初三数学证明题(含答案)

1 3 2 4 ．即 OEG ODG 90 ．
GE 是⊙O 的切线．
（证法二）连接 OE，OG ．
1分
∵ AG GD，CO OD ，
OG∥ AC ．
2分
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6分 8分
10 分 12 分
1 2，3 4 ．
4分
∵OC=OE．
∵点 M 是弧 AB 的中点
∴弧 AM=弧 BM ∴∠ACM=∠BCM ∵∠ACM=∠ABM ∴∠BCM=∠ABM ∵∠BMC=∠BMN
„„„7 分
∴△MBN∽△MCB
BM MN ∴ MC BM
∴BM2=MC·MN
„„„„„„„„8 分
∵AB 是⊙O 的直径，弧 AM=弧 BM
∴∠AMB=90°,AM=BM
∴所以 P1P2 = 2 2002 1602 =240, ∴台风影响的时间 t = 240 = 8(小时).
30
（2010 陕西省）23．如图，在 RT△ABC 中∠ABC=90°，斜边 AC 的垂直 平分线交 BC 与 D 点，交 AC 与 E 点，连接 BE （1）若 BE 是△DEC 的外接圆的切线，求∠C 的大小？ （2）当 AB=1,BC=2 是求△DEC 外界圆的半径
（1）证明：AF 平分∠BAC；
A
（2）证明：BF＝FD；
（3）若 EF＝4，DE＝3，求 AD 的长．
O
D
25．(本题 10 分)证明（1）连结 OF ∵FH 是⊙O 的切线 ∴OF⊥FH „„„„„1 分 ∵FH∥BC ， ∴OF 垂直平分 BC „„„2 分
B
E
C
F
H
A 12
∴ BF FC
∵∠COB=2∠A ,∠COB=2∠PCB
∴∠A=∠ACO=∠PCB ∵AB 是⊙O 的直径
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„1 分
∴∠ACO+∠OCB=90°
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„2 分
∴∠PCB+∠OCB=90°,即 OC⊥CP „„„„„„„„„„„„„„„„3 分
∵OC 是⊙O 的半径 ∴PC 是⊙O 的切线
2
3
当⊙P 在左侧与直线 OC 相切时﹙如图 3﹚，
PC t 1 (6 t) 3 t 3
2
2
由 3 t 3 1，得 t 8 ﹙s﹚，此时⊙P 与直线 CD 相割．
2
3
综上，当 t 4 s 或 8 s 时，⊙P 与直线 OC 相切，⊙P 与直线 CD 相割． 33
（2010 年兰州）26.（本题满分 10 分）如图，已知 AB 是⊙O 的直径，点 C 在⊙O 上，过点 C
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„4 分
（2）∵PC=AC ∴∠A=∠P
∴∠A=∠ACO=∠PCB=∠P
∵∠COB=∠A+∠ACO,∠CBO=∠P+∠PCB
∴∠CBO=∠COB ∴BC=OC
„„„„„„„„„„„„„„„„„5 分
1
∴BC= 2 AB
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„6 分 (3)连接 MA,MB
速度向下作匀速平移运动，与此同时，点 P 从点 B 出发,在直线 l 上以每秒 1 个单位的
速度沿直线 l 向右下方向作匀速运动．设它们运动的
时间为 t 秒．
y
（1）用含 t 的代数式表示点 P 的坐标；
（2）过 O 作 OC⊥AB 于 C,过 C 作 CD⊥ x 轴 于 D,问： t 为何值时,以 P 为圆心、1 为半 径的圆与直线 OC 相切？并说明此时 P
为 1，两圆的位置关系是
A．外离
B．内切
C．相交
D．外切
答案 B
（2010 年兰州）10. 如图，正三角形的内切圆半径为 1，那么这个正三角形的边长为
A． 2
B． 3
C． 3
D． 2 3
答案 D
（2010 年无锡）6．已知两圆内切，它们的半径分别为 3 和 6，则这两圆的圆心距 d 的取值
满足 （ ▲ ）
由条件知, PB = 320, BPQ = 30°, 得 BH = 320sin30°= 160 < 200, ∴ 本次台风会影响 B 市. (2) 如图, 若台风中心移动到 P1 时, 台风开始影响 B 市, 台风中心移动到 P2 时, 台风影
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响结束. 由（1）得 BH = 160, 由条件得 BP1=BP2 = 200,
交 CA、CB 于点 E、F，点 G 是 AD 的中点．求证：GE 是⊙O 的切线．
24．证明：（证法一）连接 OE，DE ．
1分
∵ CD 是⊙O 的直径，
AED CED 90 ．
2分
∵ G 是 AD 的中点，
EG 1 AD DG ．
4分
2
1 2 ．
∵ OE OD，3 4 ．
答案：1；
6．（2010 年长沙）已知⊙O1、⊙O2 的半径分别是 r1 2 、 r2 4 ，若两圆相交，则圆心距
O1O2 可能取的值是 B
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A．2
B．4
C．6
D．8
（2010 年成都）8．已知两圆的半径分别是 4 和 6，圆心距为 7，则这两圆的位置关系是（ ）
（A）相交
A
12
O
B
43 5
D E
C
∴ BF AF ， „„„„„8 分 FE BF
F
H
∴ BF 2 FE FA
∴ FA BF 2 FE
„„„„„„„„9 分
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∴ FA 72 49 44
∴AD= 49 7 = 21 „„„„„„„10 分
4
4
（2010 年兰州）6.已知两圆的半径 R、r 分别为方程 x2 5x 6 0 的两根，两圆的圆心距
2
2
2
2
y
B HP
y
B PC
O
图1
A
x
y
O
D
A
x
图2
BC P
O
D
A
x
图3
⑵当⊙P 在左侧与直线 OC 相切时﹙如图 2﹚，
∵OB＝ 6 t ，∠BOC＝30°
∴BC＝ 1 (6 t) 3 1 t
2
2
∴PC 3 1 t t 3 3 t
2
2
由 3 3 t 1，得 t 4 ﹙s﹚,此时⊙P 与直线 CD 相割．
（2010 哈尔滨）5.如图，PA、PB 是 O 的切线，切点分别是 A、B，
如果∠P＝60°,
那么∠AOB 等于（ ） D
A.60°
B.90°
C.120° D.150°
(2010 台州市)如图，正方形 ABCD 边长为 4，以 BC 为直径的
半圆 O 交对角线 BD 于 E．则直线 CD 与⊙O 的位置关系是 ▲ ， A
（B）外切
（C）外离
（D）内含
答案：A
（2010 年眉山）4．⊙O1 的半径为 3cm，⊙O2 的半径为 5cm，圆心距 O1O2=2cm，这两圆的
位置关系是
A．外切
B．相交
C．内切
D．内含
答案：C
毕节 24．（本题 12 分）如图，已知 CD 是△ABC 中 AB 边上的高，以 CD 为直径的⊙O 分别
．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．．8 分
D
阴影部分面积为(结果保留π ) ▲ ．
E
答案：相切（2 分）， 6 π
（桂林 2010）25．（本题满分 10 分）如图，⊙O 是△ABC 的外
B
O
C
（第 15 题）
接圆，FH 是⊙O 的切线，切点为 F，
FH∥BC，连结 AF 交 BC 于 E，∠ABC 的平分线 BD 交 AF 于 D，连结 BF．
A． d 9
B． d 9
C． 3 d 9
D． d 3
本试卷由无锡市天一实验学校金杨建录制 QQ：623300747．转载请注明！
答案 D
（2010 年无锡）27．（本题满分 10 分）如图，已知点 A(6 3, 0), B(0, 6) ，经过 A、B 的直
线 l 以每秒 1 个单位的
解：（1）∵ DE 垂直平分 AC ∴∠DEC=90° ∴DC 为△DEC 外接圆的直径 ∴DC 的中点 O 即为圆心 连结 OE 又知 BE 是圆 O 的切线 ∴∠EBO+∠BOE=90° 在 RT△ABC 中 E 斜边 AC 的中点 ∴BE=EC ∴∠EBC=∠C
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又∵∠BOE=2∠C ∴∠C+2∠C=90° ∴∠C=30°
1、（2010 年杭州市）如图，台风中心位于点 P，并沿东北方向 PQ 移动，已知台风移 动的速度为 30 千米/时，受影响区域的半径为 200 千米，B 市位 于点 P 的北偏东 75°方向上，距离点 P 320 千米处. (1) 说明本次台风会影响 B 市；
（2）求这次台风影响 B 市的时间. 答案：(1) 作 BH⊥PQ 于点 H, 在 Rt△BHP 中,
∴AF 平分∠BAC „„„„3 分 （2）证明：由（1）及题设条件可知
∠1=∠2，∠4=∠3，∠5=∠2 „„„„„4 分 ∴∠1+∠4=∠2+∠3
O D
B
E
C
F
H
∴∠1+∠4=∠5+∠3 „„„„„5 分 ∠FDB=∠FBD ∴BF=FD „„„„„„6 分 （3）解： 在△BFE 和△AFB 中 ∵∠5=∠2=∠1，∠F=∠F ∴△BFE∽△AFB „„„„„„7 分
由勾股定理，得 AP BP2 AB2 42 22 2 3 . ．．．．．．．．．．．．．．．．．．5 分
(Ⅱ)如图，连接 OC 、 AC ， ∵ AB 是⊙ O 的直径， ∴ BCA 90 ，有 ACP 90 . 在 Rt△ APC 中， D 为 AP 的中点，
B C
（Ⅰ）如图①，若 AB 2 ， P 30 ，求 AP 的长（结果保留根号）；
（Ⅱ）如图②，若 D 为 AP 的中点，求证直线 CD 是⊙ O 的切线.
B C
B C
O
O
A
图①
P
A
D
P
第（22）题
图②
解：（Ⅰ）∵ AB 是⊙ O 的直径， AP 是切线， ∴ BAP 90 . 在 Rt△ PAB 中， AB 2 ， P 30 ， ∴ BP 2AB 2 2 4 .
的直线与 AB 的延长线交于点 P，AC=PC，∠COB=2∠PCB.
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（1）求证：PC 是⊙O 的切线；
1
（2）求证：BC= 2 AB；
（3）点 M 是弧 AB 的中点，CM 交 AB 于点 N，若 AB=4，求 MN·MC 的值.
答案（本题满分 10 分）
解：（1）∵OA=OC,∴∠A=∠ACO
O
A
D
P
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∴ CD 1 AP AD . 2
∴ DAC DCA . 又 ∵ OC OA ， ∴ OAC OCA . ∵ OAC DAC PAB 90 ， ∴ OCA DCA OCD 90 . 即 OC CD . ∴ 直线 CD 是⊙ O 的切线.
设直线ad的函数表达式为直线的函数表达式为四边形是菱形abcd430可编辑修改ac相切时ap12rac相切时cp22r相切时bcacp1cp32rac相切时22题图1014为半径的圆与对角线ac相切2010四川宜宾若o的半径为4cm点到圆心o的距离为3cm那么点2010山东德州已知三角形的三边长分别为345的圆的公共点个数所有可能的情2010山东德州如图在bc中点ae平分1求证
（2）在 RT△ABC 中 AC= AB2 BC2 5
∵∠ABC=∠DEC=90° ∴△ABC∽△DEC
∴ AC BC
DC EC
∴DC= 5
4
△ DEC 外接圆半径为 5
8
∴EC= 1 AC= 5
2
2
（2010 年天津市）（22）（本小题 8 分）
已知 AB 是⊙ O 的直径， AP 是⊙ O 的切线， A 是切点， BP 与⊙ O 交于点 C .
∵AB=4 ∴BM= 2 2
∴MC·MN=BM2=8
„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„„9 分 „„„„„„„„„„„„„„„„„„„„10 分
（2010 宁波市）6．两圆的半径分别为 3 和 5，圆心距为 7，则两圆的位置关系是
A．内切
B．相交
C．外切
D．外离
13. （2010 年金华） 如果半径为 3cm 的⊙O1 与半径为 4cm 的⊙O2 内切，那么两圆的圆心 距 O1O2＝ ▲ cm.
∴∠2=∠4．
∴∠1=∠3．
6分
又 OE OD，OG OG ，
△OEG ≌△ODG ．
OEG ODG 90 ．
GE 是⊙O 的切线．
8分 10 分 12 分
15．(10 重庆潼南县)如图，在矩形 ABCD 中，AB=6 ，BC=4，⊙O 是以 AB 为直径的圆， 则直线 DC 与⊙O 的位置关系是______．相离
B l
PC
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OD
A
x
与直线 CD 的位置关系．
答案解：⑴作 PH⊥OB 于 H ﹙如图 1﹚，∵OB＝6，OA＝ 6 3 ，∴∠OAB＝30°
∵PB＝t，∠BPH＝30°，∴BH＝ 1 t ，HP＝ 3 t ;
2
2
∴OH＝ 6 t 1 t 6 3 t ，∴P﹙ 3 t ， 6 3 t ﹚