《时间序列分析》期末复习——【计量经济学】

随机游走（random walk）过程。
1.2 时间序列模型的分类（AR、MA、ARMA、ARIMA 过程）
（1）自回归过程，AR(p)： xt = 1 xt-1 + 2 xt -2 + … + p xt-p + ut （2）移动平均过程，MA(q)： xt = ut + 1 ut -1 + 2 ut -2 + … + q ut - q
自相关函数定义
以滞后期 k 为变量的自相关系数列
k =
Cov(xt , xtk ) = k , Var(xt ) Var(xtk ) 0
k = 0, 1, …, K
称为自相关函数。
● 自回归（AR）过程的自相关函数呈拖尾特征。移动平均（MA）过程的自相关 函数呈截尾特征。
●
相关图
rk
=
Ck C0
= (0.8)k Cos(0.5 k+2) + 0.5 (0.7) k + 0.7 (- 0.5)k 的衰减特征。
.4
RHO
.2
.0
-.2
-.4
-.6Biblioteka -.824
6
8
10
12
14
16
18
20
22
24
（file：5correfuction，rho） EViews 操作：建立一个 k=25 的 EViews 文件，点击 Quick 键，选 Generate series 功能，输入以下命令。
指数或正弦衰减。
k =1, 2 时有两个峰值然后截尾。
k =1, 2 有两个峰值然后截尾。
指数或正弦衰减。
k =1 有峰值然后按指数衰减。
k =1 有峰值然后按指数衰减。
k =1, 2 有两个峰值然后按指数或正 k =1, 2 有两个峰值然后按指数或正弦
弦衰减。
衰减。
建立时间序列 ARIMA 模型的步骤
白噪声过程：对于一个随机过程{ xt , tT }，如果 E(xt) = 0，Var(xt) = 2 , t T；
Cov(xt , xt + k ) = 0，(t+k ) T, k 0，则称{xt}为白噪声过程。 随机游走过程：对于下面的表达式 xt = xt -1 + ut 如果 ut 为白噪声过程，则称 xt 为
rho=.8^@trend(0)*cos(0.5*@trend(0)+2) +0.5*0.7^@trend(0)+ 0.7* (-0.5) ^@trend(0)
1.5 偏自相关函数与偏相关图
偏自相关函数定义： 对于 k 阶自回归模型
xt = k 1 xt-1 + k 2 xt-2 + … + kk xt-k + ut
( ˆkk - 0) / T -1/2= T 1/2 ˆkk 近似服从 N (0, 1)
● 偏相关图 ˆ11 , ˆ22 , …的矩阵计算不考。
模型
ARIMA(p,1, q)
xt = 1xt-1 + ut + 1ut-1
AR（1） xt = 1xt-1 + ut
MA（1） xt = ut + 1ut-1
K
Q = T (T + 2)
rk 2
2( K - p - q)
k 1 T k
H0：1 = 2 = …= K（模型的误差序列是白噪声过程）。判别规则是
若
Q
2
(
K
-
p
-
q)
，p 值
> 0.05，则接受 H0；
若
Q
>
2
(
K
-
p
-
q)
，p 值
< 0.05，则拒绝 H0。
● ARMA(1, 1) 模型预测（动态预测、静态预测，样本内预测、样本外预测） 随着预测期的加长，预测式中移动平均部分逐步淡出预测模型，预测式变成了 纯自回归形式。 （区间预测不考）
(L) = (1 - 1 L - 2 L2 - … - p Lp ) = 0 的根。而(L) = 0 正是原 AR(p) 过程的特征方程。
① 当 Gi 为实数时，通解式中的 Ai Gik 将随着 k 的增加而指数衰减至零。 ② 当 Gi 和 Gj 表示一对共轭复数根的倒数时，
Ai Gik + Aj Gjk = Ai (a + bi)k + Aj (a - bi)k = A (Rk e i k ) + A (Rk e -i k ) = Bei R k eik Bei R k eik = BR k (ei(k ) e i(k ) ) = 2BR k cos(k )
1.3 伍尔德分解定理
（1）伍尔德（Wold）分解定理：任何协方差平稳过程 xt - ( +dt )，都可以表示为
xt - ( +dt ) = (ut + 1 ut-1+ 2 ut-2 + … ) = jut j = (L) ut j0
（2）均值和漂移项的关系： (1) = 。
1.4 自相关函数与相关图 1.5 偏自相关函数与偏相关图 ● 自相关函数（包括自协方差函数）、偏自相关函数是分析 ARIMA 模型，建立时
相隔 k 期的两个随机变量 xt 与 xt + k 的协方差，定义为
k = Cov(xt , xt + k ) = E[(xt - ) (xt + k - ) ]
自协方差序列
k , k = 0, 1, …, K
称作随机过程 {xt} 的自协方差函数。当 k = 0 时，自协方差退化为方差。
0 = Var(xt) = x2
（3）自回归移动平均过程，ARMA(p, q)：
xt= 1 xt-1+ 2 xt-2+ …+ p xt-p+ut+ 1 ut-1 + 2 ut-2+ ... + q ut-q （4）单整自回归移动平均过程，ARIMA(p, d, q)：(L) (Ddyt - ) = (L) ut
● AR(p)过程只需考虑平稳性问题，条件是 L) = 0 的根的模必须大于 1。 ● MA(q)过程只需考虑可逆性问题，条件 L) = 0 的根必须位于单位圆之外。
对于平稳过程，由于模 B，R <1，所以随着 k 的增加，BRk 越来越小，角度 k 越 来越大，k 逆时针螺旋式朝着原点收敛。
● Yule-Walker 方程原理不考。
例： 4 个特征根的自相关函数 （前两个根是共轭复数根，后两个是实数根）
k = A1 G1k + A2 G2k + A3 G3k + A4 G4k
● 对于经济时间序列，差分次数 d 通常 取 0，1 或 2。
● 实际建模中要防止过度差分。差分后 若数据的极差变大，说明差分次数过 多了。
● 在平稳时间序列基础上识别 ARMA 模型阶数。
● 序列的相关图与偏相关图可以为识别 模型参数 p（自回归分量的阶数）和 q（移动平均分量的阶数）的值提供 信息。
第 1 章 时间序列 ARIMA 模型 1.1 时间序列定义（随机过程、时间序列定义，滞后、差分算子，白噪声） 随机过程（离散型）：随时间由随机变量组成的一个有序序列称为随机过程。 时间序列（离散型）：随机过程的一次观测结果称为时间序列。 严平稳过程：联合概率分布函数与时间无关。 m 阶平稳过程：m 阶矩以下的矩的取值全部与时间无关 滞后算子：用 L（或 B）表示。 差分算子：用 D（或 ）表示。差分算子和滞后算子可以直接参与四则运算。
实际中，偏自相关函数是通过 Yule-Walker 方程
j = k 1 j -1 + k 2 j - 2 + … + k k j - k , 按如下方法计算的。用矩阵形式表示上式，
j = 1, 2, …, K . 1 11 j 1.
即 j 21 j1 22 j2,
j1,2.
j 31 j1 32 j2 33 j3 , j 1,2,3.
1 1
2
=
1
... ...
k
k 1
1 1 ... k 2
2 1 ...
k 3
... k1 k1
...
...
k
2
k
2
即 = P 。则 = P -1 即
... ... ...
...
1
kk
k1 1
k 2 ...
=
1 ...
kk
k
1
1 1 ... k 2
间序列模型的重要工具。 ● 自相关函数以时间 t 为自变量，所以，属于时域分析。
1.4 自相关函数与相关图 自协方差函数定义
对于平稳的随机过程，其期望为常数，用表示，即 E(xt) = , t = 1, 2, …
平稳随机过程的方差也是一个常量。
Var(xt) = E[ (xt - E(xt) )2 ] = E[ (xt - )2 ] = x2, t = 1, 2, …
若把 k = 1, 2…的一系列回归式kk 看作是滞后期 k 的函数，则称
kk, k = 1, 2 …
为偏自相关函数它由下式中的红项组成。
xt = 11 xt-1 + ut xt = 21 xt-1 + 22 xt-2 + ut
…
xt = k 1 xt-1 + k 2 xt-2 + … + kk xt-k + ut
,
k = 0, 1 , 2, …, K, ( K < T ) 是对自相关函数 k 的估计。其中
(rk - 0) / T -1/2 = T 1/2 rk 近似服从 N (0, 1)。
Ck
ˆk
1 T
T k
(xt
x)(xtk
x),
k = 0, 1, 2, …, K，是对k 的（有偏）估计。
t 1
注意：Ck 是对 k 的估计，r k 是对 k 的估计。
AR（2） xt = 1xt-1 + 2xt-2 + ut MA（2） xt = ut + 1ut-1+ 2ut-2 ARMA（1，1） xt = 1xt-1 + ut + 1ut-1 ARMA（2，2） xt=1xt-1+2xt-2
+ ut +1ut-1+2ut-2
表 1 ARMA 过程的自相关函数和偏自相关函数
1． 识别 用相关图和偏相关图识别模型形式 （确定参数 d, p, q）。
2． 估计 对初步选取的模型进行参数估计。
3． 诊断与检验 包括被估参数的显著性检验和残差 的随机性检验。
不可取 模型可取吗？
可取 止
1.6 时间序列模型的建立与预测
ARIMA 过程一般表达式： (L)Ddyt = + (L) ut
对于 AR(p) 过程，Yule-Walker 方程
k = 1 k -1 + 2 k -2 + … + p k -p ， k 0
的通解（证明 略）是
k = A1 G1k + A2 G2k + … + Ap Gpk
其中 Ai, i = 1, … p 为待定常数。这里 Gi-1, i = 1, 2, …, p 是特征方程
● ARIMA(1, 1, 1) 模型的估计命令如下: Dlog(Y) C AR(1) MA(1) AR(3)、MA(3)：一个只代表一项。
● 正确书写 EViews 估计结果的表达式。 ● t、Q 统计量相应自由度的正确计算。
1.9 季节时间序列模型（自相关、偏自相关函数，估计，诊断与检验，案例） 周期为 s 的季节时间序列模型，SARIMA (p, d, q) (P, D, Q)s，的一般表达式如下：
自相关函数特征
偏自相关函数特征
缓慢地近似线性衰减。
若1 > 0，平滑地指数衰减。 若1 < 0，正负交替地指数衰减。
若11 > 0，k =1 时有正峰值然后截尾。 若11 < 0，k =1 时有负峰值然后截尾。
若1>0，k=1 时有正峰值然后截尾。 若1 > 0，交替式指数衰减。
若1 < 0，k =1 时有负峰值然后截尾。 若1 < 0，负的平滑式指数衰减。
● 估计的模型形式不是唯一的。
● ARIMA 模型用极大似然法估计参数。（极大似然估计法不考。）
● 模型的诊断与检验包括 3 项内容。（1）检验模型参数的估计值是否具有统计显 著性；（2）检验模型对应的特征方程的根是否都在单位圆以外。（3）检验残差 序列的非自相关性和正态分布性。
● 检验残差序列的非自相关性用 Q 统计量。
2 1 ...
k3
... k 1 -1 1
...
k
2
2
... ... ...
...
1
k
即 11 = 1。
2 1
22
=
1 1
1 1
1
1
2
，其中
22
=
2 12 。……。 1 12
● 偏相关图 ˆ11 , ˆ22 , …是对偏自相关函数 11, 22, … 的估计。
(1- 1L- …-pLp)(1-1Ls -…-PLPs )(dsDyt) = (1+1L+…+qLq)(1+1 Ls+…+Q LQs )ut
或 p(L)P(Ls) (dsDyt) = q(L)Q(Ls) ut
● 对 SARIMA 模型的识别、拟合与检验与前面介绍的 ARIMA 模型的识别、拟合 与检验方法的原理是一样的。步骤如下：