学案直线与圆锥曲线的位置关系

直线与圆锥曲线的位置关系

【学习目标】

通过判断直线与圆锥曲线的位置关系，求相关弦长、定点、定值、最值、范围等，提升逻辑推理、数学运算素养.

【学习重难点】

1.通过类比直线与圆的位置关系，学会判断直线与椭圆、双曲线、抛物线的位置关系.（重点）

2.会求直线与圆锥曲线相交所得弦的长，以及直线与圆锥曲线的综合问题.（重点、难点）【学习过程】

一、新知初探

1.直线与圆锥曲线的位置关系

2.弦长公式

当直线与圆锥曲线相交时，往往涉及弦的长度，可利用弦长公式表示弦长，从而研究相关的问题，弦长公式为：若直线/的斜率为h与圆锥曲线。交于A （为，产），B（X2,"）两点，则IABl =γ∣ 1 ÷Λ2∣ΛI—x2∣ =-∖∕（l +k1）[（x∖+x2）2~4x∖X2]

=y∣ 1 +pl>,ι-y2∖=y∣+ yap - 4vιy21.

二、初试身手

L思考辨析（正确的打“，错误的打“X”）

（1）平面上到定点4 （1,0）和到定直线/：x+2y+3=0的距离相等的点的轨迹为抛物线.（）

（2）一条直线与双曲线的两支交点个数最多为2条.（）

（3）抛物线与直线只有一个公共点是直线与抛物线相切的充要条件.（）

2.抛物线y2=↑2x截直线y=2x+1所得弦长等于（）

A. √15

B. √T3

C. 2√l5

D. 2√13

3.直线尸+1与椭圆f+±l的位置关系为.

4.直线J与双曲线卷一V=I交点个数为个.

5.过椭圆,+方=1的右焦点与X轴垂直的直线与椭圆交于A, B两点,则IABI=. 三、合作探究

类型1：直线与圆锥曲线的位置关系

【例1】对不同的实数值机，讨论直线y=x+∕n与椭圆Y+y2=l的位置关系.

类型2：弦长问题及中点弦问题

【例2】椭圆以2+by2=l与直线χ+y-l=O相交于A, B两点、,。是AB的中点，若IABl =

2√2,。。的斜率为坐，求椭圆的方程.

类型3：圆锥曲线中的最值及¥围问题

【例3】已知双曲线C摄一*=1 （α>0, z,>θ）的焦距为3√Σ其中一条渐近线的方程为Xfy=0.以双曲线C的实轴为长轴，虚轴为短轴的椭圆记为反过原点0的动直线与椭圆E交于A, B两点.

（1）求椭圆E的方程；

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（2）若点尸为椭圆E的左顶点，PG=2GO,求∣G4F+∣GB∣2的取值范围.

【学习小结】

1.解决直线与圆锥曲线的交点问题时,主要方法是构建一元二次方程,判断其解的个数.确定斜率与直线的倾斜角时，应特别注意斜率为0和斜率不存在的两种情形，以及在双曲线和抛物线中，直线和曲线有一个公共点并不一定相切.

2.与弦中点有关的问题，求解的方法有两种：

（1）一般方法：利用根与系数的关系及中点坐标公式来求解；

（2）点差法：利用端点在曲线上，坐标满足方程，将端点坐标分别代入曲线方程，然后作差，构造出中点坐标和斜率的关系.

3.在探求最值时，常结合几何图形的直观性，充分利用平面几何结论，借助于函数的单调性、基本不等式等使问题获解.同时，要注意未知数的取值范围、最值存在的条件.

【精炼反馈】，

1.椭圆的两个焦点为尸I, Fz,过B的直线交椭圆于A, B两点、.若∣AB∣ = 8,

则IAnl+1BEI的值为（）

A. 10

B. 12

C. 16

D. 18

2.在抛物线y2=8x中，以（1, 一1）为中点的弦所在直线的方程是（）

A. χ-4γ-3=0

B. x+4y+3=0

C. 4x+y-3=0

D. 4x+y+3=0

3.已知双曲线C Λ2-5=1,过点P （1,2）的直线/,使/与C有且只有一个公共点，则

满足上述条件的直线/共有（）

A. 1条

B. 2条

C. 3条

D. 4条

4.若直线x—y=2与抛物线y2=4x交于A, 8两点，则线段AB的中点坐标是.

5.直线/：、=依+1与椭圆，+9=1交于“、N两点，且IMM=竽.求直线/的方程.