DC-DC变换器平均模型建模及仿真

I. 引言
现代电子设备和电子系统通常由高密度、高速度的电路组成，这样的电路具有低压大电流的特性。

为了带动这样的负载，电源必须能在一个很宽的电流范围内提供稳定的电压，其稳态及暂态的整流特性也必须相当出色。

建模与仿真在现代DC-DC 变换器的设计过程中扮演了很重要的角色。

它能让工程师在制作实际电路之前评估变换器的性能。

因此，我们可以在设计之初就发现并更正可能存在的设计缺陷，以提高生产率并节约生产成本。

DC-DC 变换器的建模和仿真在过去的十年里是一个热点[1]。

一般来说，变换器建模方法有两种：开关模型、平均模型。

在开关模型中，模型仿真了变换器的开关动作，仿真波形是包含了开关纹波的波形，这与实际看到的波形很相似。

而平均模型只仿真了变换器的平均特性，仿真波形也是平滑而连续的，这个波形代表了平均值而非实际值。

众所周知，对平均模型进行仿真要比开关模型快。

因此，平均模型常用于变换器动态性能的总体评估。

在过去，平均模型的仿真主要是用SPICE 来完成的[2]。

SPICE 的缺点在于仿真的对象必须是电路的形式，如果模型原型是复杂的方程式，则要花费很大的精力将其转换成等效的电路形式。

尽管SPICE 的新版本也开始支持建立纯数学模型，但是改善仍然有限。

最近，参考文献[3]介绍了一个不错的可以用在DC-DC 变换器建模和仿真方面的工具——SIMULINK[4]。

然而，作者使用的变换器模型是线性化的，在大信号条件下，这个模型的仿真效果并不理想。

为了克服上述缺点，本论文讨论了如何应用SIMULINK 在大信号条件下对DC-DC 变换器进行平均模型的建模与方针。

本文拓展了文献[3]的研究，在变换器的功率和控制部分使用了非线性化的模型，从而改进了模型在大信号条件下的仿真效果。

II.DC-DC 变换器的建模
下面将分别讨论Buck 变换器的非线性化的模型，及相关的三个输出电压控制策略。

A. Buck 变换器主电路拓扑
Buck 变换器主拓扑如图1所示：
Iz
C
R
L
Vin
r c
V
图1 Buck 变换器 Fig.1. Buck Converter
在电流连续的模式下（CCM ）——即开关开通的时候，电感电流连续——变换器表现为两个电路状态。

第一个状态是当MOSFET 开通的情况（图2(a)）。

第二个状态是当MOSFET 关断的情况（图2（b ））。

Iz
C
R
L
V in
r c
V
i
V c
（a ）
Iz
C
R
L
r c
V
i
V c
（b ）
图2 Buck 变换器状态：(a)MOSFET 导通时 （b ）MOSFET 关断时 Fig.2. Buck converter when MOSFET: (a) turns on and (b) turns off
两种状态的状态空间表达式分别为：
1
()()()110()
()()c
c c c c in c z c c c c Rr Rr R L R r L R r L
L R r i V i v I R v C R r C R r C R r --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
-⎥⎢
-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦
&& （1）
()()()110()
()()c
c c c c in c z c c c c Rr Rr R L R r L R r L R r i V i v I R v C R r C R r C R r --⎡⎤⎡⎤⎢⎥⎢⎥+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
-⎥⎢-⎥⎣⎦
⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎣
⎦⎣⎦
&& （2）
式中i 和V c 分别代表电感电流和电容电压，电流源I z 代表负载电流扰动，r c 是输出电容
的等效串联电阻（ESR ）。

根据文献[5]所述，对（1）式和（2）式进行加权平均，则得出Buck 变换器的平均状态空间方程为：
()()()110()
()()c
c c c c in c z c c c c Rr Rr R d
L R r L R r L
L R r i V i v I R v C R r C R r C R r --⎡⎤⎡⎤
⎢⎥⎢⎥+++⎡⎤⎡⎤⎡⎤
⎢
⎥⎢⎥=+⎢⎥⎢⎥⎢⎥⎢
-⎥⎢
-⎥⎣⎦⎣⎦⎣⎦⎢⎥⎢⎥+++⎣⎦⎣⎦
&& （3）
注意式（3）是一个非线性方程，因其包含了dV in ，而d 与V in 是不相关的变量。

B. 电压模式控制策略（VMC ）
VMC 控制策略如图3所示。

C
R
L
Vin
r c
V
Controller H(s)
PWM Modulator
V p
V ref
V c
d
图3 使用VMC 控制的Buck 变换器 Fig. 3. Buck converter with VMC
具体做法如下：首先将变换器的输出电压V 反馈回来，并与参考电压Vref 做差，这两个电压的差值称为误差电压；然后控制环节H （s ）根据误差电压得出控制电压Vc ；紧接着控制电压V c 与锯齿波相比较以产生PWM 信号——d ；最后由d 来控制MOSFET 的开关动作。

我们定义d 与Vc 的商为PWM 调制增益，文献[3]中给出了它的表达式：
1c p
d V V = （4）
其中V p 是锯齿波电压的幅值。

图4所示的控制器可以用来补偿Buck 变换器的主要的二阶特性。

R 1
R 3
R 2
R 4
C 1
C 2
V
V ref
V c
图4 包含双极点和双零点的控制器 Fig.4. Two-pole two-zero controller
控制环节有2个极点（12,p p ωω）和2个零点（12,z z ωω），传递函数如下：
12
12
(1)(1)
()(1)(1)
c z z p p s
s
V H s K
s s V ωωωω+
+
==++ （5） 其中K=R 3/(R 1+R 2)，ωz1=1/R 4C 2，ωz2=1/R 2C 1，ωp1=1/(R 3+R 4)C 2和ωp2=(R 1+R 2)/R 1R 2C 2。

在设计控制器的时候，第一个极点1p ω通常被放置在低频区用来增强系统的DC 增益，第二个极点2p ω用来抵消由输出电容的ESR 引入的零点的作用。

两个零点用来抵消由LC 滤波器引入的两个极点。

C. 电流模式控制策略（CMC ）
CMC 控制策略如图5所示。

C
R
L
Vin
r c
V
Controller H(s)
V ref
Clock Pulse
I ref
I fb
Q S R
dT
(1-d)T
I
I p
dT
(1-d)T
I ref
(c)
i
I fb
(b)(a)
图5 （a ）使用CMC 的Buck 变换器；（b ）电感电流波形；（c ）开关电流波形
Fig. 5. (a) Buck converter with CMC; (b) Inductor current waveform;(c) Switch current waveform.
在一个开关周期开始的时候，时钟信号将触发器置位（Q=1）使MOSFET 开通。

在开
关开通的这段时间内，流过开关的电流等于电感电流，并呈线性增长；与此同时我们将开关电流I fb 与来自控制器控制信号I ref 作比较。

当I fb 稍大于I ref 的时候，比较器输出高电平，触发器被复位（Q=0），MOSFET 被关断，这标志了一个开关周期的结束。

以后的开关周期都遵循这个过程周而复始。

由稳态时电感电流的波形（如图5（b ）所示）可得出平均电感电流
()2in p V V dT
I I L
-=-
（6）
其中I p 是电感电流的峰值，T 是开关周期。

由开关电流的波形（如图5（c ）所示）可得出I p 与I ref 的关系：
fb s ref I R Ip I == （7）
其中R s 是电流传感增益。

将（7）代入（6）可得
2()()ref in s
I L
d I V V T R =-- （8）
在CMC 中，因为电感电流是被控量，所以它不再是独立的变量。

因此，使用CMC 的Buck 变换器是一个一阶系统，即是说，它的动态特性主要受变换器的输出电容的影响。

CMC Buck 变换器可以选用如图6所示的比例积分（PI ）控制器。

它有一个在原点的极点——代表积分环节，和一个零点。

PI 控制器的传递函数为：
()
()c z V K s H s V s
ω+=
=
（9） 其中K=R 2/R 1，ωz =1/R 2C 1 。

原点的极点增加了系统的DC 增益。

在效果上，积分环节
可帮助变换器改善输出电压波形。

另外，根据系统的设计要求（带宽和响应时间）可计算出ωz 。

R 1
R 2
C 1
V
V ref
V c
图6 PI 调节器
Fig. 6. Proportional-Integral (PI) controller.
D. 平均模式控制策略（ACMC ）
ACMC 方案如图7所示。

C
R
L
Vin
r c
V
H(s)
PWM Modulator
V ref
d
R s
F(s)Current Controller
Voltage Controller
+--
+V c
V s V ci
V p
图7 使用ACMC 的Buck 变换器 Fig. 7. Buck converter with ACMC.
H(s)是电压控制器，它同VMC 下的控制器一样，也产生一个控制信号V c 。

电感电流通过电阻R s 获取，经放大器放大A c 倍后得到传感电流信号V s =iA c R s 。

V s 与V c 的差值作为电流控制器F （s ）的输入，得到的结果V ci 又和锯齿波做比较，进而得到PWM 信号d 。

我们可以通过这个信号d 来控制MOSFET 开关动作。

当输出电压V 偏离了V ref 的时候，控制信号V c 和占空比d 就会发生改变。

d 的变化会导致平均电感电流和输出电压的调整。

在达到新的稳态的时候，平均电感电流会保持一个合适的值来保证稳定的输出电压。

因此，在ACMC 模式下，通过调整平均电流可以控制输出电压。

从图7中看出，占空比被表示为
]}))(()[({1
s ref p
V V V s H s F V d --=
（10）
图8是一个补偿电路。

该电路有两个极点和一个零点。

ACMC 中的电压控制器和电流控制器都使用了这个电路。

它的传递函数是
)
1()
1()(2
1
p z s
s s
K
s H ωω+
+
=
（11）
其中K=1/R 1(C 1+C 2)，ωz1=1/R 2C 1 ，ωp2=(C 1+C 2)/R 2C 1C 2。

ACMC 模式下包含了两个闭环：电流闭环和电压闭环。

电流闭环中必须加入积分环节，因为平均电感电流（V s ）必须紧紧的跟随参考值（V c ）。

零点ωz1用来保证每个闭环都有期望的带宽。

电流闭环的响应速度快，并且必须比电压闭环的带宽高。

第二个极点在两个闭环中的作用是为了保证产生闭环增益衰减，从而抑制高频时的开关噪声。

R 1
R 2
C 2
V
V ref
V c
C 1
图8 双极点单零点控制器 Fig. 8. Two-pole one-zero controller.
III. SIMULINK 模型和结果
在这个部分将讨论Buck 变换器的SIMULINK 建模。

我们分别建立使用了VMC ，CMC 和ACMC 的Buck 变换器模型（出于叙述的方便，下面将用“VMC ”代表“使用VMC 控制策略的Buck 变换器模型”。

“CMC ”、“ACMC ”也一样）。

为了验证这些模型在大信号仿真中的正确性，我们将仿真结果和实验结果进行对比。

用来做对比实验的Buck 变换器的电路参数如表I 所示，仿真电路也使用这些参数。

VMC 和CMC 的原型有相同的电路参数，并工作在相同的输入输出电压下，即Vin=24V ，V=5V 。

它们的控制芯片采用UC3825[6]，该芯片既能工作于VMC 模式又能工作于CMC 模式。

ACMC 原型的输入电压Vin=5V ，输出电压V=2V 。

它使用UC3886[7]作为控制芯片。

因为工作电压不同，ACMC 原型的电路参数与VMC 和CMC 的不同。

表1 实验用Buck 变换器的电路参数
Table I Circuit Parameters of Prototype Buck Converter
参数 VMC 和CMC
ACMC V in 24V 5V V 5V 2V R 5Ω 2Ω L 55μH 45μH C 200μF 1200μF r c 0.095Ω 0.025Ω T=1/f
10μs
10μs
A. VMC 的Simulink 模型
VMC 的Simulink 模型如图9（a ）所示。

-
3
H(s)
1
×
1/V p 2
mux
x ’=A.x+B.u 4
Controller
modulator
V in
V c
d
Iz
Converter
V
(a)
-
3
H(s)
1
×
1/R s
2
mux
x ’=A.x+B.u
4
Controller
V in
I ref
d
Iz
Converter
V
2L/T
÷×
dmux
×
V ref
--
+
+
(b)
-
3
H(s)
1
2
mux
x ’=A.x+B.u 4
Voltage Controller
Current Controller
V in
V c d
Iz
Converter
V
dmux
×
V ref
1/V p F(s)
A c R s
PWM modular
-
+
V s
V cl
I
(c)
Current Sensing Gain
图8 Buck 变换器的Simulink 模型：（a ）VMC;（b ）CMC;（c ）ACMC Fig. 9 SIMULINK models of a buck converter with: (a) VMC, (b) CMC, and (c) ACMC
式（3）可通过Simulink 的标准状态空间模块（State-Space ）实现。

式（4）表示的PWM
调制器增益为增益模块1/V p ，由于控制芯片为UC3825，所以V p =1.8V 。

乘法器用来产生dV in 。

Mux 模块将dV in 和I 合并成一个系统的输入向量。

根据式（5）可设计控制器H （s ）：C 1=C 2=0.22uF ，R 1=120Ω，R 2=R 4=560Ω，R 3=500k Ω。

该控制器能保证系统具有良好稳定性和暂态特性。

将上述值带入式（5）可得控制器的传递函数：
)
1017.21)(11.01()
1023.11)(1023.11(3.735)(544s s s s s H ---⨯++⨯+⨯+= （12）
式（12）可通过Simulink 的标准传递函数模块（Transfer Fcn ）实现。

对图9（a ）所示的VMC 模型施加一个3A 的阶跃负载（既I Z 突然从0跳变到3A ），它
的输出电压响应的仿真波形如图10（a ）所示。

调节时间和最大电压降分别为150us 和0.28V 。

图10（b ）为VMC 原形电路的实验波形。

对比两图，仿真结果与实验结果符合的很好。

图10. 加入3A 阶跃负载电流时的VMC 输出电压响应：（a ）仿真波形；（b ）实验波形
Fig. 10. Output voltage response ofVMC buck converter due to a step load change of 3A: (a) simulated; (b) experimental
B. CMC 的SIMULINK 模型
CMC 的Simulink 模型如图9（b ）所示。

式（8）所表示的占空比表达式可通过Simulink
的基本数学运算模块和增益模块的组合来实现。

Demultiplexer （demux ）模块用来分离输出向量中的电感电流和输出电压。

分离后的两个量分别反馈给电流闭还和电压闭环。

在VMC 中，功率电路是由式（3）的状态空间表达式来表示的，使用表I 所列参数。

电流反馈增益，R s =1.71Ω。

为了保证系统的稳定性和良好的瞬态响应，需要设计一个PI 控制器，其参数为 C 1=270μF ，R 1=4.7k Ω，R 2=100k Ω。

将这些参数带入式（9）得控制器的传递函数为：
s
s s H )
1004.37(27.21)(3⨯+= （13）
向此模型加入一个3A 的阶跃负载电流，其仿真结果如11（a ）所示。

由图可知，调节时间和最大电压降分别为100μs 和0.28V 。

图11（b ）为CMC 原形电路的实验波形。

对比两图，仿真结果与实验结果符合的很好。

图11. 加入3A 阶跃负载电流时的CMC 输出电压响应：（a ）仿真波形；（b ）实验波形
Fig. 11. Output voltage response of CMC buck converter due to a step load change of 3A: (a) simulated; (b) experimental.
C. ACMC Buck变换器的SIMULINK模型
ACMC的Simulink模型如图9（c）所示。

电感电流和输出电压在输出向量用demux模块分离开来。

这两个信号分别作用于电流闭环和电压闭环。

很显然，这两个闭环连接的方式自然满足式（9），即占空比。

反馈电流增益（A，R s）为0.075；在使用UC3886的时候，选择V p=2.8V。

根据电流闭环的带宽要求（10kHz），设计电流控制器参数为：R1=560Ω，R2=10kΩ，C1=500pF，C2=22nF。

同理，根据电压闭环的带宽要求（5kHz），设计电压控制器的参数为：R1=3.9kΩ，R2=10kΩ，C1=500pF，C2=22nF。

因此，此模型的电流控制器和电压控制器的传递函数分别为：
)
10
53
.0
1()
10
23
.2
1(
10
94
.7
)
(
44
4
s s s
s
F
--
⨯+⨯
+
⨯
=（14）
)
10
53
.0
1()
10
12
.2
1(
10
14
.1
)
(
44
4
s s s
s
H
--
⨯+⨯
+
⨯
=（15）
向此模型加入一个3A的阶跃负载电流，其仿真结果如12（a）所示。

由图可知，调节时间和最大电压降分别为800μs和70mV。

图12（b）为CMC原形电路的实验波形。

对比两图，仿真结果与实验结果符合的很好。

图12. 加入3A阶跃负载变化时的ACMC输出电压响应：（a）仿真波形；（b）实验波形
Fig. 12. Output voltage response of ACMC buck converter due to a step load change of 3A:
(a) simulated; (b) experimental.
IV. 结论
本文讨论了Buck变换器的大信号平均模型。

分别采用VMC，CMC和ACMC作为变换器的控制策略。

使用的控制器有线性化的，如式（12）至式（15）；也有和非线性化的，如图9所示的模型就是非线性化的，因为由式（3）可知它的状态空间是非线性的，并使用了非线性的控制策略（式（8）和式（10））。

如图10至12所示，平均模型可以很精确预测变换器在存在阶跃扰动的条件下的动态特性, 验证了模型在大信号仿真时的正确性。

如果对其作适当的修改以适应实际需要，改进的模型也许可以用来简化DC-DC变换模块的设计。