，当然是不可 解的,而且一般的n次方程的伽罗瓦群是n
个文字的对称群,因而一般5次和5次以上 的方程不可能用根式解就是其一个直接的 推论。
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伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代 数方程的解的理论。在19世纪末以前，解 方程一直是代数学的中心问题。早在古巴 比伦时代，人们就会解二次方程。在许多 情况下，求解的方法就相当于给出解的公 式。但是自觉地、系统地研究二次方程的 一般解法并得到解的公式，是在公元9世 纪的事。三次、四次方程的解法直到16世 纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转 向求解五次以上的方程。
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在伽罗瓦得到这些主要结论之后，可
用根式解的方程的刻画就清楚了。设ƒ(x) 是域F上一个不可约多项式，假定它是可
分的（在通常的数域上一定是可分的）。
作ƒ(x)的分裂域E。E对于F的伽罗瓦群实 际上就是ƒ(x)=0的根集上如上规定的置换 群。而E叾F的中间域就对应于解方程 ƒ(x)=0的一些必要的中间方程。
伽罗瓦理论在1928年已由W.克鲁尔推 广到无限的可分正规扩张上，在这个情形， 对子群要作适当的限制才有子群与中间域 的一一对应。
由伽罗瓦理论，每个有理系数的多项 式都决定一个群，即它的伽罗瓦群。一个 自然的问题：是否任意一个有限群都同构 于一个有理系数多项式的伽罗瓦群。这个 问题通常称为伽罗瓦反问题，是一个还没 有解决的问题。
多项式的 对称性
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多项式是否存在对称性呢？首先， 我们给出两个多项式：
a+b+c+d和a+b+c-d；
首先我们来看a+b+c+d中的元素任 意交换后所得多项式保持恒等，或者说 a，b, c,d的位置任意变换，多项式大 小不变。
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而多项式a+b+c-d中，仅a,b,c任意 交换位置，多项式的大小不变。由此可 知，多项式a+b+c+d的对称性大于多项 式a+b+c-d的对称性。
谢 谢！
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与平面图形的对称群类似，多项式的 对称性变换有下面的性质：
设f （x1，x2，…，xn）是一个多项
式，G是（x1，x2，…，xn）的全体对称性 变换组成的集合，那么，G对于置换的乘 法运算满足以下定律：
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1、封闭率：Г 的任意两个对称性变换的乘积 仍是Г 的对称性变换； 2、结合律：对于G中的任意三个对称性变换a， b，c，有（ab）c=a（bc）成立； 3、有恒等元：恒等变换e是Г 的对称性变换； 4、有逆元：Г 的每个对称性变换的逆变换也 是Г 的对称性变换。
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a³(b-c)+b³(c-a)+c³(a-b)=k(a-b)(bc)(c-a)(a+b+c）（其中k为待定系数）， 取a=0,b=1,c=-1可得k=-1，所以 ： 原式= -(a-b)(b-c)(c-a)(a+b+c).
由此可知，多项式的对称性就是多 项式在它的元的某些置换下保持不变的 性质。
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一个多元多项式，如果把其中任何 两个元互换，所得的结果都与原式相同， 则称此多项式是关于这些元的对称多项 式。如x²+y²+z²、xy+yz+zx、x²+4y&#习
多项式的对称性在数学应用里有很 重要的作用。
例如，分解因式： a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b).
此题中若将式中的b换成a,c换成b,a 换成c，即为c²(a-b)+a²(b-c)+b²(c-a）， 原式不变，这类多项式称为关于a、b、c 的轮换对称式，轮换对称式的因式分解， 用因式定理及待定系数法比较简单。
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这是一个含有a、b、c三个字母的 三次多项式，现以a为主元，设 f(a)=a2(b-c)+b2(c-a)+c2(a-b），易知 当a=b和a=c时，都有f(a)=0，故a-b和 a-c是多项式的因式，而视b为主元时， 同理可知b-c也是多项式的因式。
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而三次多项式至多有三个因式故可 设a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b)=k(ab)(b-c)(c-a），其中k为待定系数，令 a=0, b=1,c=-1可得k=-1。
∴a²(b-c)+b²(c-a)+c²(a-b) =-(a-b)(b-c)(c-a).
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又如，分解因式： a³(b-c)+b³(c-a)+ c³(a-b).
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可以证明，方程ƒ (x)=0可用根式解 的充分必要条件是E 对于F 的伽罗瓦群是 可解群。由于伽罗瓦证明了当n≥5时n 次 交错群An 是非交换的单群，当然是不可 解的,而且一般的n次方程的伽罗瓦群是n
个文字的对称群,因而一般5次和5次以上 的方程不可能用根式解就是其一个直接的 推论。
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伽罗瓦理论是用群论的方法来研究代 数方程的解的理论。在19世纪末以前，解 方程一直是代数学的中心问题。早在古巴 比伦时代，人们就会解二次方程。在许多 情况下，求解的方法就相当于给出解的公 式。但是自觉地、系统地研究二次方程的 一般解法并得到解的公式，是在公元9世 纪的事。三次、四次方程的解法直到16世 纪上半叶才得到。从此以后、数学家们转 向求解五次以上的方程。
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在伽罗瓦得到这些主要结论之后，可
用根式解的方程的刻画就清楚了。设ƒ(x) 是域F上一个不可约多项式，假定它是可
分的（在通常的数域上一定是可分的）。
作ƒ(x)的分裂域E。E对于F的伽罗瓦群实 际上就是ƒ(x)=0的根集上如上规定的置换 群。而E叾F的中间域就对应于解方程 ƒ(x)=0的一些必要的中间方程。
伽罗瓦理论在1928年已由W.克鲁尔推 广到无限的可分正规扩张上，在这个情形， 对子群要作适当的限制才有子群与中间域 的一一对应。
由伽罗瓦理论，每个有理系数的多项 式都决定一个群，即它的伽罗瓦群。一个 自然的问题：是否任意一个有限群都同构 于一个有理系数多项式的伽罗瓦群。这个 问题通常称为伽罗瓦反问题，是一个还没 有解决的问题。
多项式的 对称性
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多项式是否存在对称性呢？首先， 我们给出两个多项式：
a+b+c+d和a+b+c-d；
首先我们来看a+b+c+d中的元素任 意交换后所得多项式保持恒等，或者说 a，b, c,d的位置任意变换，多项式大 小不变。
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而多项式a+b+c-d中，仅a,b,c任意 交换位置，多项式的大小不变。由此可 知，多项式a+b+c+d的对称性大于多项 式a+b+c-d的对称性。
谢 谢！
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与平面图形的对称群类似，多项式的 对称性变换有下面的性质：
设f （x1，x2，…，xn）是一个多项
式，G是（x1，x2，…，xn）的全体对称性 变换组成的集合，那么，G对于置换的乘 法运算满足以下定律：
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1、封闭率：Г 的任意两个对称性变换的乘积 仍是Г 的对称性变换； 2、结合律：对于G中的任意三个对称性变换a， b，c，有（ab）c=a（bc）成立； 3、有恒等元：恒等变换e是Г 的对称性变换； 4、有逆元：Г 的每个对称性变换的逆变换也 是Г 的对称性变换。